一元線性回歸預(yù)測法

1、一元線性回歸預(yù)測法一元線性回歸預(yù)測法概念：是指成對的兩個變量數(shù)據(jù)分布大體上呈直線趨勢時，運(yùn)用合適的參數(shù)估計(jì)方法，求出一元線性回歸模型，然后根據(jù)自變量與因變量之間的關(guān)系，預(yù)測因變量的趨勢。很多社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間都存在相關(guān)關(guān)系，因此，一元線性回歸預(yù)測有很廣泛的應(yīng)用。進(jìn)行一元線性回歸預(yù)測時，必須選用合適的統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)模型參數(shù)，并對模型及其參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。 步驟建立模型建立模型估計(jì)參數(shù)估計(jì)參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)進(jìn)行預(yù)測進(jìn)行預(yù)測一、建立模型一元線性回歸模型一元線性回歸模型01iiiybb x其中，其中， 是未知參數(shù)是未知參數(shù) 為剩余殘差項(xiàng)或稱隨機(jī)擾動項(xiàng)為剩余殘差項(xiàng)或稱隨機(jī)擾動項(xiàng)0b1bi二、估計(jì)參數(shù) 用最

2、小二乘法進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)時，要求用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)時，要求 滿足一定的假設(shè)條件：滿足一定的假設(shè)條件： 是一個隨機(jī)變量；是一個隨機(jī)變量； 的均值為零，即的均值為零，即 在每一個時期中，在每一個時期中， 的方差為常量，即的方差為常量，即 各個各個 相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； 與自變量無關(guān)。與自變量無關(guān)。 iiiiii0iE2iDi用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì) ，得到的估計(jì)表，得到的估計(jì)表達(dá)式為：達(dá)式為：01bybx12x xyybx x最小二乘法一致性無偏性有效性01iiiybb xniiininiiiixbbyyyu12101122)()(niiininiiiixbbyyyu

3、12101122)()(方差最小 標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差1 可決系數(shù)可決系數(shù)2 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)3 回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)4 F檢驗(yàn)檢驗(yàn)5 DW檢驗(yàn)檢驗(yàn)6三、進(jìn)行檢驗(yàn)1、標(biāo)準(zhǔn)誤差 標(biāo)準(zhǔn)誤差：估計(jì)值與因變量值間的平均平方誤差。 其計(jì)算公式為：22yySEn2、可決系數(shù) 可決系數(shù)：衡量自變量與因變量關(guān)系密切 程度的指標(biāo)，表示自變量解釋了因變量變 動的百分比。 其計(jì)算公式為：2222221xxyyyyRyyxxyy 可見，可決系數(shù)取值于0與1之間，并取決于回歸模型所解釋的y的方差的百分比3、相關(guān)系數(shù) 其計(jì)算公式為： 由公式可見，可決系數(shù)是相關(guān)系數(shù)的平方。 相關(guān)系數(shù)越接近+1或1，因變量與自變

4、量的擬 合程度就越好。22xxyyrxxyy 相關(guān)系數(shù)與可決系數(shù)的主要區(qū)別：相關(guān)系數(shù)與可決系數(shù)的主要區(qū)別： 相關(guān)系數(shù)測定變量之間的密切程度，可決系數(shù)測定自變量對因變量的解釋程度。相關(guān)系數(shù)有正負(fù)，可決系數(shù)只有正號。 正相關(guān)系數(shù)意味著因變量與自變量以相同的方向增減。 如果直線從左至右上升，則相關(guān)系數(shù)為正； 如果直線從左至右下降，則相關(guān)系數(shù)為負(fù)。4、回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn) 檢驗(yàn)假設(shè)： 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 其中01:0Hb 11:0Hb 12bbttnS2bSESxxtt檢驗(yàn)規(guī)則：給定顯著性水平 ，若 則回歸系數(shù)顯著。5、F檢驗(yàn)2bSESxx檢驗(yàn)規(guī)則：給定顯著性水 ，若 則回歸系數(shù)顯著。222yyFyyn1,2F

5、n1,2FFniu21221niiiniiDW6、德賓沃森統(tǒng)計(jì)量（DW）檢驗(yàn) 之間是否存在自相關(guān)關(guān)系。iiiyyDW的取值域在04之間。其中，LDWdUDWd4LDWd 檢驗(yàn)法則：檢驗(yàn)法則：在DW小于等于2時， DW檢驗(yàn)法則規(guī)定：4UD Wd4LUdD W d 認(rèn)為 存在正自相關(guān);認(rèn)為 無自相關(guān)；在DW大于2時, DW檢驗(yàn)法則規(guī)定:認(rèn)為 存在負(fù)自相關(guān);認(rèn)為 無自相關(guān)；不能確定是否有自相關(guān)。iuiuiuiuiu用坐標(biāo)圖更直觀表示DW檢驗(yàn)規(guī)則： 四、進(jìn)行預(yù)測 小樣本情況下小樣本情況下, ,近似的置信區(qū)間的常用公近似的置信區(qū)間的常用公式為：式為： 置信區(qū)間置信區(qū)間= = ytSE例題分析 例題 ：

6、已知身高與體重的資料如下表所示：身高（米）身高（米）1.55 1.60 1.65 1.67 1.7 1.75 1.80 1.82 1.55 1.60 1.65 1.67 1.7 1.75 1.80 1.82 體重（公斤）體重（公斤） 50 52 57 56 60 65 62 70 50 52 57 56 60 65 62 70 要求：（1）擬合適當(dāng)?shù)幕貧w方程； （2）判斷擬合優(yōu)度情況； （3）對模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；（=0.05） （4）當(dāng)體重為75公斤時，求其身高平均值的95% 的置信區(qū)間。 472x 281582x54.13y 解答： （1）n=8，經(jīng)計(jì)算得： 9788.222y02.803

7、xy122228 803.02 13.54 4720.01348 28158472xxyynxyxybxxnxx 9 . 084720134. 0854.1310 xbyb因此：xy0134.0898.04815. 069. 189788.22)59828158(0134. 0)()()(22222222122212ynyxnxbyyxxbR因此，建立的一元線性回歸方程為： 回歸直線的擬合優(yōu)度不是很理想 。（2）)6 , 1 (50564815. 0164815. 01)2(05. 022FRnRF（3）所以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為所建立的線性回歸模型是顯著的。0734. 0602.8030134. 054.139 . 09788.222102nxybybySE)078.2 ,728.1