振動(dòng)力學(xué)最終版-2008[1].5.15

1、現(xiàn)代設(shè)計(jì)及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)代設(shè)計(jì)及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容l 1.1 機(jī)械振動(dòng)的定義及研究?jī)?nèi)容機(jī)械振動(dòng)的定義及研究?jī)?nèi)容l 1.2 機(jī)械振動(dòng)的分類(lèi)機(jī)械振動(dòng)的分類(lèi)l 1.3 機(jī)械振動(dòng)的表達(dá)方法機(jī)械振動(dòng)的表達(dá)方法機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述l 1.1 機(jī)械振動(dòng)的定義及研究?jī)?nèi)容機(jī)械振動(dòng)的定義及研究?jī)?nèi)容u定義定義從廣義上講，如果表征某一種運(yùn)動(dòng)的物理量作時(shí)而增大時(shí)而從廣義上講，如果表征某一種運(yùn)動(dòng)的物理量作時(shí)而增大時(shí)而減小的反復(fù)變化，就可以稱(chēng)這種運(yùn)動(dòng)為減小的反復(fù)變化，就可以稱(chēng)這種運(yùn)動(dòng)為振動(dòng)振動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)是一種特殊形式的運(yùn)動(dòng)。在這種運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械是一種特

2、殊形式的運(yùn)動(dòng)。在這種運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械系統(tǒng)將圍繞平衡位置作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)看，機(jī)械系統(tǒng)將圍繞平衡位置作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)看，機(jī)械振動(dòng)是指機(jī)械系統(tǒng)的某些物理量振動(dòng)是指機(jī)械系統(tǒng)的某些物理量(位移、速度、加速度位移、速度、加速度)，在某一數(shù)值附近隨時(shí)間在某一數(shù)值附近隨時(shí)間t的變化關(guān)系。的變化關(guān)系。（油膜振動(dòng)是機(jī)械振動(dòng)嗎？）（油膜振動(dòng)是機(jī)械振動(dòng)嗎？）（汽輪發(fā)電機(jī)組、航空發(fā)動(dòng)機(jī)、火箭等的振動(dòng)）（汽輪發(fā)電機(jī)組、航空發(fā)動(dòng)機(jī)、火箭等的振動(dòng)）機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述“振動(dòng)力學(xué)是研究機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的一門(mén)課程振動(dòng)力學(xué)是研究機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的一門(mén)課程” -這句話說(shuō)明了本書(shū)的特色。這句話說(shuō)

3、明了本書(shū)的特色。許多情況下振動(dòng)是有害的。許多情況下振動(dòng)是有害的。它常常是造成機(jī)械和結(jié)構(gòu)惡性破壞和失效的直接原因。它常常是造成機(jī)械和結(jié)構(gòu)惡性破壞和失效的直接原因。例如：例如：l 橋身扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和上下振動(dòng)而坍塌。橋身扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和上下振動(dòng)而坍塌。l 日本海南電廠日本海南電廠66千瓦的汽輪發(fā)電機(jī)組，因發(fā)生異常而全千瓦的汽輪發(fā)電機(jī)組，因發(fā)生異常而全 機(jī)毀壞（機(jī)毀壞（ 1972年）。美國(guó)西屋公司年）。美國(guó)西屋公司300MW機(jī)組等。機(jī)組等。l 我國(guó)秦嶺電廠我國(guó)秦嶺電廠200MW機(jī)組等、出口伊朗機(jī)組等、出口伊朗300MW機(jī)組機(jī)組 等事故。等事故。機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述振動(dòng)也有可利用的一面。振動(dòng)也有可利用的一面。

