第03章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答

1、第三章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答Theory of Elasticity and Finite Element Method彈性力學(xué)與有限元q 逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答q 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 簡(jiǎn)支梁受均勻分布荷載簡(jiǎn)支梁受均勻分布荷載q 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.1 逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答體力為常量時(shí)體力為常量時(shí)，按應(yīng)力法求解平面問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為按應(yīng)力法求解平面問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)f f ，它在區(qū)域內(nèi)滿(mǎn)足應(yīng)力函數(shù)表示，它在區(qū)域內(nèi)

2、滿(mǎn)足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程的相容方程(2-25)：024422444yyxxfff相容方程：相容方程：(2-25)應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx(2-15)同時(shí)在邊界上滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件同時(shí)在邊界上滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件(2-15)(2-15)：逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答求得應(yīng)力函數(shù)后，由下式求得應(yīng)力函數(shù)后，由下式(2-24)求應(yīng)力分量，然求應(yīng)力分量，然后求應(yīng)變和位移分量。后求應(yīng)變和位移分量。yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff由于相容方程由于相容方程( (2-25) )是偏微分方

3、程，其通解不能是偏微分方程，其通解不能寫(xiě)成有限項(xiàng)數(shù)的形式，一般不能直接求解，只能采寫(xiě)成有限項(xiàng)數(shù)的形式，一般不能直接求解，只能采用逆解法與半逆解法。用逆解法與半逆解法。024422444yyxxfff相容方程：相容方程：(2-25)逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法逆解法：逆解法： (1)先假設(shè)一滿(mǎn)足先假設(shè)一滿(mǎn)足相容方程相容方程( (2-25) )的應(yīng)力函數(shù)的應(yīng)力函數(shù) f f ; ;024422444yyxxfff(2-25) (2)由式由式( (2-24) )，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)，根據(jù)應(yīng)力函數(shù) f f 求得應(yīng)力分量求得應(yīng)力分量; ;yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(2222

4、2fff逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 (3)在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件( (2-15) )或或次要邊界上的積分邊界條件次要邊界上的積分邊界條件, , 分析這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于分析這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么樣的問(wèn)題。解決什么樣的問(wèn)題。（或者根據(jù)已知面力確定應(yīng)力函數(shù)（或者根據(jù)已知面力確定應(yīng)力函數(shù)或應(yīng)力分量表達(dá)式中的待定系數(shù)）或應(yīng)力分量表達(dá)式中的待定系數(shù)） syx

5、yysxyxxmlsfmlsf)()()()(逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 (1) (1)對(duì)于給定的彈性力學(xué)問(wèn)題，根據(jù)彈性體的對(duì)于給定的彈性力學(xué)問(wèn)題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、幾何形狀、受力特征和變形的特點(diǎn)或已知的一些簡(jiǎn)單結(jié)論受力特征和變形的特點(diǎn)或已知的一些簡(jiǎn)單結(jié)論，如材料力學(xué)得，如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論，假設(shè)到的初等結(jié)論，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式；的函數(shù)形式；半逆解法：半逆解法：yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff (2) (2)按式按式(2-24)(2-24)，由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)，由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)f f的一般形式（含待的

6、一般形式（含待定函數(shù)項(xiàng)）；定函數(shù)項(xiàng)）； (3) (3)將應(yīng)力函數(shù)將應(yīng)力函數(shù)f f代入代入相容方程進(jìn)行校核，進(jìn)而求得應(yīng)力函相容方程進(jìn)行校核，進(jìn)而求得應(yīng)力函數(shù)數(shù)f f的具體表達(dá)形式；的具體表達(dá)形式；024422444yyxxfff逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 (5) (5)根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應(yīng)力根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足全部應(yīng)力邊界條件。如果都能滿(mǎn)足，則所得出的分量是否滿(mǎn)足全部應(yīng)力邊界條件。如果都能滿(mǎn)足，則所得出的解就是正確解，否則要重新假設(shè)應(yīng)力分量，重復(fù)上述過(guò)程并進(jìn)解就是正確解，否則要重新假設(shè)應(yīng)力分量，重復(fù)上述過(guò)程并進(jìn)行求解。行求解。

7、(4)(4)將應(yīng)力函數(shù)將應(yīng)力函數(shù)f f代入代入式式(2-24)(2-24)，由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量，由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法逆解法和半逆解法的求解過(guò)程帶有逆解法和半逆解法的求解過(guò)程帶有“試算試算”的性質(zhì)的性質(zhì)，顯然彈性力學(xué)解的唯一性定理是逆解法和半逆解法，顯然彈性力學(xué)解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理論依據(jù)。的理論依據(jù)。逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答下面用逆解法求出幾個(gè)簡(jiǎn)單的平面問(wèn)題（下面用逆解法求出幾個(gè)簡(jiǎn)單的平面問(wèn)題（矩形薄板矩形薄板）的解答。體力不計(jì)，

8、即的解答。體力不計(jì)，即fx= =fy=0=0，應(yīng)力函數(shù)取為多項(xiàng)式。應(yīng)力函數(shù)取為多項(xiàng)式。1 1、取應(yīng)力函數(shù)為一次式：、取應(yīng)力函數(shù)為一次式：f f= =a+ +bx+ +cy顯然，不論各系數(shù)取何值，總能滿(mǎn)足相容方程顯然，不論各系數(shù)取何值，總能滿(mǎn)足相容方程(2-25):(2-25):代入方程代入方程(2-24)(2-24)024422444yyxxfff求得應(yīng)力分量：求得應(yīng)力分量： x= = y = = xy = = 0yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答代入應(yīng)力邊界條件方程代入應(yīng)力邊界條件方程(2

