信號與系統(tǒng)ch3.

1、第三章 連續(xù)信號的正交分解1引言引言 1. 1. LTILTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析法連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析法 復(fù)雜信號復(fù)雜信號分解分解若干個沖激函數(shù)若干個沖激函數(shù)d di i(t(t) ) h h i i(t) (t) 疊加疊加 總響應(yīng)總響應(yīng)信號分解信號分解: : 每個分量用同樣形式的單元函數(shù)每個分量用同樣形式的單元函數(shù) e e(t)(t)或或d d(t)(t) 來表示來表示信號的時域表示法信號的時域表示法 2. 2. 單元函數(shù)的選擇單元函數(shù)的選擇 一組坐標(biāo)軸一組坐標(biāo)軸 構(gòu)成構(gòu)成 一個矢量空間一個矢量空間 一個函數(shù)集一個函數(shù)集 信號空間信號空間 常用正交坐標(biāo)系常用正交坐標(biāo)系 ,正交函數(shù)集正交

2、函數(shù)集3.3. 正交函數(shù)集正交函數(shù)集 定義定義 : 如有如有n n個函數(shù)個函數(shù)g g1 1(t),g(t),g2 2(t),(t), ,g gn n(t(t) )構(gòu)成一個函構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間（t t1 1,t,t2 2）內(nèi)滿足以下內(nèi)滿足以下正交特性正交特性 ：第三章 連續(xù)信號的正交分解2mlkmldttgtgmttml, 0)()(21則稱此函數(shù)集為在區(qū)間則稱此函數(shù)集為在區(qū)間（t t1 1,t,t2 2）內(nèi)的正交函數(shù)集。內(nèi)的正交函數(shù)集。 于是于是信號信號 在區(qū)間在區(qū)間（t t1 1,t,t2 2）內(nèi)可以用內(nèi)可以用n n個互相正交的個互相正交的函數(shù)表示為：函數(shù)

3、表示為： )(tfnrrrnnrrtgCtgCtgCtgCtgCtf12211)()()()()()(最佳近似系數(shù)：最佳近似系數(shù)： 212121)()(1)()()(2ttrrttrttrrdttgtfkdttgdttgtfC求得由0 )()(12112221dttgCtfttCCCttnjjjrrre第三章 連續(xù)信號的正交分解3與矢量分解相似，用一正交函數(shù)集中的分量去代表任意一與矢量分解相似，用一正交函數(shù)集中的分量去代表任意一個函數(shù)，這個函數(shù)集必須是一完備的正交函數(shù)集。個函數(shù)，這個函數(shù)集必須是一完備的正交函數(shù)集。完備的正交函數(shù)集完備的正交函數(shù)集有兩種定義：有兩種定義： A.如果用正交的函數(shù)集

4、如果用正交的函數(shù)集 在區(qū)間在區(qū)間（t t1 1,t,t2 2）內(nèi)近似表內(nèi)近似表示示 ，若令，若令 ，則稱該函，則稱該函數(shù)集為完備的正交函數(shù)集。數(shù)集為完備的正交函數(shù)集。 )(tgr)(tf)(0lim,2此時enn此時此時 )()()()(2211tgCtgCtgCtfrrB.B.如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 之外，不存在之外，不存在函數(shù)函數(shù) ,( ) ,( )滿足等式滿足等式: : 則這個函數(shù)集稱為完備的則這個函數(shù)集稱為完備的正交函數(shù)集。正交函數(shù)集。 )(,),(),(21tgtgtgn)(tx21)(02ttdttx), 2 , 1( 0)()(21nrdttgtxttr第三章 連續(xù)信號

5、的正交分解4如如三角函數(shù)集三角函數(shù)集 ),(,),2(,),(,),2(,1tnSintSintSintnCostCostCos，在區(qū)間在區(qū)間（t t0 0,t,t0 0+T+T）( )( )內(nèi)為完備的正交函數(shù)集。內(nèi)為完備的正交函數(shù)集。 2T符合一定條件的任一信號可用三角函數(shù)集表示符合一定條件的任一信號可用三角函數(shù)集表示 ，如，如 信號是頻率的函數(shù)信號是頻率的函數(shù)信號在頻域中的表示信號在頻域中的表示 ( (頻域分析頻域分析) )4. 4. 信號也可以表示為復(fù)頻率信號也可以表示為復(fù)頻率( (s=s=a aj jw w) )的函數(shù)的函數(shù)（復(fù)頻復(fù)頻域分析域分析）)5(51)3(31)(4)(tSin

6、tSintSintf第三章 連續(xù)信號的正交分解5一、信號表示為傅里葉級數(shù)一、信號表示為傅里葉級數(shù)二、周期信號的頻譜二、周期信號的頻譜三、傅里葉變換與非周期信號的頻譜三、傅里葉變換與非周期信號的頻譜四、傅立葉變換的基本性質(zhì)四、傅立葉變換的基本性質(zhì)五、五、常用信號的頻譜函數(shù)（傅里葉變換）常用信號的頻譜函數(shù)（傅里葉變換）六、帕色伐爾定理與能量頻譜六、帕色伐爾定理與能量頻譜第三章 連續(xù)信號的正交分解6一、一、信號表示為傅里葉級數(shù)信號表示為傅里葉級數(shù)（一）（一）傅里葉級數(shù)的三角形式傅里葉級數(shù)的三角形式周期函數(shù)周期函數(shù) 在區(qū)間（在區(qū)間（t t1 1,t,t1 1+T+T）內(nèi)可表示為：內(nèi)可表示為：)(tf)

