大學(xué)物理-角動量守恒定律

1、4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律1 角動量變化定理和角動量守恒角動量變化定理和角動量守恒 1. 質(zhì)點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)的角動量 2. 質(zhì)點(diǎn)角動量變化定理質(zhì)點(diǎn)角動量變化定理 3. 質(zhì)點(diǎn)系角動量變化定理和角動量質(zhì)點(diǎn)系角動量變化定理和角動量守恒定律守恒定律4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律1 質(zhì)點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)對O點(diǎn)的角動量：點(diǎn)的角動量：vrprlm 角動量的大?。航莿恿康拇笮。?sinsinmrvrpl 右手螺旋定則：右手螺旋定則：右手四指由右手四指由r經(jīng)小于經(jīng)小于180 角角轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向p，伸直的拇指的指向就是角動量的指向。，伸直的拇指的指向就是角動量的指

2、向。 必須指明是對哪個點(diǎn)而言的必須指明是對哪個點(diǎn)而言的 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律3 (2) 的大小在的大小在0 之間變化，如果把動量分解之間變化，如果把動量分解為徑向分量為徑向分量 和橫向分量和橫向分量 ，則僅橫，則僅橫向分量才對角動量有貢獻(xiàn)。向分量才對角動量有貢獻(xiàn)。Lrpcosp sinp 一般情形下，一般情形下， 和和 都是變化的，所以都是變化的，所以 沒沒有確定的方向，但任一時刻，有確定的方向，但任一時刻， 總垂直于總垂直于 和和 所確定的平面。在直角坐標(biāo)系下，所確定的平面。在直角坐標(biāo)系下， 的三個分量的三個分量為：為：rpLLrpL注意兩點(diǎn)：注意兩點(diǎn)：L(1)

3、 質(zhì)點(diǎn)的角動量是相對某一參考點(diǎn)而言的，因此質(zhì)點(diǎn)的角動量是相對某一參考點(diǎn)而言的，因此對不同的參考點(diǎn)，角動量對不同的參考點(diǎn)，角動量 不同不同;4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律 作圓周運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)對作圓周運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)對O點(diǎn)的點(diǎn)的角動量的方向垂直于圓周平角動量的方向垂直于圓周平面，大小為面，大小為2mrmrvl 把過把過O點(diǎn)并垂直于圓周平面的直線當(dāng)成點(diǎn)并垂直于圓周平面的直線當(dāng)成轉(zhuǎn)軸，上式表示質(zhì)點(diǎn)繞該軸轉(zhuǎn)動的角動量。轉(zhuǎn)軸，上式表示質(zhì)點(diǎn)繞該軸轉(zhuǎn)動的角動量。 xzyyxzzyxLypzpLzpxpLxpyp 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律5直線運(yùn)動的角動直線運(yùn)動的角動量量 若質(zhì)

4、點(diǎn)若質(zhì)點(diǎn)m沿直線運(yùn)動，任一時刻相對于參考沿直線運(yùn)動，任一時刻相對于參考點(diǎn)點(diǎn)o的矢徑為的矢徑為 ，動量為，動量為 ，如下圖。在計算其，如下圖。在計算其角動量時，注意有兩個特點(diǎn)：角動量時，注意有兩個特點(diǎn)：(1) o點(diǎn)到點(diǎn)到 方向的垂直距離方向的垂直距離 不變不變;(2) 方向不變方向不變;rppsinr L1p2p1r2r1 2 sinr o 假如假如 的大小也不變，的大小也不變，顯然顯然 的大小不變。這表的大小不變。這表明，自由質(zhì)點(diǎn)對任意參考明，自由質(zhì)點(diǎn)對任意參考點(diǎn)的角動量保持不變。點(diǎn)的角動量保持不變。Lp4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律61.5.2 質(zhì)點(diǎn)角動量定理質(zhì)點(diǎn)角動量定

5、理 質(zhì)點(diǎn)對慣性系中任一固定點(diǎn)的角動量對時間質(zhì)點(diǎn)對慣性系中任一固定點(diǎn)的角動量對時間的變化率，等于這個質(zhì)點(diǎn)所受合力對該固定點(diǎn)的變化率，等于這個質(zhì)點(diǎn)所受合力對該固定點(diǎn)的力矩的力矩 t ddlM sinrfM 力矩：力矩： frM 方向用右手螺旋方向用右手螺旋定則判斷，大小為定則判斷，大小為 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律7證明：證明：牛頓定律牛頓定律 角動量定理角動量定理t ddpf 因因 ，則有，則有0 pvpvprfrt ddt ddprfrttddd)d(lprprprttddddt ddlM 即即4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律8質(zhì)點(diǎn)角動量守恒定律：質(zhì)點(diǎn)