9、-15):(2-15):結(jié)論：結(jié)論：（1 1）線(xiàn)性應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于無(wú)體力、無(wú)面力、無(wú)應(yīng)力的力線(xiàn)性應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于無(wú)體力、無(wú)面力、無(wú)應(yīng)力的力學(xué)狀態(tài)；學(xué)狀態(tài)；（2 2）將平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)，并不影）將平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)，并不影響應(yīng)力分布。響應(yīng)力分布。0yxff不論彈性體形狀如何，也不論坐標(biāo)系如何選擇，均求得不論彈性體形狀如何，也不論坐標(biāo)系如何選擇，均求得面力分量：面力分量：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答2 2、取應(yīng)力函數(shù)為二次式：、取應(yīng)力函數(shù)為二次式：f f= =ax2+ +bxy+ +c

10、y2顯然，不論各系數(shù)取何值，相容方程顯然，不論各系數(shù)取何值，相容方程(2-25)(2-25)總能滿(mǎn)足總能滿(mǎn)足；代入方程代入方程(2-24)(2-24)求得應(yīng)力分量：求得應(yīng)力分量： x= =2c， y = =2a， xy= = yx=-=-b代入應(yīng)力邊界條件方程代入應(yīng)力邊界條件方程(2-15)(2-15)，求得各邊界上面力分布，求得各邊界上面力分布如下：如下： afbfyx2,上邊界：上邊界： 下邊界：下邊界：左邊界：左邊界：右邊界：右邊界：afbfyx2,bfcfyx,2bfcfyx,2逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答因此，二次式能解決矩形板受均勻拉壓力或剪力的問(wèn)題

11、因此，二次式能解決矩形板受均勻拉壓力或剪力的問(wèn)題afbfyx2,上邊界：上邊界：下邊界：下邊界：左邊界：左邊界：右邊界：右邊界：afbfyx2,bfcfyx,2bfcfyx,2逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答3 3、取應(yīng)力函數(shù)為三次式：、取應(yīng)力函數(shù)為三次式：f f= =ay3顯然，不論各系數(shù)取何值，相容方程顯然，不論各系數(shù)取何值，相容方程(2-25)(2-25)總能滿(mǎn)足；總能滿(mǎn)足；代入方程代入方程(2-24)(2-24)求得應(yīng)力分量：求得應(yīng)力分量： x= = 6ay ， y = =0 ， xy= = yx= = 0代入應(yīng)力邊界條件方程代入應(yīng)力邊界條件方程(2-15)

12、(2-15)，求得各邊界上面力分，求得各邊界上面力分布如下：布如下：0, 0yxff上邊界：上邊界： 下邊界：下邊界：左邊界：左邊界：右邊界：右邊界：0, 0yxff0,6yxfayf0,6yxfayf逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答結(jié)論：結(jié)論：（1 1）上下邊界）上下邊界無(wú)面力；無(wú)面力；（2 2）左右邊界為線(xiàn)性水平面力，并能合成為一個(gè)力偶，）左右邊界為線(xiàn)性水平面力，并能合成為一個(gè)力偶，因而能解決矩形梁受純彎曲的問(wèn)題。因而能解決矩形梁受純彎曲的問(wèn)題。0, 0yxff上邊界：上邊界： 下邊界：下邊界：左邊界：左邊界：右邊界：右邊界：0, 0yxff0,6yxfayf0

13、,6yxfayf逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答逆解法解平面問(wèn)題及其多項(xiàng)式解答4 4、如果應(yīng)力函數(shù)取四次或四次以上的多項(xiàng)式，、如果應(yīng)力函數(shù)取四次或四次以上的多項(xiàng)式，則其中的系數(shù)必須滿(mǎn)足一定的條件，才能滿(mǎn)足則其中的系數(shù)必須滿(mǎn)足一定的條件，才能滿(mǎn)足相容方程。相容方程。( (例如：當(dāng)應(yīng)力函數(shù)取四次多項(xiàng)式例如：當(dāng)應(yīng)力函數(shù)取四次多項(xiàng)式ax4 + bx3y + cx2y2 + dxy3 + ey4，求此條件）求此條件）例題例題例例1 1：已知函數(shù)已知函數(shù)f f= =a(x4 -y4)，試檢查它能否作為應(yīng)力函試檢查它能否作為應(yīng)力函數(shù)？若能，試求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），并求出如數(shù)？若能，試求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力

14、），并求出如圖所示矩形薄板邊界上的面力。圖所示矩形薄板邊界上的面力。例題例題解：按逆解法解：按逆解法 1 1、將、將f f=a(x4-y4)代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。因代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。因此，它有可能作為應(yīng)力函數(shù)。此，它有可能作為應(yīng)力函數(shù)。2 2、將、將f f代入式（代入式（2 22424），得出應(yīng)力分量：），得出應(yīng)力分量：0),(12),(12),(2222222yxyxaxyfxyxayxfyyxxyyyxxfff例題例題0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF3 3、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊

15、界上的面力：在主要邊界上：在主要邊界上：在在次要邊界上：次要邊界上：0122222hyxyhyyfaxfhy)(,)(,xy0)(,12)(,2222lxxyylxxxfayflx例題例題0)(,12)(,2222lxxyylxxxfayflx0, 0,2222322hhxhhyShhxNydyfMdyfFahdyfF例題例題例例2 2：習(xí)題：習(xí)題3 33 3(Lh)例題例題解：按逆解法解：按逆解法 1 1、將、將f f代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。因此，它代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。因此，它有可能成為該問(wèn)題的解。有可能成為該問(wèn)題的解。2 2、將、將f f代入式（代入式（2 22424），得

16、出應(yīng)力分量：），得出應(yīng)力分量：)41 (23),(0),(12),(22222322hyhFyxyxyfxyxhFxyxfyyxxyyyxxfff例題例題3 3、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：、由邊界形狀和應(yīng)力分量反推出邊界上的面力：0, 0,2xyyhy在主要邊界上：在主要邊界上：因此，在因此，在y = = h/2的邊界面上，無(wú)任何面力作用，即的邊界面上，無(wú)任何面力作用，即0, 0yxff在在x=0=0，l的次要邊界上：的次要邊界上：)41 (23)(, 0)(, 02200hyhFffxxxyyxxx)41 (23)(,12)(,223hyhFfyhFlflxlxxyylxxx)

