近世代數(shù)習(xí)題解答(張禾瑞)三章

1、近世代數(shù)習(xí)題解答第三章 環(huán)與域1 加群、環(huán)的定義1. 證明,本節(jié)內(nèi)所給的加群的一個子集作成一個子群的條件是充分而且必要的.證 ()若S是一個子群則是S的零元,即對的零元,即 ()若 今證是子群由對加法是閉的,適合結(jié)合律,由,而且得再證另一個充要條件:若是子群,反之 故2. ,加法和乘法由以下兩個表給定:+0 a b c 0 a b c00 a b c00 0 0 0aa 0 c ba0 0 0 0bb c 0 ab0 a b ccc b a 0c0 a b c 證明,作成一個環(huán)證 對加法和乘法的閉的. 對加法來說,由習(xí)題6,和階是4的非循環(huán)群同構(gòu),且為交換群. 乘法適合結(jié)合律事實上. 當(dāng)或,的

2、兩端顯然均為. 當(dāng)或x=c,的兩端顯然均為. 這已討論了所有的可能性,故乘法適合結(jié)合律.兩個分配律都成立 事實上,第一個分配律的成立和適合律的討論完全一樣,只看或以及或就可以了.至于第二個分配律的成立的驗證,由于加法適合交換律,故可看或 (可省略的情形)的情形,此時兩端均為剩下的情形就只有R作成一個環(huán).2 交換律、單位元、零因子、整環(huán) 1. 證明二項式定理 在交換環(huán)中成立.證 用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時,顯然成立.假定時是成立的:看 的情形 (因為)即二項式定理在交換環(huán)中成立.2. 假定一個環(huán)對于加法來說作成一個循環(huán)群,證明是交換環(huán).證 設(shè)是生成元則的元可以寫成 (整數(shù)) 3 證明,對于有單位元的

3、環(huán)來說,加法適合交換律是環(huán)定義里其他條件的結(jié)果 (利用)證 單位元是, 是環(huán)的任意二元, 4 找一個我們還沒有提到過的有零因子的環(huán).證 令是階為的循環(huán)加群規(guī)定乘法:而則顯然為環(huán). 階為2 有 而 但 即為零因子或者為矩陣環(huán).5 證明由所有實數(shù) (整數(shù))作成的集合對于普通加法和乘法來說是一個整環(huán).證 令整數(shù)() 是加群適合結(jié)合律,交換律自不待言.零元 的負(fù)元()乘法適合結(jié)合律,交換律，并滿足分配律.()單位元 () R沒有零因子，任二實數(shù)或 3 除、環(huán)、域1. 所有復(fù)數(shù) 是有理數(shù)證明 對于普通加法和乘法來說是一個域.證 和上節(jié)習(xí)題5同樣方法可證得F是一個整環(huán).并且 ()有 () 即 中至少一個

4、因而有, 使 故為域 2. 所有實數(shù) 是有理數(shù) 證明 對于普通加法和乘法來說是一個域. 證 只證明 有逆元存在.則中至少有一個 , 我們說 不然的話, 若 則 矛盾) 但 不是有理數(shù) 既然 則 的逆為4. 證明 例3的乘法適合結(jié)合律.證 又 , 5. 驗證,四元數(shù)除環(huán)的任意元 ,這里是實數(shù),可以寫成 的形式. 證 4 無零因子環(huán)的特征1. 假定是一個有四個元的域,證明.()的特征是2;()的 或1的兩個元都適合方程 證 () 設(shè)的特征為則的(加)群的非零元的階所 (是群的階)但要求是素數(shù), () 設(shè) 由于,所以加法必然是 ,而 故有0 1 a b00 1 a b11 0 b aAa b 0 1

