電大《常微分方程》形成想考核作業(yè)參考答案

1、常微分方程第一、二、三次作業(yè)參考答案1、給定一階微分方程：（1） 求出它的通解；解：由原式變形得：.兩邊同時(shí)積分得.（2） 求通過點(diǎn)（2，3）的特解；解：將點(diǎn)（2,3）代入題（1）所求的得通解可得：即通過點(diǎn)（2,3）的特解為：.（3） 求出與直線相切的解；解：依題意聯(lián)立方程組：故有：。由相切的條件可知：，即解得故為所求。（4） 求出滿足條件的解。解：將代入，可得故為所求。2、求下列方程的解。） 2）解：依題意聯(lián)立方程組：解得：，。則令，。故原式可變成：.令，則，即有.兩邊同時(shí)積分，可得 .將，代入上式可得：.即上式為所求。3、求解下列方程:.解：由原式變形得：.兩邊同時(shí)積分得：.即上式為原方程

2、的解。.解：先求其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解：.進(jìn)一步變形得：.兩邊同時(shí)積分得：.利用常數(shù)變異法，令是原方程的通解。有.整理得：.兩邊同時(shí)積分得.故原方程的通解為：.；解：令，代入方程整理得解得:即.解：由原式化簡整理得：兩邊同時(shí)積分得：4、敘述一階微分方程的解的存在唯一性定理。一階微分方程 （1）其中是在矩形域上的連續(xù)函數(shù)。 定義1  如果存在常數(shù)，使得不等式  對(duì)于所有  都成立，則函數(shù)稱為在上關(guān)于滿足Lipschitz條件。 定理1 如果在上連續(xù)且關(guān)于滿足Lipschitz條件， 則方程(1)存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件， 這里，。 5、求方程通

3、過點(diǎn)的第二次近似解。 解： 令 則 6、討論方程通過點(diǎn)的解和通過點(diǎn)的解的存在區(qū)間。解：此時(shí)區(qū)域D是整個(gè)平面.方程右端函數(shù)滿足延展定理的條件.容易算出，方程的通解是：故通過(1,1)的積分曲線為：，它向左可無限延展，而當(dāng)時(shí)，y +, 所以，其存在區(qū)間為(-,2)。7、考慮方程假設(shè)及在xOy平面上連續(xù)，試證明：對(duì)于任意及，方程滿足的解都在上存在。證明：根據(jù)題設(shè)，可以證明方程右端函數(shù)在整個(gè)xOy平面上滿足延展定理及存在與唯一性定理的條件.易于看到，為方程在(-,+)上的解.由延展定理可知足，任意，的解上的點(diǎn)應(yīng)當(dāng)無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，但是，由解的唯一性，又不能穿過直線 ，故只能向兩側(cè)延展，而無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，從而

4、這解應(yīng)在(-,+)上存在。8、設(shè)（1） 驗(yàn)證函數(shù)是方程的通解；解：由，易得.故得以驗(yàn)證（2） 求滿足初始條件的特解；解：由，可得.由可得.由可知.所以所求特解為.（3） 求滿足初始條件的特解。解：由，代入.解得，.故所求特解為：.9、求解下列微分方程1）、 2）、 3）、解：1）、這里特征根方程為：，有兩個(gè)特征根 ，因此它的通解為：.解：2）、這里特征根方程為：，它的特征根為 ，因此它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為：.考慮，它的一個(gè)特解為： .取它的虛部作為原方程的一個(gè)特解，則 .根據(jù)解的結(jié)構(gòu)基本定理，原方程的通解為： .解：3）、這里特征根方程為：，有兩個(gè)特征根 ，因此它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為：.考

5、慮原方程，它的一個(gè)特解為： .根據(jù)解的結(jié)構(gòu)基本定理，原方程的通解為：.10、將下面的初值問題化為與之等價(jià)的一階方程組的初值問題:1） 2）解：1）令 xx, x= x, 得 即 又 xx(1)=7 x(1)= x(1)=-2于是把原初值問題化成了與之等價(jià)的一階方程的初值問題：x x(1)其中 x. 解：2) 令x 則得： 且 (0)=x(0)=1, =(0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0于是把原初值問題化成了與之等價(jià)的一階方程的初值問題：= x(0)=, 其中 x=.11、考慮方程組，其中1）驗(yàn)證 是 的基解矩陣.2）試求的滿足初始條件 的解 .證明：a)首先驗(yàn)證它是基

6、解矩陣以表示的第一列 則.故是方程的解如果以表示的第二列 .我們有.故也是方程的解，從而是方程的解矩陣又.故是的基解矩陣；b)由常數(shù)變易公式可知，方程滿足初始條件的解.而.12、設(shè)，求解方程組滿足初始條件的解。解：det（EA）=(+1)2(3)0. 1（二重），3.對(duì)應(yīng)的特征向量為u1，u2. . 解得. .常微分方程課程作業(yè)4解答1. 解答：證：首先，方程的任意兩個(gè)線性無關(guān)解的郎斯基行列式在區(qū)間I上恒不為零?？杀砣缦?，為區(qū)間I上任一點(diǎn)。由于， 在區(qū)間I上連續(xù)、恒不為零。故在區(qū)間I上恒不為零，即同號(hào)。此即 （與同號(hào)）在區(qū)間I上不變號(hào)。亦即在區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)。2. 解答：證：設(shè)二階線性齊次方

7、程的任意兩個(gè)線性無關(guān)解組的郎斯基行列式分別為： a , b分別為這兩個(gè)行列式在某一點(diǎn)的值。由于線性無關(guān)解組的行列式恒不為零。故a , b都不為零。兩個(gè)行列式之比或?yàn)榉橇愠?shù)。3. 解答：方程可變?yōu)?通解為：以 代入得 = = = =4. 解答： 或 顯然 當(dāng)為常數(shù)時(shí)，（比如 =0就能如此）其基本解組的郎斯基行列式為常數(shù)。5. 解答： （1） 方程的特征方程為 特征根為 所以方程的通解為 ，其中為任意常數(shù)。（2） 方程的特征方程為 特征根為 所以方程的通解為 ，其中，為任意常數(shù)。（3） 方程的特征方程為 特征根為 所以方程的通解為 ，其中，為任意常數(shù)。6. 解答：（1） 方程的特征方程為 特征根

8、為 所以方程的通解為 ，其中為任意常數(shù)。以代入下兩式， 得 所以 方程滿足初始條件的解為 （2） 方程的特征方程為 特征根為 所以方程的通解為 ，其中為任意常數(shù)。以代入下兩式 得 所以 方程滿足初始條件的解為 7. 解答：（1）齊次方程的特征方程為特征根為 通解為 ，其中為任意常數(shù)。令 代入比較同次項(xiàng)系數(shù)得 所以方程的通解為（2）齊次方程的特征方程為特征根為 通解為 ，其中為任意常數(shù)。令 代入比較同次項(xiàng)系數(shù)得 所以方程 的通解為（3）齊次方程的特征方程為特征根為 通解為 ，其中為任意常數(shù)。令 代入比較同次項(xiàng)系數(shù)得 所以方程的通解為8. 解答：由 f=k x 以 f=9.8 , x=1 得 k=9.8又 得 即特征方