7、()(2)(110tnSinbtSinbtnCosatCosaatfnnTttTttTttndttnCostfTdttnCosdttnCostfa111111)()(2)()()(2TttTttTttndttnSintfTdttnSindttnSintfb111111)()(2)()()(2)()(11)(2111111200tfdttfTdtdttfCaTttTttTttTttdttfTa110)(2（也可以令（也可以令 中中n n0 0得到）得到） na（直流分量）（直流分量） 第三章 連續(xù)信號的正交分解7tSinbtCosa11和合成一（角）頻率為合成一（角）頻率為 的正弦分量的正弦分量

8、T2基波頻率基波頻率 ， n n 次諧波頻率次諧波頻率 n)()()(nnnntnCosAtnSinbtnCosa令令10)(2)(nnntnCosAatf則則nnnnnnSinAbCosAannnnnnabarctgbaA22其中其中偶函數(shù)nnnnAAaa奇函數(shù)nnnnbb可見可見:( (即在一定區(qū)間內(nèi)，任一即在一定區(qū)間內(nèi)，任一 可以用一直流分量和一可以用一直流分量和一系列諧波分量之和來表示）系列諧波分量之和來表示）)(tf第三章 連續(xù)信號的正交分解8第三章 連續(xù)信號的正交分解9第三章 連續(xù)信號的正交分解10( (二二) )傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 尤拉公式：尤拉公式： )(

9、21)(21jjjjeejSineeCosjSinCosejSinCosejj即即 指數(shù)項指數(shù)項 余弦波余弦波10)()(2)(nnntnSinbtnCosaatf)(2)(2210tjntjnnntjntjnneejbeeaa)(21)(21210tjnnntjnnnnejbaejbaa于是于是第三章 連續(xù)信號的正交分解11njnnnnnnAeAjSinCosAjban2121)(21)(21令njnnnnnnAeAjSinCosAjban2121)(21)(2100aA ntjnnnntjnntjnnneCeAeAeAAtftjn21212)(10上式說明：上式說明： 可用函數(shù)集可用函數(shù)集

10、 來表示來表示 （n=0, n=0, ）)(tftjne, 2, 1TtttjnTtttjntjnTtttjnndtetfTdteedtetfC111111)(1)()(*TtttjnndtetfTA11)(2第三章 連續(xù)信號的正交分解12 討論：討論： 1 1意義意義： tjeCeCCtftj2210)(tjtjeCeC221（ ）并不代表負(fù)頻率，各正、負(fù)指數(shù)項組成一個余弦并不代表負(fù)頻率，各正、負(fù)指數(shù)項組成一個余弦（或正弦）波（或正弦）波 n2 2求求 之法之法：用指數(shù)級數(shù)比用三角級數(shù)更方便，只：用指數(shù)級數(shù)比用三角級數(shù)更方便，只需求出需求出)(tf)(tfAn3 3求頻譜求頻譜 第第n n次

11、諧波分量的復(fù)數(shù)振幅次諧波分量的復(fù)數(shù)振幅（包括振幅和相位）（包括振幅和相位） nA求 (三三 ) 信號的對稱條件及其與諧波含量的關(guān)系信號的對稱條件及其與諧波含量的關(guān)系1 1偶函數(shù)偶函數(shù)關(guān)于縱軸對稱關(guān)于縱軸對稱若若 則則 為為t t 的偶函數(shù)的偶函數(shù))()(tftf)(tf第三章 連續(xù)信號的正交分解13此時此時000)(2)()()(dttfdttfdttfdttf或)(tfT 0 T tT 0 T t0)()(2)()(4)()(220TnTTndttnSintfTbdttnCostfTdttnCostfTa而即即偶函數(shù)只含有余弦分量偶函數(shù)只含有余弦分量，直流分量可能有或無，直流分量可能有或無

12、2 2奇函數(shù)奇函數(shù)關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱若若 則則 為為t t 的奇函數(shù)的奇函數(shù) )()(tftf)(tf此時此時 0)()()(00dttfdttfdttf或)(tf T/2 0 T/2 tT/2 0 T/2 t第三章 連續(xù)信號的正交分解1400)()(2adttnCostfTaTn20)()(4)()(2TTndttnSintfTdttnSintfTb而而即即奇函數(shù)只含有正弦分量奇函數(shù)只含有正弦分量 注意：注意：函數(shù)的奇偶性由坐標(biāo)軸的對稱關(guān)系決定，故函數(shù)的奇偶性由坐標(biāo)軸的對稱關(guān)系決定，故當(dāng)移動坐標(biāo)軸時，奇偶關(guān)系會改變當(dāng)移動坐標(biāo)軸時，奇偶關(guān)系會改變 3 3偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)半周期重疊半周期重

13、疊 （只含偶次諧波只含偶次諧波） 若若 則稱則稱 為偶諧函數(shù)為偶諧函數(shù) )()2(tfTtf)(tf T/2 0 T/2 tT/2 0 T/2 t)(tf如如 既是偶函數(shù)，又是偶諧函數(shù)既是偶函數(shù)，又是偶諧函數(shù) , , ) (tf則則 0, 0531nbaaa)4(151)2(3142)(tCostCosAAtf第三章 連續(xù)信號的正交分解154 4奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)半周期鏡像對稱（上、下對稱）半周期鏡像對稱（上、下對稱） 滿足滿足 只含奇次諧波只含奇次諧波 )()2(tfTtf f f1 1(t)(t) T/2 0 T/2 tT/2 0 T/2 tf f2 2(t)(t) T T tT T t 如

