第二章平面問題的基本理論

1、第二章第二章 平面問題的基本理論平面問題的基本理論2022-5-242-1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題n任何一個實際的彈性力學(xué)問題都是空間問題，但是如任何一個實際的彈性力學(xué)問題都是空間問題，但是如果所考察的彈性體具有某種果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，特殊的形狀，并且承受的并且承受的是某些是某些特殊的外力和約束特殊的外力和約束，就可以把空間問題簡化為，就可以把空間問題簡化為近似的近似的平面問題平面問題。n兩種典型的平面問題兩種典型的平面問題q平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題q平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題2022-5-24一、平面應(yīng)力問題一、平面應(yīng)力問題(1) 幾何特征幾何特征x

2、yyztba 一個方向的尺寸比另兩個一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。btat , 平板平板如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等(2) 受力特征受力特征外力外力（體力、面力）和（體力、面力）和約束約束，僅，僅平行于板面作用平行于板面作用，沿，沿 z 方向不變化。方向不變化。2022-5-24xyyztba(3) 應(yīng)力特征應(yīng)力特征如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為為xy 平面，垂直于中面的任一直線平面，垂直于中面的任一直線為為 z 軸。軸。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tz

3、zy因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 軸方向不變。軸方向不變。0z0zx可認(rèn)為可認(rèn)為整個薄板的整個薄板的各點各點都有：都有：由切應(yīng)力互等定理，有由切應(yīng)力互等定理，有0zy0yzzy0 xzzx結(jié)論：結(jié)論：平面應(yīng)力問題只有三個應(yīng)力分量：平面應(yīng)力問題只有三個應(yīng)力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy應(yīng)變分量、位移分量也僅為應(yīng)變分量、位移分量也僅為 x、y 的函數(shù)，與的函數(shù)，與 z 無關(guān)。無關(guān)。2022-5-24二、平面應(yīng)變問題二、平面應(yīng)變問題(1) 幾何特征幾何特征水壩水壩滾柱滾柱厚壁圓筒厚壁圓筒 一個方向的尺寸比另一個方向的尺寸比另兩個方向的

4、尺寸兩個方向的尺寸大得多，大得多，且沿長度方向幾何形狀和且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。尺寸不變化。 近似認(rèn)為無限長近似認(rèn)為無限長(2) 外力特征外力特征 外力外力（體力、面力）（體力、面力）平行于橫截面平行于橫截面作作用，且用，且沿長度沿長度 z 方向不變化方向不變化。 約束約束 沿長度沿長度 z 方向不變化方向不變化。(3) 變形特征變形特征 如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為 xy 面，任一縱線為面，任一縱線為 z 軸。軸。 設(shè)設(shè) z方向為無限長，則方向為無限長，則, u, x, x沿沿 z 方向都不變化，方向都不變化，僅為僅為 x，y 的函數(shù)。的函數(shù)。任一橫

5、截面均可視為對稱面任一橫截面均可視為對稱面2022-5-24水壩水壩任一橫截面均可視為對稱面，則有任一橫截面均可視為對稱面，則有0w所有各點的位移矢量都平行于所有各點的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移問題平面位移問題0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題注：注： 平面應(yīng)變問題中平面應(yīng)變問題中0z但是，但是，0z)(yxz2022-5-24 如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)

6、變問題非平面問題非平面問題2022-5-242-2 平衡微分方程平衡微分方程n根據(jù)根據(jù)靜力學(xué)靜力學(xué)、幾何學(xué)幾何學(xué)和和物理學(xué)物理學(xué)三方面條件，建立三套方程。三方面條件，建立三套方程。q平面問題中，根據(jù)微分體的平衡條件，建立平面問題中，根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程平衡微分方程： q根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程幾何方程： q根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程物理方程： 0yxxxfxy0yxyyfyx,xyxyuvvuxyxy112(1)(),(),xxyyyxxyxyEEE221

7、12(1)(),(),11xxyyyxxyxyEEE2022-5-24yyydyyyxyxdyyxxdxxxyyxxCxfyfxyxydxx平衡微分方程平衡微分方程n從彈性體中取出一個微分體，根據(jù)平衡條從彈性體中取出一個微分體，根據(jù)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式，件導(dǎo)出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式，也就是平面問題的也就是平面問題的平衡微分方程平衡微分方程。n從彈性體中取出一個微小的正平行六面體，從彈性體中取出一個微小的正平行六面體，它在它在x和和y方向的尺寸分別為方向的尺寸分別為dx和和dy，在，在z方向的尺寸為一個單位長度。方向的尺寸為一個單位長度。n以以x為投影軸，列出投影的

