高三二輪復(fù)習(xí)之導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的基本性質(zhì)李

1、1中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品門精銳1對i吃需北大Gt藥也立精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義一、同步知識梳理1. 導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)在 及其近旁有定義，用 Ar 表示丄的改變量，于是對應(yīng)的函數(shù)值改變量為即二/U +血）-他） ，如果極限血虹 aAr存在極限，則稱函數(shù)在點(diǎn) 5 處可導(dǎo)，此極限值叫函數(shù)尸 ZW 在點(diǎn)丘處的導(dǎo)數(shù)，記作 fg 或rAyAcAx稱為函數(shù)在*1 到玷血之間的平均變化率，函數(shù)在點(diǎn)勺處的導(dǎo)數(shù)即平均變化率當(dāng) 0 時(shí)的極限值。2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y -/（1）在一點(diǎn) 5 的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)圖形上對應(yīng)點(diǎn)（心的切線斜率，即阪 - Ai），其中化是過幾也“曲 J 的切線的傾斜

2、角，過點(diǎn)幾山J 的切線方程為：-乩-代肛 s.i）基礎(chǔ)回顧與鞏固：1.已知曲線C:賈如及點(diǎn) 厲 2 丿），則過點(diǎn) p 可向C引切線條數(shù)為（）A. 0B. 1 C. 2D. 3和精銳1對1址扁北大口藥酉立學(xué)員編號:學(xué)員姓名:年 級:輔導(dǎo)科目:授課類型T（同步知識主題）C（專題方法主題）課時(shí)數(shù):學(xué)科教師:T（學(xué)法與能力主題）授課日期及時(shí)段導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容2中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品2.與直線y1平行的曲線的切線方程是()A4r-jr=0B4r-jr-4=0C.2x-y-2=0D.4x-y=0或4x-y-4 = 03某物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 A

3、-/;V f 5，則在/時(shí)的瞬時(shí)速度為 0。4.平行于直線h AyI 棉 且與曲線 F r 一 :用+D相切的直線方程是二、同步題型分析類型一導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題基本技巧和方法切點(diǎn)在曲線上.(2)切點(diǎn)在切線上.(3)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率.(4)切點(diǎn)不定時(shí)候一般假設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo).例題一：已知函數(shù)口在定義域R上可導(dǎo)，設(shè)點(diǎn)F是函數(shù)的圖象上距離原點(diǎn) o 最近的點(diǎn).(1) 若點(diǎn)卩的坐標(biāo)為(5), 求證:何 0；(2) 若函數(shù)的圖象不通過坐標(biāo)原點(diǎn)0,證明直線 OP 與函數(shù)的圖象上點(diǎn)尸處切線垂直證：設(shè) Q(x , f (x)為 y = f (x)上的動(dòng)點(diǎn)，貝 y |OQ|2= x2+ f2( x

4、 )，設(shè) F(x) = x + f ( x ),貝UF(x)=2x +2f (x)f ( x )已知 P 為 y = f(x)圖形上距離原點(diǎn) O 最近的一點(diǎn)，|OP|2為 F(x)的最小值，即 F(x)在 x = a 處有最小值，亦即 F(x)在 x = a 處有極小值 F(a)=0 ,即 2a+2f (a)f (a)=0fw(2) 線段 OP 的斜率為叢,y=f(x)之圖形上過 P 點(diǎn)的切線 l 的斜率為 f (a)由(1)知 f (a)f (a) = -a,圖象不過原點(diǎn)， a = 0, f (a)= OP 丄 I，即直線 OP 與 y=f(x)的圖形上過 P 點(diǎn)的切線垂直.3www.1sm

5、中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品ri精銳i對i宙鼻北犬01英博肛例題二：設(shè)曲線F 工 皿）在點(diǎn)（1 , 1 ）處的切線與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.，令比M，則片+冬+聽的值為解析：點(diǎn)（1, 1）在函數(shù)尸占（応的圖像上二1, 1）為切點(diǎn)，jr二占的導(dǎo)函數(shù)JyJyr r= = （n n+1） =JTLJ-n +1切線是：p-l = （n+9（rD令y=0得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)： =用+1.1 2 K 991 c% 丐嗆二喀耳耳=1s 亍孑一帀阪=lgioo=2例題三：已知函數(shù)f（-0曲+占 （1）若函數(shù)y=f圖象上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都小于若 XE0,1，函數(shù)圖象上任一點(diǎn)切線的斜率為 上，求時(shí)的取值