4、例如：例如： 工業(yè)用的振動(dòng)篩、振動(dòng)沉樁、振動(dòng)輸送等。工業(yè)用的振動(dòng)篩、振動(dòng)沉樁、振動(dòng)輸送等。u機(jī)械振動(dòng)研究?jī)?nèi)容機(jī)械振動(dòng)研究?jī)?nèi)容 在工程技術(shù)問(wèn)題中最普遍的振動(dòng)問(wèn)題屬于在工程技術(shù)問(wèn)題中最普遍的振動(dòng)問(wèn)題屬于振動(dòng)設(shè)計(jì)振動(dòng)設(shè)計(jì)，即在己，即在己知輸入情況下，設(shè)計(jì)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，使得它的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能知輸入情況下，設(shè)計(jì)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，使得它的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能滿足一定的要求；此外，還有通過(guò)已知的輸入和輸出來(lái)研究滿足一定的要求；此外，還有通過(guò)已知的輸入和輸出來(lái)研究系統(tǒng)的特性，稱(chēng)為系統(tǒng)的特性，稱(chēng)為系統(tǒng)識(shí)別系統(tǒng)識(shí)別；已知系統(tǒng)的特性和輸出來(lái)研究；已知系統(tǒng)的特性和輸出來(lái)研究輸入，稱(chēng)為輸入，稱(chēng)為環(huán)境預(yù)測(cè)環(huán)境預(yù)測(cè)。系統(tǒng)：系統(tǒng)：系統(tǒng)是一

5、個(gè)寬泛的概念，通常我們研究的系統(tǒng)是一個(gè)寬泛的概念，通常我們研究的對(duì)象對(duì)象都可稱(chēng)都可稱(chēng)為系統(tǒng)。振動(dòng)問(wèn)題的對(duì)象則稱(chēng)為為系統(tǒng)。振動(dòng)問(wèn)題的對(duì)象則稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng)或或機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)，它表，它表征系統(tǒng)征系統(tǒng)固有的振動(dòng)特性固有的振動(dòng)特性，可以是零部件、機(jī)器、工程結(jié)構(gòu)等。，可以是零部件、機(jī)器、工程結(jié)構(gòu)等。機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述l 1.2機(jī)械振動(dòng)的分類(lèi)機(jī)械振動(dòng)的分類(lèi) 按微分方程的形式可分為：按微分方程的形式可分為：線性振動(dòng)線性振動(dòng)-描述其運(yùn)動(dòng)的方程為線性微分方程，相應(yīng)的系描述其運(yùn)動(dòng)的方程為線性微分方程，相應(yīng)的

6、系 統(tǒng)稱(chēng)為線性系統(tǒng)。（滿足線性疊加原理）統(tǒng)稱(chēng)為線性系統(tǒng)。（滿足線性疊加原理）非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)-描述其運(yùn)動(dòng)的方程為非線性微分方程，相描述其運(yùn)動(dòng)的方程為非線性微分方程，相 應(yīng)的系統(tǒng)稱(chēng)為非線性系統(tǒng)。（不滿足疊加原理應(yīng)的系統(tǒng)稱(chēng)為非線性系統(tǒng)。（不滿足疊加原理）按激勵(lì)的有無(wú)和性質(zhì)可分為：按激勵(lì)的有無(wú)和性質(zhì)可分為：固有振動(dòng)固有振動(dòng)-無(wú)激勵(lì)時(shí)系統(tǒng)所有可能的運(yùn)動(dòng)的集合。不無(wú)激勵(lì)時(shí)系統(tǒng)所有可能的運(yùn)動(dòng)的集合。不 是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)，它反映系統(tǒng)關(guān)于振動(dòng)的是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)，它反映系統(tǒng)關(guān)于振動(dòng)的固有屬性固有屬性。機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述 自由振動(dòng)自由振動(dòng)-激勵(lì)消失后系統(tǒng)所作的振動(dòng)。激勵(lì)消失后系統(tǒng)所作的振動(dòng)。 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)-

