第2章__平面力系22

1、第第2 2章章 平面力系平面力系力系力系 平面力系平面力系 空間力系空間力系 匯交力系匯交力系 一般力系一般力系 匯交力系匯交力系 平行力系平行力系 平行力系平行力系 一般力系一般力系 2.1.2.1.平面一般力系平面一般力系 定義定義：作用在物體上的各力的作用線都在同一平面內(nèi)，既不相交于一點(diǎn)又不完全平行，這樣的力系稱為平面一般力系。如圖起重機(jī)橫梁。 GQFAyFAxFT 2.2 2.2 力在坐標(biāo)軸上的投影力在坐標(biāo)軸上的投影注意注意：力的投影是代數(shù)量，有正負(fù)之分。規(guī)定如下：如由a到b（或由a1到b1）的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時(shí)，則力F F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負(fù)值。 AF

2、yoxBaba1b1FxFy 若已知力F F在直角坐標(biāo)軸上的投影，則該力的大小和方向?yàn)椋?若已知力F F 的大小為F，它和x軸的夾角為，則力在坐標(biāo)軸上的投影可按下式計(jì)算：22coscosxyxyFFFFFFFcossinxyFFFF 合力投影定理合力投影定理 ：合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。它是用解析法求解平面匯交力系合成與平衡問(wèn)題的理論依據(jù)。 ynyyyyxnxxxxFFFFFFFFFF2121 平面匯交力系的平衡條件平面匯交力系的平衡條件 ：該力系的合力F F等于零，即力系中所有力在任選兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和均為零。 平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系的平衡方程

3、： 00yxFF 靜力學(xué)平衡問(wèn)題的一般方法和步驟靜力學(xué)平衡問(wèn)題的一般方法和步驟 ：（1）選擇研究對(duì)象 （2）畫受力圖 （3）建立坐標(biāo)系，根據(jù)平衡 條件列平衡方程 例1.如圖所示吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，F(xiàn)2=5000N，F(xiàn)3=3000N。試求合力。 解解 建立如圖坐標(biāo)系。分別計(jì)算各力的投影。112000 xFFN 22cos305000 0.8664330 xFFNN 03xF01yFNNFFy25005 . 0500030sin22NFFy3000332000433006330 xxFFNN NNFFyy55003000250002222633055008386xy

4、FFFNN 則合力的大小為：由合力投影定理可得：由于Fx、Fy都是負(fù)值，所以合力應(yīng)在第三象限： cos/6330/83860.7548xFF41例例2.2.如圖所示一簡(jiǎn)易起重機(jī)裝置，重量G G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過(guò)定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑忽略不計(jì)，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計(jì)，各處接觸都為光滑。試求當(dāng)重物被勻速提升時(shí)，桿AB、AC所受的力。 FGFABFACx xy解解: :取滑輪為研究對(duì)象，作出它的受力圖并建立如圖直角坐標(biāo)系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程： FGFABFACx xy030cos30sinGFFNA

5、C030sin30cosFFFNACNABcos3022 0.8667.46sin300.5NACGFFkNkN cos30sin30NABNACFFF 7.46 0.8662 0.55.46kNkN F FNACNAC為負(fù)值，表明F FNACNAC的實(shí)際指向與假設(shè)方向相反，其反作用力為AC桿所受的力，所以AC桿為受壓桿件。 2.2.力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系 力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)點(diǎn)之矩 概念概念 ：力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量稱為力矩力矩。產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)的中心點(diǎn)稱為力矩中心（簡(jiǎn)稱矩心），力的作用線到力矩中心的距離d稱為力臂力臂，力使物體繞矩心轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)取決于力F的大小與力臂d的乘積及力矩的

6、轉(zhuǎn)動(dòng)方向。力對(duì)點(diǎn)之矩用M MO O（F F）來(lái)表示，即 ： FdFMO力矩是代數(shù)量，式中的正負(fù)號(hào)用來(lái)表明力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。規(guī)定力使物體繞矩心作逆時(shí)針逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。力矩的單位 是或 mkN mN 合力矩定理：合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于其所有分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。即： 1nOOiiMFMF 力對(duì)點(diǎn)之矩的求法力對(duì)點(diǎn)之矩的求法 方法方法1 1：用力矩的定義式定義式，即力和力臂的乘積求力矩。這種方法的關(guān)鍵在于確定力臂d。需要注意的是，力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直垂直于力的作用線。 方法方法2 2：運(yùn)用合力矩定理合力矩定理求力