6、角動量守恒定律：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受力，或所受合力矩當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受力，或所受合力矩M= =0時時， 常矢量常矢量l0ddtl質(zhì)點(diǎn)角動量的大小和方向都保持不變。質(zhì)點(diǎn)角動量的大小和方向都保持不變。 【例【例1.20】開普勒第二定律：開普勒第二定律：行星相對太陽行星相對太陽的位矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。的位矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。 在微觀物理現(xiàn)象中，角動量守恒起到十分重在微觀物理現(xiàn)象中，角動量守恒起到十分重要的作用。要的作用。4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律9rrdr 2p1pdssinr 設(shè)設(shè) t 時刻，行星在時刻，行星在 點(diǎn)，點(diǎn)， 時刻在時刻在 點(diǎn)，點(diǎn)，矢徑矢徑 掃過的面積為掃

7、過的面積為dA，由于，由于dt很小，該面積近似很小，該面積近似為一三角形面積，即為一三角形面積，即1ptdt 2pr12( sin )dArds 式中，式中， 就是三角形的高，就是三角形的高，ds是三角形底邊長是三角形底邊長度，也就是行星在度，也就是行星在dt時間內(nèi)運(yùn)動的距離，這樣時間內(nèi)運(yùn)動的距離，這樣sinr 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律10112211 22( sin )sinsindAdsrrvdtdtrmvrpmm 而行星的角動量而行星的角動量 大小恒定，所以大小恒定，所以rp dAdt 常量常量 如果一個力的方向始終指向某一點(diǎn)，這力稱如果一個力的方向始終指向某一

8、點(diǎn)，這力稱為為有心力有心力，這點(diǎn)，稱為，這點(diǎn)，稱為力心力心。有心力對力心的力。有心力對力心的力矩恒為矩恒為0，因此，因此，在有心力作用下的質(zhì)點(diǎn)對力心在有心力作用下的質(zhì)點(diǎn)對力心的角動量守恒。的角動量守恒。這就是開普勒第二定律。這就是開普勒第二定律。4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律11 質(zhì)點(diǎn)系角動量變化定理和角動量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系角動量變化定理和角動量守恒定律1. 質(zhì)點(diǎn)系角動量質(zhì)點(diǎn)系角動量iiimiiivrlL2. 質(zhì)點(diǎn)系角動量變化定理質(zhì)點(diǎn)系角動量變化定理 質(zhì)點(diǎn)系對慣性系中任一固定點(diǎn)的角動量對時質(zhì)點(diǎn)系對慣性系中任一固定點(diǎn)的角動量對時間的變化率，等于這個質(zhì)點(diǎn)系所受對該固定點(diǎn)間的變化率

9、，等于這個質(zhì)點(diǎn)系所受對該固定點(diǎn)的合外力矩的合外力矩t ddLM外iifrMi外合外力矩：合外力矩：4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律12證明：證明：對第對第i 個質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用角動量定理個質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用角動量定理 tijjijiijjijidd)()(iiiilfrfrffr對對i 求和求和 ttiijjiijiidddd)(,Llfrfriiiijjiijfrrfrfrjiji)(0任意一對內(nèi)力的力矩之和為零：任意一對內(nèi)力的力矩之和為零： 內(nèi)力總成對出現(xiàn)，則質(zhì)點(diǎn)內(nèi)力總成對出現(xiàn)，則質(zhì)點(diǎn)系所受合內(nèi)力矩等于零，系所受合內(nèi)力矩等于零，對總角動量沒有影響。對總角動量沒有影響。4- -3角動量角動量

10、守恒定律角動量角動量守恒定律133. 角動量守恒定律角動量守恒定律0外M如果質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩如果質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩 ，則，則 0ddtL， 常矢量常矢量 L 實(shí)驗(yàn)表明，對于不受外界影響的粒子系統(tǒng)所實(shí)驗(yàn)表明，對于不受外界影響的粒子系統(tǒng)所經(jīng)歷的任意過程，包括不能用牛頓力學(xué)描述的經(jīng)歷的任意過程，包括不能用牛頓力學(xué)描述的過程，都遵守角動量守恒定律。過程，都遵守角動量守恒定律。 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律14【例【例1.21】光滑水平面上輕彈簧兩端各系一小球，光滑水平面上輕彈簧兩端各系一小球，開始彈簧處于自然長度，兩小球靜止。今同時開始彈簧處于自然長度，兩小球靜止。今同時打擊兩