7、系統(tǒng)在外界激勵(lì)下所作的振動(dòng)。系統(tǒng)在外界激勵(lì)下所作的振動(dòng)。 隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)-系統(tǒng)在非確定性的隨機(jī)激勵(lì)下所作的振動(dòng)。系統(tǒng)在非確定性的隨機(jī)激勵(lì)下所作的振動(dòng)。 （ 如行駛在公路上的汽車(chē)）如行駛在公路上的汽車(chē)）自激振動(dòng)自激振動(dòng)-系統(tǒng)受到其自身運(yùn)動(dòng)誘發(fā)出來(lái)的激勵(lì)作用而系統(tǒng)受到其自身運(yùn)動(dòng)誘發(fā)出來(lái)的激勵(lì)作用而 產(chǎn)生和維持的振動(dòng)。產(chǎn)生和維持的振動(dòng)。 （油膜振蕩、琴弦發(fā)出樂(lè)聲、機(jī)床顫振、機(jī)翼顫動(dòng)）（油膜振蕩、琴弦發(fā)出樂(lè)聲、機(jī)床顫振、機(jī)翼顫動(dòng)） 參數(shù)振動(dòng)參數(shù)振動(dòng)-激勵(lì)因素以系統(tǒng)本身的參數(shù)隨時(shí)間變化的形激勵(lì)因素以系統(tǒng)本身的參數(shù)隨時(shí)間變化的形 式出現(xiàn)的振動(dòng)。（如秋千受到的激勵(lì)以擺長(zhǎng)式出現(xiàn)的振動(dòng)。（如秋千受到的激勵(lì)以擺

8、長(zhǎng) 隨時(shí)間變化的形式出現(xiàn)）隨時(shí)間變化的形式出現(xiàn)）機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述更詳細(xì)的解釋供參考：更詳細(xì)的解釋供參考： u1.2.1 按系統(tǒng)的輸入類(lèi)型：按系統(tǒng)的輸入類(lèi)型： 自由振動(dòng)自由振動(dòng)系統(tǒng)受初始干擾或原有的外激振力取消后產(chǎn)系統(tǒng)受初始干擾或原有的外激振力取消后產(chǎn) 生的振動(dòng)生的振動(dòng) （錘擊法）（錘擊法） 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)在外激振力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)系統(tǒng)在外激振力作用下產(chǎn)生的振動(dòng) （電腦機(jī)箱風(fēng)扇振動(dòng)、轉(zhuǎn)子不平衡激勵(lì)）（電腦機(jī)箱風(fēng)扇振動(dòng)、轉(zhuǎn)子不平衡激勵(lì)） 自激振動(dòng)自激振動(dòng)系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性，并有系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性，并有 能源補(bǔ)充而產(chǎn)生的振動(dòng)。能源補(bǔ)充而產(chǎn)生的振動(dòng)。 （油膜振

9、蕩、琴弦發(fā)出樂(lè)聲、機(jī)翼顫動(dòng)）（油膜振蕩、琴弦發(fā)出樂(lè)聲、機(jī)翼顫動(dòng)）u 1.2.2 按系統(tǒng)的輸出按系統(tǒng)的輸出(振動(dòng)規(guī)律振動(dòng)規(guī)律)： 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)量為時(shí)間的正弦或余弦函數(shù)振動(dòng)量為時(shí)間的正弦或余弦函數(shù) 機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述周期性振動(dòng)周期性振動(dòng)振動(dòng)量為時(shí)間的周期函數(shù)，故可用振動(dòng)量為時(shí)間的周期函數(shù)，故可用諧波分析諧波分析的的 方法展開(kāi)為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加方法展開(kāi)為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加 （諧波分析諧波分析-傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，周期振動(dòng)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)關(guān)系，傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，周期振動(dòng)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)關(guān)系，可參考教材可參考教材1.2節(jié)節(jié)） 瞬態(tài)振動(dòng)瞬態(tài)振動(dòng)為時(shí)間的非周期函數(shù)，通常只在一定的時(shí)間內(nèi)存為時(shí)間的非周期函數(shù)