6、范圍。U1解答（1）設(shè) A （片，A），B （七吋是函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn)，y I ，顯然，不妨設(shè)則” 丁巧飛，即獷 n ，構(gòu)造函數(shù) g（x）=f（-x ，則 M1）在 R 上是減函數(shù)，則了-k?+ 2；ir-b 0 在R上恒成立，故 A Gd）?-120,解之得（2）當(dāng) H0，1時(shí)，*廣何 虹備加,即對任意的 H0，1，I/*CD|=|-3+2I來1，即|站屮在徒0，4中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品0- 2，則 f (x) 2x+4 的解集為()(A( -1 , 1)( B)( -1 , + )(C)(-,-1 )( D)(-,+)例題二.函數(shù) f 的定義域?yàn)锳，若和巧丄

7、九一(如 s 鼻時(shí)總有叫 Mr層.為單函數(shù).例如，函數(shù) f 7：=2x+1 (XL?.)是單函數(shù)下列命題：1函數(shù) F=J (xLR)是單函數(shù)；2若 f 為單函數(shù)，叫，匕負(fù)、二U 5.珂 X i:3若 f: AB 為單函數(shù)，則對于任意 bB,它至多有一個(gè)原象；4函數(shù) f (x )在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則 f (x) 一定是單函數(shù).(I)當(dāng) Q 孑時(shí)，求幾的極值點(diǎn);()若為上上的單調(diào)函數(shù)，求*的取值范 亂【命題意圖】：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，極值點(diǎn)的判斷，導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，求解二次不等式，考查運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用知識分析和解決問題的能力?！窘馕觥浚篛K2+12arv/(r)=“分之( (U

8、刊其中的真命題是(寫出所有真命題的編號)例題三IMJ,其中為正實(shí)數(shù)7中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品(2)因?yàn)?f(0 為尺上的單調(diào)函數(shù)，而 Q 為正實(shí)數(shù)，故 f(0 為尺上的單調(diào)遞增函數(shù)/恒成立，即 啟加 I 10 在尺上恒成立，因此A -帖 4。二 0 ,結(jié)合 a0 解得 0 -I 注 1課堂練習(xí):(2011?江蘇)已知 a, b 是實(shí)數(shù)，函數(shù) f (x)=x3+ax, g(x)=x2+bx，f(x)和 g(x)是 f (x)，g(x)的導(dǎo)函 數(shù)，若f(x) g (x)在區(qū)間 I 上恒成立，則稱 f(x)和 g ( x)在區(qū)間 I 上單調(diào)性一致(1)設(shè) a 0，若函數(shù) f

9、 (x)和 g (x)在區(qū)間-1, +8)上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)b 的取值范圍；(2)設(shè) av0，且 ab若函數(shù)f(x)和 g (x)在以 a, b 為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a- b|的最大值. 解答：解：f(x) =3x2+a, g (x) =2x+b .(1)由題得f(x) g (x)在-1, +8)上恒成立.因?yàn)?a 0，故 3x2+a 0,進(jìn)而 2x+b0即 b-2x 在-1, +8)上恒成立，所以 b2.故實(shí)數(shù) b 的取值范圍是2, +8)(2)令 f(x) =0,得 x=.若 b0,由 av0 得 0( a, b).又因?yàn)閒( 0)g (0) =abv0,所以函數(shù) f (x)

10、和 g(x)在(a,b) 上不是單調(diào)性一致的.因此 b0.ri精銳i對ift i匕大a 9 aQ(1)當(dāng) Q 3 時(shí),13，由0得8113 0解得*2宀2由加伽I!由血伽P冷x1232+0-0+fg/極大值極小值/所以，是函數(shù) fW)的極大值點(diǎn)， 是函數(shù) fw 的極小值點(diǎn)。當(dāng) x 變化時(shí)/與 fQ)相應(yīng)變化如下表:13TC. =. 1ir . 18中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品現(xiàn)設(shè) b 0.9中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品ri精銳i對i宙鼻北玄蔓博 Q11_113333從而- 0.2故函數(shù) f(x)和 g (x)在(-, 0)上單調(diào)性一致，因此方法總結(jié)：

