函數(shù)的極值及其求法

1、 第十節(jié)第十節(jié) 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值一、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)的極值及其求法oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x定義定義,)(Dxf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),0Dx ，的一個鄰域的一個鄰域若存在若存在DxUx )(00使得使得),(0 xUx 有有)()(0 xfxf 則稱則稱 為為 的一個的一個極大值點(diǎn)極大值點(diǎn) (或或極小值點(diǎn)極小值點(diǎn) )0 x)(xf),)()(0 xfxf 或或極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn) .極大值與極小值統(tǒng)稱為極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值 .1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的函數(shù)的極值是函數(shù)

2、的局部性質(zhì)局部性質(zhì).2) 對常見函數(shù)對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為 0 或或 不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)(稱為稱為可疑可疑極值點(diǎn)極值點(diǎn)) ). 稱稱 為為 的一個的一個極大值極大值 (或或極小值極小值 )(0 xf)(xf注意注意函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法定理定理1(1(函數(shù)取得極值的函數(shù)取得極值的必要條件必要條件)()(費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理) )定義定義.)()0)(的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)做做函函數(shù)數(shù)叫叫的的實(shí)實(shí)根根即即方方程程使使導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為零零的的點(diǎn)點(diǎn)xfxf 注意注意:( ),.f x可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)必必定定是是它它的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)但但函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)卻卻不不一一

3、定定是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x)(xf0 x0 x. 0)(0 xf設(shè)設(shè)在點(diǎn)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù), 且在且在處取得極值處取得極值,則則定理定理2 (2 (第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形)設(shè)設(shè))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x 處連續(xù)處連續(xù) ,),(00 xxx ,0)( xf),(00 xxx, 0)( xf)(xf0 x(1) 若若 時時, 而而時時,則則在點(diǎn)在點(diǎn)處取得處取得極大值極大值;(2) 若若),(00 xxx 時時, , 0)( xf而而),(00 xxx時時,0)( xf則則)(xf

4、在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處取得處取得極小值極小值;),(0 xUx )(xf )(xf0 x(3) 若若時時, 的符號相同的符號相同, 則則在點(diǎn)在點(diǎn)處處無極值無極值.xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :(1)( ),( );fxf x 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)并并求求出出的的全全部部駐駐點(diǎn)點(diǎn)與與不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)(2)( ),;fx 根根據(jù)據(jù)在在每每個個駐駐點(diǎn)點(diǎn)或或不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)的的左左右右鄰鄰近近的的正正負(fù)負(fù)號號 判判斷斷是是否否為為極極值值點(diǎn)點(diǎn)(3).求求極極值值(不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)例例1 1解解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令

5、0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm圖形如下圖形如下例例2 2解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在時時當(dāng)當(dāng)xfx 時，時，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時時，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的的極極大大值值為為xff .)(在在該該點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)但但函函數(shù)數(shù)xfM32)1()(xxxf 的

6、極值的極值 .解解 32)(xxf3132)1( xx35235xx 得駐點(diǎn)得駐點(diǎn);521 x不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)02 xx)(xf )(xf05200233255( ) )0,(),0(52),(520 x是極大值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)，其極大值為其極大值為0)0( f是極小值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)， 其極小值為其極小值為52 x23322555( )( )f 例例3 求函數(shù)求函數(shù)不存在不存在定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(0000)(lim)()(lim)(00 xxxfxxxfxfxfxxxx , 0 0)(,0,000 xxxfxx時時使使當(dāng)當(dāng)故故存存在在 ;0)(),(00 xf

7、xxx時時，當(dāng)當(dāng) 所以所以，函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值 同理可證同理可證(2).;0)(),(00 xfxxx時時，當(dāng)當(dāng) 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) , 且且,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若若則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極大值取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若若則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極小值取極小值 .)(xf0 x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處處 具有具有例例4 4解解.20243)(23的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得駐駐點(diǎn)點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xx

