第3章 區(qū)間估計(jì)

1、定義3.1.1 設(shè) 是總體的一個(gè)參數(shù)，其參數(shù)空間為，x1, x2 , , xn是來自該總體的樣本，對(duì)給定的一個(gè) (0 1)，若有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 和 ，若對(duì)任意的，有 （3.1.1）1( ,)LLnxx1( ,)UUnxx()1,LUP,LU 這里置信水平1- - 的含義是指在大量使用該置信區(qū)間時(shí)，至少有100(1-)%的區(qū)間含有 。 ,LULU1212(9)10,(9)10 xtsxts0.5797 ,0.5797xsxsx14.7053,1.8438xs14.7053 0.5797 1.8438, 14.7053 0.5797 1.8438 13.6427, 15.7679圖3.1.1 的置信水

2、平為0.90的置信區(qū)間 圖3.1.2 的置信水平為0.50的置信區(qū)間 ()1LUP ,LULLUU()1LP ()1UPLULU滿足置信度要求的c與d通常不唯一。若有可能，應(yīng)選平均長(zhǎng)度 達(dá)到最短的c與d，這在G的分布為對(duì)稱分布場(chǎng)合通常容易實(shí)現(xiàn)。 實(shí)際中，選平均長(zhǎng)度 盡可能短的c與d，這往往很難實(shí)現(xiàn)，因此，常這樣選擇 c與d，使得兩個(gè)尾部概率各為 /2，即P(Gd)= /2，這樣的置信區(qū)間稱為等尾置信區(qū)間。這是在G的分布為偏態(tài)分布場(chǎng)合常采用的方法。 ULEULE解:（1）取x(n)作為樞軸量，其密度函數(shù)為p(y; )= nyn-1/ n， 0y 1； （2）x(n) / 的分布函數(shù)為F(y)=y

3、n, 0y 1，故P(cx(n)/ d)= d n-cn， 因此我們可以適當(dāng)?shù)剡x擇c和d滿足d n-cn=1-( )11nExcdn11cd( )( ),nnnxx(0,1)xGNn1Pxdnxcn ()/dcn12xun12xunx12un15.4x 1215.4 1.96 0.1 9 15.4 0.0653x un122 un1221.2un1212/,/xunxun 這時(shí)可用t 統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)?，因此 t 可以用來作為樞軸量。完全類似于上一小節(jié)，可得到 的1-置信區(qū)間為 此處 是 2的無(wú)偏估計(jì)。 () (1)n xtt ns1212(1),(1)x tnsnx tnsn221()1isxx

4、nx4.70922.20100.0615/ 124.5516, 4.8668()( (1)1n xP tns 1(1)xtnsn222(1)1nsGn222/ 21/ 2211nsP2222121211 ,11nsnnsn0.260.26,0.0148,0.119317.53452.1797xy22111mxiisxxm22111nyiisyyn1、 12和 22已知時(shí)的兩樣本u區(qū)間 2、 12 = 22 = 2未知時(shí)的兩樣本t區(qū)間 222212121212,xyuxyumnmn12122 ,2wwmnmnxys tmnxys tmnmnmn3、 22 / 12=已知時(shí)的兩樣本t區(qū)間 1212

5、2 ,2ttmnmnxystmnxystmnmnmn22221212,yyxxssssxyuxyumnmn 0 120 12,xys tlxys tl2220/ ,xyssmsn40442211yxslssmmnnxy22117 2110.55369 3256.222252.4880216xywmsnssmn 120.9752162.1199tmnt12111122.1199 52.488052.7797810wtmnsmn569.3750 487 52.7797, 9569.3750 487 52.7797 29.5953, 135.15472.2222589.441417.7429 182

6、110.55363256.2222871011l 0 0.97524.2784 2.100951.0065s tl 2212221,1xysFF mns2222122211,11,11xysP FmnFmns 222212211,1,11,1xxyysssFmnsFmn0.0250.975114,50.10685,49.36FF0.9754,57.39F一、指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)設(shè)X1,X2, ,Xn是來自指數(shù)總體是來自指數(shù)總體E() 的樣本的樣本,則則22(2 )n Xn22122(2 )2(2 )1Pnn Xn 22122(2 )(2 ),22nnnXnX二、二

7、、0-1分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)(方法方法1)設(shè)設(shè)X1,X2, ,Xn是來自是來自0-1分布總體分布總體B(1,p) 的樣本的樣本,則則當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，(0,1)(1)XpNpp n近似服從21(1)/XpPuppn 222222201PnupnXupnX 2211441.22Pbbacpbbacaa 22114,422bbacbbacaa 22222,2,.anubnXucnX 例例3.4.13.4.1 設(shè)從某廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽查了設(shè)從某廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽查了100100件，發(fā)現(xiàn)其中有一級(jí)品件，發(fā)現(xiàn)其中有一級(jí)品6060件，求這批產(chǎn)品一級(jí)品件，求這批產(chǎn)品一級(jí)品率的率的

8、95%95%置信區(qū)間。置信區(qū)間。解：設(shè)一級(jí)品率為解：設(shè)一級(jí)品率為p, 則則0p1 100,.,2 , 1, 0, 1i，i，iXi件為非一級(jí)品第件為一級(jí)品第則則X1,X2, ,X100是來自是來自0-1分布總體分布總體B(1,p) 的的一個(gè)容量為一個(gè)容量為100的樣本的樣本96. 1,05. 095. 01, 6 . 0100/60,1002/uxn22222103.84,2123.84,36.anubnxucnx 2140.50;2bbaca 2140.69.2bbaca 故這批產(chǎn)品一級(jí)品率的故這批產(chǎn)品一級(jí)品率的95%95%置信區(qū)間為置信區(qū)間為(0.50,0.69). .0-1分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)(方法方法2)設(shè)設(shè)X1,X2, ,Xn是來自是來自0-1分布總體分布總體B(1,p) 的樣本的樣本,則則當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，) 1 , 0(NnSpX近似服從)(1)(1122122XXnnXnXnSnii) 1 , 0() 1()1 (NnXXpX近似服從故211/(1)XpPuXXn 221/(1),1/(1)XuXXnXuXXn由此得例由此得例3.4.13.4.1一級(jí)品率一級(jí)品率95%95%置信區(qū)間為置信區(qū)間為(0.504,0.696). .解：這是關(guān)于二點(diǎn)分布比例p的置信區(qū)間問題，由上式知，1-的置信區(qū)間長(zhǎng)度為 這是一個(gè)