14、如f f2 2(t)(t)既是奇函數(shù)，又是奇諧函數(shù)既是奇函數(shù)，又是奇諧函數(shù) 則則 0, 04200bbbaan5.5.任一函數(shù)都可分解成一個奇函數(shù)與一任一函數(shù)都可分解成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和個偶函數(shù)之和 )()()()()(tftftftftfevod偶奇求求)()(tftfevod和)()()()()(tftftftftfevodevod2)()(2)()()(tftftftftftfevod）第三章 連續(xù)信號的正交分解16f(t)f(t) 1 1f(-t)f(-t) - -T/2 T/2 T/2T/2 t tf fodod(t(t) ) -1/2-1/2 f fevev(t(t)=1/

15、2)=1/2 第三章 連續(xù)信號的正交分解17( (四四) )傅里葉級數(shù)的時間位移性質(zhì)傅里葉級數(shù)的時間位移性質(zhì) 內(nèi)容：內(nèi)容： 之復(fù)系數(shù)為之復(fù)系數(shù)為 )(tf)2(nnAC延遲延遲 0)(:00tjnneCttft則復(fù)系數(shù)為證明：證明： ntjnneCtf)(ntjnnnttjnneeCeCttftjn00)(0)(說明：在時間上延遲說明：在時間上延遲t t0 0對應(yīng)于諧波分量的相位滯后對應(yīng)于諧波分量的相位滯后了了 ！0tn例例)3(9142)(2tCostCosAAtfa求求 的表達式的表達式 ）tfb(第三章 連續(xù)信號的正交分解18f fa a(t(t) ) f fb b(t(t) ) A T

16、/2 0 T/2 tT/2 0 T/2 t- -T 0 T/2 T 2T tT 0 T/2 T 2T t解：解： )2()(TtftfabnTntnT2,20( )33(91)(422tCostCosAA)3(91)(422tCostCosAA第三章 連續(xù)信號的正交分解19作業(yè)： 3.7、 3.9、3.10第三章 連續(xù)信號的正交分解20二、周期信號的頻譜二、周期信號的頻譜 )()(2)(110tnSinbtSinbtnCosatCosaatfnn 振幅頻譜圖振幅頻譜圖-信號各頻率分量的振幅隨角頻率變化的圖形信號各頻率分量的振幅隨角頻率變化的圖形tf(t)0T)5(51)3(31)(4)(tSi

17、ntSintSintfAn01 3 5 7w=nA1A3A5A7譜線第三章 連續(xù)信號的正交分解21（一）（一） 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 例例 求周期性矩形脈沖的展開式和頻譜求周期性矩形脈沖的展開式和頻譜 脈沖寬度脈沖寬度 T T脈沖周期脈沖周期 A A脈沖幅度脈沖幅度- -T -/2/2 T tT -/2/2 T t f(t)f(t) A A解：（解：（1 1）求）求f(t)f(t)的展開式的展開式 【方法一】用三角形式表示【方法一】用三角形式表示因為因為 f(-t)=f(t)f(-t)=f(t)( (偶函數(shù)偶函數(shù)) )， 所以所以b bn n=0=024)(4)()(42020nSin

18、TnAdttnACosTdttnCostfTaTn)(2)2(2222TnSaTAnSaTAnnSinTA第三章 連續(xù)信號的正交分解22xSinxxSa)(抽樣函數(shù)抽樣函數(shù) nnTTaimlTAAdtTdttfTa02222022)(2)()(2)(1tnCosTnSaTATAtfn【方法二】用指數(shù)形式表示【方法二】用指數(shù)形式表示 22222)(2dtAeTdtetfTAtjnTTtjnn)2(224nSaTAnSinTnAnjneA實數(shù)nnnnAAnSaTAA,0)2(2第三章 連續(xù)信號的正交分解23nnAAnSanSa)2()2()(21)(1tjntjnnneeATAtf)()2(21t

19、nCosnSaTATAn故(2)(2)求頻譜求頻譜 令令n=1,2,n=1,2,按頻率高低依次排列即得頻譜圖按頻率高低依次排列即得頻譜圖 tjnnneAtf21)(112121ntjnntjnnneAeATA)2(2nSaTAAn第三章 連續(xù)信號的正交分解24Sinx/xSinx/x = =Sa(xSa(x) ) 0 0 2 3 x 2 3 x An 0 20 2/ 4/ =/ 4/ =nn T=6T=6: : n n=0 =0 n n= = n n=0=0零點位置：零點位置： x = n/2 = x = n/2 = mm nn = m = m2/2/ 即即=n=nm m2/2/時，時， A

20、An n0 0 零點零點 又又 2 2/（T/T/）, , (=2/T)(=2/T) A An n /T /T設(shè)設(shè) T=6T=6，則則 A A0 0(2/6)A(2/6)A , , 2/=62/=6, ,即每個包絡(luò)內(nèi)有即每個包絡(luò)內(nèi)有5 5根譜線根譜線 相位譜：相位譜： 圖圖 nnnnAA, 0 n 0 20 2/ 4/ =/ 4/ =nn 20A第三章 連續(xù)信號的正交分解25其它方法：其它方法： 振幅向量為實數(shù)振幅向量為實數(shù) 此時，此時，A An n為負(fù)值，并不表示振幅為負(fù)，只表示為負(fù)值，并不表示振幅為負(fù)，只表示 n又如按又如按 ( (指數(shù)級數(shù)）指數(shù)級數(shù)） ntjnntjnnneCeAtf21