17、41 (23, 0,12223hyhFhFxyxyyx例題例題各邊界面上的面力分布如圖所示：各邊界面上的面力分布如圖所示：在在x=0,=0,l的次要邊界上，其主矢量和主矩如下：的次要邊界上，其主矢量和主矩如下：因此上述應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在左端受集中力因此上述應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在左端受集中力F作用的問(wèn)題作用的問(wèn)題)41 (23,12,)41 (23, 0, 00, 0,222322hyhFfyhFlflxhyhFffxffhyyxyxyx例題例題例例3 3：習(xí)題：習(xí)題3 35 5例題例題解：解：例題例題例題例題例題例題例題例題q逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答q 矩形

18、梁的純彎曲矩形梁的純彎曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 簡(jiǎn)支梁受均勻分布荷載簡(jiǎn)支梁受均勻分布荷載q 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.2 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲_逆解法逆解法問(wèn)題：?jiǎn)栴}：矩形截面長(zhǎng)梁（長(zhǎng)度矩形截面長(zhǎng)梁（長(zhǎng)度 l 遠(yuǎn)大于深度遠(yuǎn)大于深度 h），），寬度遠(yuǎn)寬度遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度（近似于平面應(yīng)力問(wèn)題），或者遠(yuǎn)大于深小于深度和長(zhǎng)度（近似于平面應(yīng)力問(wèn)題），或者遠(yuǎn)大于深度和長(zhǎng)度（近似于平面應(yīng)變問(wèn)題），兩端受相反的力偶作度和長(zhǎng)度（近似于平面應(yīng)變問(wèn)題），兩端受相反的力偶作用而彎曲，體力不計(jì)。（設(shè)梁寬為單位寬度用而彎曲，體力不計(jì)。（設(shè)梁寬為單位寬度1，每單位寬

19、，每單位寬度上力偶的矩為度上力偶的矩為M）矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲結(jié)論：結(jié)論：（1 1）上下邊界）上下邊界無(wú)面力；無(wú)面力；（2 2）左右邊界為線(xiàn)性水平面力，并能合成為一個(gè)）左右邊界為線(xiàn)性水平面力，并能合成為一個(gè)力偶，因而能解決矩形梁受純彎曲的問(wèn)題。力偶，因而能解決矩形梁受純彎曲的問(wèn)題。0, 0yxff上邊界：上邊界：下邊界：下邊界：左邊界：左邊界：右邊界：右邊界：0, 0yxff0,6yxfayf0,6yxfayf當(dāng)應(yīng)力函數(shù)為三次式：當(dāng)應(yīng)力函數(shù)為三次式：f f= =ay3矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲解：逆解法解：逆解法求得應(yīng)力分量：求得應(yīng)力分量： x= = 6ay ， y = =0 ， x

20、y= = yx= = 0024422444yyxxfffyxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff(1)假定應(yīng)力函數(shù)：假定應(yīng)力函數(shù)：由上一節(jié)可知，當(dāng)滿(mǎn)足相容方程由上一節(jié)可知，當(dāng)滿(mǎn)足相容方程(2-25)(2-25)的應(yīng)力函數(shù)為三次式的應(yīng)力函數(shù)為三次式 f f= =ay3 時(shí)，時(shí)，能解決矩形梁受能解決矩形梁受純彎曲的問(wèn)題。純彎曲的問(wèn)題。(2)求應(yīng)力分量：求應(yīng)力分量：代入方程代入方程(2-24)(2-24)矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲(3)考察應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足邊界條件？若要滿(mǎn)足，系數(shù)考察應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足邊界條件？若要滿(mǎn)足，系數(shù)a如何取值？如何取值？上下兩邊界：上下

21、兩邊界：沒(méi)有面力作用，代入應(yīng)力邊界條件沒(méi)有面力作用，代入應(yīng)力邊界條件(2-15)(2-15)，得上下邊界處，得上下邊界處 y = =0 ， xy= = yx= = 0。由于梁內(nèi)應(yīng)力分量分布為由于梁內(nèi)應(yīng)力分量分布為 x= = 6ay ， y = =0 ， xy= = yx= = 0，顯然上述條件成立。顯然上述條件成立。矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲左右兩邊界：左右兩邊界：(a): :沒(méi)有切向面力作用，代入應(yīng)力邊界沒(méi)有切向面力作用，代入應(yīng)力邊界條件條件(2-15)(2-15)，得，得 xy= = 0，這也能滿(mǎn)足。這也能滿(mǎn)足。因?yàn)樗懈鼽c(diǎn)均有上述條件成立。因?yàn)樗懈鼽c(diǎn)均有上述條件成立。(b): :應(yīng)用

22、圣維南原理，由主應(yīng)力合成的應(yīng)用圣維南原理，由主應(yīng)力合成的主矢量為主矢量為0 0，合成的主矩等于面力的力，合成的主矩等于面力的力偶矩偶矩M，即有，即有Mydydyhhlxxhhlxx22,022,0)(,0)(將應(yīng)力分量代入，可得將應(yīng)力分量代入，可得32hMa 從而有從而有0,123xyxyyxyIMyhM x= =6ay , y= =0, xy= =0矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲與材料力學(xué)中解答完全相同，與材料力學(xué)中解答完全相同，即各纖維只受按直線(xiàn)分布的彎應(yīng)即各纖維只受按直線(xiàn)分布的彎應(yīng)力。如左圖所示力。如左圖所示組成力偶的面力必須按左圖所組成力偶的面力必須按左圖所示的直線(xiàn)分布，解答示的直線(xiàn)分布

