第四節(jié) 隱函數(shù)與由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率

1、第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo) 相關(guān)變化率 第二章 31xy一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對 x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化)(0

2、),(xyyyxF 確定了一元隱函數(shù)確定了一元隱函數(shù)設(shè)設(shè)得得代入代入將將0),()( yxFxyy0)(, xyxFu0 dxdu則則兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)，當(dāng)遇到求導(dǎo)，當(dāng)遇到 y 的函數(shù)的函數(shù) f(y)時時)(yfdxd要求的是要求的是)(yfz 記記xyzdxdydydzdxdz dxdyyf )(將求出的這些導(dǎo)數(shù)代入將求出的這些導(dǎo)數(shù)代入0 dxdu得到關(guān)于得到關(guān)于dxdy的代數(shù)方程，的代數(shù)方程，即即為為所所求求解解得得),(yxgdxdy 至于隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，與上同理至于隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，與上同理求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊再對兩邊再對在在xyxgdxdy),( ),(22yyxGdxyd 代入代入再

3、將再將),(yxgdxdy 例例. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo))32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 時 y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例. 求橢圓

4、191622yx在點(diǎn))3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx例例2 2.,)23,23(,333線線通通過過原原點(diǎn)點(diǎn)在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程點(diǎn)點(diǎn)上上求求過過的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線CCxyyxC 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對 xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點(diǎn)

5、顯然通過原點(diǎn).例例3 3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點(diǎn)在點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對方程兩邊對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx, 1, 0 yx代入代入得得4110 yxy.16110 yxy補(bǔ)證反函數(shù)的求導(dǎo)法則補(bǔ)證反函數(shù)的求導(dǎo)法則為其反函數(shù)為其反函數(shù)為直接函數(shù)，為直接函數(shù)，設(shè)設(shè))()(xfyyx 隱隱函函數(shù)數(shù)確確定定的的一一個個可可視視為為由由方方程程0)()( yxxfy 由隱函數(shù)的微分法則由隱函數(shù)的微分法則求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊

6、對兩邊對方程方程xyx)( dxdyy )(1 )(1ydxdy 例例42222,lnarctandxyddxdyyxxy求求設(shè)設(shè) 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對方程兩邊對x)(11122222 yxyxxyxy222222222221yxyyxyxxyxyyxx yyxyxy yxyxdxdy yxyxdxddxyd222)()1)()(1(yxyyxyxy 2)(22yxyyx 3)()()(2yxyxyyxx 322)()(2yxyx 例例5 求證拋物線求證拋物線ayx 上任一點(diǎn)的切線上任一點(diǎn)的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于a證證求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊對兩邊對方程方程xa

7、yx 02121 dxdyyxxydxdy 故曲線上任一點(diǎn)故曲線上任一點(diǎn)),(00yx處切線的斜率為處切線的斜率為0 xxdxdyk 00 xy 切線方程為切線方程為)(0000 xxxyyy 000000 xyyxxyyx 000000 xyyxxyyx )(0000yxyx 00yxa 100 yayxax故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為)(0000yxayaxa a 二、對數(shù)求導(dǎo)法二、對數(shù)求導(dǎo)法 有時會遇到這樣的情形，即雖然給出的是顯函數(shù)有時會遇到這樣的情形，即雖然給出的是顯函數(shù)但直接求導(dǎo)有困難或很麻煩但直接求導(dǎo)有困難或很麻煩觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin2

8、3xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).目的是利用對數(shù)的性質(zhì)簡化目的是利用對數(shù)的性質(zhì)簡化求導(dǎo)運(yùn)算。求導(dǎo)運(yùn)算。-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形開方和冪指函數(shù)開方和冪指函數(shù)多個函數(shù)相乘、乘方、多個函數(shù)相乘、乘方、xvxu例例6 6.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)解解等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy 142)1(3111)4(1)1(

9、23 xxxexxxyx例例7 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求)4)(3()2)(1( xxxxy解解這函數(shù)的定義域這函數(shù)的定義域 1, 32, 4 xxx4 x若若兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得41312111211 xxxxyy313121112 xxxxyy1 x若若)4)(3()2)(1(xxxxy 兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得41312111211xxxxyy 313121112 xxxxyy同理同理32 x若若313121112

10、 xxxxyy例例8dxdyyxxy求求設(shè)設(shè) 解解兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得yxxylnln 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得yyxyxyxy 1ln1ln22lnlnxxxyyyxyy 例例9dxdyaxaxaxynanaa求求設(shè)設(shè))()()(2121 解解兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得nnaxaaxaaxayy 221112211nnaxaaxaaxayy 例例1010.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)解解等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1

11、sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 例例.)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)yln兩邊對 x 求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv vuuyvlnuuvv1按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:三、由參數(shù)方程所確定的

12、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 消去參數(shù)消去參數(shù)22)2(xty 42x xy21 問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?,)()(中中在方程在方程 tytx),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy 參量函數(shù)參量函數(shù), 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得