8、f )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下Mm注意注意: :.2,)(,0)(00仍仍用用定定理理處處不不一一定定取取極極值值在在點(diǎn)點(diǎn)時時xxfxf 1)1()(32 xxf的極值的極值 . 解解: : ,)1(6)(22 xxxf)15)(1(6)(22 xxxf令令,0)( xf得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)1,0,1321 xxx因因,06)0( f故故 為極小值為極小值 ;0)0( f又又,0)1()1( ff故需用極值的第一充分條件來判別故需用極值的第一充分條件來判別.( )1,fxx 由

9、由于于在在左左右右鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)不不變變號號( )1.f xx 在在沒沒有有極極值值1xy1例例5. 求函數(shù)求函數(shù),0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)( xfn則則1) 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)為偶數(shù)時時,n2) 當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)為奇數(shù)時時,n0 x為極值點(diǎn)為極值點(diǎn) , 且且0 x不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn) , )()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)( )(0nxxo )()(!)()(000)(0nnnxxoxxnxfxf 證證定理定理4,0)(0)( xfn若若設(shè)設(shè) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處處 具有具有n 階導(dǎo)數(shù)，且階導(dǎo)數(shù)，且則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極大值取極大值

10、;)(xf0 x,0)(0)( xfn若若則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極小值取極小值 .)(xf0 x 點(diǎn)點(diǎn) 為拐點(diǎn)為拐點(diǎn) 。)(,(00 xfx0)()()(lim000 nxxxxxfxf則則, 0)(0 nxx0)()()(00 nxxxfxf)()(0 xfxf !)()()()(lim0)(000nxfxxxfxfnnxx ,0)(0)( xfn若若時，有時，有使當(dāng)使當(dāng)),(, 00 xUx 故故1) 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)為偶數(shù)時時,n由極限的保號性由極限的保號性, ,知知又又得得故故 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極大值取極大值 。)(xf0 x,0)(0)( xfn若若則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極小值取極小值 .)(xf0

11、 x同理可證，同理可證，2) 當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)為奇數(shù)時時,n可證可證 在在 點(diǎn)鄰近兩點(diǎn)鄰近兩 )()(0 xfxf 0 x 側(cè)異號側(cè)異號, 故故 在點(diǎn)在點(diǎn) 不取極值不取極值 。)(xf0 x )()()(000 xxxfxfxf200)()(!)2()( nnxxnxf)(20 nxxo)()(!)2()(20200)( nnnxxoxxnxf故故!)2()()()(lim0)(200 nxfxxxfnnxx 當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)為奇數(shù)時時,n可證可證 在在 點(diǎn)鄰近兩側(cè)異號點(diǎn)鄰近兩側(cè)異號, )(xf 0 x故點(diǎn)故點(diǎn) 為拐點(diǎn)為拐點(diǎn) 。)(,(00 xfx設(shè)設(shè) ,cossin)(xaxxxf 其中其中a 為常

12、數(shù)為常數(shù) .證明證明: : 2 a時時, , f (0) 為為 f (x)的極小值的極小值 ;2 a時時, , f (0) 為為 f (x)的極大值的極大值 .證證 xaxxxxfsincossin)( ,0)0( f,cossin)1(xxxa xxxxaxfsincoscos)1()( ,sincos)2(xxxa , 02)0( af2) ai時時, , f (0) 為為 f (x)的極小值的極小值 ;2) aii時時, , , 02)0( aff (0) 為為 f (x)的極大值的極大值 ;,2)0(af 2) aiii時時, , ,sin)(xxxf , 0)0( f例例6,coss

13、in)(xxxxf , 0)0( f,sincoscos)()4(xxxxxf , 02)0()4( ff (0) 為為 f (x)的極大值的極大值.函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪步驟步驟 :1. 確定函數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域 ,期性期性 ;2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn)求出極值和拐點(diǎn) ;4. 求漸近線求漸近線 ;5. 確定某些特殊點(diǎn)確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形描繪函數(shù)圖形 .為為 0 和不存在和不存在的點(diǎn)的點(diǎn) ;并考察其對稱性及周并考察其對稱性及周例例7 7.2)