23、，解答(3-1)才是完才是完全精確的；否則會(huì)有誤差。但是全精確的；否則會(huì)有誤差。但是根據(jù)圣維南原理，只在兩端附近根據(jù)圣維南原理，只在兩端附近有顯著誤差，而離開(kāi)兩端較遠(yuǎn)處有顯著誤差，而離開(kāi)兩端較遠(yuǎn)處，誤差可以不計(jì)。，誤差可以不計(jì)。0,123xyyxyIMyhM例題例題例例2 2：習(xí)題：習(xí)題3 37 7解：按逆解法解：按逆解法 1 1、將、將f f代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。代入相容方程，可知其是滿(mǎn)足的。2 2、將、將f f代入式（代入式（2 22424），得出應(yīng)力分量：），得出應(yīng)力分量：)3(),(0),(662),(222222DyAyxyxyfxyxDxyCyBxfyyxxyyyxxfff

24、例題例題3 3、考察邊界條件、考察邊界條件0)(, 0)(22hyxyhyy在主要邊界上，應(yīng)精確滿(mǎn)足式（在主要邊界上，應(yīng)精確滿(mǎn)足式（2 21515）：）：第一式自然滿(mǎn)足，由第二式有第一式自然滿(mǎn)足，由第二式有：043)(22DhAhyxy（a）)3(06622DyADxyCyBxyyx)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx例題例題在在次要邊界次要邊界x=0=0上上，只給出了面力的主失量和主矩，只給出了面力的主失量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分邊界條件代替：應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分邊界條件代替：由此得由此得：ShhxxyhhxxNhhxxFdyMydyFdy2/2/02/2/0

25、2/2/01)(1)(1)(SNFDhAhhMChFB334122（b）)3(6622DyADxyCyBxyx例題例題結(jié)合（結(jié)合（a a）、（）、（b b）求解：求解：代入應(yīng)力分量，得代入應(yīng)力分量，得：SFDhAhDhA32410433223hFDhFASS)41 (23)623(01212222333yhhFyhFhFxyhFyhMhFSSSxyySNx推論推論如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程和相容方程已如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程和相容方程已經(jīng)滿(mǎn)足，且除了最后一個(gè)小邊界外，其余的應(yīng)經(jīng)滿(mǎn)足，且除了最后一個(gè)小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿(mǎn)足。則可以推論出，最力邊界條件也都分別滿(mǎn)足。則可以推論出，最后

26、一個(gè)小邊界上的三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件（即后一個(gè)小邊界上的三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件（即主失量和主矩條件）必然是滿(mǎn)足的。主失量和主矩條件）必然是滿(mǎn)足的。q 逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答q 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 簡(jiǎn)支梁受均勻分布荷載簡(jiǎn)支梁受均勻分布荷載q 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.3 位移分量的求解位移分量的求解本節(jié)所解決的問(wèn)題：按應(yīng)力求解時(shí)，如果已求出應(yīng)本節(jié)所解決的問(wèn)題：按應(yīng)力求解時(shí)，如果已求出應(yīng)力分量，如何求對(duì)應(yīng)的位移分量？力分量，如何求對(duì)應(yīng)的位移分量？ 以矩形梁的純彎曲為例，由應(yīng)力分量求解位移

27、分量以矩形梁的純彎曲為例，由應(yīng)力分量求解位移分量1、假定考慮平面應(yīng)力問(wèn)題、假定考慮平面應(yīng)力問(wèn)題。首先將上節(jié)所求應(yīng)力分。首先將上節(jié)所求應(yīng)力分量代入物理方程量代入物理方程(2-12)xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(10 xyyxyEIMyEIM0 xyyxyIM位移分量的求解位移分量的求解2 2、將應(yīng)變分量代入平面問(wèn)題的幾何方程、將應(yīng)變分量代入平面問(wèn)題的幾何方程(2-8)(2-8)：0,xyyxyuxvyEIMyvyEIMxu前兩式分別積分，可得前兩式分別積分，可得)(2, )(221xfyEIMvyfxyEIMu代入第三式，并整理可得代入第三式，并整理可得xEIMdxxdfdyydf

28、)()(21位移分量的求解位移分量的求解等式左右兩邊分別為等式左右兩邊分別為 y 和和 x 的函數(shù)，要想對(duì)于所有的的函數(shù)，要想對(duì)于所有的 y 和和 x 均成立，只可能兩邊都等于同一常數(shù)均成立，只可能兩邊都等于同一常數(shù)w w：xEIMdxxdfdyydf)()(21wxEIMdxxdfdyydf)()(21分別積分，可得分別積分，可得022012)(,)(wwxxEIMxfuyyf位移分量的求解位移分量的求解代入位移分量公式，并整理可得代入位移分量公式，并整理可得其中表示剛體位移量的常數(shù)其中表示剛體位移量的常數(shù)u0 ， 0 和和 w w ，須由約束條，須由約束條件確定。件確定。022022wwx

29、xEIMyEIMvuyxyEIMu(d)位移分量的求解位移分量的求解對(duì)于同一個(gè)截面，對(duì)于同一個(gè)截面， x 為常量，因此上式也是常量。于為常量，因此上式也是常量。于是可見(jiàn)，同一截面上的各垂直線(xiàn)段的轉(zhuǎn)角相等，即截是可見(jiàn)，同一截面上的各垂直線(xiàn)段的轉(zhuǎn)角相等，即截面仍然保持為平面。面仍然保持為平面。由位移分量的公式，可知不論約束條件如何，可求由位移分量的公式，可知不論約束條件如何，可求得得垂直線(xiàn)段的轉(zhuǎn)角垂直線(xiàn)段的轉(zhuǎn)角為為由位移分量第二式，可知不論約束條件如何，可求由位移分量第二式，可知不論約束條件如何，可求得得梁的各縱向纖維的曲率梁的各縱向纖維的曲率是是就是材料力學(xué)中求梁的撓度時(shí)所用的基本公式。就是材料