11、個小球，讓它們沿垂直于彈簧軸線方向打擊兩個小球，讓它們沿垂直于彈簧軸線方向獲得等值反向的初速度獲得等值反向的初速度v0。如果在以后的運(yùn)動過。如果在以后的運(yùn)動過程中彈簧的最大長度為程中彈簧的最大長度為2l0，求初速度，求初速度v0。k解解質(zhì)心質(zhì)心C點(diǎn)固定不動，相對點(diǎn)固定不動，相對C點(diǎn)系統(tǒng)的角動量守恒。點(diǎn)系統(tǒng)的角動量守恒。 系統(tǒng)：系統(tǒng)：彈簧和小球彈簧和小球初始時刻角動量：初始時刻角動量： 000000022mvlmvlmvlL4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律15 彈簧達(dá)到最大長度時，小球只能沿垂直于彈彈簧達(dá)到最大長度時，小球只能沿垂直于彈簧軸線方向運(yùn)動，則系統(tǒng)的角動量簧軸線方向運(yùn)

12、動，則系統(tǒng)的角動量mvlmvlmvlL00022222LL 020vv 機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒： 200222020)2(2121212121llkmvmvmvmv0032lmkv 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律16 例例1 一半徑為一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)面內(nèi). 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的小的小球穿在圓環(huán)上球穿在圓環(huán)上, 并可在并可在圓環(huán)上滑動圓環(huán)上滑動. 小球開始小球開始時靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)時靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過環(huán)心該點(diǎn)在通過環(huán)心 O 的的水平面上水平面上)，然后從，然后從 A點(diǎn)開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略點(diǎn)開始下滑設(shè)小球

13、與圓環(huán)間的摩擦力略去不計求小球滑到點(diǎn)去不計求小球滑到點(diǎn) B 時對環(huán)心時對環(huán)心 O 的角的角動量和角速度動量和角速度4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律17 解解 小球受力小球受力 、 作用作用, 的力矩為的力矩為零，重力矩垂直紙面向里零，重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點(diǎn)的角動量定理由質(zhì)點(diǎn)的角動量定理cosmgRM tLmgRddcostmgRLdcosdNFPNFtLMdd得：得：4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律18考慮到考慮到tmRLdd,2dmgRmRcosd2得得21)sin2(RgtmgRLdcosddgRcosd00cosddgR2123)sin2(gmRL

14、4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律19sinLrmvLrp右手螺旋2LrmvmrJ質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)：園周運(yùn)動：園周運(yùn)動：22()iiiiii ii iiiLLrpLm rm rJ質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系：園周運(yùn)動：園周運(yùn)動：角動量定理：角動量定理：dLMdt合外力矩為合外力矩為0，角動量守恒。，角動量守恒。4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律20二二 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 和角動量守恒定律和角動量守恒定律 1剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量的角動量2iiirmLOirimivJL ziiirm)(24- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律21

15、2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理tLMddJL 由于剛體轉(zhuǎn)動慣量為一常量由于剛體轉(zhuǎn)動慣量為一常量dtdJdtLd所以所以即即稱剛體定軸轉(zhuǎn)動稱剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理的角動量定理4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律22非剛體非剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理112221dJJtMtt1221dJJtMtt3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律角動量守恒定律0MJL ，則，則若若=常量常量 對定軸轉(zhuǎn)的剛體，受合外力矩對定軸轉(zhuǎn)的剛體，受合外力矩M，從，從 到到 內(nèi)，角速度從內(nèi)，角速度從 變?yōu)樽優(yōu)?，積分可得：，積分可得：212t1t4- -3角動

16、量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律23 角動量守恒定律是自然界的一個基本定律角動量守恒定律是自然界的一個基本定律. 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量. 守恒條件守恒條件0M若若 不變，不變， 不變；不變；若若 變，變， 也變，但也變，但 不變不變.JJLJ討論討論exinMM 在在沖擊沖擊等問題中等問題中 L常量常量4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律24 許多現(xiàn)象都可許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來以用角動量守恒來說明說明.花樣滑冰花樣滑冰跳水運(yùn)動員跳水跳水運(yùn)動員跳水點(diǎn)擊圖片播放4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律25 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒是經(jīng)?？?/p>

