南大復變函數(shù)與積分變換課件(PPT版)64_幾個初等函數(shù)構(gòu)成的共形映射映射

1、1第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 一、冪函數(shù)一、冪函數(shù) 二、二、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 三、三、綜合舉例綜合舉例 2第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 ,nzw 一、冪函數(shù)一、冪函數(shù) ( ( 整數(shù)整數(shù) ) ) 2 n,e ninrw 則有則有 ,e irz 令令 1. 映射特點映射特點 nzw nwz .arg,| nwrwn 即即 RnRn20 0 2n冪函數(shù)冪函數(shù) 擴大頂點在原點的角形域擴大頂點在原點的角形域( ( 或扇形域或扇形域 ) )。 特點特點 nzw 類似地，根式函數(shù)類似地，根式函數(shù) 作為冪函數(shù)的逆映

2、射，其映射作為冪函數(shù)的逆映射，其映射 nzw 特點是縮小頂點在原點的角形域特點是縮小頂點在原點的角形域( ( 或扇形域或扇形域 ) )。 0 0 n3第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 2. 保形性保形性 單值性單值性 解析性解析性 ,nzw 一、冪函數(shù)一、冪函數(shù) ( ( 整數(shù)整數(shù) ) ) 2 n(1) 在在 平面上處處可導，且平面上處處可導，且 ;dd1 nznzwz.0dd zw(2) 當當 時，時， 0 z在在 平面上不是雙方單值的，平面上不是雙方單值的， z對于對于 ,4zw 冪函數(shù)冪函數(shù) 在在 平面上除原點外是第一類保角映射。平面上除原點外是第一類保角映射。 結(jié)論結(jié)論

3、nzw z 在角形域在角形域 上，如果上，如果 ，則冪函數(shù)，則冪函數(shù) 是是 nzw 共形映射。共形映射。00 0 n2比如：比如： e1 z2i,e2iz 取取 .4241zz 則則 4第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 解解 令令 則則 ,41eizw .41ww izw41e 41ww .0Im,8|: zzzG如圖，所求的象區(qū)域如圖，所求的象區(qū)域 G 為：為： 24i2)(1w88 )(w244i2)(z5第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 512zz izizw 5454)()(41zz izizw 22解解 45)(z5)(1z)(2z)(w11 P157

4、 例例6.14 6第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 二、二、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) zwe y4 (z)yxwxezwe vu(w)回顧回顧 有有 ,)sin(coseeeeyixxzyiyw y2 由由 z 的實部得到的實部得到 w 的模；的模；由由 z 的虛部得到的虛部得到 w 的輻角。的輻角。即即 ,|exw ,2Argkyw ),2,1,0( k xzyy,yixz 令令 7第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 1. 映射特點映射特點 zwe h)2(h 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 將水平帶形域變?yōu)榻切斡颉⑺綆斡蜃優(yōu)榻切斡颉?特點特點 zwe 二、二、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)

5、 zwe )2(h 1e1zw i11 i特別有特別有 hi)(z)(w)(1z)(1whz 1zhww 1單值性？單值性？ ( (?) )8第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 2. 保形性保形性 單值性單值性 解析性解析性 在在 平面上處處可導，且平面上處處可導，且 .0dde zzwz在在 平面上不是雙方單值的，平面上不是雙方單值的， z指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 在在 平面上是第一類保角映射。平面上是第一類保角映射。 結(jié)論結(jié)論 zwe z 在水平帶形域在水平帶形域 上，如果上，如果 則指數(shù)函數(shù)則指數(shù)函數(shù) zwe 是共形映射。是共形映射。 hy 0,2h 二、二、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) zw

6、e 取取 ,111yixz , )2(112yixz 比如：比如： .21eezz 則則 9第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 .0Re,1|: zzzG如圖，所求的象區(qū)域如圖，所求的象區(qū)域 G 為：為： 解解 令令 則則 ,1ziw .1eww 1eww ,1ziw 2 i2i)(1wi i)(w22 )(z10第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 2ezw izz21 122 zz 解解 2ii)(z2i)(1zi)(2z)(w)(22eizw P158 例例6.15 11第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 三、三、綜合舉例綜合舉例 (1) 預處理預