30、力學(xué)中求梁的撓度時(shí)所用的基本公式。wxEIMyu0uyxyEIMuwEIMx22102222wxxEIMyEIMv幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移4 4、由切應(yīng)變的定義，可得出線(xiàn)段由切應(yīng)變的定義，可得出線(xiàn)段PAPA和和PBPB之間的直角的改變量（之間的直角的改變量（即切即切應(yīng)變應(yīng)變）由兩部分組成，一部分由）由兩部分組成，一部分由y方方向的位移向的位移v引起，即引起，即x方向的線(xiàn)段方向的線(xiàn)段PAPA的轉(zhuǎn)角；另一部分由的轉(zhuǎn)角；另一部分由x方向的位移方向的位移u引起，即引起，即y方向的線(xiàn)段方向的線(xiàn)段PBPB的轉(zhuǎn)角，由的轉(zhuǎn)角，由此此xvdxvdxxvvtanyudyudyyuutan位移分量的求解

31、位移分量的求解分兩種約束情況討論：分兩種約束情況討論：簡(jiǎn)支梁和懸臂梁簡(jiǎn)支梁和懸臂梁。下面根據(jù)約束條件來(lái)確定位移分量中的剛體位移下面根據(jù)約束條件來(lái)確定位移分量中的剛體位移常數(shù)常數(shù)u0 ， 0 和和w w 。位移分量的求解位移分量的求解1、簡(jiǎn)支梁的約束條件為、簡(jiǎn)支梁的約束條件為:0)(,0)(, 0)(0,0, 00, 0ylxyxyxu將位移分量代入上述約束條件，可求出三個(gè)常數(shù)，代回得將位移分量代入上述約束條件，可求出三個(gè)常數(shù)，代回得22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu(3-3)022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu位移分量的求解位移分量的求解2、懸臂梁、懸臂梁其

32、左端自由，右端完全固定。在梁的右端，對(duì)于任其左端自由，右端完全固定。在梁的右端，對(duì)于任何何 y 值要求兩個(gè)位移均為值要求兩個(gè)位移均為0。在多項(xiàng)式解答中，此條件。在多項(xiàng)式解答中，此條件是無(wú)法滿(mǎn)足的。實(shí)際工程上，這種完全固定的約束條件是無(wú)法滿(mǎn)足的。實(shí)際工程上，這種完全固定的約束條件也是不大可能實(shí)現(xiàn)的。為此，與材料力學(xué)中一樣，也是不大可能實(shí)現(xiàn)的。為此，與材料力學(xué)中一樣，假設(shè)假設(shè)右端截面的中點(diǎn)不移動(dòng)，該點(diǎn)的水平線(xiàn)段不轉(zhuǎn)動(dòng)右端截面的中點(diǎn)不移動(dòng)，該點(diǎn)的水平線(xiàn)段不轉(zhuǎn)動(dòng)。022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu位移分量的求解位移分量的求解根據(jù)上述分析，對(duì)于根據(jù)上述分析，對(duì)于懸臂梁懸臂梁，其約束條件

33、為，其約束條件為0)(, 0)(, 0)(0,0,0,ylxylxylxxu222)(2,)(yEIMxlEIMvyxlEIMu(3-4)可求出三個(gè)常數(shù)，代回可得可求出三個(gè)常數(shù)，代回可得0, 02, 0020wwlEIMllEIMu將位移分量代入上述約束條件將位移分量代入上述約束條件022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu位移分量的求解位移分量的求解以上是以平面應(yīng)力問(wèn)題為例推導(dǎo)了相應(yīng)的應(yīng)變分量以上是以平面應(yīng)力問(wèn)題為例推導(dǎo)了相應(yīng)的應(yīng)變分量和位移分量解。對(duì)于和位移分量解。對(duì)于平面應(yīng)變情況下的梁平面應(yīng)變情況下的梁( (梁梁寬度遠(yuǎn)大寬度遠(yuǎn)大于深度和長(zhǎng)度）于深度和長(zhǎng)度），須在以上的應(yīng)變分量和

34、位移分量的，須在以上的應(yīng)變分量和位移分量的公式中，將公式中，將 E 和和 作如下替換，即可求解。作如下替換，即可求解。112EE位移分量的求解位移分量的求解小結(jié)：小結(jié)：1 1、對(duì)于純彎曲梁?jiǎn)栴}，彈性力學(xué)與材料力學(xué)解、對(duì)于純彎曲梁?jiǎn)栴}，彈性力學(xué)與材料力學(xué)解答在應(yīng)力、應(yīng)變等方面是一致的。答在應(yīng)力、應(yīng)變等方面是一致的。2 2、以后凡是由應(yīng)力分量求位移分量的過(guò)程，均、以后凡是由應(yīng)力分量求位移分量的過(guò)程，均可以參照上述步驟進(jìn)行求解?？梢詤⒄丈鲜霾襟E進(jìn)行求解。小結(jié)小結(jié)按逆解法求解平面問(wèn)題的一般步驟：按逆解法求解平面問(wèn)題的一般步驟：(1)假定應(yīng)力函數(shù)，并檢核是否滿(mǎn)足相容方程假定應(yīng)力函數(shù)，并檢核是否滿(mǎn)足相容方

35、程(2-25)(2-25)：(2) 代入方程代入方程(2-24)(2-24)，求應(yīng)力分量：，求應(yīng)力分量：024422444yyxxfffyxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222fff(3)考察應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足邊界條件，據(jù)此求出其中考察應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足邊界條件，據(jù)此求出其中的待定系數(shù)。的待定系數(shù)。小結(jié)小結(jié)xyxyxyyyxxEEE)1 ( 2),(1),(1(4)將所求應(yīng)力分量代入物理方程，可求得應(yīng)變分量；將所求應(yīng)力分量代入物理方程，可求得應(yīng)變分量；(5)將所求應(yīng)變分量代入平面問(wèn)題的幾何方程將所求應(yīng)變分量代入平面問(wèn)題的幾何方程(2-8)(2-8) ，通過(guò)積分求位移

