逆矩陣的求法及逆矩陣的應(yīng)用

1、逆矩陣的幾種求法及逆矩陣的應(yīng)用摘要：在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，矩陣是一個(gè)非常有效而且應(yīng)用廣泛的工具，而逆矩陣則是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)非常重要的概念。關(guān)于逆矩陣的求法及逆矩陣的應(yīng)用的探討具有非常重要的意義。目前，對(duì)于逆矩陣的求法及其應(yīng)用領(lǐng)域的研究已比較成熟。本文將對(duì)逆矩陣的定義、性質(zhì)、判定方法及求法進(jìn)行總結(jié)，并初步探討矩陣的逆在編碼、解碼等方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：矩陣 逆矩陣 逆矩陣的求法 逆矩陣的應(yīng)用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrixAbstract: In modern mathematics，m

2、atrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and p

3、roperties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中

4、，矩陣是一個(gè)有效而應(yīng)用廣泛的工具。在矩陣?yán)碚撝?，逆矩陣又一個(gè)非常重要的概念。本文將對(duì)矩陣可逆性的由來(lái)及逆矩陣的定義、性質(zhì)、判定方法進(jìn)行探討，并進(jìn)一步了解逆矩陣在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生進(jìn)一步了解逆矩陣的應(yīng)用，從而提高教育教學(xué)質(zhì)量。二：矩陣的逆的定義 對(duì)于n矩陣A，如果存在一個(gè)n矩陣B，使得AB=BA=E（E為單位矩陣），那么說(shuō)矩陣A可逆，并把矩陣B稱(chēng)為A的逆矩陣。記A的逆矩陣為A.三：可逆矩陣的性質(zhì) 1、如果矩陣A、B均可逆,那么矩陣AB可逆，其逆矩陣為BA.（推廣：如果矩陣A1 ，A2 , An 均可逆,那么矩陣A1A2An可逆，其逆陣為AnA2A1） 2、如果A可逆，

5、那么可逆，且=A； 3、如果A可逆，那么可逆，且. 4、. 5、如果A可逆，數(shù)，那么可逆，且； 6、如果矩陣A的逆存在，那么該逆矩陣唯一。以上結(jié)論見(jiàn)文獻(xiàn)1 四：矩陣可逆的幾種判別方法設(shè)矩陣A為n階方陣，那么A可逆的充要條件有：1、存在n階方陣B，使得AB=I；2、對(duì)PAQ=，其中P為s矩陣，Q為n×m矩陣，r（A）=n；3、；4、是非退化矩陣.5、A的行向量（列向量）組線性無(wú)關(guān)；6、A可由一系列初等矩陣的乘積表示；7、A可經(jīng)過(guò)一系列初等行變換（列變換）化成單位矩陣I；8、齊次線性方程組AX=0只有零解.以上結(jié)論見(jiàn)文獻(xiàn)1 8五：逆矩陣的幾種求法（一）定義法定義：矩陣A為n階方陣，如果存

6、在n階方陣B，使得AB=E,那么稱(chēng)A可逆，稱(chēng)B為A的逆矩陣，記為.求矩陣的逆矩陣.解 ： 因?yàn)?,所以存在.設(shè),由定義知A=E,所以=.由矩陣乘法得=.由矩陣相等可解得;.故（二）伴隨矩陣法定理：n階矩陣A可逆的充分必要條件是A非退化.且，其中，Aij是|A|中元素aij的代數(shù)余子式.矩陣稱(chēng)為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*，即有A-1 = A*.該定理見(jiàn)文獻(xiàn)1注 此方法適用于計(jì)算階數(shù)較低矩陣（一般不超過(guò)3階）的逆，或用于元素的代數(shù)余子式易于計(jì)算的矩陣求逆。注意A* = （Aji）n×n的元素位置以及各元素的符號(hào)。特別地，對(duì)于2階方陣，其伴隨矩陣為.對(duì)于分塊矩陣，上述求伴隨矩陣的規(guī)律不適用