7、處理 工具工具 幾種簡單的分式映射、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。幾種簡單的分式映射、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。 目標目標 使區(qū)域的邊界至多由兩段圓弧使區(qū)域的邊界至多由兩段圓弧( (或直線段或直線段) )構(gòu)成。構(gòu)成。 (2) 將區(qū)域映射為角形域?qū)^(qū)域映射為角形域( ( 或者帶形域或者帶形域 ) ) 另一個另一個( (交交) )點點 映射為映射為 0 。 z2 主要步驟主要步驟 ( (一般一般) ) 方法方法 將區(qū)域邊界的一個交點將區(qū)域邊界的一個交點 映射為映射為 z1 ; 工具工具 ,11zzkw .12zzzzkw 或者或者 12第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 (4) 將上半平面映射為單位

8、圓域?qū)⑸习肫矫嬗成錇閱挝粓A域 工具工具 ( ( 對于角形域?qū)τ诮切斡?) ) .,nnzwzw ( ( 對于帶形域?qū)τ趲斡?) ) .ezw 工具工具 ( ( 無附加條件無附加條件 ) ) .izizw ( ( 由附加條件確定由附加條件確定 ) ) .000ezzzzwi 00, z (3) 將角形域?qū)⒔切斡? ( 或者帶形域或者帶形域 ) )映射為上半平面映射為上半平面 三、三、綜合舉例綜合舉例 主要步驟主要步驟 ( (一般一般) ) 13第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 111 zzz212zz izizw 22izz 112 w2 izz 11注注 從從上半單位圓域上半

9、單位圓域到到上半平面上半平面的映射為的映射為 .2 11 zzw( (錯錯 ) ) ！ ！ 2zw ？ 解解 11 0)(z)(2z)(w10 11 )(1zP161 例例6.18 14第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 zz 1izizw 22解解 2 11112 zzzizz 112 wizz 112 11 0)(z11 0)(1z)(2z11 )(w15第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 23zz izizw 55 1z2z 2z1z12 11334 zzz解解 22 )(z11 )(1z11 )(2z11 )(w11 )(3z)(4zizz 222 wizz

10、 222 16第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 將將 ,0, ii 故故 .1iziziz 得得 , ik 有有 ,1izizkz k再要求將再要求將 1,1解解 共形映射將共形映射將 D 映射成單位圓域。映射成單位圓域。 例例 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 由兩個圓弧圍成由兩個圓弧圍成( (如圖所示如圖所示) )， iziziz 1612zz 6izizw 22iizizi 6 w6 iizizi ii r61)(z)(1z)(2z11 )(w10 ,1 r其中其中 求一求一 P160 例例6.17 17第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 將將 ,00, 2故故 .21 z

11、zz得得 ,1 k有有 ,21 zzkzk再要求將再要求將 i 1, i 解解 12ziz 232zz 3e4zz izizw 44 1z2 zz12i)(2z11 )(wi)(3z)(4z)(1z1222 1)(z0i 0 i 1 w2 zzi )(2ie2 zzi )(2ieP159 例例6.16 18第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 解解 22 4)(z312ziz 233zz 3e4zz izizw 44)(1zi3)(2z11 )(wi)(3z)(4z032 1z2 z2 z6 wi )(iei )(ie32 z2 z2 z2 z319第六章 共形映射 6.4 幾個初

12、等函數(shù)構(gòu)成的映射 1e2zz ziz 123ziz 2 ziziiiw ee112 3311zzw 解解 22 )(z2 i2i)(1zii )(2z)(w11 )(3zP162 例例6.19 20第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 1z1z12zz 22 we1i iz2e1i iz22 22ee11ziziiiw ( (利用前例的結(jié)果利用前例的結(jié)果) ) 例例 映射將映射將 D 映射成上半平面。映射成上半平面。 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 求一共形求一共形 ,21|21|,21|21|,0Im: zzzzD* )(1z22 )(2z)(w011 解解 )(z1 1P162 例例6.20 21第六章 共形映射 6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射 2zw 011 01 1z1z11112 zzz解解 )(1z)(2z)(w例例 * 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 如圖所示，求一共形映射將如圖所示，求一共形映射將 D 映射成單位圓域。映射成單位圓域。 D11 )(z11 zzw22第六章 共形映射