第三節(jié)空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系

1、一、平面的基本性質(zhì)一、平面的基本性質(zhì)名稱名稱圖示圖示文字表示文字表示符號(hào)表示符號(hào)表示公理公理1如果一條直線如果一條直線上的兩點(diǎn)在一上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在么這條直線在此平面內(nèi)此平面內(nèi)Al，Bl，且且A，B_l知識(shí)能否憶起知識(shí)能否憶起名稱名稱圖示圖示文字表示文字表示符號(hào)表示符號(hào)表示公理公理2過不在一條直線上過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面一個(gè)平面公理公理3如果兩個(gè)不重合的如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共一條過該點(diǎn)的公共直線直線P，且且P_ l且且Pl二、空間直線的位置關(guān)系二、空間直

2、線的位置關(guān)系1位置關(guān)系的分類位置關(guān)系的分類相交相交一個(gè)一個(gè)平行平行沒有沒有任何任何沒有沒有2平行公理平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行于同一條直線的兩條直線互相 平行平行3等角定理等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角角 4異面直線所成的角異面直線所成的角(或夾角或夾角)(1)定義：設(shè)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線作直線aa，bb，把，把a(bǔ)與與b所成的所成的 叫做叫做異面直線異面直線a與與b所成的角所成的角(2)范圍：范圍：_.相等或互補(bǔ)相等或互補(bǔ)銳角銳角(或直角或直

3、角)三、直線與平面的位置關(guān)系三、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系位置關(guān)系圖示圖示符號(hào)表示符號(hào)表示公共點(diǎn)個(gè)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)數(shù)直線直線l在平在平面面內(nèi)內(nèi)_直線直線l與平與平面面相交相交_直線直線l與平與平面面平行平行_l無數(shù)個(gè)無數(shù)個(gè)lA一個(gè)一個(gè)l0個(gè)個(gè)四、平面與平面的位置關(guān)系四、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系位置關(guān)系圖示圖示符號(hào)表示符號(hào)表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)平面兩個(gè)平面平行平行_兩個(gè)平面兩個(gè)平面相交相交_l_個(gè)個(gè)(這些公這些公共點(diǎn)均在交線共點(diǎn)均在交線l上上)0個(gè)個(gè)無數(shù)無數(shù)小題能否全取小題能否全取1(教材習(xí)題改編教材習(xí)題改編)已知已知a，b是異面直線，直線是異面直線，直線c平行于平行于直線直線a，那么，那

4、么c與與b()A異面異面B相交相交C不可能平行不可能平行 D不可能相交不可能相交解析：由已知直線解析：由已知直線c與與b可能為異面直線也可能為相交可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若直線，但不可能為平行直線，若bc，則，則ab.與與a，b是異面直線相矛盾是異面直線相矛盾答案：答案：C2(2013東北三校聯(lián)考東北三校聯(lián)考)下列命題正確的個(gè)數(shù)為下列命題正確的個(gè)數(shù)為 ()經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面；經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面；梯形可以確定一個(gè)平面；梯形可以確定一個(gè)平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合如果

5、兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合A0 B1C2 D3解析：解析：錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，正確正確答案：答案：C3已知空間中有三條線段已知空間中有三條線段AB，BC和和CD，且，且ABCBCD，那么直線，那么直線AB與與CD的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是 ()AABCDBAB與與CD異面異面CAB與與CD相交相交DABCD或或AB與與CD異面或異面或AB與與CD相交相交解析：若三條線段共面，如果解析：若三條線段共面，如果AB，BC，CD構(gòu)成等腰構(gòu)成等腰三角形，則直線三角形，則直線AB與與CD相交，否則直線相交，否則直線AB與與CD平平行；若不共面，則直線行；若不共面，則直線AB與與CD是異面直線是異面直線答