5、Bb a 1 0 又 構(gòu)成乘群,所以乘法必然是 (否則 )故有 .1 a b 11 a b aa b 1 bb a 1這樣, 顯然適合 2. 假定 是模 的一個剩余類.證明,若 同 互素,那么所有的書都同 互素(這時我們說同 互素).證 設(shè) 且則由于 故有 ,且有 因為 所以3. 證明, 所有同 互素的模 的剩余類對于剩余類的乘法來說作成一個群(同 互素的剩余類的個數(shù)普通用符號 來表示,并且把它叫做由拉函數(shù))證而 同 互素顯然非空,因為 ()則又有()顯然適合結(jié)合律.()因為有限,所以的階有限.若即由此可得即有另一個消去律同樣可證成立.作成一個群 4. 證明,若是, 那么(費馬定理)證 則而

6、的階是的階 的一個因子因此即5 子環(huán)、環(huán)的同態(tài)1. 證明,一個環(huán)的中心是一個交換子環(huán).證 設(shè)是環(huán)的中心.顯然 ，是環(huán)的任意元是子環(huán),至于是交換環(huán)那是明顯的.2. 證明, 一個除環(huán)的中心是個域.證 設(shè)!是除環(huán)！是中心由上題知是的交換子環(huán)顯然,即包含非零元,同時這個非零元是的單位元. 即 !是一個域3. 證明, 有理數(shù)域是所有復(fù)數(shù)是有理數(shù)）作成的域的唯一的真子域. 證 有理數(shù)域是的真子域.設(shè)!是的一個子域,則(因為是最小數(shù)域) 若 而則這就是說,是的唯一真子域.4. 證明, 有且只有兩自同構(gòu)映射.證 有理數(shù)顯然變?yōu)槠渥约?假定則由或 這就證明完畢.當(dāng)然還可以詳細(xì)一些:確是的兩個自同構(gòu)映射.現(xiàn)在證明

7、只有這兩個.若(有理數(shù)變?yōu)槠渥约? 則由 若 是有理數(shù),在就出現(xiàn)矛盾,所以有 因而 在就是說, 只能 或i5. 表示模3的剩余類所作成的集合.找出加群的所有自同構(gòu)映射,這找出域!的所有自同構(gòu)映射.證 1）對加群的自同構(gòu)映射自同構(gòu)映射必須保持!故有 2）對域的自同構(gòu)映射.自同構(gòu)映射必須保持，所有只有6. 令是四元數(shù)除環(huán), 是子集一切這里阿是實數(shù),顯然與實數(shù)域同構(gòu).令是把中換成后所得集合;替規(guī)定代數(shù)運算.使,分別用表示的元 ,那么的元可以寫成是實數(shù)）的形式(參看 習(xí)題). 驗證.，證 1）對來說顯然 2）一切 實數(shù) 一切（ 實數(shù) 一切 復(fù)數(shù)對是不屬于的的元. 一切規(guī)定 由于與的補足集合沒有共同元,

8、容易驗證是與間的一一映射.規(guī)定的兩個喚的和等于它們的逆象的和的象.的兩個元的積等于它們的逆象的積的象.首先,這樣規(guī)定法則確是的兩個代數(shù)運算.其次,對于這兩個代數(shù)運算以及的兩個代數(shù)運算來說在之下 （3）由習(xí)題5知 這里 實數(shù)這是因為令（4） 同樣6 多項式環(huán) 1. 證明, 假定是一個整環(huán),那么上的一個多項式環(huán)也是一個整環(huán). 證 !是交換環(huán)交換環(huán), 有單位元是的單位元, 沒有零因子沒有零因子事實上， 則因為沒有零因子,所以因而這樣是整環(huán)2 假定是模7的剩余類環(huán),在里把乘積 計算出來解 原式=3. 證明:() () 若是上的無關(guān)未定元,那么每一個都是上的未定元.證 （）一切 一切由于因而（）設(shè)即 因