7、矩。在工程實(shí)際中，有時(shí)力臂的幾何關(guān)系較復(fù)雜，不易確定時(shí)，可將作用力正交分解為兩個(gè)分力，然后應(yīng)用合力矩定理求原力對(duì)矩心的力矩。 例：如圖所示，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F F作用于C點(diǎn)，其方向角為 ，又知OB= ，BC= ，求力F F對(duì)O點(diǎn)的力矩。 hl解：解：用力矩的定義進(jìn)行求解。過(guò)點(diǎn)O作出力F F作用線的垂線與其交于點(diǎn)a，則力臂d即為線段oa。再過(guò)B點(diǎn)作力作用線的平行線，與力臂的延長(zhǎng)線交于b點(diǎn)，則: sincosOMFFdF obabF lh 力偶及其性質(zhì)力偶及其性質(zhì)它既不平衡，也不能合成為一個(gè)合力，只能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。力偶兩個(gè)力所在的平面，稱為力偶力偶作用面。作用面。兩力作用線

8、之間的垂直距離，叫作力偶臂（力偶臂（以d來(lái)表示）。力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向稱為力偶的轉(zhuǎn)向。力偶的轉(zhuǎn)向。力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，取決于力偶中的力與力偶臂的乘積，稱為力偶矩。力偶矩。記作： 或M： 定義：定義：作用在物體上的一對(duì)大小相等、方向相反、作用線相互平行相互平行兩個(gè)力稱為力偶力偶，記作FF，F(xiàn)FM，F(xiàn)dFFM， 力偶同力矩一樣，是一代數(shù)量。其正負(fù)號(hào)正負(fù)號(hào)只表示力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，規(guī)定：力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。 力偶矩的單位單位是： 或 力偶矩的大小大小、轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向和作用平面作用平面稱為力偶的三要素力偶的三要素。 mN mkN 力偶的性質(zhì)力偶的性質(zhì)1.力偶無(wú)合力，力偶不能用一個(gè)力來(lái)等效，

9、也不能用一個(gè)力來(lái)平衡，力偶只能用力偶來(lái)平衡。 力和力偶是組成力系的兩個(gè)基本物理量。力和力偶是組成力系的兩個(gè)基本物理量。2.力偶對(duì)其作用平面內(nèi) 任一點(diǎn)的力矩，恒等 于其力偶矩，而與矩 心的位置無(wú)關(guān)。 如圖所示： 3.力偶的等效性： 作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果它們的力偶矩大小相等、力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的。推論推論1 1 力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。即力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)與它在作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。推論推論2 2 在保持力偶矩大小和力偶轉(zhuǎn)向不變的情況下，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力臂的長(zhǎng)短，而不會(huì)改變力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。 3.3.平面力偶系的合成與平

10、衡平面力偶系的合成與平衡 平面力偶系的合成平面力偶系的合成 力偶對(duì)物體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小取決于力偶矩的大小及轉(zhuǎn)向。所以，物體內(nèi)某一平面內(nèi)受力偶系作用時(shí)，也只能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。力偶系對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小等于各力偶轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的總和，即平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。合力偶矩用M表示： MMMMMn21 平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。 0M例1： 梁AB 受一主動(dòng)力偶作用，如圖，其力偶矩 ，梁長(zhǎng) ，梁的自重不計(jì)，求兩支座的約束反力。 mNM1005lm 解