6、案：答案：D5(教材習(xí)題改編教材習(xí)題改編)平行六面體平行六面體ABCDA1B1C1D1中既與中既與AB共面又與共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為共面的棱的條數(shù)為_解析：如圖，與解析：如圖，與AB和和CC1都相交的都相交的棱有棱有BC；與；與AB相交且與相交且與CC1平行平行的棱有的棱有AA1，BB1；與；與AB平行且與平行且與CC1相交的棱有相交的棱有CD，C1D1，故符合，故符合條件的棱共有條件的棱共有5條條答案：答案：5Pl1.三個(gè)公理的作用三個(gè)公理的作用(1)公理公理1的作用：的作用：檢驗(yàn)平面；檢驗(yàn)平面；判斷直線在平面判斷直線在平面內(nèi)；內(nèi)；由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)由直線在平面內(nèi)判

7、斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)(2)公理公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件(3)公理公理3的作用：的作用：判定兩平面相交；判定兩平面相交；作兩相交作兩相交平面的交線；平面的交線；證明多點(diǎn)共線證明多點(diǎn)共線 2異面直線的有關(guān)問題異面直線的有關(guān)問題 (1)判定方法：判定方法：反證法；反證法；利利用結(jié)論即過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一用結(jié)論即過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖是異面直線，如圖 (2)所成的角的求法：平移法所成的角的求法：平移法 平面的基本性質(zhì)及應(yīng)

8、用平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 例例1如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E為為AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，F(xiàn)為為A1A的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求證：求證：CE，D1F，DA三線共點(diǎn)三線共點(diǎn)1證明線共點(diǎn)問題常用的方法是：先證其中兩條證明線共點(diǎn)問題常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上 2證明點(diǎn)或線共面問題一般有以下兩種途徑：證明點(diǎn)或線共面問題一般有以下兩種途徑：首先由所給條件中的部分線首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn)或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后確定一個(gè)平面，然后再證其余線再證其余線(或點(diǎn)或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)；均在這個(gè)平面內(nèi)；將所有條

9、件分為將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合1(1)在空間中，下列命題正確的是在空間中，下列命題正確的是 ()A對(duì)邊相等的四邊形一定是平面圖形對(duì)邊相等的四邊形一定是平面圖形B四邊相等的四邊形一定是平面圖形四邊相等的四邊形一定是平面圖形C有一組對(duì)邊平行的四邊形一定是平面圖形有一組對(duì)邊平行的四邊形一定是平面圖形D有一組對(duì)角相等的四邊形一定是平面圖形有一組對(duì)角相等的四邊形一定是平面圖形(2)對(duì)于四面體對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確的是，下列命題正確的是_(寫出編號(hào)寫出編號(hào))相對(duì)棱相對(duì)棱AB與與CD所在直線異面；所在直線異面；由頂點(diǎn)由頂點(diǎn)A作四面體

10、的高，其垂足是作四面體的高，其垂足是BCD三條高線的交點(diǎn)；三條高線的交點(diǎn)；若分別作若分別作ABC和和ABD的邊的邊AB上的高，則這兩條高所在的直上的高，則這兩條高所在的直線異面；線異面；分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)解析：解析：(1)由由“兩平行直線確定一個(gè)平面兩平行直線確定一個(gè)平面”知知C正確正確(2)由四面體的概念可知，由四面體的概念可知，AB與與CD所在的所在的直線為異面直線，故直線為異面直線，故正確；正確；由頂點(diǎn)由頂點(diǎn)A作四面體的高，只有當(dāng)四面體作四面體的高，只有當(dāng)四面體ABCD的對(duì)棱互相的對(duì)棱互相垂直時(shí)，其垂足

11、是垂直時(shí)，其垂足是BCD的三條高線的交點(diǎn)，故的三條高線的交點(diǎn)，故錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；當(dāng)當(dāng)DADB，CACB時(shí)，這兩條高線共面，故時(shí)，這兩條高線共面，故錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；設(shè)設(shè)AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)依次為的中點(diǎn)依次為E，F(xiàn)，M，N，易證，易證四邊形四邊形EFMN為平行四邊形，所以為平行四邊形，所以EM與與FN相交于一點(diǎn)，相交于一點(diǎn)，易證另一組對(duì)棱也過它們的交點(diǎn)，故易證另一組對(duì)棱也過它們的交點(diǎn)，故正確正確答案：答案：(1)C(2)異面直線的判定異面直線的判定 例例2(2013金華模擬金華模擬)在圖中，在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示

