高三一輪數(shù)學(xué)（理）總復(fù)習(xí)-8.2　兩條直線的位置關(guān)系【系列四】

1、82兩條直線的位置關(guān)系知識梳理1兩直線的平行、垂直與其斜率的關(guān)系2三種距離3常用的直線系方程(1)與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC)(2)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAym0(mR)(3)過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.診斷自測1概念思辨(1)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(2)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交()(3)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2

2、，C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A1A2B1B20.()(4)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：ykxb(k0)對稱，則直線AB的斜率等于，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上()答案(1)×(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P89A組T1)若直線l經(jīng)過點(diǎn)(a2，1)和(a2,1)，且與經(jīng)過點(diǎn)(2,1)、斜率為的直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值是()A B C. D.答案A解析由于直線l與經(jīng)過點(diǎn)(2,1)的斜率為的直線垂直，可知a2a2.因?yàn)橹本€l的斜率k1，所以·1，所以a.故選A.(2)(必修A2P101A組T11)已知直線l：xy10，l1：2xy20，若直線l2與l1關(guān)于l對稱，則l2

3、的方程是()Ax2y10 Bx2y10Cxy10 Dx2y10答案B解析求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，任取l1上一點(diǎn)(2,2)，求出其關(guān)于直線xy10的對稱點(diǎn)為(3,1)，之后利用兩點(diǎn)式求出l2的方程為x2y10.故選B.3小題熱身(1)設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)l1l2時(shí)，得，解得a1或a2，代入檢驗(yàn)符合，當(dāng)a1時(shí)，易知l1l2，“a1”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件，故選A.(2)(2017·廣州模擬)直線x2y10關(guān)于x1對稱的直線

4、方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30答案D解析由題意得直線x2y10與x1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，又直線x2y10上的點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線x1對稱的點(diǎn)為(3,0)，所以由直線方程兩點(diǎn)式，得，即x2y30.故選D.題型1兩直線的平行與垂直已知兩條直線l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，則a等于()A1 B2 C0或2 D1或2分類討論法答案D解析若a0，兩直線方程分別為x2y10和x3，此時(shí)兩直線相交，不平行，所以a0；當(dāng)a0時(shí)，兩直線平行，則有，解得a1或2.故選D.已知經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點(diǎn)P(0，1)和點(diǎn)Q(a，2a)的

5、直線l2互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_分類討論法答案1或0解析l1的斜率k1a.當(dāng)a0時(shí)，l2的斜率k2.因?yàn)閘1l2，所以k1k21，即a·1，解得a1.當(dāng)a0時(shí)，P(0，1)，Q(0,0)，這時(shí)直線l2為y軸，A(2，0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1l2.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為1或0.方法技巧研究兩直線平行與垂直關(guān)系的解題策略1已知兩直線的斜率存在(1)兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等；(2)兩直線垂直兩直線的斜率之積等于1.2當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x

6、，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件沖關(guān)針對訓(xùn)練1(2018·寧夏銀川九中模擬)已知b0，直線(b21)xay20與直線xb2y10垂直，則ab的最小值為()A1 B2 C2 D2答案B解析由已知兩直線垂直，得(b21)ab20，即ab2b21，又b0，abb.由基本不等式得b2 2，當(dāng)且僅當(dāng)b1時(shí)等號成立，(ab)min2.故選B.2(2017·西安模擬)已知a，b為正數(shù)，且直線axby60與直線2x(b3)y50平行，則2a3b的最小值為_答案25解析由兩直線平行可得，a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b為正數(shù)，所以2a3b(2a3b)·1313225，

7、當(dāng)且僅當(dāng)ab5時(shí)取等號，故2a3b的最小值為25.題型2兩條直線相交及距離問題(2018·福建廈門聯(lián)考)“C5”是“點(diǎn)(2,1)到直線3x4yC0的距離為3”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件直接求滿足條件的C的取值再判定答案B解析點(diǎn)(2,1)到直線3x4yC0的距離為3等價(jià)于3，解得C5或C25，所以“C5”是“點(diǎn)(2,1)到直線3x4yC0的距離為3”的充分不必要條件，故選B.已知直線ykx2k1與直線yx2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_畫出直線yx2，分析直線系ykx2k1動(dòng)態(tài)思考答案解析如圖，已知直線yx2與x軸、y軸分別交

8、于點(diǎn)A(4，0)，B(0,2)而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2)，表示這是一條過定點(diǎn)P(2,1)，斜率為k的動(dòng)直線兩直線的交點(diǎn)在第一象限，兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn))，動(dòng)直線的斜率k需滿足kPA<k<kPB.kPA，kPB.（，）.方法技巧求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法1直接法(1)先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(2)結(jié)合題設(shè)中的其他條件，寫出直線方程(3)將直線方程化為一般式2直線系法(1)設(shè)過兩直線A1xB1yC10，A2xB2yC20交點(diǎn)的直線方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0.(2)利用題設(shè)條件，求的值，得出直線方程(3)驗(yàn)證A2xB2yC20是否符