11、注意區(qū)分函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的不同。函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)只是代表是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間。注意：三次函數(shù)的四種圖像的形式(單增，單減,先增后減再增，先減后增再減.)其實(shí)與很多分式函數(shù)的圖像都是比 較接近的(相似或者相同).差別主要在于定義域上.三次方程根的問題。(1)當(dāng)厶=4b2- 12ac0時(shí)，由于不等式f (x)一0恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原方程僅有一個(gè)實(shí)根。(2)當(dāng)厶=4b2-12ac 0時(shí)，由于方程f (x) =0有兩個(gè)不同的實(shí)根，不妨設(shè)x：x2，可知，(捲(為)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，(x2,f(x2)為極小值點(diǎn)，且函數(shù)y = f(x)在和(x2：)上單調(diào)遞增，在l-x1,x

12、21 上 單調(diào)遞減。1若f(xj f(X2)，即函數(shù)y二f (x)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)在x軸同側(cè)，圖象均與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以原 方程有且只有一個(gè)實(shí)根。若f (%) f(X2)：0，即函數(shù)y = f (x)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)在x軸異側(cè)，圖象與x軸必有三個(gè)交點(diǎn)，所 以原方程2借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最值和極值。(1 )理解極值的概念和求法，極值點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)值等于零，且該點(diǎn)的兩端的單調(diào)行相異。(2 )注意把握極值點(diǎn)和極值的區(qū)別，極值點(diǎn)指取得極值的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，極值則是縱坐標(biāo)。3會借助導(dǎo)函數(shù)的圖像(列表)來判定極值是極大值還是極小值。4理解連續(xù)函數(shù)的最值要么在極值處取得要么在端點(diǎn)處取得。5如果一個(gè)函

13、數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)極值則該極值一定是對應(yīng)的最值。(反之不一定成立)例題一.設(shè)直線丄I與函數(shù) /W 二込施)二 h h 的圖像分別交于點(diǎn)風(fēng) N,則當(dāng)財(cái)達(dá)到最小時(shí)的/值為因此，當(dāng) x(-x.)時(shí),f(X)g (x)|a- b|的最大值A(chǔ). 1 B.C.V0 故由題設(shè)得10中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品有三個(gè)不等實(shí)根。11中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品81精銳1對1 若 f (xjf(X2)=0，即 f(xj 與 f(X2)中有且只有一個(gè)值為 0，所以，原方程有三個(gè)實(shí)根，其中兩個(gè)相等。例題二：設(shè)16當(dāng) 0 0 得，又 0ti2 ,所以因?yàn)?0 ；H/1,所

14、以/(4)0的解集與集合iw)J 有公共部分,所以不等式丄T丄 2d0 解集的右端點(diǎn)落在(*) 皿工內(nèi)，即竝亟0 在 D 上恒成立，則稱f(x)在 D 上為凹函數(shù)，以下四個(gè)n函數(shù)在(0 , 2)上是凹函數(shù)的是()3xA.f(x) = sinx+ cosxB .f(x)= Inx 2xC.f(x) =x+ 2x+ 1D.f(x) =xe答案D解析(1)若f(x) = sinx+ cosx，則f (x) = cosx sinx,f (x) = sinx cosx, -f (x)0 在(0 ,n2)上不成立；11n(2) 若f(x) = lnx 2x，則f (x) = x 2,f” (x) = x2

15、 ,f” (x)0 在(0 , 2)上不成立；32n(3) 若f(x) =x+ 2x+ 1，則f (x) = 3x+ 2,f (x) = 6x,f (x)0 在(0 , 2 )上不成立；(1)求出函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)13中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品n(4) 若f(x) =xe x，則f (x) = (x 1)ex,f (x) = (2 x)ex,當(dāng)x (0 , 2 )時(shí)，f (x)0 恒成立， 故選 D.14中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品0 (x) =f(x) 20. $ (x)在 R 上是增函數(shù).又 $ ( 1) =f( 1) 2X( 1) 4=

