18-19階段復(fù)習(xí)課第2章平面向量

1、第二課平面向量核心速填(教師用書獨(dú)具)1.常見的六種向量單位向量：模為L(zhǎng)的向量.(2) 零向量：模為0|勺向量.(3) 平行向量：方向相同或相反的向量.(4) 共線向量：方向相同或相反的向量.(5) 相等向量：模相等、方向相同的向量.(6) 相反向量：模相等、方向相反的向量.兩個(gè)定理共線向量的判定或性質(zhì)定理：(2) b/a?b=入(a豐0,入存在且唯一)平面向量基本定理：若在同一平面內(nèi)，ei與62不共線，則該平面內(nèi)的任一向量a=ajgi+應(yīng)冬，且(ai,a2)唯一，當(dāng)eie2,且|ei|=|e2|=1,貝Ua=xe土炫，且(x,y)唯一.(1) 向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算TF.a+b=OA+A

2、B=OB(三角形法則).T2八一一.(2) a-b=OA-OB=BA(三角形法則).b=入(a0),0?a,b同向;一思路探究選擇兩不共線向量作基底，然后用基底向量表小出HF、BH與FC即可證得.、_、一TT證明設(shè)BM=a,MH=b,則BH=a+b,一一一一HF=HB+BA+AF一一一=BH+2BM+2MH=ab+2a+2b=a+b,一T一1一一1一一一FC=FE+EC=HM+ME=MH+MA+AE1TTT1T1T=b+BM+AF-EF=b+a+2MHMH1.,一1.?b+a+2b2卜=a+b.綜上，得HF=BH=FC.1. 跟蹤訓(xùn)練如圖2-2,平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上，且B

3、M=抑，點(diǎn)N在BC上，且BN=1BC,求證：M,N,D三點(diǎn)共線.3圖2-2、一TTTT證明設(shè)AB=e1,AD=貝UBC=AD=e2,.BN=BC=e2,BM=AB=ei,11-MN=BNBM3&2i,十n*上二3乂.MD=ADAM=e2ei=3e2-如j=3mN,，一T.T向量MN與MD共線，乂M是公共點(diǎn)，故M,N,D三點(diǎn)共線.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積是由物理問題中的做功問題引入的，向量數(shù)量積的結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，根據(jù)定義式可知，當(dāng)向量火角為銳角、鈍角和直角時(shí)，其結(jié)果分別為正值、負(fù)值和零，零向量與任何一個(gè)向量的數(shù)量積均為零.平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，通過向量的數(shù)量積考查向量的平行、

4、垂直等關(guān)系，利用向量的數(shù)量積可以計(jì)算向量的火角和長(zhǎng)度.卜例非零向量a,b滿足(a+b)(2ab),(a-2b)(2a+b),求a,b的火角的余弦值.思路探究由(a+b(2ab),(a2b(2a+b*0出方程組求出|a|圖2-3【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402103】.TTTTT解析.APAC=AP(AB+BC)一一一一一一一一一=APAB+APBC=APAB+AP(BD+DC)一一一一=APBD+2APAB,.APLBD,APBD=0.TTTT2.APAB=AP|AB|cosZBAP=AP|,2APAC=2|APp=2X9=18.答案18向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)表示.弓I入向量的坐標(biāo)

5、表示后，向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一.向量的坐標(biāo)運(yùn)算是將幾何問題代數(shù)化的有力工具，它是轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法的具體體現(xiàn).通過向量坐標(biāo)運(yùn)算主要解決求向量的坐標(biāo)、向量的模、火角判斷共線、平行、,|b|2,ab的關(guān)系t利用火角公式可求解由(a+b)(2a-b),(a2b)(2a+b),得2|a|2-|b|2+ab=0,|a|2=5ab,f22解得I!2冏2的|3ab=0,4a奴所以|a|b|=W0ab,ab10所以cos=前|=10.跟蹤訓(xùn)練2. ，一一一.，一，一.一，.一一.一一如圖2-3所小，在平行四邊形ABCD中,APBD，垂足為P,且AP=3,則

6、APAC=.垂直等問題.已知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1)，點(diǎn)A(-1,-2).(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；若點(diǎn)P(2,y)滿足PB=BD(XR),求y與入的值.思路探究(1)先求B,D點(diǎn)的坐標(biāo)，再求M點(diǎn)坐標(biāo);(2)由向量相等轉(zhuǎn)化為y與入的方程求解.解設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1,y1).AB=(4,3),A(-1,2),.(X1+1,y2)=(4,3),X1+1=4,X1=3,ly+2=3,y=1,B(3,1).同理可得D(4,-3).設(shè)線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(X2,y2),3-411-3(1、則X2=-2=一2，y2=一1，m了2，1j.(2)由已知得PB=(3,1)-(2,y)