14、1(4)(2的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxf解解非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù),且無對稱性且無對稱性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得駐點(diǎn)得駐點(diǎn), 0)( xf令令. 3 x得特殊點(diǎn)得特殊點(diǎn)2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得水平漸近線得水平漸近線定義域（定義域（-，+ ）0,2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得得鉛鉛直直漸漸近近線線列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf

15、 00)(xf 2 0 不存在不存在拐點(diǎn)拐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)3 )926, 3( :補(bǔ)補(bǔ)充充點(diǎn)點(diǎn));0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作圖作圖xyo2 3 2111 2 3 6ABC小結(jié)小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是可疑極值點(diǎn)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是可疑極值點(diǎn). .判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第二充分條件第二充分條件;(注意使用條件注意使用條件)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)設(shè), 1)()()(lim2axaf

16、xfax則在點(diǎn)則在點(diǎn) a 處處( ).)()(xfA的導(dǎo)數(shù)存在的導(dǎo)數(shù)存在 ,；且0)( af)()(xfB取得極大值取得極大值 ;)()(xfC取得極小值取得極小值;)()(xfD的導(dǎo)數(shù)不存在的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示提示: : 利用極限的保號性利用極限的保號性 .)(xf在在0 x的某鄰域內(nèi)連續(xù)的某鄰域內(nèi)連續(xù), 且且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx則在點(diǎn)則在點(diǎn)0 x處處).()(xf(A) 不可導(dǎo)不可導(dǎo) ;(B) 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且;0)0( f(C) 取得極大值取得極大值 ;(D) 取得極小值取得極小值 .D提示提示: : 利用極限的保號性利用極限的保號性 .2. 設(shè)設(shè))(xfy 是

17、方程是方程042 yyy的一個解的一個解,若若,0)(0 xf且且,0)(0 xf則則)(xf在在)(0 x(A) 取得極大值取得極大值 ;(B) 取得極小值取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示提示: :,)(代入方程將xf0)(4)(00 xfxfA得令,0 xx 3. 設(shè)設(shè)4. 設(shè)設(shè) f ( x )連續(xù)，且連續(xù)，且 f ( a )是是 f ( x )的極值，的極值，問問 f 2( a )是否是是否是 f 2( x )的極值的極值 .證證則則),()(afxf 時時，有有使使當(dāng)當(dāng)),(,0 aUx ),()(22a

18、fxf 得得 f 2( a ) 是是 f 2( x ) 的極小值的極小值; 不妨設(shè)不妨設(shè) f ( a )是是 f ( x )的極小值的極小值 ,0)()時時當(dāng)當(dāng) afi有有由由 f ( x )在在 x = a 處連續(xù)，得處連續(xù)，得0)()(lim afxfax時，有時，有使當(dāng)使當(dāng)),(, 011 aUx 0)( xf,min1 令令時，時，則當(dāng)則當(dāng)),( aUx, 0)()( xfaf)()(22afxf f 2( a )是是 f 2( x )的極大值的極大值.同理可討論同理可討論f ( a ) 是是f ( x )的極大值的情況的極大值的情況.,0)()時時當(dāng)當(dāng) afii由極限的保號性由極限的保號性 , 知知由由得得試問試問 為何值時為何值時,axxaxf3sin31sin)(32x在在時取得極值時取得極值 ,還是極小還是極小.解解: )(xf由題意應(yīng)有由題意應(yīng)有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得極大值為取得極大值為3)(32f備用題備用題 ,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出該極值求出該極值, 并指出它是極大并指出它是極大一、一、 填空題：填空題： 1 1、 極值反映的是函數(shù)的極值反映的是函數(shù)的 _性質(zhì)性質(zhì). . 2 2、 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在0 xx 可導(dǎo)， 則它在點(diǎn)可導(dǎo)，