21、)(指數(shù)頻譜圖：指數(shù)頻譜圖： C Cn n- 2/ 0 2/ 4/ =- 2/ 0 2/ 4/ =nn ( (關(guān)于縱軸對稱，但并不表示有負(fù)頻率，它只表示一對關(guān)于縱軸對稱，但并不表示有負(fù)頻率，它只表示一對相應(yīng)的正、負(fù)指數(shù)項合起來構(gòu)成一個正弦分量相應(yīng)的正、負(fù)指數(shù)項合起來構(gòu)成一個正弦分量 ) A A0 0 A An n=(2A/T)Sa(n/2)=(2A/T)Sa(n/2)0 0 2 2/ 4/ =/ 4/ =nn T=6T=6: : 20A第三章 連續(xù)信號的正交分解26( (二二) )周期性矩形脈沖頻譜的特點周期性矩形脈沖頻譜的特點 1 1離散性離散性 2 2諧波性諧波性 3 3收斂性收斂性 討論

22、討論： T T、對信號頻譜結(jié)構(gòu)的影響對信號頻譜結(jié)構(gòu)的影響 24)2(2nSinTnAnSaTAAn 一定）（一定時，T）高了（但譜線疏密不變振幅為零的諧波次數(shù)提的收斂速度也變慢了且各諧波振幅漸趨減小2nA 線變密譜線間間隔減小，即譜一定）一定時，)2(2(TATnT T無限趨大時，譜線間隔無限趨小，振幅也無限趨小，無限趨大時，譜線間隔無限趨小，振幅也無限趨小，周期脈沖周期脈沖 非周期性單脈沖非周期性單脈沖 非周期信號可看作非周期信號可看作 的周期信號問題的周期信號問題 0，T周期矩形脈沖的頻譜的所有特點也是一切周期性信號的共同特點周期矩形脈沖的頻譜的所有特點也是一切周期性信號的共同特點 C C

23、n n0 2/ 4/ =0 2/ 4/ =nn 第三章 連續(xù)信號的正交分解27( (三三) )信號的頻帶寬度（頻寬）信號的頻帶寬度（頻寬） 對于一個信號，對于一個信號，從零頻率開始到需要考慮的最高從零頻率開始到需要考慮的最高分量的頻率間的這段頻率范圍是信號所占有的頻帶寬分量的頻率間的這段頻率范圍是信號所占有的頻帶寬度度，簡稱頻寬。，簡稱頻寬。 定義（兩種）：定義（兩種）： 從從0 0到頻譜包絡(luò)線第一個零點間的頻段到頻譜包絡(luò)線第一個零點間的頻段 從從0 0到振幅降為包絡(luò)線最大值到振幅降為包絡(luò)線最大值1/101/10 間頻段間頻段 討論：討論： 脈寬脈寬與頻寬成反比與頻寬成反比 00，頻譜均勻分布

24、于時，信號頻寬加大振幅收斂速度變慢w表明：表明：時間函數(shù)中變化較快的信號必定具有較寬的頻帶。時間函數(shù)中變化較快的信號必定具有較寬的頻帶。 第三章 連續(xù)信號的正交分解28作業(yè)：3.5第三章 連續(xù)信號的正交分解29三、傅里葉變換與非周期信號的頻譜三、傅里葉變換與非周期信號的頻譜 周期信號：周期信號： ntjnnTTtjnneAtfdtetfTA)2(21)() 1 ()(222無窮?。ㄩg隔）時，TT2nA同時同時 無窮小無窮小 （一）一） 頻譜函數(shù)（頻譜密度函數(shù)）和傅立葉變換頻譜函數(shù)（頻譜密度函數(shù)）和傅立葉變換式（式（1 1）乘以）乘以T/2T/2: : fAATAnnn2222)(TTtjndt

25、etf), 0(時當(dāng)T第三章 連續(xù)信號的正交分解30 定義：定義： nnTATAFjFww0lim2lim)()( 量綱：量綱： )(wjF單位頻帶的振幅單位頻帶的振幅 頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù) 付氏變換復(fù)數(shù)）則連續(xù)變量無窮?。瑫r，當(dāng)()()()()(wwwwwwjtjejFdtetfjFndT（無窮小量）頻率分量的相位，而實際振幅各頻率分量的相對值)()()()(wwwwwdjFAjF)(wjF偶函數(shù)，偶函數(shù)， )(w奇函數(shù)奇函數(shù) （二）（二）非周期信號的表達式非周期信號的表達式傅立葉反變換傅立葉反變換 tjnTTtjnntjnnnedtetfTeAtf)(22121)(22第三章 連續(xù)信

26、號的正交分解31wwwdTndT22,時，當(dāng)當(dāng)tjtjedtetfdtfwww)(2)(wwwdejFtj)(21傅立葉反變換傅立葉反變換 簡記為：簡記為： )()()()()()(1wwwjFtfjFFtftfFjF或（三）（三） 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜wwwwwwdeejFdejFtftjjtj)(21)(21)(wwwdejFtj)()(21wwwwwwdtSinjFjdtCosjF)()(21)()(21wwwdtCosjF)()(10第三章 連續(xù)信號的正交分解32非周期信號也可分解為許多不同頻率的正弦分量非周期信號也可分解為許多不同頻率的正弦分量 但因但因 信號包含, 0,