11、解: :以梁為研究對(duì)象，受力圖，如圖所示。作用于梁上的有矩為M的力偶和兩支座的約束反力F FA A、F FB B。根據(jù)力偶只能用力偶來(lái)平衡的性質(zhì)可知F FA A必須與F FB B組成一個(gè)力偶，即力F FA A必須與F FB B大小相等、方向相反、作用線平行。 平衡方程為：0BF lM100/205ABFFM lNN例2： 電機(jī)軸通過(guò)聯(lián)軸器與工件相連接，聯(lián)軸器上四個(gè)螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，如圖示。此圓周的直徑 ，電機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩 ，求每個(gè)螺栓所受的力。 150dmm2.5MkN m解：解：以聯(lián)軸器為研究對(duì)象。聯(lián)軸器上的力有力偶矩M M，四個(gè)螺栓的約束反力，假設(shè)四個(gè)

12、螺栓的受力均勻，則F1=F2=F3=F4=F，如圖所示。由平面力偶系平衡條件可知，F(xiàn) F1 1與F F3 3 、F F2 2與F F4 4組成兩個(gè)力偶，與電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶矩M M平衡。據(jù)平面力偶系的平衡方程 ：0FdFdM2.58.3322 0.15MFkNkNd 平面一般力系的簡(jiǎn)化平面一般力系的簡(jiǎn)化 1.1.力的平移定理力的平移定理FAOFF FF AOFF M=因此：作用于剛體上的力，可平移到剛體上的作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點(diǎn)，但必須附加一力偶，其附加力偶矩任意一點(diǎn)，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩。等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩。 FMFdFFMO ，d

13、d2.2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡(jiǎn)化平面一般力系向平面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡(jiǎn)化 作用于簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的平面匯交力系可合成為一個(gè)力，稱為該力系的主矢主矢 ，其作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心點(diǎn)O。各附加力偶組成的平面力偶系的合力偶矩，稱為該力系的主主矩矩 。主矩等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩的代數(shù)和，作用在力系所在的平面上,如圖示。主矢的大小和方向?yàn)椋篟FxyyxyxRFFFFFFFtan2222OM3.3.簡(jiǎn)化結(jié)果及分析簡(jiǎn)化結(jié)果及分析結(jié)果結(jié)果：平面一般力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)主矢和一個(gè)主矩，主矢的大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。主矩的值一般與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)。 分析分析：（1）若 ，則原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力和

14、一個(gè)力偶。在這種情況下，根據(jù)力的平移定理，這 個(gè)力和力偶還可以繼續(xù)合成為一個(gè)合力F FR R，其作用 線離O點(diǎn)的距離為 ，利用主矩的轉(zhuǎn)向來(lái) 確定合力F FR R的作用線在簡(jiǎn)化中心的哪一側(cè)。00ORMF，/ORdMFOF FR R MoOF FR R d OMoF FR R OF FR R d (2)若 ，則原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力。在這種情況下，附加力偶系平衡，主矢即為原力系的合力F FR R，作用于簡(jiǎn)化中心。(3)若 ，則原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶，其矩等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。在這種情況下，簡(jiǎn)化結(jié)果與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。即無(wú)論力系向哪一點(diǎn)簡(jiǎn)化都是一個(gè)力偶，且力偶矩等于主矩。(4)若 ，則原力系是平衡

15、力系。 同理，如果力系是平衡力系，該力系的主矢、主矩必然為零。因此， 就是平面一般力平面一般力系平衡的必要與充分條件系平衡的必要與充分條件。 00ORMF，00ORMF，00ORMF，00ORMF，由此可由此可得平面得平面一般力一般力系的系的平平衡方程衡方程為為 ：00( )0 xyOFFMF例例1 1：求圖示梁支座的約束反力。已知 ：2FkN2amaaaFFAB解:取梁為研究對(duì)象。受力圖如圖示。建立坐標(biāo)系，列平衡方程：FyFxFByxFx- FBsin30=0 Fy+ FBcos30-2F=0-Fa-2Fa+ 3aFBcos30=000( )0 xyOFFMF即：求得：FB =2.3KN F