9、合題意(4)得出結(jié)論沖關(guān)針對訓(xùn)練(2017·欽州期末)直線l過P(1,2)，且A(2,3)，B(4，5)到l的距離相等，則直線l的方程是()A4xy60Bx4y60C3x2y70或4xy60D2x3y70或x4y60答案C解析設(shè)所求直線為l，由條件可知直線l平行于直線AB或過線段AB的中點(diǎn)，AB的斜率為4，當(dāng)直線lAB時(shí)，l的方程是y24(x1)，即4xy60.當(dāng)直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)(3，1)時(shí)，l的斜率為，l的方程是y2(x1)，即3x2y70.故所求直線的方程為3x2y70或4xy60.故選C.題型3對稱問題(2017·滄州模擬)已知直線l：2x3y10，點(diǎn)A(1，

10、2)，則點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為_此類問題用方程組法答案解析設(shè)A(x，y)，由已知條件得解得A.結(jié)論探究1本例中條件不變，求直線l關(guān)于點(diǎn)A(1，2)對稱的直線l的方程解ll，設(shè)l的方程為2x3yC0(C1)點(diǎn)A(1，2)到兩直線l，l的距離相等，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，解得C9，l的方程為2x3y90.結(jié)論探究2本例中條件不變，求直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對稱直線m的方程解在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M必在直線m上設(shè)對稱點(diǎn)M(a，b)，則得M.設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則由得N(4,3)又m經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)，由兩點(diǎn)式得直線m的方程為9x

11、46y1020.方法技巧1中心對稱問題的兩個(gè)類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱，主要求解方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程求出一個(gè)對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程2軸對稱問題的兩個(gè)類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：AxByC0對稱，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直線關(guān)于直線的對稱一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)

12、于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行沖關(guān)針對訓(xùn)練(2017·石家莊期末)設(shè)定點(diǎn)A(3,1)，B是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，C是直線yx上的動(dòng)點(diǎn)，則ABC周長的最小值是()A. B2 C3 D.答案B解析作出點(diǎn)A(3,1)關(guān)于yx的對稱點(diǎn)A(1,3)，關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A(3，1)，連接AA，交直線yx于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)B，則ACAC，ABAB，ABC周長的最小值為|AA|2.故選B.1.(2018·山西長治模擬)已知傾斜角為的直線l與直線x2y30垂直，則cos的值為()A. B C2 D答案B解析由題意知tan2，又0，)，sin，cos，

13、則coscossin22sincos，故選B.2(2017·天山期末)直線a1xb1y2和a2xb2y2交于點(diǎn)P(2,3)，則過點(diǎn)A(a1，b1)、B(a2，b2)的直線方程是()A2x3y20 B3x2y20C3x2y20 D2x3y20答案A解析直線a1xb1y2和a2xb2y2交于點(diǎn)P(2,3)，把P(2,3)代入兩直線得2a13b12和2a23b22，過點(diǎn)A(a1，b1)，B(a2，b2)的直線方程為2x3y2即2x3y20，故選A.3(2014·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過點(diǎn)P(2，5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x2y

14、30平行，則ab的值是_答案3解析yax2，y2ax，由題意可得解得(經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意)ab3.4(2017·山西太原質(zhì)檢)光線從A(4，2)點(diǎn)射出，射到直線yx上的B點(diǎn)后被直線yx反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)D(1,6)，求BC所在的直線方程 解作出草圖，如圖所示，設(shè)A關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)為A，D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D，則易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直線經(jīng)過點(diǎn)B與C.故BC所在的直線方程為.即10x3y80.重點(diǎn)保分 兩級優(yōu)選練A級一、選擇題1(2017·鄭州調(diào)研)直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則m()

15、A2 B3 C2或3 D2或3答案C解析直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則有，故m2或3.故選C.2(2017·清城一模)已知直線mx4y20與2x5yn0互相垂直，垂足為P(1，p)，則mnp的值是()A24 B20 C0 D4答案B解析直線mx4y20與2x5yn0互相垂直，×1，m10，直線mx4y20即5x2y10，垂足(1，p)代入得，52p10，p2.把P(1，2)代入2x5yn0，可得n12，mnp20，故選B.3過點(diǎn)P(1,2)且與原點(diǎn)O距離最大的直線方程為()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50答案A解析要使過點(diǎn)(1,2)的直

16、線與原點(diǎn)距離最大，結(jié)合圖形可知該直線與直線PO垂直由kOP2，則直線l的斜率為，所以直線l的方程為y2(x1)，即為x2y50.故選A.4(2018·貴州六校聯(lián)盟聯(lián)考)數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的三角形幾何學(xué) 一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線已知ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(0,4)，若其歐拉線的方程為xy20，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A(4,0) B(0，4)C(4,0) D(4,0)或(4,0)答案A解析當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,0)時(shí)，三角形重心坐標(biāo)為，在歐拉線上，對于其他選項(xiàng)，三角形重心都不在歐拉線上故選A.5(2017·湖北