27、T一切頻率分量，00)(wwwdjFA）（同時所以頻譜不能直接用振幅作出，而必須用它的密度函所以頻譜不能直接用振幅作出，而必須用它的密度函數(shù)來作出。數(shù)來作出。令)()()(wwwjejFjF曲線）（相位譜：曲線幅度譜：wwww)( jF)(,2,2wwwjFAnTnTn周期信號的周期信號的 和非周期信號的和非周期信號的 可相互轉(zhuǎn)換可相互轉(zhuǎn)換 nA)(wjF第三章 連續(xù)信號的正交分解33（四）（四）非周期矩形脈沖的頻譜分析非周期矩形脈沖的頻譜分析 AA矩形之面積矩形之面積 f(t)f(t)A- -/2 0 /2 t/2 0 /2 t【方法一【方法一】直接用定義式求直接用定義式求 dtetfjFt

28、jww)()()(2222wwwwjjtjeejAdtAe)2(22wwwSaASinA【方法二】直接用轉(zhuǎn)換關(guān)系求【方法二】直接用轉(zhuǎn)換關(guān)系求 )2(2nSaTAAn)()()2()2(22)(wwwwwjejFSaASaTATjF)2()(wwSaAjF0)(,0)(, 0)(wwwjFjF第三章 連續(xù)信號的正交分解34頻譜圖：頻譜圖： F(jF(j) ) AA 0 0 426 周期脈沖頻譜包絡(luò)線的形狀和非周期單脈沖的頻譜周期脈沖頻譜包絡(luò)線的形狀和非周期單脈沖的頻譜函數(shù)形狀完全相同，所以，單脈沖信號的頻譜也具有以函數(shù)形狀完全相同，所以，單脈沖信號的頻譜也具有以下特點：下特點：l 單脈沖信號的頻

29、譜也具有收斂性，即信號的大部分能單脈沖信號的頻譜也具有收斂性，即信號的大部分能量都集中在低頻段；量都集中在低頻段；l 當(dāng)脈沖持續(xù)時間減小時，頻譜的收斂速度變慢，即脈當(dāng)脈沖持續(xù)時間減小時，頻譜的收斂速度變慢，即脈寬與頻寬成反比。寬與頻寬成反比。第三章 連續(xù)信號的正交分解35四、傅里葉變換的基本性質(zhì)四、傅里葉變換的基本性質(zhì)（一（一 ）線性性質(zhì)線性性質(zhì)若若 ， )(11wjFtf）)()(22wjFtf)()()()(22112211wwjFajFatfatfa（二）（二） 時移性質(zhì)時移性質(zhì) 若若 )()(wjFtf 則則 0)()(0tjejFttfww含義：含義： 信號在時域中延時和在頻域中移相

30、對應(yīng)信號在時域中延時和在頻域中移相對應(yīng)。如正。如正弦波在時間軸上的起點不同則相角隨之變化。弦波在時間軸上的起點不同則相角隨之變化。 例例1求求 的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù) )(tf)(wjF)(tf)(tfa A AA A 0 0 t -/2 /2 t t -/2 /2 t解：解： )()(wjFtf)2()()(wwSaAjFtfaa2)()(wwwjaejFjF第三章 連續(xù)信號的正交分解362)2(wwjeSaA)()(wwjejF)()2()(wwwjFSaAjFa2)()(wwwa)(wa 0 0 2468)(w 2)()(wwwjaejFjF例例2)()()(21tftftf)(tf f

31、f1 1(t) A(t) A - - 0 t 0 t f f2 2(t)(t) )()()(21wwwjFjFjF)(2(22wwwjjeeSaA（三）（三） 移頻性質(zhì)移頻性質(zhì) 若若 )()(wjFtf則則 )()(ctjjjFetfcwww表明：表明：信號在時域中與因子信號在時域中與因子 相乘，等效于頻域中相乘，等效于頻域中頻率的轉(zhuǎn)移頻率的轉(zhuǎn)移 tjcew第三章 連續(xù)信號的正交分解37而而 )()(21)(cccjjFjjFtCostfwwwww調(diào)幅過程調(diào)幅過程 例例3 3 求求 )()(tftCostfcaw幅度調(diào)制信號的頻譜函數(shù)幅度調(diào)制信號的頻譜函數(shù) 解：解： tCostftfcaw)(

32、)()(21tjtjacceetfww)(21)(21)(cacajjFjjFjFwwwww)(tfaA A - -/2 0 /2 t/2 0 /2 t 2)(22)(2wwwwccSaASaA)(wjFa A A/2A/2 )(wjF - -c c 0 0 c c )(tft t 第三章 連續(xù)信號的正交分解38解：解：1)(1tf)(1wjF先求先求直流信號直流信號 的頻譜的頻譜)cos()()cos(1)(010ttfttfww)cos()(0ttfw例例4 求余弦信號求余弦信號 的頻譜的頻譜)(wjF則則)(21)(21)(0101wwwwwjjFjjFjF 當(dāng)單個矩形脈沖（幅度當(dāng)單個矩

