布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價(jià)模型培訓(xùn)(共42頁(yè)).ppt

1、第七章 布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 第一節(jié) 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí) 一、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（或維納過程）一、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（或維納過程） 設(shè)設(shè) 代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度，代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度， 代代表變量表變量z在時(shí)間在時(shí)間 內(nèi)的變化。如果內(nèi)的變化。如果 具具有如下兩個(gè)基本性質(zhì)，則有如下兩個(gè)基本性質(zhì)，則 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（維納過程）：布朗運(yùn)動(dòng)（維納過程）： 性質(zhì)性質(zhì)1： 與與 的關(guān)系為的關(guān)系為:tztzzztzt 其中，其中， ，即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中取，即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中取的一個(gè)隨機(jī)值。的一個(gè)隨機(jī)值。性質(zhì)性質(zhì)2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 ， 的值都相互獨(dú)立。的值都相互獨(dú)立。二

2、、對(duì)維納過程的分析二、對(duì)維納過程的分析從性質(zhì)從性質(zhì)1可看出：可看出： 服從正態(tài)分布，即：服從正態(tài)分布，即： (0,1)Nztz 0EzEttE 方差則為 故: DzDttDtzt 的標(biāo)準(zhǔn)差為(0,)zNt從性質(zhì)2可看出，Z遵循馬爾科夫過程。將時(shí)間T分成N等份，則：1111()(0)()(0)(0)()()()( (0),)0NiiNiiNNiiiiz TztEz TzEtzDz TDttDNtTz TNzTtdzdt 即 ：的 正 態(tài) 分 布且 ， 當(dāng)時(shí) ， 得 到Z的 極 限 分 布 ： 三、普通布朗運(yùn)動(dòng) 引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率。 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0，方差率為1 我們令漂移率的期

3、望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量 x 的普通布朗運(yùn)動(dòng) 其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。dxadtbdz 四、伊藤過程 （Ito Process） 普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，可以得到伊藤過程 其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。dztxbdttxadx),(),( 五、伊藤引理、伊藤引理 若變量x遵循伊藤過程 則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： 證明如下：bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222=a( , )( , )dxx t dtb x t

4、dz 由于G是x和t的函數(shù)，根據(jù)泰勒展開式：2222222322222221t2 x1.x2t=a( , )( , )a2abba( , )aGGGGxtxxGGx tttxx ttb x ttxttttx t 由于故（）（ ）最后一項(xiàng)是一次項(xiàng)。(簡(jiǎn)寫為 ) 所以222222222221t2x1.x2t1bt2xGGGGxtxxGGx tttGGGxttxxt 其余和的高階項(xiàng)全部忽略 再看 ，很顯然，由于 是一個(gè)遵循標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故 也是一個(gè)隨機(jī)變量。2t2t 2222222222()( )()1(t)t ()tttttt00tt0tEEEEE 由于D=所以：再看的方差DD，是高階無

5、窮小，在時(shí)，可忽略為這樣，是期望值為，方差近似為 的隨機(jī)變量。故可直接用期望值近似代替。 這樣，22222222222221bt2x1bt2x1abt2x1abt2xd,GGGGxttxGGGxttxGGGtbzttxGGGGtbzxxGtzGdtdz 將、分 別 換 成、就 得 到 伊 藤 引 理 。 故 引 理 得 證 。伊藤引理的運(yùn)用伊藤引理的運(yùn)用 六六、證券價(jià)格變化證券價(jià)格變化幾何布朗運(yùn)動(dòng)幾何布朗運(yùn)動(dòng) 1 1、證券價(jià)格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為 的伊藤過程來表示： 兩邊同除以S得：22SSdzSdtdSdzdtSdS 可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為： 也符合正態(tài)分布

6、ttSS),(ttSS2、幾何布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)的合理性幾何布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)的合理性a、收益率與價(jià)格水平無關(guān)收益率與價(jià)格水平無關(guān)b、收益率波動(dòng)性與價(jià)格水平無關(guān)收益率波動(dòng)性與價(jià)格水平無關(guān)c、收益既有可合理預(yù)期部分，又有不可預(yù)測(cè)部分，符合收益既有可合理預(yù)期部分，又有不可預(yù)測(cè)部分，符合現(xiàn)實(shí)。現(xiàn)實(shí)。d d、正態(tài)分布：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益正態(tài)分布：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益 率近似地服從正態(tài)分布率近似地服從正態(tài)分布e e、數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征1 1和特征和特征2 2的維納過程是一的維納過程是一個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過程，從而與弱式個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過程，從而與弱式EMH

7、EMH 相符。相符。 3 3、證券價(jià)格的自然對(duì)數(shù)變化過程、證券價(jià)格的自然對(duì)數(shù)變化過程 假定 ，令 ，由于 根據(jù)伊藤引理： 證券價(jià)格對(duì)數(shù)G遵循普通布朗運(yùn)動(dòng),且SGln0,1,1222tGSSGSSGdzdtdG)2(2SdzSdtdS222lnln ()(),()TSSTtTt 4、股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)后具有的性質(zhì)：股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)后具有的性質(zhì)： 5 5、百分比收益率與對(duì)數(shù)收益率、百分比收益率與對(duì)數(shù)收益率 6 6、波動(dòng)率、波動(dòng)率第二節(jié) B-S-M 期權(quán)定價(jià)公式 一、假設(shè)二、 B-S模型的推導(dǎo) 假設(shè)證券價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)： 假設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價(jià)格，則：dSSdtSdzSS