17、以見到的剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒是經(jīng)?？梢砸姷降?，如人手持啞鈴的轉(zhuǎn)動如人手持啞鈴的轉(zhuǎn)動 ,芭蕾舞演員和花樣滑冰運(yùn)動芭蕾舞演員和花樣滑冰運(yùn)動員作各種快速旋轉(zhuǎn)動作員作各種快速旋轉(zhuǎn)動作, 都利用了對轉(zhuǎn)軸的角動量都利用了對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律。守恒定律。 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律26 常量tJ tJ tJ 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律274- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律28自然界中存在多種守恒定律自然界中存在多種守恒定律2 動量守恒定律動量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角動量守恒定律角動量守恒定律2電荷守恒定律電荷守恒定律2質(zhì)量守

18、恒定律質(zhì)量守恒定律2宇稱守恒定律等宇稱守恒定律等4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律29例例1 一均質(zhì)棒，長度為一均質(zhì)棒，長度為 L，質(zhì)量為，質(zhì)量為M，現(xiàn)有一子彈，現(xiàn)有一子彈在距軸為在距軸為 y 處水平射入細(xì)棒，子彈的質(zhì)量為處水平射入細(xì)棒，子彈的質(zhì)量為 m ,速度為速度為 v0 。求求 子彈細(xì)棒共同的角速度子彈細(xì)棒共同的角速度 。其中其中xNy0vm2231myMLJJJ子棒22031myMLymvr討論討論解解子彈、細(xì)棒系統(tǒng)的動量矩守恒子彈、細(xì)棒系統(tǒng)的動量矩守恒 ym0vJ水平方向動量守恒水平方向動量守恒4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律30 例例2：在光滑水平

19、桌面上放置一個靜止的在光滑水平桌面上放置一個靜止的質(zhì)量為質(zhì)量為M、長為、長為2l、可繞中心轉(zhuǎn)動的細(xì)桿，有、可繞中心轉(zhuǎn)動的細(xì)桿，有一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的小球以速度的小球以速度v0與桿的一端發(fā)生完與桿的一端發(fā)生完全彈性碰撞，求小球的反彈速度全彈性碰撞，求小球的反彈速度v及桿的轉(zhuǎn)動及桿的轉(zhuǎn)動角速度角速度。mo解：在水平面上，碰解：在水平面上，碰撞過程中系統(tǒng)角動量撞過程中系統(tǒng)角動量守恒，守恒，LL0Jvv mlml0（1）0v4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律31mo彈性碰撞動能守恒，彈性碰撞動能守恒，222212121Jmmvv0（2）2231)2(121MllMJ其中其中0v聯(lián)立聯(lián)立

20、(1)、(2)式求解式求解3mMM)v-(3mv03m)l(M6mv04- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律32 例例3 摩擦離合器摩擦離合器 飛輪飛輪1：J1、 w1 摩擦輪摩擦輪2： J2 靜止，兩輪沿軸向結(jié)合，結(jié)合后兩輪達(dá)到靜止，兩輪沿軸向結(jié)合，結(jié)合后兩輪達(dá)到的共同角速度。的共同角速度。兩輪對共同轉(zhuǎn)軸的角動量守恒兩輪對共同轉(zhuǎn)軸的角動量守恒2111JJJ2111JJJ解：解：試與下例的齒輪試與下例的齒輪嚙合過程比較。嚙合過程比較。214- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律33兩輪繞不同軸轉(zhuǎn)動，故對兩輪繞不同軸轉(zhuǎn)動，故對兩軸分別用角動量定理：兩軸分別用角動量定理：01

21、111dJJtFr222dJtFr2211rr解：解：0122F1 例例4 兩圓盤形齒輪半徑兩圓盤形齒輪半徑r1 、 r2 ，對通過盤心，對通過盤心垂直于盤面轉(zhuǎn)軸的垂直于盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為J1 、 J2，開始，開始 1輪以輪以 轉(zhuǎn)動，然后兩輪正交嚙合，求嚙合后轉(zhuǎn)動，然后兩輪正交嚙合，求嚙合后兩輪的角速度。兩輪的角速度。04- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律34得：得：22121222011rJrJrJ22121221012rJrJrrJ0122F101111dJJtFr222dJtFr2211rr4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律35 例例5 質(zhì)量很小