7、.例2：已知，求A-1.解: = -1 0 A可逆.由已知得A-1 = A* = （三）行(列)初等變化法 設(shè)n階矩陣A，作n×2n矩陣，對(duì)該矩陣作初等行變換，如果把子塊A變?yōu)?，那么子塊變?yōu)?，即由A,E作初等行變換得E,A-1，所得的即為A的逆矩陣.注 對(duì)于階數(shù)較高的矩陣（n3），用初等行變換法求逆矩陣，一般比用伴隨矩陣法簡(jiǎn)便.用上述方法求逆矩陣，只允許作初等行變換.也可以利用求得A的逆矩陣.若矩陣A可逆，可利用得A-1B和CA-1.這一方法的優(yōu)點(diǎn)是不需求出A的逆矩陣和進(jìn)行矩陣乘法僅通過(guò)初等變換，即求出了A-1B或CA-1.例3：用初等行變換求矩陣的逆矩陣.解：所以（四）用Crame

8、r法則求矩陣的逆若線性方程組的系數(shù)行列式，則此方程組有唯一的一組解.這里是將中的第i列換成得到的行列式.定理1 若以 = (1 , 0 , 0 , , 0), = (0 , 1 , 0 , , 0), , = (0 , 0 , 1) 表示Fn(Fn表示數(shù)域F上的n維行向量空間)上的一組標(biāo)準(zhǔn)基,那么Fn中任一向量= (a1 , a2 , , an )都能且只能表示為: =a1 + a2 + an的形式,這里aiF(i = 1 , 2 , , n).定理2 若稱(chēng)矩陣A與矩陣B相乘所得的矩陣為AB，以A的第i行右乘以B，其乘積即為矩陣AB的第i行.求矩陣的逆可用以下方法:令n階可逆矩陣A=(aij)

9、,A的行向量分別為 , 其中=(a11,a12,a1n),(i=1,2,n),由定理1得: =aij(i = 1 , 2 , , n) ，解方程組（, , ,為未知量）,由于系數(shù)行列式D=|A| 0 (因?yàn)锳 可逆),所以, 由Cramer法則可得唯一解: = bj1+ bj2+ + bjn(j = 1 , 2 , , n) .其中Dj是用方程組的常數(shù)項(xiàng)1 ,2,n替換行列式D的第j列的元素得到的n階行列式.由定理2可得: BA = I ( I 為單位矩陣),從而有A-1= B.其中B=(bij).以上定理見(jiàn)文獻(xiàn)1、 7 、8下面舉例說(shuō)明這種方法.例4：求矩陣的逆矩陣.解：矩陣A的行向量為，由

10、標(biāo)準(zhǔn)基表示為：解以為未知量的方程組得：所以（五）解方程組求逆矩陣由可逆矩陣的上三角(下三角)矩陣的逆仍為上三角(下三角)矩陣,且對(duì)于上(下)三角矩陣的逆矩陣，其主對(duì)角元分別為上(下)三角矩陣對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元的倒數(shù),可設(shè)出逆矩陣的待求元素;又由A-1A = E 兩端對(duì)應(yīng)元素相等,依次可得只含有一個(gè)待求元素的方程,因而待求元素極易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩陣的逆矩陣. 例5： 求的逆矩陣.解：設(shè),先求A-1 中主對(duì)角線下的次對(duì)角線上的元素,，.設(shè)E為4階單位矩陣, 比較的兩端對(duì)應(yīng)元素,得： 解得，解得，解得，解得，及所求的逆矩陣為（六）求三角矩陣的逆的一種方法定理：若如果n階矩陣 可逆，則

11、它的逆矩陣為 其中 例6： 求上三角陣 的逆矩陣.解：由定理知 （七）用分塊矩陣求逆矩陣設(shè)矩陣A為m階可逆矩陣，B為n階可逆矩陣，則：例7：已知，求A-1.解：將A分塊如下：可求得（八）用恒等變形法求矩陣的逆有些計(jì)算題看似與求逆矩陣無(wú)關(guān),但實(shí)際上卻能發(fā)現(xiàn)，這些題是計(jì)算需要求出逆矩陣的，需將給定矩陣等式作恒等變形，且通?；癁閮删仃嚦朔e等于單位矩陣的形式。 例8：已知，試求并證明,其中.解: 由，得 ，故 ,而 A為正交矩陣, ，所以 （九）拼接新矩陣：在可逆矩陣A的右方補(bǔ)加上一個(gè)單位矩陣E,在A的下方補(bǔ)加上一個(gè)負(fù)單位矩陣-E, 再在A的右下方補(bǔ)加上一個(gè)零矩陣O,從而得到一個(gè)新的方陣.對(duì)該方陣施行