16、x = 1.15KN Fy =2KN5.5.平面平行力系平面平行力系 定義：定義：平面力系中各力的作用線互相平行，則稱為平行力系，如圖所示。F1F2F3F4F5yxo 平面平行力系的平衡方程：平面平行力系的平衡方程：如取坐標(biāo)系中Oy軸與各力平行，各力在x軸上的投影恒等于零，即 因此，平面平行力系的平衡方程平衡方程為： 。0 xF 00FMFOy 00FMFMBA或式中式中A A、B B 兩點(diǎn)連線不能與各力的作用線平行。兩點(diǎn)連線不能與各力的作用線平行。 例例2 2：如圖示為鐵路起重機(jī)，起重機(jī)重力G1 1=500kN，重心C在兩鐵軌的對(duì)稱面內(nèi)，最大起重力F=200kN。為保證起重機(jī)在空載和滿載時(shí)都

17、不致翻倒，求平衡重力G及其距離x。尺寸如圖所示。 空載時(shí)，以A點(diǎn)為矩心，列平衡方程： GX-0.75G1 =0 (1) 解：設(shè)左邊鐵軌對(duì)起重機(jī)的支撐力為FA，左邊鐵軌對(duì)起重機(jī)的支撐力為FB。則：空載時(shí)，此時(shí)FB=0；滿載時(shí)，F(xiàn)A=0。 滿載時(shí)，以B點(diǎn)為矩心，列平衡方程： G(X+1.5)+0.75G1-6F =0 (2) 由（1）、（2）可得： G=300KN X=1.25m6.6.物體系統(tǒng)的平衡條件物體系統(tǒng)的平衡條件 由多個(gè)構(gòu)件通過(guò)一定的約束組成的系統(tǒng)稱為物物體系統(tǒng)體系統(tǒng)（物系）物系）。系統(tǒng)外部物體對(duì)系統(tǒng)的作用力稱為物系外力物系外力；系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力稱為物系內(nèi)力物系內(nèi)力。 在求

18、解物系的平衡問(wèn)題時(shí)，不僅要考慮系統(tǒng)外力，同時(shí)還要考慮系統(tǒng)內(nèi)力。 若整個(gè)物系處于平衡時(shí)，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。既可以以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，也可以取單個(gè)構(gòu)件為研究對(duì)象。 例例3:3: 如圖所示一三鉸拱橋。左右兩半拱通過(guò)鉸鏈C聯(lián)接起來(lái)，通過(guò)鉸鏈A、B與橋基聯(lián)接。已知G G=40kN，P P=10kN。試求鉸鏈A、B、C三處的約束反力。 3m解解: :取整體為研究對(duì)象畫出受力圖，并建立如圖所示坐標(biāo)系。列平衡方程 0NAxNBxFF20NAyNByFFPG129110NByFPGG解之得：47.5NByFkN42.5NAyFkN取左半拱為研究對(duì)象畫出受力圖，并建立如圖所示坐標(biāo)系。列解平衡

19、方程 ：0NAxNCxFF0NCyNAyFFG6560NAxNAyFGF解之得：9.2NAxFkN9.2NCxFkN2.5NCyFkN所以：9.2NBxFkN7.7.考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題 摩擦可分為滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦。本節(jié)主要介紹靜滑動(dòng)摩擦及考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題。 （1 1）滑動(dòng)摩擦：）滑動(dòng)摩擦：兩物體接觸表面間產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)或具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)所具有的摩擦。 兩物體表面間只具有滑動(dòng)趨勢(shì)而無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的摩擦，稱為靜滑動(dòng)摩擦（靜摩擦）靜滑動(dòng)摩擦（靜摩擦）； 接觸表面間產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的摩擦，稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦（動(dòng)摩擦）動(dòng)滑動(dòng)摩擦（動(dòng)摩擦）。 靜滑動(dòng)摩擦靜滑動(dòng)摩擦F FT T很小時(shí)