36、分量，其中會(huì)引入表示剛體位移的通過(guò)積分求位移分量，其中會(huì)引入表示剛體位移的三個(gè)待定常數(shù)三個(gè)待定常數(shù)u0 ，v0 和和 w 。根據(jù)邊界上約束位移邊界根據(jù)邊界上約束位移邊界條件確定這三個(gè)待定常數(shù)。條件確定這三個(gè)待定常數(shù)。xyyxyuxvyvxu,課后作業(yè)課后作業(yè)作業(yè)：習(xí)題作業(yè)：習(xí)題3 36 6q 逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答q 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 簡(jiǎn)支梁受均勻分布荷載簡(jiǎn)支梁受均勻分布荷載q 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.4 簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載問(wèn)題：?jiǎn)栴}：矩形截面簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)度為矩形

37、截面簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)度為 2l ，深度為深度為 h，寬度寬度遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度（典型的平面應(yīng)力問(wèn)題），受均布荷載遠(yuǎn)小于深度和長(zhǎng)度（典型的平面應(yīng)力問(wèn)題），受均布荷載 q ，由兩端的反力，由兩端的反力ql 維持平衡。（設(shè)梁寬為單位寬度維持平衡。（設(shè)梁寬為單位寬度1 1）簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載解：按半逆解法的步驟進(jìn)行求解。解：按半逆解法的步驟進(jìn)行求解。(1)(1)假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式；假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式；)(2)(2)(222xlqxlqxlqlMx)()()(3212yfyxfyfxx所以可假設(shè)所以可假設(shè)qxxlqqlQxy)()()(21yfyxfxy所以可假設(shè)所以可假設(shè)由材料力學(xué)可知，

38、彎應(yīng)力由材料力學(xué)可知，彎應(yīng)力 x 主要由彎矩引起的，即主要由彎矩引起的，即由材料力學(xué)可知，切應(yīng)力由材料力學(xué)可知，切應(yīng)力 xy 主要由剪力引起的主要由剪力引起的，即即簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載由于由于q 不隨不隨 x 變化，因此可假定應(yīng)力變化，因此可假定應(yīng)力 y 也不隨也不隨 x 變化，即應(yīng)力變化，即應(yīng)力 y 只是只是 y 的函數(shù)：的函數(shù)： y = f(y)。教材中正是采用了第三種假設(shè)。教材中正是采用了第三種假設(shè)。由材料力學(xué)可知，擠壓應(yīng)力由材料力學(xué)可知，擠壓應(yīng)力 y 主要由直接荷載主要由直接荷載 q 引引起的，即起的，即qy簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載(2)(2)由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)的一

39、般形式由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)的一般形式)(),(22yfxyxyf對(duì)對(duì) x 積分可得積分可得)()()(2),(212yfyxfyfxyxf其中有三個(gè)關(guān)于其中有三個(gè)關(guān)于 y 的待定函數(shù)。的待定函數(shù)。將應(yīng)力分量代入方程將應(yīng)力分量代入方程(2-24)(2-24)，在無(wú)體力情況下，有，在無(wú)體力情況下，有簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載(3)(3)由相容方程求應(yīng)力函數(shù)；由相容方程求應(yīng)力函數(shù)；0)(2)()()(2122424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd上述二次方程對(duì)所有上述二次方程對(duì)所有 x 均應(yīng)滿(mǎn)足，故其系數(shù)和自由項(xiàng)均應(yīng)滿(mǎn)足，故其系數(shù)和自由項(xiàng)均必須為均必須為0 00)(2)(

40、,0)(,0)(2242441444dyyfddyyfddyyfddyyfd 將上步所得將上步所得應(yīng)力函數(shù)的一般形式應(yīng)力函數(shù)的一般形式代入無(wú)體力情況下代入無(wú)體力情況下的相容方程，整理后有的相容方程，整理后有簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載0)(2)(,0)(,0)(2242441444dyyfddyyfddyyfddyyfd由上述三個(gè)方程可求得三個(gè)待定函數(shù)的一般形式：由上述三個(gè)方程可求得三個(gè)待定函數(shù)的一般形式：2345223123610)()()(KyHyyByAyfGyFyEyyfDCyByAyyf根據(jù)第一節(jié)內(nèi)容，應(yīng)力函數(shù)中的一次式不影響應(yīng)力分布，根據(jù)第一節(jié)內(nèi)容，應(yīng)力函數(shù)中的一次式不影響應(yīng)力

41、分布，故上述各式中與應(yīng)力分布無(wú)關(guān)的一次式均已忽略。故上述各式中與應(yīng)力分布無(wú)關(guān)的一次式均已忽略。)()()(2),(212yfyxfyfxyxf簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載(4)(4)由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量校核應(yīng)力分量：校核應(yīng)力分量：代入平衡微分方程和相容方程，可知上述應(yīng)力分量代入平衡微分方程和相容方程，可知上述應(yīng)力分量是滿(mǎn)足平衡微分方程和相容方程的。其中的是滿(mǎn)足平衡微分方程和相容方程的。其中的9 9個(gè)待定常個(gè)待定常數(shù)由邊界條件來(lái)確定。數(shù)由邊界條件來(lái)確定。)23()23(2622)26()26(22223232GFyEyCByAyxDCyByAyKHyByAyFEyxBAy

42、xxyyx將應(yīng)力函數(shù)將應(yīng)力函數(shù) f f 代入式代入式(2-24)(2-24)，可得應(yīng)力分量：，可得應(yīng)力分量：簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載在這個(gè)問(wèn)題中，在這個(gè)問(wèn)題中，y 軸是對(duì)稱(chēng)軸，應(yīng)力函數(shù)軸是對(duì)稱(chēng)軸，應(yīng)力函數(shù) f f 應(yīng)為應(yīng)為 x 的的偶函數(shù)偶函數(shù)（ x 和和 y 應(yīng)為應(yīng)為 x 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， xy 是是 x 的奇函數(shù)的奇函數(shù)）如果不考慮對(duì)稱(chēng)性條件，在考慮了所有的邊界的邊界條如果不考慮對(duì)稱(chēng)性條件，在考慮了所有的邊界的邊界條件后，也可以得到相同的結(jié)果，但計(jì)算量會(huì)增加許多。件后，也可以得到相同的結(jié)果，但計(jì)算量會(huì)增加許多。對(duì)于任何問(wèn)題，凡是具有對(duì)稱(chēng)性（或反對(duì)稱(chēng)性）的，宜對(duì)于任何問(wèn)題，凡是具