12、第三種行的初等變換,使其負(fù)單位矩陣-E化為零矩陣, 那么原來(lái)的零矩陣O所化得的矩陣就是所要求的逆矩陣A-1.例9：求矩陣的逆矩陣A-1.解:因?yàn)?，所以 存在構(gòu)造矩陣有：將第一行依次乘以-2，-3和1，分別加到第二行、第三行和第五行，得：將第二行依次乘以-1和1，分別加到第三行和第四行，得：再將第三行依次乘以-3、2和-1，分別加到第四行、第五行、第六行，得：故：（十）. 用Hamilton-Caley定理求逆矩陣Hamilton-Caley定理:設(shè)A是數(shù)域P上的n階矩陣 為A的特征多項(xiàng)式，則 所以 由此，可知 例10：已知，求 A-1.解：A 的特征多項(xiàng)式 由Hamilton-Caley定理

13、可知，所以 （十一）.和化積法 對(duì)于有些涉及矩陣和的問(wèn)題，要先判斷方陣之和A+B的非退化性，并求出它的逆矩陣。則此時(shí)A+B可直接轉(zhuǎn)化為（A+B）C=E的形式,從而得出結(jié)論，A+B非退化，且=C.或?qū)+B表示為幾個(gè)已知的非退化陣之積，并得出它的逆矩陣.例11.證明:如果=0,那么E-A是非退化的，并求.證明：因?yàn)?，所以是非退化的，?.六：逆矩陣在編碼解碼方面的應(yīng)用矩陣密碼學(xué)是信息編碼和解碼的技術(shù)，其中一種利用了可逆矩陣的方法。首先，在26個(gè)英文字母和數(shù)字之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如，可以是A B Y Z 1 2 25 26使用上面的代碼，則該信息的編碼是19,5,14,4,13，15,14,5,2

14、5，其中5代表字母E。遺憾的是，這個(gè)編碼表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系較為簡(jiǎn)易，人們很輕易就能破譯。如果一個(gè)信息編碼比較長(zhǎng)，那么人們會(huì)找出那個(gè)出現(xiàn)頻率最高的數(shù)值，并且猜出它代表哪個(gè)字母。比如，以上編碼中，出現(xiàn)次數(shù)最頻繁的編碼值是5，所以人們很自然地會(huì)認(rèn)為，5代表字母E，因由統(tǒng)計(jì)規(guī)律我們可以知道，在英文單詞中，字母E出現(xiàn)的頻率最高。利用矩陣的乘法，我們可以對(duì)英文信息“SEND MONEY”進(jìn)行加密，讓其由明文轉(zhuǎn)換成密文，然后再進(jìn)行傳遞發(fā)送。這樣，信息一經(jīng)處理，就能有效地對(duì)非法用戶破譯編碼增加一定的難度，而又為合法用戶找到一條輕松解密的途徑。若存在一個(gè)矩陣A，它的元素均為整數(shù)，而且它的行列式 =1.那么由伴隨矩陣

15、求逆公式 可知，的元素也都是整數(shù)。我們可以通過(guò)這樣的方法，利用矩陣A 來(lái)對(duì)明文進(jìn)行加密，從而增加加密之后的密文的破譯難度?，F(xiàn)在取A=用三列將明文“SEND MONEY”所對(duì)應(yīng)的9 個(gè)數(shù)值按以下方法排列，可得矩陣B=矩陣乘積AB=對(duì)應(yīng)上數(shù)矩陣，發(fā)出去的密文編碼為43，105，81，45，118，77，49，128，93，合法用戶可用A-1左乘上述矩陣，即可得到明文從而解密。為了構(gòu)造“密鑰”矩陣A，我們可以進(jìn)行有限次的初等行變換，從單位陣I開(kāi)始對(duì)矩陣作變換，為了方便，通常我們只用某行的整數(shù)倍加到另一行。這樣，我們可以得到一個(gè)元素均為整數(shù)的矩陣A。并且由于=1，我們可以知道的元素也必然都是整數(shù)。參考文獻(xiàn)1王萼芳，石生明.高等代數(shù)（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.2閆曉紅.高等代數(shù)全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解 M.