16、 0,當(dāng)x 1 時(shí)，$ (x) $ ( 1) = 0 , f(x) 2x 40,.f(x)2x+ 4.故選 B.4.(文)設(shè)函數(shù)f(x) =ax+bx+ex在x=l處均有極值，且f( 1) = 1，則a、b、c的值為()13A.a= 2,b= 0,c=- 2 B精銳1對12. (2013 濟(jì)南外國語學(xué)校第一學(xué)期質(zhì)檢)若a0,b0,且函數(shù)f(x) = 4xax 2bx 2 在x= 1 處有極值,則ab的最大值為()A. 2 B . 3 C . 6 D . 9答案D解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f (x) = 12x 2ax 2b,函數(shù)在x= 1 處有極值，則有f(1) = 12 2a 2b= 0,即a+b=

17、6,所以 6=a+b2，即ab1，則f(x)x的解集是A.(0,1) B.(1,0)U(0,1)C. (1,+s)D. (s, 1)u(1,+s)答案C解析令F(x) =f(x) x,則F (x) =f (x) 10,所以F(x)是增函數(shù),f(x)x, F(x)0,vF(1)=f(1) 1 = 0,.F(x)F(1),vF(x)是增函數(shù)，x1，即f(x)x的解集是(1,+s).(理)(2011 遼寧文)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?R,f( 1) = 2,對任意x R,f (x)2，則f(x)2x+ 4 的解集A.(1,1) B. (1,+s)C. (s,1)答案B解析由題意，令$ (x) =f(x

18、) 2x 4，則13.a= 2,b= 0,c= 215中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品答案C321.a= 2,b= 0,中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品n精銳i對i解析f (x) = 3ax2+ 2bx+c,所以由題意得f ( 1 = 0, 3a 2b+ c = 0,f( 1 = 1, 即一 a + b c= 1,13解得a= 2,b= 0,c= 2.5.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，貝 Uy=f (x)的圖象可能是()答案D解析由f(x)的圖象知，f(x)在(一a,0)上單調(diào)遞增，在(0,+ )上單調(diào)遞減，.在(0,+ )上f(x)w0，在(a

19、,0)上f(x)0,故選 D.8.(文)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?a,b) ,y=f (x)在(a,b)上的圖象如圖，貝 Uy=f(x)在區(qū)間(a,b)上極大值的個(gè)數(shù)為_ .答案2解析由f (x)在(a,b)上的圖象可知f (x)的值在(a,b)上，依次為+ + + ,f(x)在(a,b)上 的單調(diào)性依次為增、減、增、減、增，從而f(x)在(a,b)上的極大值點(diǎn)有兩個(gè).17中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品門精銳1對i懇需北*a s n點(diǎn)評應(yīng)注意題設(shè)中給的是f(x)的圖象還是f(X)的圖象，在f (x)的圖象上，位于x軸上方部分使f(x)0,f(x)單調(diào)增，位于X軸下方部分，

20、使f (x)0,f(x)單調(diào)減，f(x)的極值點(diǎn)是f (x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，千萬要注意，不要把f (x)的單調(diào)性誤以為是f(x)的單調(diào)性.請?jiān)倬毩?xí)下題：(2011 綿陽模擬)如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下面四個(gè)判斷.1f(x)在區(qū)間2, 1上是增函數(shù)；2x= 1 是f(x)的極小值點(diǎn)；3f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，在區(qū)間2,4上是減函數(shù)；4x= 2 是f(x)的極小值點(diǎn).其中，所有正確判斷的序號是 _.答案解析由函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：(1)f(x)在區(qū)間2, 1上是減函數(shù)，在1,2上為增函數(shù)，在2,4上為減函數(shù)；(2)f(x)在x= 1 處取得極小值，在x=

21、 2 處取得極大值.故正確.(理)已知函數(shù)f(x) = ln(1 +x) ax的圖象在x= 1 處的切線與直線x+ 2y 1 = 0 平行，則實(shí)數(shù)a的值為答案11解析Tf (x) = 1 + x a,1 f (1) = 2a.門精銳1對i北大a s n2答案0 或318中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品2解析由條件知，2xo= 3x0,2Xo= 0 或一 3.9._ (2012 湖南長郡中學(xué)一模)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x)= 5+ cosx,x ( 1,1)，且f(0) = 0，如 果f(1 x) +f(1 x6 7)0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為.答案(1 ,)解析導(dǎo)函數(shù)