9、為是上的無關(guān)未定元,所以即是上的未定元 4. 證明: () 若是和上的兩組無關(guān)未定元,那么() !上的一元多項式環(huán)能與它的一個真子環(huán)同構(gòu).證 ()根據(jù)本節(jié)定理3 容易驗證這樣 （）令一切顯然但不然的話這與是上未定元矛盾.所以是上未定元顯然故有（）這就是說,是的真子環(huán),且此真子環(huán)與同構(gòu).7 理想 1. 假定是偶數(shù)環(huán),證明,所有整數(shù)是的一個理想,等式!對不對? 證 是的一個理想. 等式 不對這是因為沒有單位元,具體的說但 2. 假定是整數(shù)環(huán),證明 證 是整數(shù)環(huán),顯然 又 3. 假定例3的是有理數(shù)域,證明,這時是一個主理想. 證 因為2與互素,所以存在使 。 即是一個主理想.4. 證明,兩個理想的交

10、集還是一個理想.證 和是兩個理想非空顯然 5. 找出模6的剩余類環(huán)的所有理想.證 找出的理想是我們只有這四個理想必包若包含或則必包含所有的元若同時含或則必包含或 6. 一個環(huán)!的一個子集叫做的一個左理想,假如 () ()你能不能在有理數(shù)域上的矩陣環(huán)里找到一個不是理想的左理想/證 是有理數(shù)取 是的一個左理想,但它不是理想.（只要或8 剩余類環(huán)、同態(tài)與理想1. 假定我們有一個環(huán)的一個分類，而是由所有的類所作成的集合又假定規(guī)定兩個的代數(shù)運算，證明是的一個理想并且給定類剛好是模的剩余類。 證 （） 先證是的一個理想 即 而 同理于是是的理想 （） 若屬于同一類，即 即屬于對同一剩余類反之，若屬于對的同

11、一剩余類即 所以即 亦即屬于同一類這樣給定的類正好是對來講的剩余類。 2 假定是環(huán)到環(huán)的一個同態(tài)滿射，證明，是與間的同構(gòu)映射，當(dāng)而且只當(dāng)?shù)暮耸堑牧憷硐氲臅r候。 證 （） 若，的逆象只有0既核是零理想 （） 若的核的零理想 而 那么核， 即是同構(gòu)映射 3 假定是由所有復(fù)數(shù)是整數(shù)作成的環(huán)，環(huán)有多少元？ 證 是有單位元的交換環(huán)那么主理想的元的形式應(yīng)為令 我們說當(dāng)而且只當(dāng)?shù)钠媾夹韵嗤瑫r，是整數(shù)所以共有兩個元：一個元是而奇偶性相同以代表一個元是而奇偶性相反以代表實際上，的任二元而則 與奇偶性相同 偶數(shù) 偶數(shù) 與奇偶性相同若 與 均奇數(shù)以及均奇偶性相反，若與 均偶數(shù)以及均奇偶性相同，反之亦然。9 最大理想

12、 1 假定是由所有復(fù)數(shù)是整數(shù) 所作成的環(huán)，證明，是一個域， 證 證法一，由習(xí)題3知是只包含兩個元，是有單位元的交換環(huán)且有零理想與單位理想，所以是一個域。 證法二，證明是的最大理想。設(shè)是的一個理想，且同時有而根據(jù)習(xí)題3知奇偶性相反若則若 則的奇偶性相反同屬一類即是理想，故 ，而是有單位元交換環(huán)自不必多說根據(jù)本節(jié)定理是域。 2 我們看環(huán)上的一個多項式環(huán)，當(dāng)是整數(shù)環(huán)時，的理想是不是最大理想？當(dāng)是有理數(shù)域的時候，情形如何？ 證 （）是整數(shù)環(huán)時，不是的最大理想這是因為由例3知是的理想明顯的有且 （）當(dāng)是有理數(shù)域時，可證是的最大理想。設(shè)是的一個理想，且而那么， 是理想即而 -于是 3 我們看所有偶數(shù)作成的環(huán)。證明，（4）是的最大理想，但不是一個域。 證 設(shè)是的一個理想，且而則除包含外還至少包含一個而是偶數(shù)，只有那么， 故有即是的最大理想。只包含兩個元而沒有單位元： 所以不是一個域。 4 我們看有理數(shù)域上的全部矩陣環(huán)，證明，只有零理想同單位理想，