10、，通常只在一定的時(shí)間內(nèi)存 在在 （爆炸爆炸） 隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)振動(dòng)量不是時(shí)間的確定性函數(shù)，只能用概率統(tǒng)計(jì)振動(dòng)量不是時(shí)間的確定性函數(shù)，只能用概率統(tǒng)計(jì)方法來(lái)研究方法來(lái)研究 （車(chē)輛行駛、地震車(chē)輛行駛、地震）u 1.2.3 按系統(tǒng)的自由度可分為按系統(tǒng)的自由度可分為: 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)單自由度系統(tǒng)振動(dòng)用一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)就能確定的系統(tǒng)振動(dòng)用一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)就能確定的系統(tǒng)振動(dòng) （單質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，（單質(zhì)量彈簧系統(tǒng)， P36 圖圖2-1（b） 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)用多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定的系統(tǒng)振動(dòng)用多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定的系統(tǒng)振動(dòng) （多質(zhì)量彈簧系統(tǒng)多質(zhì)量彈簧系統(tǒng) ， P162 圖圖4-1）機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概

11、述 彈性體振動(dòng)彈性體振動(dòng)須用無(wú)限多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)須用無(wú)限多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)(位移函數(shù)位移函數(shù))才能確定的系才能確定的系統(tǒng)振動(dòng)，也稱(chēng)為統(tǒng)振動(dòng)，也稱(chēng)為無(wú)限自由度系統(tǒng)無(wú)限自由度系統(tǒng)振動(dòng)，以區(qū)別振動(dòng)，以區(qū)別于上述單自由度于上述單自由度 和多自由度系統(tǒng)振動(dòng)和多自由度系統(tǒng)振動(dòng) (有限自有限自由度系統(tǒng)振動(dòng)由度系統(tǒng)振動(dòng)) （自由度如何理解）（自由度如何理解）自由度自由度完全描述系統(tǒng)一切部位在任何瞬時(shí)的位置所需要完全描述系統(tǒng)一切部位在任何瞬時(shí)的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。1.2.4按描述系統(tǒng)的微分方程可分為按描述系統(tǒng)的微分方程可分為: 線性振動(dòng)線性振動(dòng)用常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述，它的慣性力、用常系數(shù)線性

12、微分方程來(lái)描述，它的慣性力、 阻尼力及彈性力只分別與加速度、速度及位移阻尼力及彈性力只分別與加速度、速度及位移 成正比。（成正比。（重要特性重要特性線性疊加原理線性疊加原理） 非線性振動(dòng)非線性振動(dòng)要用非線性微分方程來(lái)描述，即微分方程中要用非線性微分方程來(lái)描述，即微分方程中 出現(xiàn)非線性項(xiàng)。（出現(xiàn)非線性項(xiàng)。（不滿足線性疊加不滿足線性疊加）機(jī)械振動(dòng)按運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)形式可分為周期振動(dòng)和非周期振動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)按運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)形式可分為周期振動(dòng)和非周期振動(dòng)。本節(jié)重點(diǎn)介紹周期振動(dòng)的表示方法。本節(jié)重點(diǎn)介紹周期振動(dòng)的表示方法。1.3.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示u 簡(jiǎn)諧振動(dòng)是周期振動(dòng)中最簡(jiǎn)單的一種，可以用正弦函數(shù)簡(jiǎn)諧

13、振動(dòng)是周期振動(dòng)中最簡(jiǎn)單的一種，可以用正弦函數(shù) 表示為：表示為： A為振幅，為振幅， 為圓頻率（為圓頻率（以后簡(jiǎn)稱(chēng)頻率以后簡(jiǎn)稱(chēng)頻率），）， 為初相位。為初相位。 又稱(chēng)角頻率，它與頻率、周期的關(guān)系：又稱(chēng)角頻率，它與頻率、周期的關(guān)系：機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述l 1.3機(jī)械振動(dòng)的表示方法機(jī)械振動(dòng)的表示方法sin()xAt2=2fT機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度只要對(duì)位移表達(dá)式求一階和兩階簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度只要對(duì)位移表達(dá)式求一階和兩階導(dǎo)數(shù)即得：導(dǎo)數(shù)即得：可見(jiàn)，只要位移是簡(jiǎn)諧函數(shù)，速度和加速度也是簡(jiǎn)諧函可見(jiàn)，只要位移是簡(jiǎn)諧函數(shù)，速度和加速度也是簡(jiǎn)諧函數(shù)，而且與位移具有相同的頻率。數(shù)，而