7、=(1,1-y),一BD=(4,-3)-(3,1)=(-7,-4).一一一乂PB=?BD,二(1,1y)=X7,4),1=一7則J-y=4入入=-7,y=7跟蹤訓(xùn)練，,，、，”T3. 已知ABC中，A(2,1),B(3,2),C(3,1),BC邊上的局為AD,求AD.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402104】解設(shè)D(x,y)，貝UAD=(x2,y+1),一一BD=(x-3,y-2),BC=(-6,3),.ADLBC,ADBC=0,則有一6(x2)-3(y+1)=0,.BD/BC,則有-3(x-3)+6(y-2)=0,x=1,解由構(gòu)成的方程組得iy=1,則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),所以AD=(-1,2).1. 平

8、面向量的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用，向量的加減運(yùn)算遵循平行四邊形法則或三角形法則，數(shù)乘運(yùn)算和線段平行之間、數(shù)量積運(yùn)算和垂直、火角、距離問題之間聯(lián)系密切，因此用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題.2. 向量在解析幾何中的應(yīng)用，主要利用向量平行與垂直的坐標(biāo)條件求直線的方程.3. 在物理中的應(yīng)用，主要解決力向量、速度向量等問題.已知正方形ABCD,E、F分別是CD、AD的中點(diǎn)，BE、CF交丁點(diǎn)P.求證：(1)BELCF;(2)AP=AB.證明如圖建立直角坐標(biāo)系，其中A為原點(diǎn)，不妨設(shè)AB=2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).一一一BE=OEOB=(1,2)(2

9、,0)=(1,2),TTCF=OFOC=(0,1)(2,2)=(-2,-1).BECF=1X(-2)+2X(1)=0,BELCF,即BEXCF.(1) 、一一-TT設(shè)P(x,y),則FP=(x,y1),CF=(-2,1),二，一.FP/CF,.x=2(y1),即x=2y2.同理由bP/BE,得y=-2x+4,代入x=2y-2.解得x=|,y=|,即P?，?.2=4=AB扁|=扇，即AP=AB.跟蹤訓(xùn)練已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1),B(3,2),D(-1,4).求證：ABAD;(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求矩形的銳角的余弦值.解證明：(2,1),B(3,2),D(1,4),ABCD

10、的兩對(duì)角線所夾AB=(1,1),AD=(3,3),.ABAD=1X(3)+1x3=0,ABXAD,即ABXAD.四邊形ABCD為矩形，ABXAD,AB=DC.設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則AB=(1,1),DC=(x+1,y-4),K+1=1,iy4=1,x=0,解得y=5,.C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,5).從而AC=(2,4),BD=(4,2),.氐|=2倔|品|=2ACBD=8+8=16.設(shè)AC與BD的夾角為9,sACBD164則cos。=cT=20=5,|AC|BD|矩形ABCD的兩條對(duì)角線所夾的銳角的余弦值為4.5數(shù)形結(jié)合思想平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算的定義及運(yùn)算法則、運(yùn)算律的推導(dǎo)中都滲透了

11、數(shù)形結(jié)合思想.向量的坐標(biāo)表示的引入，使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)和形緊密地結(jié)合在一起.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可解決三點(diǎn)共線，兩條線段(或射線、直線)平行、垂直，火角、距離、面積等問題.例日如圖2-4所示，以ABC的兩邊AB,AC為邊向外作正方形ABGF,ACDE,M為BC的中點(diǎn)，求證：AMEF.圖2-4一一、.一.一一TT一T一TT.T一思路探究要證AMEF,只需證明AMEF=0.先將AM用AB,AC表小，將EF用TT.TTAE,AF表小，然后通過向量運(yùn)算得出AMEF=0.、一一.一”一一T1TT證明因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以AM=2(AB+AC),一一一一乂EF=AFAE,一一TT1TTTT所以AMEF=2(AB+AC)(AFAE)1一一一一一一一一=2(ABAF+ACAFABAEACAE)1一一一一=2(0+ACAFABAE0)1一一一一=2(ACAFABAE)1t。，一-=2|AC|AB|cos(90工/BAC)-AB|AC|cos(90工/BAC)=0,所以AMEF,即AMEF.跟蹤訓(xùn)練已知a,b是單位向量，ab=0.若向量c滿