22、是偶函數(shù)，原函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且定義域?yàn)?1,1)，又由導(dǎo)數(shù)值恒大于 0,.原函數(shù) 在定義域上單調(diào)遞增，.所求不等式變形為f(1 x)f(x2 1)， 11xx2 11,解得 1x 0 在x - 3,2上恒成立.只要h(2) 0，解得O11,所以c的取值范圍是11 ,+ ).能力拓展提升12. (2011 南開區(qū)質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)a,b,c,d成等比數(shù)列，且曲線y= 3x-x3的極大值點(diǎn)坐標(biāo)為(b,c)，則ad等于()A. 2B. 1 C . - 1D. 2答案A解析Ta,b,c,d成等比數(shù)列，ad=bc,又(b,c)為函數(shù)y= 3x-x3的極大值點(diǎn)，-c= 3b-b,且 0= 3 3b,b

23、= 1, b =- 1, c = 2,或 c =- 2, ad=2.14. (2011 浙江五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x) = 2x- 9，且f(0)的值為整數(shù)，當(dāng)x n,n+ 1(n N*)時(shí)，f(x)所有可能取的整數(shù)值有且只有1 個(gè)，貝Un=_.答案4解析由題可設(shè)f(x) =x2- 9x+c(c R)，又f(0)的值為整數(shù)即c為整數(shù)，f(n) =n2- 9n+c為整數(shù)，f(n+ 1) = (n+ 1) - 9(n+ 1) +c=n-7n+c- 8 為整數(shù)，又x n,n+ 1(n N)時(shí)，f(x)所有可能取的整數(shù)值有且只2 2有 1 個(gè)，n 7n+c-8 =n 9n+c,即卩n

24、= 4.15.(理)設(shè)函數(shù)f(x) =x- 3ax+b(az0).(1) 若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2 ,f(2)處與直線y= 8 相切，求a,b的值；(2) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).1 116. (文)設(shè)函數(shù)g(x) = 3x3+ 2ax2-bx(a,b R)，在其圖象上一點(diǎn)P(x,y)處的切線的斜率記為f(x).(1)若方程f(x) = 0 有兩個(gè)實(shí)根分別為一 2 和 4,求f(x)的表達(dá)式；20中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品和精銳1對1需北大a s n(2)若g(x)在區(qū)間1,3上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a2+b2的最小值.解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f(x) =g (

25、x) =x2+axb,由已知一 2,4 是方程x2+axb= 0 的兩個(gè)實(shí)2 + 4 = a, 根，由韋達(dá)定理一 2X4= b,a=2,2 b = 8, f (x) =x 2x 8.2(2)g(x)在區(qū)間1,3上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在 1, 3區(qū)間上恒有f(x) =g (x) =x+axbw0,即f(x) =x2+axb 0 在1,3上恒成立f( 1w0,a+ b1,22a+ b1,這只需滿足 f(3w0,即可，也即 b 3a9,而a+b可視為平面區(qū)域 b 3a9,內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，a = 一 2 其中點(diǎn)(一 2,3)距離原點(diǎn)最近.所以當(dāng)b= 3 時(shí)，a2+b2有最小值 13.(理)(2

26、011 天津文)已知函數(shù)f(x) = 4x3+ 3tx2 6t2x+t 1,x R,其中t R.(1) 當(dāng)t= 1 時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0 ,f(0)處的切線方程；(2) 當(dāng)t豐0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解析(1)當(dāng)t= 1 時(shí)，f(x) = 4x3+ 3x2 6x,f(0) =0,f(x)= 12x2+6x 6,f (0) =6,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0 ,f(0)處的切線方程為y= 6x.(2)f (x) = 12x2+ 6tx 6t2，令f (x) = 0,解得x=t或x= 2,因?yàn)閠豐0,以下分兩種情況討論：t若t0,則 20,則一tg(0)，解得x0.答案A2 _ .解析g(x) = (x+ 1) = 2x，二y=g(x) cosx= 2xcosx，顯然y= 2xcosx為奇函數(shù)，排除 B、D,且在原點(diǎn)右側(cè)附近，函數(shù)值大于零.排除C.3 .設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的圖象可能為圖中的()n精銳i對i1. (2012 河南省洛陽市高三年級統(tǒng)一考試)函數(shù)f(x)的定義域是 R,f(0)=2,對任意x R,f(x) +f(x)1，則不等式 e-f(x)ex+ 1 的解集為()A. x|x0B. x|x0C. x|x1 D . x|x 1,或 0 xexex= 0，所以g(x