33、形脈沖（幅度A=1)的持續(xù)時間無限趨大時的持續(xù)時間無限趨大時就變成了直流信號，即就變成了直流信號，即)(lim)(1tftfa)(lim)(1wwjFjFa)2(limwSa而而)(lim)(wwdkSakk若令若令2k則則)(2)(lim2)(1wdwwkSakjFk第三章 連續(xù)信號的正交分解39)(21wd即即直流信號的頻譜是位于直流信號的頻譜是位于 處的沖激處的沖激0w于是于是)()()(00wwdwwdwjF 可見，周期余弦信號的頻譜函數(shù)完全集中于可見，周期余弦信號的頻譜函數(shù)完全集中于 點，是位于點，是位于 點的沖激函數(shù)，頻譜中不包含任何點的沖激函數(shù)，頻譜中不包含任何其它成分。其它成分

34、。0ww0ww（四）（四） 尺度展縮尺度展縮( (變換）性質(zhì)變換）性質(zhì) 若若 )()(wjFtf則則 )(1)(ajFaatfw含義：含義：在時域內(nèi)在時域內(nèi), ,信號信號 沿時間軸壓縮至原來的沿時間軸壓縮至原來的 , ,對應(yīng)于頻域中，它的頻譜函數(shù)展寬對應(yīng)于頻域中，它的頻譜函數(shù)展寬 倍。倍。即信號的脈即信號的脈寬與頻寬成反比。寬與頻寬成反比。 )(tfa1a第三章 連續(xù)信號的正交分解40證明：證明：（1 1） 0a)(11)()()(ajFatdaetfdteatfatfFatjatttjwww令令令 (2)(2) 0ataatttt)(1)1()(1)()()(ajFat daetft dae

35、tfatfFatjatjwww令令 1a 則則 )()(wjFtf)(tf 1 1 - -/2 0 /2 t/2 0 /2 t)(wjF )2( tf /4 /4 /4/4 t t /2/2 第三章 連續(xù)信號的正交分解41( (五五) ) 奇偶性質(zhì)奇偶性質(zhì) 如果如果 是是t t的實函數(shù)，且設(shè)的實函數(shù)，且設(shè) )(tf)()()()()()(wwwwwjXRejFjFtfj 則有則有 (1)(1) )()(, )()()()(),()(wwwwwwwwjFjFXXRR (2)(2) )()()(*wwjFjFtf(3)(3) )()(, 0)(),()()()(, 0)(),()(wwwwwwjX

36、jFRtftfRjFXtftf則如則如例例5 5 求單邊指數(shù)信號的頻譜求單邊指數(shù)信號的頻譜 )0)()(aeatetft1 1 0 0 t t解解: : dtetfjFtjww)()(0dteetjtwa第三章 連續(xù)信號的正交分解42dtetj)(0wa)()(1wwwajejFj221)(wawjFawwarctg)(01)(awjF 0w）（w 0 0 )(wjF例例6 6 求雙邊指數(shù)信號求雙邊指數(shù)信號 的頻譜的頻譜 f(t)1teatea 0 0 t t)()(tetfta解：解： dtetfjFtjww)()(00dteedteetjttjtwawa22211waawawajj)(wj

37、F00)( arctgw 2/2/ 0 0 )(wjF當(dāng)當(dāng)f(t)f(t)是偶函數(shù)時，其頻譜必然是實數(shù)，且也為偶函數(shù)！是偶函數(shù)時，其頻譜必然是實數(shù)，且也為偶函數(shù)！ 第三章 連續(xù)信號的正交分解43例例7 7 求單位符號函數(shù)求單位符號函數(shù)Sgn(tSgn(t) )的頻譜的頻譜 f fa a(t(t)=)=Sgn(tSgn(t) )1-1 0 0 t t解解: : 觀察觀察f f1 1(t)(t) 1 1 f f1 1(t)(t)tedted-1-1)(lim)(10tftfad)(lim)(10wwdjFjFa于是于是(1)(1)求求F F1 1（jj） dtetfjFtjww)()(1100)(

38、dteedteetjttjtwdwd22211wdwwdwdjjj 0 0 t t第三章 連續(xù)信號的正交分解44(2)(2)求求F Fa a（jj） wwwd2)(lim)(10jjFjFaww2)(jFa0,20,2www）（ 當(dāng)當(dāng)f(tf(t) )為奇函數(shù)時，其頻譜一定是虛數(shù)，且也為奇函數(shù)！為奇函數(shù)時，其頻譜一定是虛數(shù)，且也為奇函數(shù)！ /2/2 - -/2/2 0 0 )(wjF 如果將信號如果將信號f(t)f(t)看作是由余弦看作是由余弦“分量分量”所組成，其所組成，其頻譜圖是單邊的（即頻譜圖是單邊的（即00）; ; 如果將信號看作是由虛指數(shù)函數(shù)所組成，由于它如果將信號看作是由虛指數(shù)函數(shù)

39、所組成，由于它是對是對從從到到積分，因此，頻譜圖應(yīng)為雙邊譜積分，因此，頻譜圖應(yīng)為雙邊譜. .第三章 連續(xù)信號的正交分解45( (六六) ) 對稱性質(zhì)（互易性質(zhì)）對稱性質(zhì)（互易性質(zhì)） )()(wjFtf若)(2)(wfjtF則)(2)()(wfjtFtf是偶函數(shù)，則若含義：含義：信號的波形與信號的頻譜的圖形有著互相置換的信號的波形與信號的頻譜的圖形有著互相置換的關(guān)系。關(guān)系。 如單位沖激信號如單位沖激信號 的頻譜為：的頻譜為：)(td1)()()(dttdtetjFtjddww即即1)( td從而從而 )(21)(21wdwd或表明：表明：單位沖激信號具有無限寬的頻帶。單位沖激信號具有無限寬的頻帶