8、平衡方程：為投影軸，列出投影的平衡方程：0 xF ()1xxdx dyxn約簡以后，兩邊除以約簡以后，兩邊除以dxdy，得：，得：0yxxxfxyn同理，以同理，以y為投影軸，列出投影的平衡方程，化簡得為投影軸，列出投影的平衡方程，化簡得：0yxyyfyx1xdy()1yxyxdy dxy1yxdx1xf dxdy02022-5-24n假定已知任一點假定已知任一點P處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量x， y ，x y = y x 。求經(jīng)過該點的，平行于。求經(jīng)過該點的，平行于z軸而傾軸而傾斜于斜于x軸和軸和 y軸的任何傾斜面上應(yīng)力。軸的任何傾斜面上應(yīng)力。n在在P點附近取一個平面點附近取一個

9、平面AB，它平行于上述斜面，它平行于上述斜面，并經(jīng)過并經(jīng)過P點劃出一個微小的三棱柱點劃出一個微小的三棱柱PAB。當(dāng)。當(dāng)AB無無限小而趨于限小而趨于P點時，平面點時，平面AB上的應(yīng)力就成為斜上的應(yīng)力就成為斜面上的應(yīng)力。面上的應(yīng)力。2-3平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)cos( , ),cos( , )n xln ymxyxyxyyxmllmlmml)()(22222yyxxyxxfyfxpypnnn設(shè)斜面設(shè)斜面AB 的長度為的長度為ds，則，則PB面及面及PA面的長度分面的長度分別為別為 lds及及mds，而，而PAB的面積為的面積為 ldsmds/2，棱柱，棱柱的厚度設(shè)為的厚度

10、設(shè)為1。n由由x軸平衡條件，得：軸平衡條件，得：02xxxyxldsmdsp dsldsmdsfn其中，其中，fx為體力分量。將上式除以為體力分量。將上式除以ds，并令，并令ds趨于趨于0（斜面（斜面AB趨于趨于P點），點），即得：即得：xxxyplmn由由y軸平衡條件，得：軸平衡條件，得：n用用n表示斜面表示斜面AB的的外法線方向，其方向余弦為：外法線方向，其方向余弦為：nnn主平面？n主應(yīng)力？n主方向？2022-5-242-3平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)22yy2122xyxx）（xxyxyx-tan-tan1211度的斜面上發(fā)生在與應(yīng)力主向成452-21minmax2

11、022-5-24uvvdyyvvdxxvuudxxuudyy2-4幾何方程幾何方程n經(jīng)過彈性體內(nèi)的任意一點經(jīng)過彈性體內(nèi)的任意一點P，沿，沿x軸和軸和y軸的正方向取兩個微小長度軸的正方向取兩個微小長度的線段的線段PAdx和和PBdy。假定彈。假定彈性體受力后，性體受力后，P,A,B三點分別移動三點分別移動到到P,A,B.n線段線段PA的線應(yīng)變是：的線應(yīng)變是：xuudxuuxdxx注注:由于位移微小，由于位移微小，y方向的位移方向的位移v引起的引起的PA的伸縮，是高一階微量，略去不計。的伸縮，是高一階微量，略去不計。n線段線段PB的線應(yīng)變是：的線應(yīng)變是：yvyn線段線段PA與與 PB之間的直角的改

12、變，即切應(yīng)變之間的直角的改變，即切應(yīng)變n線段線段PA的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角是是：tanvvdxvvxdxxn線段線段PB的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角是：是：uyxyvuxy2022-5-242-5物理方程物理方程n在理想的彈性體中，形變分量和應(yīng)力分量之間的關(guān)系，在材在理想的彈性體中，形變分量和應(yīng)力分量之間的關(guān)系，在材料力學(xué)根據(jù)胡克定律導(dǎo)出如下：料力學(xué)根據(jù)胡克定律導(dǎo)出如下：GGGEEExzxzxyxyyzyzyxzzzxyyzyxx）（）（）（1112(1)EGn在平面應(yīng)力問題中，在平面應(yīng)力問題中，式變?yōu)椋菏阶優(yōu)椋?()xxyE2(1)xyxyxyGE1()yyxEn在平面應(yīng)變問題中，在平面應(yīng)變問題中，只要將上式中的只要