12、直線線GH，MN是異面直線的圖形有是異面直線的圖形有_(填上所填上所有正確答案的序號(hào)有正確答案的序號(hào))自主解答自主解答圖圖中，直線中，直線GHMN；圖圖中，中，G，H，N三點(diǎn)共面，但三點(diǎn)共面，但M 面面GHN，因此直線因此直線GH與與MN異面；異面；圖圖中，連接中，連接MG，GMHN，因此因此GH與與MN共面；共面；圖圖中，中，G，M，N共面，但共面，但H 面面GMN，因此因此GH與與MN異面異面所以圖所以圖中中GH與與MN異面異面答案答案1異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)直線不是異面直線，即兩條直線

13、平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面此法在異面直線的判定中經(jīng)假設(shè)肯定兩條直線異面此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到常用到2客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一點(diǎn)和客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線直線2已知已知m,n,l為不同的直線為不同的直線,為不同的平面為不同的平面,有下面四個(gè)命有下面四個(gè)命題：題： m,n為異面直線為異面直線,過空間任一點(diǎn)過空間任一點(diǎn)P,一定能作一條直線一定能作一條直線l與與m,n都

14、相交都相交 m,n為異面直線為異面直線,過空間任一點(diǎn)過空間任一點(diǎn)P,一定存在一個(gè)與直線一定存在一個(gè)與直線m,n都平行的平面都平行的平面 ,l,m,n,m、n與與l都斜交，則都斜交，則m與與n一定一定不垂直；不垂直；m，n是是內(nèi)兩相交直線，則內(nèi)兩相交直線，則與與相交的充要條件是相交的充要條件是m，n至少有一條與至少有一條與相交相交 則四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為則四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為 () A1B2 C3 D4解析：解析： 錯(cuò)誤，因?yàn)檫^直線錯(cuò)誤，因?yàn)檫^直線m存在一個(gè)與直線存在一個(gè)與直線n平行的平行的平面，當(dāng)點(diǎn)平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)且不在直線在這個(gè)平面內(nèi)且不在直線m上時(shí)，就上時(shí)，就不滿足結(jié)論；不滿足

15、結(jié)論； 錯(cuò)誤，因?yàn)檫^直線錯(cuò)誤，因?yàn)檫^直線m存在一個(gè)與直線存在一個(gè)與直線n平行的平行的平面，當(dāng)點(diǎn)平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)時(shí)，在這個(gè)平面內(nèi)時(shí)， 就不滿足結(jié)論；就不滿足結(jié)論； 正確，否則，若正確，否則，若mn，在直線，在直線m上取一點(diǎn)作上取一點(diǎn)作直線直線al，由，由，得，得an.從而有從而有n，則，則nl； 正確正確答案：答案：B 例例3已知正方體已知正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E，F(xiàn)分分別為別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線的中點(diǎn)，那么異面直線AE與與D1F所成角所成角的余弦值為的余弦值為_異面直線所成角異面直線所成角( (補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題) )求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如

16、下：求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下：(1)一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角角，則它的補(bǔ)角才是要求的角答案：答案：B典例典例(2012浙江高考浙江高考)設(shè)設(shè)l是直線，是直線，是兩個(gè)不同的是兩個(gè)不同的平面平面 ()A若若l，l，則，則 B若