20、，B盤沒(méi)有滑動(dòng)而只具有滑動(dòng)趨勢(shì)，此時(shí)物系將保持平衡。摩擦力F Ff f與主動(dòng)力F FT T等值。F FT T逐漸增大，F(xiàn) Ff f也隨之增加。F Ff f具有約束反力的性質(zhì)，隨主動(dòng)力的變化而變化。F Ff f增加到某一臨界值F Ffmaxfmax時(shí)，就不會(huì)再增大，如果繼續(xù)增大F FT T，B盤將開(kāi)始滑動(dòng)。因此，靜摩擦力隨主動(dòng)力的不同而變化，其大小由平衡方程決定，但介于零與最大值之間，即：max0ffFF靜摩擦定律：靜摩擦定律：實(shí)驗(yàn)證明，最大靜摩擦力的方向與物體相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反，大小與接觸面法向反力F FN N的大小成正比，即： 式中比例常數(shù) 稱為靜摩擦系數(shù)靜摩擦系數(shù)， 的大小與兩物體接觸面

21、的材料及表面情況（粗糙度、干濕度、溫度等）有關(guān)，而與接觸面積的大小無(wú)關(guān)。一般材料的靜摩擦系數(shù)可在工程手冊(cè)上查到。常用材料的值見(jiàn)表。 maxfNFfFff動(dòng)滑動(dòng)摩擦動(dòng)滑動(dòng)摩擦動(dòng)摩擦定律動(dòng)摩擦定律: :當(dāng)水平力F FT T超過(guò)F Ffmaxfmax時(shí)，盤B開(kāi)始加速滑動(dòng)，此時(shí)盤B所受到的摩擦阻力已由靜摩擦力轉(zhuǎn)化為動(dòng)摩擦力。實(shí)驗(yàn)證明，動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的大小與接觸表面間的正壓力F FN N成正比，即： 式中比例常數(shù) 稱為動(dòng)摩擦系數(shù)，其大小除了與兩接觸物體的材料及表面情況有關(guān)外，還與兩物體的相對(duì)滑動(dòng)速度有關(guān)。常用材料的值見(jiàn)表。 NfFfFf（2 2）摩擦角與自鎖現(xiàn)象）摩擦角與自鎖現(xiàn)象 摩擦角摩擦角 FpGFN

22、FfFRF FN N 正壓力F Ff f 靜摩擦力F FR R 全約束反力 （全反力） 全反力與接觸面 法線的夾角m:全反力與法線間的最大夾角。摩擦系數(shù)摩擦系數(shù)f f ：摩擦角的正切值。即： fFfFFFNNNfmmaxtan摩擦錐：摩擦錐：如果物體與支承面的靜摩擦系數(shù)在各個(gè)方向都相同，則摩擦角范圍在空間就形成為一個(gè)錐體，稱為摩擦錐摩擦錐。m自鎖：自鎖：若主動(dòng)力的合力F FQ Q作用在錐體范圍內(nèi)，則約束面必產(chǎn)生一個(gè)與之等值、反向且共線的全反力F FR R與之平衡。但無(wú)論如何增加力F FQ Q，物體總能保持平衡。全反力作用線不會(huì)超出摩擦錐的這種現(xiàn)象稱為自鎖自鎖。 FQF FR R自鎖條件自鎖條件

23、 : :m（3 3）考慮摩擦的平衡問(wèn)題）考慮摩擦的平衡問(wèn)題 考慮摩擦與不考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題，求解方法基本相同。不同的是在畫受力圖時(shí)要畫出摩擦力Ff ，并需要注意摩擦力的方向與滑動(dòng)摩擦力的方向與滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反，不能隨意假定趨勢(shì)方向相反，不能隨意假定。 由于Ff值是一個(gè)范圍（平衡范圍平衡范圍），確定這個(gè)范圍可采取兩種方式：一種是分析平衡時(shí)的臨界情況，假定摩擦力取最大值，以Ff=Ffmax=fFN作為補(bǔ)充條件，求解平衡范圍的極值。另一種是直接采用 ，以不等式進(jìn)行運(yùn)算。 fNFfF例例1 1：已知如圖重力G=100N， ，物塊與斜面間摩擦系數(shù)f=0.38,f =0.37，求物塊與斜面間的摩擦力。試問(wèn)物塊在斜面上是靜止、下滑還是上滑？如果要使物塊上滑，求作用在物塊并與斜面平行的力F F至少應(yīng)多大？ 30GFf f物體受主動(dòng)力物體受主動(dòng)力G的作用，不可能