13、dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( 容易漏掉容易漏掉)(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?已知注意注意 :例例. 拋射體運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為 1tvx 求拋射體在時刻 t 的運(yùn)動速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小:速度的水平分量為,dd1vtx垂直分量為,dd2tgvty故拋射體速度大小22)dd()dd(tytxv2221)

14、(gtvv再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè) 為切線傾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 則yxo2212tgtvy拋射體軌跡的參數(shù)方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在剛射出 (即 t = 0 )時, 傾角為12arctanvv達(dá)到最高點(diǎn)的時刻,2gvt 高度ygv2221落地時刻,22gvt 拋射最遠(yuǎn)距離xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g例例1111處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.方方程程解解dtdxdtdydxdy taatacossin t

15、tcos1sin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .),12(,2ayaxt 時時當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即例例123222,11ydxydyxdxdytytx 證明證明設(shè)設(shè)證證dtdxdtdydxdy tt 121121tt 11yx )(22dxdydxddxyd )(yxdxd 2yyxy 2yyxy 322yyx 32y )2(22 yx例例13設(shè)曲線設(shè)曲線由極坐標(biāo)方程由極坐標(biāo)方程r=r()所確定，試求該所確定，試求該曲線上任一點(diǎn)的切線斜率，并寫出過對數(shù)螺線曲線上任一點(diǎn)的切線斜率，并寫出過對數(shù)螺線上點(diǎn)上點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程處的切

16、線的直角坐標(biāo)方程 er )2,(2 e解解由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的變換關(guān)系知由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的變換關(guān)系知 sin)(cos)(ryrx ddxddydxdy sin)(cos)(cos)(sin)(rrrr 時時當(dāng)當(dāng) er sincoscossin)sin(cos)cos(sin eedxdy時時當(dāng)當(dāng)2 切線斜率為切線斜率為12 dxdyk), 0()2,(22 eeer所對應(yīng)的直角坐標(biāo)為所對應(yīng)的直角坐標(biāo)為上點(diǎn)上點(diǎn)而而 故切線的直角坐標(biāo)方程為故切線的直角坐標(biāo)方程為)0(2 xey 2 eyx 即即例例1414.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時時刻

17、刻的的運(yùn)運(yùn)動動方方向向炮炮彈彈在在時時刻刻求求其其運(yùn)運(yùn)動動方方程程為為發(fā)發(fā)射射炮炮彈彈發(fā)發(fā)射射角角以以初初速速度度不不計計空空氣氣的的阻阻力力ttgttvytvxv 解解.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運(yùn)動方向即時刻的運(yùn)動方向即在在ttxyo0vvxvyv)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20tt

18、ttygttvdtdyv 00singtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 四、相關(guān)變化率四、相關(guān)變化率.,)()(變化率稱為相關(guān)變化率變化率稱為相關(guān)變化率這樣兩個相互依賴的這樣兩個相互依賴的之間也存在一定關(guān)系之間也存在一定關(guān)系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關(guān)系之間存在某種關(guān)系與與而變量而變量都是可導(dǎo)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)及及設(shè)設(shè)dtdydtdxyxtyytxx 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題: :已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對 t

19、 求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率例例7. 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為,minm140當(dāng)氣球高度為 500 m 時, 觀察員視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設(shè)氣球上升 t 分鐘后其高度為h , 仰角為 ,則tan500h兩邊對 t 求導(dǎo)2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 時,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(思考題思考題: 當(dāng)氣球升至500 m 時停住 , 有一觀測者以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來,當(dāng)距離為500 m 時, 仰角的

20、增加率是多少 ?提示提示: tanx500對 t 求導(dǎo)2sectddtxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求例例1515?,20,120,4000,/803水面每小時上升幾米水面每小時上升幾米米時米時問水深問水深的水槽的水槽頂角為頂角為米米形狀是長為形狀是長為水庫水庫秒的體流量流入水庫中秒的體流量流入水庫中米米河水以河水以解解0604000m則則水水庫庫內(nèi)內(nèi)水水量量為為水水深深為為設(shè)設(shè)時時刻刻),(),(tVtht234000)(htV 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對 tdtdhhdtdV 38000,/288003小時小時米米 dtdV,20米時米時當(dāng)

21、當(dāng) h小時小時米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2. 對數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)4. 相關(guān)變化率問題列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式對 t 求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 求螺線r在對應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程.解解: 化為參數(shù)方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos當(dāng)時對應(yīng)點(diǎn)斜率xykdd222, ),0(2M 切線方程為22xy22. 設(shè),)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分別用對數(shù)求導(dǎo)法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx3. 設(shè))(xyy 由方程eyxey確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得0yxyyey再求導(dǎo), 得2yey yxey)(02 y當(dāng)0 x時, 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 作業(yè)作業(yè)P111: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 (2