43、有對(duì)稱(chēng)性（或反對(duì)稱(chēng)性）的，宜先考慮對(duì)稱(chēng)性條件，可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解，減少計(jì)算量。先考慮對(duì)稱(chēng)性條件，可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解，減少計(jì)算量。得到：得到：E=F=G=0 )()()(2),(212yfyxfyfxyxf由由簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載(5)(5)考察邊界條件考察邊界條件將應(yīng)力分量在相應(yīng)邊界處的值代入上述條件，可計(jì)算出將應(yīng)力分量在相應(yīng)邊界處的值代入上述條件，可計(jì)算出4 4個(gè)待定常數(shù)個(gè)待定常數(shù): :0)(,)(, 0)(222hyxyhyyhyyq223023qDhqCBhqA首先考察上下兩邊的主要邊界條件：首先考察上下兩邊的主要邊界條件：0)43(0)43(02480248222323Ch

44、BAhxChBAhxDChBhAhDChBhAh簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載由于在左右邊界上均沒(méi)有水平面力，這就要求當(dāng)由由于在左右邊界上均沒(méi)有水平面力，這就要求當(dāng)由 x=l 時(shí)，對(duì)于任何時(shí)，對(duì)于任何 y 值，均有值，均有 x = 0 。由。由(i)式知，這式知，這是不可能的，除非式中的是不可能的，除非式中的 q=H=K=0 。為此，應(yīng)用圣維為此，應(yīng)用圣維南原理，只能要求此部分邊界上合成的主矢量和主矩為南原理，只能要求此部分邊界上合成的主矢量和主矩為0。對(duì)于右邊界，有。對(duì)于右邊界，有:hqhqlHK10, 032其次考察左右兩邊的次要邊界條件其次考察左右兩邊的次要邊界條件qldyydydyh

45、hlxxyhhlxxhhlxx222222)(,0)(, 0)(將將( (i) )式代入，可得式代入，可得簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載將單位寬度截面梁的慣性矩將單位寬度截面梁的慣性矩I、靜矩靜矩S、彎矩彎矩M和剪力和剪力FS的的表達(dá)式代入上式可得：表達(dá)式代入上式可得：綜上所述，將各待定常數(shù)代入，可得應(yīng)力分量的最終解綜上所述，將各待定常數(shù)代入，可得應(yīng)力分量的最終解答為：答為：)4(6)21)(1 (2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyxISFhyhyqhyhyqyIMsxyyx222)21)(1(2)534(3-6)簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷

46、載 1 1、對(duì)于對(duì)于lh的長(zhǎng)梁的長(zhǎng)梁， y 與與 h 同階，同階，x 與與 l 同階。因此同階。因此應(yīng)力解答中有三種數(shù)量級(jí)，分別為應(yīng)力解答中有三種數(shù)量級(jí)，分別為 q(l/h)2、 q(l/h) 、 q。2 2、彎應(yīng)力彎應(yīng)力 x的第一項(xiàng)與的第一項(xiàng)與q(l/h)2同階大小，為主要應(yīng)力；同階大小，為主要應(yīng)力； 3 3、切應(yīng)力切應(yīng)力 xy與與q(l/h)同階大小，為次要應(yīng)力；同階大小，為次要應(yīng)力；4 4、擠壓應(yīng)力擠壓應(yīng)力 y及彎應(yīng)力及彎應(yīng)力 x的第二項(xiàng)均與的第二項(xiàng)均與q同階大小，為同階大小，為更次要應(yīng)力。更次要應(yīng)力。應(yīng)力分布特點(diǎn)應(yīng)力分布特點(diǎn))4(6)21)(1 (2)534()(6223222223y

47、hxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載 1 1、彎應(yīng)力彎應(yīng)力 x的第一項(xiàng)為主要應(yīng)力，并的第一項(xiàng)為主要應(yīng)力，并且與材料力學(xué)解答相同，而第二項(xiàng)正是且與材料力學(xué)解答相同，而第二項(xiàng)正是彈性力學(xué)才有的修正項(xiàng)，它只與彈性力學(xué)才有的修正項(xiàng)，它只與q同階大同階大?。恍?；2 2、切應(yīng)力切應(yīng)力 xy為次要應(yīng)力，也與材料力為次要應(yīng)力，也與材料力學(xué)解答完全相同；學(xué)解答完全相同；3 3、擠壓應(yīng)力擠壓應(yīng)力 y在材料力學(xué)中一般不考在材料力學(xué)中一般不考慮，它只與慮，它只與q同階大小。同階大小。4 4、兩者的區(qū)別中主要反映在最小的量?jī)烧叩膮^(qū)別中主要反映在最小的量級(jí)上。級(jí)上。比較彈性力學(xué)與

48、材料力學(xué)對(duì)該問(wèn)題的解答比較彈性力學(xué)與材料力學(xué)對(duì)該問(wèn)題的解答ISFhyhyqhyhyqyIMsxyyx222)21)(1 (2)534(ISFyIMsxyyx簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載 （1 1）彈性力學(xué)解法中，嚴(yán)格地考慮并滿(mǎn)足區(qū)域內(nèi)的平衡微分方彈性力學(xué)解法中，嚴(yán)格地考慮并滿(mǎn)足區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程、物理方程及邊界上的全部邊界條件（小邊界上應(yīng)用程、幾何方程、物理方程及邊界上的全部邊界條件（小邊界上應(yīng)用圣維南近似），因此解答是較精確的。圣維南近似），因此解答是較精確的。（2 2）材料力學(xué)解法中，許多方面作了近似處理，只能得出近似材料力學(xué)解法中，許多方面作了近似處理，只能得出近似的解答