22、長度為質(zhì)量很小長度為l 的均勻細(xì)桿，可繞過的均勻細(xì)桿，可繞過其中心其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動動當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時，有一只小蟲當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時，有一只小蟲以速率以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處，并背離點(diǎn)處，并背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)爬行設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為量均為m問：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)問：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行動，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0vl/4O4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律36220)4(1214lmmllmvl0

23、712 v解解蟲與桿的蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角碰撞前后，系統(tǒng)角動量守恒動量守恒4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律37l0712 v由角動量定理由角動量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考慮到考慮到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律38 例例6一雜技演員一雜技演員M由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為h 處處自由下落到蹺板的一端自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一端，并把蹺板另一端的演員的演員N彈了起來問演員彈了起來問演員N可彈起多高可彈起多高? ?ll/

24、2CABMNh4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律39設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為l，質(zhì)量為質(zhì)量為 ，蹺板可繞中部支撐點(diǎn)蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為m假定演員假定演員M落在蹺板上，落在蹺板上，與蹺板的碰撞是與蹺板的碰撞是完全非彈性完全非彈性碰撞碰撞m解解碰撞前碰撞前M落在落在 A點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度21M)2( ghv碰撞后的瞬間，碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律40M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒22M

25、21121222mllmlmuJlmvll/2CABMNh4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律41lmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演員演員N以以u起跳，達(dá)到的高度：起跳，達(dá)到的高度：hmmmglguh2222)63(8222M21121222mllmlmuJlmv4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律420v解：碰撞前的瞬間解：碰撞前的瞬間桿對桿對 點(diǎn)的角動量為點(diǎn)的角動量為.求：桿在碰撞前后的瞬時繞求：桿在碰撞前后的瞬時繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度。點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度。( (細(xì)桿繞通過其端點(diǎn)且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣量為細(xì)桿繞通過其端點(diǎn)且與其垂直的軸

26、轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣量為 ) )例例7 7：一勻質(zhì)細(xì)桿長為一勻質(zhì)細(xì)桿長為 質(zhì)量為質(zhì)量為 ，以與桿長垂直的速度，以與桿長垂直的速度 在光滑在光滑水水平面內(nèi)平動時與前方一固定光滑支點(diǎn)平面內(nèi)平動時與前方一固定光滑支點(diǎn) 發(fā)生完全非彈性碰撞，發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞點(diǎn)位于桿中心的一方碰撞點(diǎn)位于桿中心的一方 處如圖所示處如圖所示2Lm0vo/ 2L213mloL21L21LBAo0v式式中中 為桿的線密度為桿的線密度 3122000020012LLv xdxv xdxv Lmv L 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律43碰撞后瞬間碰撞后瞬間桿對桿對 點(diǎn)的角動量為點(diǎn)的角動量為o2221 331 13

27、7()() 3 423 4212JmLmLmL因碰撞前后角動量守恒，所以因碰撞前后角動量守恒，所以 =22007/12/ 267mLmv LvL 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律44Rv/ 2R 例例8 8：在半徑為：在半徑為R R的具有光滑豎直軸的水平園盤上，有一的具有光滑豎直軸的水平園盤上，有一人靜止站立人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸在距轉(zhuǎn)軸 處，人的質(zhì)量是園盤質(zhì)量的處，人的質(zhì)量是園盤質(zhì)量的 ，開始時盤載人相對地以角速度，開始時盤載人相對地以角速度 勻速轉(zhuǎn)動，如果勻速轉(zhuǎn)動，如果此人垂直園盤半徑相對于盤以速率此人垂直園盤半徑相對于盤以速率 沿與盤轉(zhuǎn)動相反方沿與盤轉(zhuǎn)動相反方向作園周運(yùn)動如

28、圖所示。巳知園盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣向作園周運(yùn)動如圖所示。巳知園盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為量為 ，求：，求： (1)(1)園盤對地角速度園盤對地角速度;(2);(2)欲使園盤欲使園盤對地靜止對地靜止, , 人沿著園周對園盤的速度的大小及方向？人沿著園周對園盤的速度的大小及方向？1/10,R /2 02/ 2MRv4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律45解解(1)(1)設(shè)當(dāng)人以速度設(shè)當(dāng)人以速度 沿相對園盤轉(zhuǎn)動相反的方向走動沿相對園盤轉(zhuǎn)動相反的方向走動時，園盤對地轉(zhuǎn)動的角速度為時，園盤對地轉(zhuǎn)動的角速度為 ，則人對與地固聯(lián)的，則人對與地固聯(lián)的轉(zhuǎn)軸的角速度為轉(zhuǎn)軸的角速度為v 人與盤視為一個系統(tǒng)，