17、孝感五校聯(lián)考)已知直線y2x是ABC中C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)答案C解析設(shè)A(4,2)關(guān)于直線y2x的對稱點(diǎn)為(x，y)，則解得BC所在直線方程為y1(x3)，即3xy100.與y2x聯(lián)立得解得則C(2,4)故選C.6設(shè)a，b，c分別是ABC中A，B，C所對邊的邊長，則直線sinA·xayc0與bxsinB·ysinC0的位置關(guān)系是()A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直答案C解析由正弦定理，得.兩直線的斜率分別為k1，k2，k1·k2·1，

18、兩直線垂直故選C.7(2017·聊城三模)已知兩點(diǎn)A(m,0)和B(2m,0)(m>0)，若在直線l：xy90上存在點(diǎn)P，使得PAPB，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(0,3) B(0,4)C3，) D4，)答案C解析設(shè)P(x，y)，則kPA，kPB，由已知可得消去x得4y216y63m22m0，由題意得解得m3.故選C.8(2017·湖南東部十校聯(lián)考)經(jīng)過兩條直線2x3y10和x3y40的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x4y70的直線方程為()A4x3y90 B4x3y90C3x4y90 D3x4y90答案A解析由方程組解得即交點(diǎn)為.所求直線與直線3x4y70垂直，所求直線的斜

19、率為k.由點(diǎn)斜式得所求直線方程為y，即4x3y90.故選A.9(2017·湖南岳陽二模)已知?jiǎng)又本€l：axbyc20(a>0，c>0)恒過點(diǎn)P(1，m)且Q(4,0)到動(dòng)直線l的最大距離為3，則的最小值為()A. B. C1 D9答案B解析因?yàn)閯?dòng)直線l：axbyc20(a>0，c>0)恒過點(diǎn)P(1，m)，所以abmc20，又因?yàn)镼(4,0)到動(dòng)直線l的最大距離為3，所以3，解得m0.所以ac2，則(ac)·，當(dāng)且僅當(dāng)c2a時(shí)取等號，故選B.10(2016·四川高考)設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直

20、相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則PAB的面積的取值范圍是()A(0,1) B(0,2)C(0，) D(1，)答案A解析設(shè)l1是yln x(0<x<1)的切線，切點(diǎn)P1(x1，y1)，l2是yln x(x>1)的切線，切點(diǎn)P2(x2，y2)，l1：yy1(xx1)，l2：yy2(xx2)，得xP，易知A(0，y11)，B(0，y21)，l1l2，·1，x1x21，SPAB|AB|·|xP|y1y22|·····，又0<x1<1，x2>1，x1x21，x1x2>22，

21、0<SPAB<1.故選A.二、填空題11(2018·豫西五校聯(lián)考)曲線yx3x5上各點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍為_答案解析設(shè)曲線上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為(0，)，因?yàn)閥3x211，所以tan1，結(jié)合正切函數(shù)的圖象可知，的取值范圍為.12(2018·南昌模擬)已知點(diǎn)A(3，4)，B(6,3)到直線l：axy10的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為_答案或解析由題意及點(diǎn)到直線的距離公式，得，解得a或.13(2017·豫北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)A(1,3)到直線l的距離為，則直線l的方程為_答案y7x或yx或xy20或xy60解析當(dāng)

22、直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為ykx，由點(diǎn)A(1,3)到直線l的距離為，得，解得k7或k1，此時(shí)直線l的方程為y7x或yx；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為xya，由點(diǎn)A(1,3)到直線l的距離為，得，解得a2或a6，此時(shí)直線l的方程為xy20或xy60.綜上所述，直線l的方程為y7x或yx或xy20或xy60.14(2018·南京期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位，沿y軸正方向平移5個(gè)單位，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位，又與直線l重合若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)(2,3)對稱，則直線l的方程是_答案6x8y10解析

23、由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykxb，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位，沿y軸正方向平移5個(gè)單位，得到直線l1：yk(x3)5b，再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位，則平移后的直線方程為yk(x31)b52，即ykx34kb.b34kb，解得k.直線l的方程為yxb，直線l1為yxb，取直線l上的一點(diǎn)P，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(2,3)的對稱點(diǎn)為，6bm(4m)b，解得b.直線l的方程是yx，即6x8y10.B級三、解答題15已知直線l：x2y80和兩點(diǎn)A(2,0)，B(2，4)(1)在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA|PB|最小；(2)在直線l上求一點(diǎn)P，使|PB|

24、PA|最大解(1)設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A(m，n)，則解得故A(2,8)P為直線l上的一點(diǎn)，則|PA|PB|PA|PB|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|PB|取得最小值|AB|，點(diǎn)P即是直線AB與直線l的交點(diǎn)，解得故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，3)(2)A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，P是直線l上的一點(diǎn)，則|PB|PA|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，|PB|PA|取得最大值，為|AB|，點(diǎn)P即是直線AB與直線l的交點(diǎn)，又直線AB的方程為yx2，解得故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,10)16(2018·深圳質(zhì)檢)如圖所示，函數(shù)f(x)x的定義域?yàn)?0，)設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線yx和y