49、。例如平面截面假設(shè)導(dǎo)出位移、應(yīng)變和應(yīng)力沿橫向均為直線(xiàn)的解答。例如平面截面假設(shè)導(dǎo)出位移、應(yīng)變和應(yīng)力沿橫向均為直線(xiàn)分布；在平衡條件中，忽略了擠壓應(yīng)力分布；在平衡條件中，忽略了擠壓應(yīng)力 y的作用，并且考慮的是有的作用，并且考慮的是有限部分物體的平衡，而不是微分單元體的平衡；在主要邊界上，沒(méi)限部分物體的平衡，而不是微分單元體的平衡；在主要邊界上，沒(méi)有嚴(yán)格考慮應(yīng)力邊界條件。有嚴(yán)格考慮應(yīng)力邊界條件。（3 3）兩者的區(qū)別中主要反映在最小的量級(jí)上，故材料力學(xué)的解兩者的區(qū)別中主要反映在最小的量級(jí)上，故材料力學(xué)的解答盡管近似，但對(duì)桿件是足夠精確的（此時(shí)答盡管近似，但對(duì)桿件是足夠精確的（此時(shí)lh ），否則不能用），

50、否則不能用材料力學(xué)的解法來(lái)求解。材料力學(xué)的解法來(lái)求解。比較彈性力學(xué)與材料力學(xué)在解法上的區(qū)別比較彈性力學(xué)與材料力學(xué)在解法上的區(qū)別課后作業(yè)課后作業(yè)作業(yè)：習(xí)題作業(yè)：習(xí)題311q 逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答逆解法與半逆解法、多項(xiàng)式解答q 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 簡(jiǎn)支梁受均勻分布荷載簡(jiǎn)支梁受均勻分布荷載q 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.5 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力問(wèn)題：?jiǎn)栴}：如圖，無(wú)限長(zhǎng)的楔形體受重力和液體壓力，試求應(yīng)如圖，無(wú)限長(zhǎng)的楔形體受重力和液體壓力，試求應(yīng)力分量。力分量。楔形體受重力和液體壓力楔形體受重

51、力和液體壓力解：按半逆解法的步驟進(jìn)行求解。解：按半逆解法的步驟進(jìn)行求解。( (1) )首先從量綱分析入手，來(lái)假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式首先從量綱分析入手，來(lái)假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式 楔形體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力由重力和液體壓力所引楔形體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力由重力和液體壓力所引起，兩部分應(yīng)力分別與起，兩部分應(yīng)力分別與 1g 和和 2g 成正比，而應(yīng)力量成正比，而應(yīng)力量綱（綱（L-1MT-2）只比）只比 1g 和和 2g 的量綱（的量綱（L-2MT-2）高一次冪的長(zhǎng)度量綱，因此應(yīng)力只能是高一次冪的長(zhǎng)度量綱，因此應(yīng)力只能是 1g 和和 2g 與與 x 和和 y 的一次式相乘，亦即應(yīng)力中只能包的一次式相乘，亦即應(yīng)力中只能

52、包含含 x 和和 y 的的純一次式純一次式。楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力( (2) )由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)的一般形式；由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)的一般形式；3223),(dycxyybxaxyxf（3）校核應(yīng)力函數(shù)）校核應(yīng)力函數(shù)此純?nèi)味囗?xiàng)式自然滿(mǎn)足相容方程此純?nèi)味囗?xiàng)式自然滿(mǎn)足相容方程 由方程由方程(2-24)(2-24)可知，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)比應(yīng)力的長(zhǎng)度量綱提可知，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)比應(yīng)力的長(zhǎng)度量綱提高二次冪，所以應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為高二次冪，所以應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為 x 和和 y 的純?nèi)问?，而的純?nèi)问?，而純?nèi)味囗?xiàng)式只有四項(xiàng)，即純?nèi)味囗?xiàng)式只有四項(xiàng)，即楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力(4)由應(yīng)力

53、函數(shù)求應(yīng)力分量由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量cybxyxgybyaxyfxdycxxfyxyyyxx222662212222fff將應(yīng)力函數(shù)將應(yīng)力函數(shù) f f 代入式代入式(2-24)(2-24)，可得應(yīng)力分量：，可得應(yīng)力分量：校核應(yīng)力分量：校核應(yīng)力分量：代入平衡微分方程和相容方程，可知上述應(yīng)力分量代入平衡微分方程和相容方程，可知上述應(yīng)力分量是滿(mǎn)足平衡微分方程和相容方程的。其中的是滿(mǎn)足平衡微分方程和相容方程的。其中的4 4個(gè)待定常個(gè)待定常數(shù)由邊界條件來(lái)確定。數(shù)由邊界條件來(lái)確定。楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力(5)考察邊界條件：考察邊界條件：只有兩個(gè)邊界，均為主要邊界（大邊界只有兩個(gè)邊界，均

54、為主要邊界（大邊界），都應(yīng)精確滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件；），都應(yīng)精確滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件；將應(yīng)力分量在相應(yīng)邊界處的值代入上述條件，得到如將應(yīng)力分量在相應(yīng)邊界處的值代入上述條件，得到如下待定常數(shù)下待定常數(shù): :0)(,)(020 xxyxxgy6, 02gdc首先考察左邊界上的應(yīng)力邊界條件：首先考察左邊界上的應(yīng)力邊界條件：楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力其次考察右邊界上的應(yīng)力邊界條件，由于沒(méi)有面力，故：其次考察右邊界上的應(yīng)力邊界條件，由于沒(méi)有面力，故：0)(0)(tantanyxyxyyxxyxmlml將該邊界的外法線(xiàn)方向余弦和應(yīng)力分量在相應(yīng)邊界處的將該邊界的外法線(xiàn)方向余弦和應(yīng)力分量在相應(yīng)邊界處的值代入上述條件值代入上述條件32122cot3cot6,cot2ggagbcybxgybyaxdycxmlxyyx22,26,62sin,cos1可求解得到如下待定常數(shù)可求解得到如下待定常數(shù): :楔形體受重力和液體壓