40、。第三章 連續(xù)信號的正交分解46)()(ttfd 0 0 t t F(jF(j) ) 1 0 0 21)(21)(jtFtfa 0 0 t t 21)()(wdwjFa 0 0 又如求取樣函數(shù)又如求取樣函數(shù) )()(wjFtfaaGtf)(- 0 - 0 t t 22)2()(wwSajF1 0 0 24)()(21)(tSajtFtfmmawwwm0 tmwmw2)(wjFa1- 0 - 0 mwmw注意：注意：這種對稱關(guān)系只適用于偶函數(shù)這種對稱關(guān)系只適用于偶函數(shù)。第三章 連續(xù)信號的正交分解47( (七七) )時間微分特性時間微分特性 若若 )()(wjFtf 則則 )()()(wwjFjd

41、ttdftf)()()(wwjFjdttfdnnn含義：含義：信號對時間取導(dǎo)數(shù)，相當(dāng)于在頻域中用因子信號對時間取導(dǎo)數(shù)，相當(dāng)于在頻域中用因子 去乘它的頻譜函數(shù)去乘它的頻譜函數(shù)。 )(wj如正弦穩(wěn)態(tài)分析中如正弦穩(wěn)態(tài)分析中 ccccUCjIdttduCiw)(例例8 8 求非周期鏡像脈沖求非周期鏡像脈沖 的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù) )(tf)(tf1-1解：解： )()()()(wwwjFjjFtftf第三章 連續(xù)信號的正交分解48ttf)( 0 t 0 t www00)()()(dtetdtetjFtjtj22)2(wSa)2(4)2()()(222wwwwwwwSinjSajjFjjF( (八八) )

42、 時間積分性質(zhì)時間積分性質(zhì) 若若 )()(wjFtf 則則 )()0()(1)(wdwwFjFjdft證明：證明：(1)(1) wwdejt1)()(2)(2) (3) (3) edtfdft)()()(wwwdejejt1)()(第三章 連續(xù)信號的正交分解49dtedtfdfFtjtwe)()()(3）由（ewddtetftj)()(wwdwwdjefdefjj)()()(2）由（wwdwwdefjdefjj)(1)()()(1)0()(wwwdjFjF設(shè)設(shè) 0)0(F則則 )(1)(wwjFjdft)(tdfF含義：含義：信號對時間積分，相當(dāng)于在頻域中用因子信號對時間積分，相當(dāng)于在頻域中用

43、因子 去去除它的頻譜函數(shù)除它的頻譜函數(shù)。 )(wj第三章 連續(xù)信號的正交分解50注意積分性質(zhì)的應(yīng)用條件注意積分性質(zhì)的應(yīng)用條件!設(shè)設(shè) ( )( )dg tf tdt 則則 ( )( )( )()ttdgfddg tgd1( )2() ( )(0) ( )()0)gg tgFF jjd wd www 時，又又0( )(0)( )( )( )()j tdg tFf t edtf t dtdtggdtww 故一般可表示為故一般可表示為:1( ) ( )() ( )()g tggF jjd www 1( )(0) (0)()g tFF jgjd wwwt當(dāng)時, f( )d積分性質(zhì)的應(yīng)用條件是原函數(shù)在負(fù)無

44、窮遠(yuǎn)處的函數(shù)值等于零積分性質(zhì)的應(yīng)用條件是原函數(shù)在負(fù)無窮遠(yuǎn)處的函數(shù)值等于零!第三章 連續(xù)信號的正交分解51例例9 9 求三角形脈沖求三角形脈沖 的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù))(tf)(wjF解：解： 1)(td（頻帶無限寬）（頻帶無限寬） )()0()(1)()()(111wdwwwFjFjjFdftft)(tf 0 t 0 t 1)()(1tftf - - 0 t 0 t -1/-1/ )()(2tftf - 0 t (2/(2/) )() 0()(1)()()(22121wdwwwFjFjjFdftft)2(4 1)(22)(1)(22wwwwwSinCoseejFjj2212)2()2(41)(0

45、0wwwwwSajSinjjFF）（221)2()(1)(0)0(wwwwSajFjjFF()0f 1()0f 第三章 連續(xù)信號的正交分解52例例10312( )( )( )( ),dgtdg tdgtf tdtdtdt1()0,g ( )(),2f tSaw(0)1F11()()(0) ( )G jF jFjwwd ww()2( )Sajwd ww21(),2g 2221()()( ) ( )()GjggF jjwd www 21( ),2g ()2Sajww31(),2g 31()2( )()2GjSajwwd ww33( ),2g 第三章 連續(xù)信號的正交分解53312( )( )( )(

46、 )dgtdg tdgtf tdtdtdt( )()2f tSaw2( )0g t dt因為因為 , 所以所以2()2()SaGjjwww121( )( )2g tg t32( )( ) 1g tg t而而,故故12()12()()2( )( )2SaGjGjjwwwd wd ww32()2()()2( )2( )SaGjGjjwwwd wd ww（九）（九）頻域的微分與積分性質(zhì)頻域的微分與積分性質(zhì) 若若 )()(wjFtf 運用積分性質(zhì)從導(dǎo)函數(shù)的頻譜求原函數(shù)的頻譜時運用積分性質(zhì)從導(dǎo)函數(shù)的頻譜求原函數(shù)的頻譜時,原函數(shù)若原函數(shù)若不含直流分量不含直流分量,則其頻譜就不含沖激函數(shù)則其頻譜就不含沖激函