8、tSz 則zSSftSSftfSSff)21(2222 為了消除 ，我們可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價(jià)值，則： 在 時(shí)間后： 將前述 和 代入，有：zfSfSfS fSfS tfS2222222222221()21()21)2fSfSfffffSSStSzSStSSfffffStSzSStSzSStSSffSttS （）（可 見 ，實(shí) 際 上 是 確 定 的 ， 不 包 括 隨 機(jī) 變 量 。因 此 ， 組 合實(shí) 際 上 是 一 個(gè) 無 風(fēng) 險(xiǎn) 組 合 。在 沒 有 套 利 機(jī) 會(huì) 情 況 下 ，組 合 只 能 獲 得 無 風(fēng) 險(xiǎn) 收 益2

9、22222221()()212rtfffStr fSttSSfffrSSrftSSBS 代入和，得到，即此即微分方程三、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理四、無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式五、 對(duì)BS 定價(jià)公式的理解之一六、 對(duì)BS 定價(jià)公式的理解之二七、無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式第三節(jié) BS 定價(jià)公式的精確度評(píng)價(jià) BSM 期權(quán)定價(jià)公式在定價(jià)方面存在一定偏差，期權(quán)定價(jià)公式在定價(jià)方面存在一定偏差，但它依然是迄今為止解釋期權(quán)價(jià)格動(dòng)態(tài)的最佳但它依然是迄今為止解釋期權(quán)價(jià)格動(dòng)態(tài)的最佳模型之一，應(yīng)用廣泛，影響深遠(yuǎn)模型之一，應(yīng)用廣泛，影響深遠(yuǎn) BSM 期權(quán)定價(jià)與市場(chǎng)價(jià)格存在差異的主要原期權(quán)定價(jià)與市場(chǎng)價(jià)格存在差異的主要

10、原因：因： 期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格偏離均衡；期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格偏離均衡； 使用錯(cuò)誤的參數(shù)；使用錯(cuò)誤的參數(shù)； BSM 定價(jià)公式建立在眾多假定的基礎(chǔ)上定價(jià)公式建立在眾多假定的基礎(chǔ)上BS 期權(quán)定價(jià)公式的缺陷與拓展 無交易成本假設(shè)的放松 常數(shù)波動(dòng)率假設(shè)的放松 參數(shù)假設(shè)的放松 資產(chǎn)價(jià)格連續(xù)變動(dòng)假設(shè)的放松第四節(jié) 期權(quán)定價(jià)的鞅方法 一、問題 前述B-S微分方程解法很復(fù)雜，不實(shí)用 二、鞅方法的提出 是隨機(jī)過程的一種，它的顯著特點(diǎn)是未來的期望等于現(xiàn)在。一個(gè)隨機(jī)過程一般伴隨著一個(gè)測(cè)度。等價(jià)鞅測(cè)度即是把不是鞅的隨機(jī)過程轉(zhuǎn)化成鞅的測(cè)度。這一測(cè)度和原來隨機(jī)過程伴隨的測(cè)度等價(jià)。轉(zhuǎn)化成鞅后，可是直接采用求數(shù)學(xué)期望的方法來獲得金融衍生產(chǎn)品的

11、價(jià)格，如期權(quán)，而不用解偏微分方程了。三、期權(quán)定價(jià)的鞅方法TT-tT為方便起見，將時(shí)間間隔表述為0， ，即原來的就用 表示。2202lnln () ,TdSSdtSdzSSTT 根據(jù)前述推理，在標(biāo)的資產(chǎn)服從情況下，根據(jù)伊藤引理，有：22T02R= lnln(r),TSSTTr則在風(fēng)險(xiǎn)中性概率下：此處，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 為無風(fēng)險(xiǎn)利率。TtTSSTRe風(fēng)險(xiǎn)中性概率下 時(shí)刻股票價(jià)格則為：p在 風(fēng) 險(xiǎn) 中 性 情 況 下 ，表 示 風(fēng) 險(xiǎn) 中 性 概 率 ，則 歐 式 看 漲 期 權(quán) 定 價(jià) 為 ：pC E max(,0)rTTeSK=p0E max(S,0)TRrTeeKT0max(S,0) dpRr

12、TeeK22T22T1()20T21max(S,0)dRrTRrTTeeKeRTT0T0Sln()SRKeKR顯然，當(dāng)，即時(shí)，22T22T01()20T2ln()S1C(S)dRrTRrTTKeeKeRT=22T22T022T2201()20T2ln()S1()2T2ln()S1Sd1dRrTRrTTKRrTrTTKeeeRTKeeRT2T2()ZRrTT令，則：22T220221021()2T2ln(S )1Z2ln(S ) ()1d1dZRrTrTTKrTKrTTKeeRTKee2220221Z2dln (S)()d1d Zr TKrTTK ee 令則 上 式221dZ221=dZN (d )rTrTK eeK e=22T22T01()20T2ln()S1SdRrTRrTTKeeeRT再來看第一項(xiàng) 22T