13、將上式中的E換為換為 ，換為換為 就得到平面應(yīng)變問題的物理方程。就得到平面應(yīng)變問題的物理方程。21E1xyxyxyyyxxEEE1211222022-5-242-6 邊界條件邊界條件q若在若在su部分部分邊界上給定了約束位移分量邊界上給定了約束位移分量 和和 ，則對于此邊界上的，則對于此邊界上的每一點，位移函數(shù)每一點，位移函數(shù)u和和v應(yīng)滿足條件：應(yīng)滿足條件：( )u s( )v s( )( )suu s( )( )svv sq其中其中（u）s 和和 （v）s 是位移的邊界值，是位移的邊界值， 和和 在邊界上是坐標(biāo)的已在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。知函數(shù)。( )u s( )v sn邊界條件表示在邊界

14、上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為它可以分為位移邊界條件位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件和和混合邊界條件混合邊界條件。q位移邊界條件位移邊界條件：q應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件：q若在若在su部分部分邊界上給定了面力邊界上給定了面力 和和 ，則由平衡條件得出平面應(yīng)，則由平衡條件得出平面應(yīng)力問題的應(yīng)力力問題的應(yīng)力(或面力）邊界條件為：或面力）邊界條件為：( )xfs( )yfs()( )xyxsxlmfs()( )yxysymlfs其中，其中，l,m是邊界面外法線的方向余弦。是邊界面外法線的方向余弦。cos( ,cos(

15、 , )n xln ym）(1 4)(1 5)2022-5-242-7 圣維南原理及其應(yīng)用圣維南原理及其應(yīng)用n在求解彈性力學(xué)問題時，應(yīng)力分量、形變分量和位移分量在求解彈性力學(xué)問題時，應(yīng)力分量、形變分量和位移分量必須滿足區(qū)域內(nèi)的必須滿足區(qū)域內(nèi)的三套基本方程三套基本方程，還必須滿足邊界上的，還必須滿足邊界上的邊邊界條件界條件。但是，要使邊界條件得到完全滿足，往往遇到很。但是，要使邊界條件得到完全滿足，往往遇到很大的困難。大的困難。n圣維南原理圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大方便。方便。n圣維南原理圣維南原理表明，如果把物體的一小部分邊界上的

16、面力，表明，如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但變換為分布不同但靜力等效靜力等效的面力（的面力（主矢相同，對同一點主矢相同，對同一點的主矩也相同的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計。但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計。2022-5-24圣維南原理的應(yīng)用圣維南原理的應(yīng)用n例，設(shè)有柱形構(gòu)件，在兩端截面的例，設(shè)有柱形構(gòu)件，在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉形心受到大小相等而方向相反的拉力力F（a）。如果把一端或兩端的拉。如果把一端或兩端的拉力變換為靜力等效的力，則只有虛力變換為靜力等效的力，則只有虛線劃出

17、的部分的應(yīng)力分布有顯著的線劃出的部分的應(yīng)力分布有顯著的改變，而其余部分所受影響是可以改變，而其余部分所受影響是可以不計的。不計的。n由于（由于（d）圖中，面力連續(xù)分布，邊界條件簡單，應(yīng)力容易求得。其它三）圖中，面力連續(xù)分布，邊界條件簡單，應(yīng)力容易求得。其它三種情況，應(yīng)力難以求得。把種情況，應(yīng)力難以求得。把d情況下的應(yīng)力解答應(yīng)用到其它三個情況，雖情況下的應(yīng)力解答應(yīng)用到其它三個情況，雖不能滿足兩端的應(yīng)力邊界條件，但仍然可以表明離桿端較遠(yuǎn)處的應(yīng)力狀不能滿足兩端的應(yīng)力邊界條件，但仍然可以表明離桿端較遠(yuǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，沒有顯著的誤差。態(tài)，沒有顯著的誤差。n圖圖e，構(gòu)件右端有位移邊界條件，構(gòu)件右端有位移邊界

18、條件， ，d情況的解答，不情況的解答，不能滿足位移邊界條件，但能滿足位移邊界條件，但e圖右端的面力，一定是合成為經(jīng)過截面形心的圖右端的面力，一定是合成為經(jīng)過截面形心的力力F。所以把圖。所以把圖d情況的解答應(yīng)用于圖情況的解答應(yīng)用于圖e時，仍然只是在靠近兩端處有顯著時，仍然只是在靠近兩端處有顯著的誤差，而在離兩端較遠(yuǎn)之處，誤差可以不計。的誤差，而在離兩端較遠(yuǎn)之處，誤差可以不計。( )0,( )0ssuuvv2022-5-24yfxfxyxxxyxfyfNFMSF圣維南原理的應(yīng)用圣維南原理的應(yīng)用n例，厚度例，厚度=1的梁中，左右兩端的梁中，左右兩端x=l，的邊界面是正、負(fù)，的邊界面是正、負(fù)x面，其上