17、若l，l，則，則C若若，l，則，則l D若若，l，則，則l常規(guī)解法常規(guī)解法設(shè)設(shè)a，若直線，若直線la，且，且l ，l ，則，則l，l，因此，因此不一定平行于不一定平行于，故，故A錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；由于由于l，故在，故在內(nèi)存在直線內(nèi)存在直線ll.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閘.所以所以l，故故，所以，所以B正確；若正確；若，在，在內(nèi)作交線的垂線內(nèi)作交線的垂線l，則則l，此時(shí)，此時(shí)l在平面在平面內(nèi)，因此內(nèi)，因此C錯(cuò)誤；已知錯(cuò)誤；已知，若，若a，la，且，且l不在平面不在平面，內(nèi)，則內(nèi)，則l且且l，因，因此此D錯(cuò)誤錯(cuò)誤答案答案B(1)構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造適合題意的直觀構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造適合題意的直觀模型，然

18、后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤少了抽象性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤(2)對(duì)于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，對(duì)于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷可構(gòu)造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷巧思妙解巧思妙解借助于長方體模型解決本題：借助于長方體模型解決本題：對(duì)于對(duì)于A，如圖，如圖，與與可相交；可相交；對(duì)于對(duì)于B，如圖，如圖，不論，不論在何位置，都有在何位置，都有；對(duì)于對(duì)于C，如圖，如圖，l可與可與平行或平行或l內(nèi)；內(nèi)；對(duì)于對(duì)于D，如圖，如圖，l或或

19、l或或l.(2012大連二模大連二模)平面平面外有兩條直線外有兩條直線m和和n，如果，如果m和和n在平面在平面內(nèi)的射影分別是直線內(nèi)的射影分別是直線m1和直線和直線n1，給出下列，給出下列四個(gè)命題：四個(gè)命題：m1n1mn；mnm1n1；m1與與n1相交相交m與與n相交或重合；相交或重合；m1與與n1平行平行m與與n平平行或重合行或重合其中不正確的命題個(gè)數(shù)是其中不正確的命題個(gè)數(shù)是()A1B2C3 D4. . 解析：如圖，在正方體解析：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中中AD1，AB1，B1C在底面上在底面上的射影分別是的射影分別是A1D1，A1B1，B1C1. A1D1A1B1，但，但AD1

20、不垂直不垂直AB1，故故不正確；又不正確；又AD1B1C，但，但A1D1B1C1，故，故也不正確；若也不正確；若m1與與n1相交，則相交，則m與與n還可以還可以異面，異面，不正確；若不正確；若m1與與n1平行，平行，m與與n可以平行，也可可以平行，也可以異面，以異面，不正確不正確 答案：答案：D教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）（給有能力的學(xué)生加餐）1(2012襄陽模擬襄陽模擬)關(guān)于直線關(guān)于直線a，b，l以及平面以及平面M，N，下面命題中正確的是，下面命題中正確的是 ()A若若aM，bM，則，則abB若若aM，ba，則，則bMC若若aM，aN，則，則MND若若aM，bM, 且且la，lb，則，則

21、lM解題訓(xùn)練要高解題訓(xùn)練要高效見效見“課時(shí)跟課時(shí)跟蹤檢測（四十蹤檢測（四十二）二）”解析：同平行于一個(gè)平面的兩條直線可平行也可相交解析：同平行于一個(gè)平面的兩條直線可平行也可相交或異面，故或異面，故A錯(cuò)錯(cuò)aM，ba時(shí)，時(shí)，b與與M的位置關(guān)系的位置關(guān)系不確定，不確定，B錯(cuò)；當(dāng)錯(cuò)；當(dāng)ab時(shí)，時(shí)，la，lb，l不一定垂直不一定垂直于于M，故，故D錯(cuò)誤錯(cuò)誤答案：答案：C2(2012蚌埠模擬蚌埠模擬)如圖在四面體如圖在四面體OABC中，中，OA，OB，OC兩兩垂直，且兩兩垂直，且OBOC3，OA4.給出如下判斷：給出如下判斷：存在點(diǎn)存在點(diǎn)D(O點(diǎn)除外點(diǎn)除外)，使得四面體，使得四面體DABC有三個(gè)面是直角三角形；有三個(gè)面是直角三角形；存在點(diǎn)存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)，使得點(diǎn)O在四面體在四面體DABC外接球的球面上；外接球的