29、人與盤視為一個系統(tǒng)，對轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，系統(tǒng)的角動量守恒的角動量守恒。設(shè)盤的質(zhì)量為設(shè)盤的質(zhì)量為 ，則人的質(zhì)量為，則人的質(zhì)量為,M10/M22/vvRR(1)222201121022102() ()M RM RMRMR(2)將將(1)(1)式代入式代入(2)式得：式得：0221vR(3)4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律46(2 )(2 )欲使盤對地靜止則欲使盤對地靜止則(3)(3)式必為零即式必為零即, .得：得：2/210Rv( (式中式中負(fù)號表示人的走動方向與上一問中人的走動負(fù)號表示人的走動方向與上一問中人的走動方向相反方向相反, 即與盤的轉(zhuǎn)動方向一

30、致即與盤的轉(zhuǎn)動方向一致)。02021vR 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律47ORMm0v例例:一質(zhì)量均勻分布的園盤，質(zhì)量為一質(zhì)量均勻分布的園盤，質(zhì)量為M ,半徑為半徑為 R,放在一粗糙水放在一粗糙水平面上平面上,園盤可繞過其中心園盤可繞過其中心O的的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動.開始時開始時,園盤園盤靜止靜止,一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈以水平速度的子彈以水平速度垂直于園盤半徑打入園盤垂直于園盤半徑打入園盤邊緣并嵌在盤邊上邊緣并嵌在盤邊上,求求(1)子彈擊中園盤后子彈擊中園盤后,園盤獲得的角速度；園盤獲得的角速度；(2)經(jīng)過多少時間后經(jīng)過多少時間后,園盤停止轉(zhuǎn)動？園盤停

31、止轉(zhuǎn)動？(忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩)0v4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律48(1)(1)以子彈和園盤為系統(tǒng)，在子彈擊中園盤的過程中對軸以子彈和園盤為系統(tǒng)，在子彈擊中園盤的過程中對軸 的的角動量守恒角動量守恒O(2)(2)設(shè)設(shè) 為園盤單位面積的質(zhì)量，可求出園盤所受水平面的摩為園盤單位面積的質(zhì)量，可求出園盤所受水平面的摩擦力矩的大小為擦力矩的大小為s s22012()mv RMRmR 012()mvMm R 03222 33RfMgrrdrgRMgR ssss4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律4922001 2()fMtJMRmRm

32、v R 根椐角動量定理，有根椐角動量定理，有0003223fmv Rmv RmvtMMgMgR 解得解得,設(shè)經(jīng)過設(shè)經(jīng)過時間園盤停止轉(zhuǎn)動時間園盤停止轉(zhuǎn)動, ,t 4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律例例3.2.3 重力有一特點(diǎn)，地球上任一物體受到的重力有一特點(diǎn)，地球上任一物體受到的重力都指向地心重力都指向地心; 同樣，在點(diǎn)電荷產(chǎn)生的靜電場中，同樣，在點(diǎn)電荷產(chǎn)生的靜電場中，其他點(diǎn)電荷受到的作用力都指向場源電荷。人們把其他點(diǎn)電荷受到的作用力都指向場源電荷。人們把物體所受的指向一固定點(diǎn)的力稱為物體所受的指向一固定點(diǎn)的力稱為有心力有心力，把對應(yīng)，把對應(yīng)的力場稱為有心力場。證明：的力場稱為有

33、心力場。證明：(1)在有心力作用下在有心力作用下運(yùn)動的物體，角動量守恒運(yùn)動的物體，角動量守恒; (2)所有有心力都是保所有有心力都是保守力，因而有心力場中運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能守恒守力，因而有心力場中運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能守恒; (3)在與距離成平方反比的有心力場中，龍格在與距離成平方反比的有心力場中，龍格-楞次楞次矢量矢量 守恒守恒; (4)平方反比力場中質(zhì)平方反比力場中質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動一定滿足開普勒運(yùn)動。的運(yùn)動一定滿足開普勒運(yùn)動。rBvLkr4- -3角動量角動量守恒定律角動量角動量守恒定律51 r0rnxyo證明：證明：(1)在有心力場中，質(zhì)點(diǎn)只受到有心力作用，有心在有心力場中，質(zhì)點(diǎn)只受到有心力作用，有心力對力心的力矩始終為力對力心的力矩始終