19、作用面，其上作用有一般分布的面力有一般分布的面力 。按照嚴(yán)格的應(yīng)力邊界條件，應(yīng)力分量。按照嚴(yán)格的應(yīng)力邊界條件，應(yīng)力分量在邊界上滿足：在邊界上滿足：n上式要求在邊界上上式要求在邊界上y值不同的各點，應(yīng)力分量與對應(yīng)的面力分量必須處處值不同的各點，應(yīng)力分量與對應(yīng)的面力分量必須處處相等，這種嚴(yán)格的條件是較難滿足的。相等，這種嚴(yán)格的條件是較難滿足的。n當(dāng)當(dāng)lh時，時， x=l 是梁的邊界的一小部分，可以應(yīng)用是梁的邊界的一小部分，可以應(yīng)用圣維南原理，利用圣維南原理，利用靜力等效條件來代替，即，使靜力等效條件來代替，即，使應(yīng)力的主矢量應(yīng)力的主矢量和和主矩主矩分別等于分別等于對應(yīng)的對應(yīng)的面力面力的主矢量的主矢

20、量和和主矩主矩。( ),( )xyfyfy()( ),()( )xxlxxyxlyfyfy 2022-5-24圣維南原理的應(yīng)用圣維南原理的應(yīng)用n應(yīng)力的主矢量和主矩的絕對值分別等于面力的主矢量和主矩的絕對值；應(yīng)力的主矢量和主矩的絕對值分別等于面力的主矢量和主矩的絕對值；n面力的主矢量和主矩的方向就是應(yīng)力的主矢量和主矩的方向。面力的主矢量和主矩的方向就是應(yīng)力的主矢量和主矩的方向。/2/2(),hxxlNhdyF/2/2()hxxlhdy yM，/2/2()hxyxlShdyFyfxfxyxxxyxfyfNFMSF/2/2/2/2()( ),hhxxlxhhdyfy dy /2/2/2/2()( )

21、,hhxxlxhhdy yfy dy y /2/2/2/2()( )hhxyxlyhhdyfy dy y 。2-82-8按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題n以上幾節(jié)已經(jīng)建立了彈性力學(xué)平面問題的以上幾節(jié)已經(jīng)建立了彈性力學(xué)平面問題的 基本方程和邊基本方程和邊界條件，即：界條件，即：平衡微分方程、幾何方程平衡微分方程、幾何方程和和物理方程物理方程，以及，以及位移的邊界條件位移的邊界條件和和應(yīng)力的邊界條件應(yīng)力的邊界條件。n求解彈性力學(xué)平面問題即求解求解彈性力學(xué)平面問題即求解3個應(yīng)力分量個應(yīng)力分量、3個形變分量個形變分量及及2個位移分量個位移分量的未知函數(shù)。通常采用類似于代數(shù)方程中的未知函數(shù)。通常

22、采用類似于代數(shù)方程中消元法進(jìn)行求解。消元法進(jìn)行求解。n按位移求解的方法，稱為按位移求解的方法，稱為位移法位移法。它以位移分量為基本未。它以位移分量為基本未知函數(shù)。知函數(shù)。n按應(yīng)力求解的方法，稱為按應(yīng)力求解的方法，稱為應(yīng)力法應(yīng)力法。它以應(yīng)力分量為基本未。它以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。知函數(shù)。2-7按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題n平面問題中，取位移分量平面問題中，取位移分量u和和v為基本未知函數(shù)。為基本未知函數(shù)。n從方程中消去形變分量和應(yīng)力分量：從方程中消去形變分量和應(yīng)力分量：n再將幾何方程代入上式再將幾何方程代入上式22222211()0122yxxxxEuuvffxyxyx y ,xy

23、xyuvvuxyxyn利用平衡微分方程和邊界條件，導(dǎo)出用位移表示的平衡微分方程利用平衡微分方程和邊界條件，導(dǎo)出用位移表示的平衡微分方程：xyxyxyyyxxEEE121122)(121122xvyuExuyvEyvxuExyyx2-7 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題n利用應(yīng)力邊界條件利用應(yīng)力邊界條件)(121122xvyuExuyvEyvxuExyyxn得到用位移表示的應(yīng)力邊界條件得到用位移表示的應(yīng)力邊界條件()( )xyxsxlmfs()( )yxysymlfs其中：其中：n位移邊界條件如（位移邊界條件如（1-4）不變）不變( )( ),( )( )ssuu svv s()u在S 上()在S 上n按位移法求解平面應(yīng)力問題時，要使位移分