47、數(shù),否則否則,其頻譜等于導(dǎo)函數(shù)其頻譜等于導(dǎo)函數(shù)的頻譜除以因子的頻譜除以因子 后再加上直流分量的頻譜后再加上直流分量的頻譜.)(wj第三章 連續(xù)信號的正交分解54則則 wwdjdFtjtf)()(wddjFttfjtf)()()()0(（十）（十）卷積定理卷積定理 1 1時域卷積定理時域卷積定理 )()()()(2121wwjFjFtftf證明：證明： dtedtfftftfFtjw)()()()(2121（變換積分次序）（變換積分次序） wddtetfftj)()(21wwdejFfj)()(21)()(21wwjFjF第三章 連續(xù)信號的正交分解55例例11 11 求三角形脈沖求三角形脈沖 的

48、頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù) )(tf)(wjF 1 1 f f1 1(t) 1 f(t) 1 f2 2(t)(t)* * = = 0 0 0 0 = = 0 0 - -/2 /2 /2/2 t -/2 /2 t t -/2 /2 t222121)2()()()()()(wwwwSajFjFtftfFjF f f(t(t) )- 0 t- 0 t)2()()(21wwwSajFjF2 2頻域卷積定理頻域卷積定理 )()(21)()(2121wwjFjFtftf第三章 連續(xù)信號的正交分解56作業(yè)：3.11、3.12、 3.14(1)(2)、 3.15(1)(2)(3)、3.17(a)(c)(c)、3.20

49、、3.21 第三章 連續(xù)信號的正交分解57五、常用信號的頻譜函數(shù)五、常用信號的頻譜函數(shù) （一）（一）單位階躍信號的頻譜函數(shù)單位階躍信號的頻譜函數(shù) )()()(wejFttf)(21wdwjtSgn2)( 1/2 1/2 + + 0 0 t 0 t -1/2t 0 t -1/2)(2121)()()(21tSgntftftf)(tf)(1tf)(2tfwwdwwdw1)(1)()(jjjF21)(1)()(0wwdwwdwwjejjF 時，、第三章 連續(xù)信號的正交分解58)(2)(11)(0wwwwwwjjejFejjF時，0,20,2)(,1)(wwwwwjF注意：注意：階躍信號與直流信號所含

50、分量不同，因此它們是階躍信號與直流信號所含分量不同，因此它們是兩種信號，其頻譜函數(shù)也就不同。兩種信號，其頻譜函數(shù)也就不同。 （二）（二）虛指數(shù)信號的頻譜虛指數(shù)信號的頻譜 )()(wwjFetftjc直接求：直接求： ?)(dtedteeeFtjtjtjtjcccwwwww為此考慮：為此考慮： )()(11ctjjjFetfcwwwtjtjcceetftfww1)()(1第三章 連續(xù)信號的正交分解59)(2)(1)(11wdwjFtf)(2)()(1ccjjFjFwwdwww（三）（三） 指數(shù)變幅正弦信號的頻譜指數(shù)變幅正弦信號的頻譜 )()()()(wewajFttSinetfct)()(21)

51、(teejetftjtjtccewwatjttjtccejteejtewawaee2)(2)(waeajtet1)()(1)(121)(ccjjjjFwwawwaw2222224)()(wawwawwccjF2222)(wwaawwcarctg（移頻特性）（移頻特性） （移頻特性）（移頻特性） 第三章 連續(xù)信號的正交分解60（四）（四） 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù) 周期信號：周期信號： ntjnneAtf21)(22)(2TTtjnndtetfTA頻譜函數(shù)：頻譜函數(shù)： 21)()(ntjnneAFtfFjFwntjnneFA21nnnnnAnA)()(22

52、1wdwd表明：表明： 周期信號的頻譜函數(shù)由無窮多個沖激函數(shù)組周期信號的頻譜函數(shù)由無窮多個沖激函數(shù)組成，各個沖激位于各次諧波頻率處；成，各個沖激位于各次諧波頻率處； 各個沖激的強度為各次諧波復(fù)振幅各個沖激的強度為各次諧波復(fù)振幅 的的 倍。倍。 nA第三章 連續(xù)信號的正交分解61求周期信號的頻譜密度函數(shù)求周期信號的頻譜密度函數(shù) 之方法：之方法： )(wjF由由 )()(wjFAtfn如均勻沖激序列如均勻沖激序列nTnTtt)()(ddTdtetTATTtjnn2)(222d其復(fù)數(shù)振幅其復(fù)數(shù)振幅其頻譜密度為其頻譜密度為nTnT)(2)(wdwd-T 0 T t)(tTd0 )(wd234wnn )

53、(wd第三章 連續(xù)信號的正交分解62六、帕色伐爾定理與能量頻譜六、帕色伐爾定理與能量頻譜 （一）（一） 信號的能量信號的能量W W和平均功率和平均功率P P 1.1.信號的能量：信號的能量： 信號信號 在在 電阻上消耗的能量電阻上消耗的能量 )(tf1dttfdtudtiW222)( 2 2信號的平均功率：信號的平均功率： 信號信號 在在 電阻上消耗的平均功率電阻上消耗的平均功率)(tf12222)()(1limtfdttfTPTTT3 3能量信號（能量有限信號）能量信號（能量有限信號） 能量為有限值（能量為有限值（W W有限值，有限值，P=0P=0） 4. 4. 功率信號功率信號 平均功率為有限值（平均功率為