14、且與位移具有相同的頻率。但是，速度的相位比位移的相位超前但是，速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移超前位比位移超前/2cos()sin()2vxAtAt22sin()sin()axAtAt 因：因： 得：得：即加速度大小與位移成正比，但方向總與位移相反，始終即加速度大小與位移成正比，但方向總與位移相反，始終指向平衡位置。指向平衡位置。機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述2xx 2sin()xAt u 簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用平面上的旋轉(zhuǎn)矢量表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用平面上的旋轉(zhuǎn)矢量表示 旋轉(zhuǎn)矢量的模就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅，它的旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)矢量的模就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅，它的旋轉(zhuǎn)角速度就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率。

15、就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率。圖圖 a 中中OM表示一個(gè)長(zhǎng)度為表示一個(gè)長(zhǎng)度為A，以，以 角開(kāi)始以等角度速角開(kāi)始以等角度速 逆時(shí)針繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的矢量。任一瞬時(shí)逆時(shí)針繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的矢量。任一瞬時(shí)OM在縱軸上的投影即在縱軸上的投影即簡(jiǎn)諧振動(dòng)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)：機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述sin()xAt機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述圖圖 b 是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量的表示圖。是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量的表示圖。圖圖 c 描述了位移、速度、加速度之間的矢量關(guān)系。描述了位移、速度、加速度之間的矢量關(guān)系。式中式中 為為z的虛部。的虛部。機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述u簡(jiǎn)諧振動(dòng)也可以用復(fù)數(shù)表示。簡(jiǎn)諧振動(dòng)也可以用復(fù)數(shù)表示。()cos()sin()itzAtiAt

16、Ae表示了表示了復(fù)平面復(fù)平面上模為上模為A，從，從 角開(kāi)始以角速度角開(kāi)始以角速度 逆時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一個(gè)矢量，它在虛軸上的投影表示了簡(jiǎn)諧振動(dòng)。針旋轉(zhuǎn)的一個(gè)矢量，它在虛軸上的投影表示了簡(jiǎn)諧振動(dòng)。位移位移x與它的復(fù)數(shù)表示與它的復(fù)數(shù)表示z的關(guān)系可寫(xiě)為：的關(guān)系可寫(xiě)為：Im( )xzIm( )z機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述復(fù)數(shù)表示的速度及加速度為：復(fù)數(shù)表示的速度及加速度為：()()2ititzi AeAe 2()2()ititzAeAe 所以有：所以有：Im( )xzIm( )xz簡(jiǎn)諧振動(dòng)的復(fù)數(shù)表示方法便于分析，在以后解運(yùn)動(dòng)微分方簡(jiǎn)諧振動(dòng)的復(fù)數(shù)表示方法便于分析，在以后解運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)會(huì)常用到復(fù)數(shù)法。程時(shí)會(huì)常用

17、到復(fù)數(shù)法。機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述以下討論幾個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成情況。以下討論幾個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成情況。（a) 兩個(gè)相同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并兩個(gè)相同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并 且保持原來(lái)的頻率。且保持原來(lái)的頻率。 可用復(fù)數(shù)方法證明：可用復(fù)數(shù)方法證明：111222sin()sin()xAtxAt1212()()1212)1211221122ImIm()(coscos)Im(sinsin)Im()sin()ititiiititiitxxxA eA eA eA eeAAi AAeAeet 機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述當(dāng)一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)是由兩個(gè)當(dāng)一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)是由兩個(gè)同頻同頻 率率的的簡(jiǎn)

18、諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)所合成，則這個(gè)所合成，則這個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用兩個(gè)代表原簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用兩個(gè)代表原簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成矢量諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成矢量來(lái)表示。來(lái)表示。22 1/211221122(coscos)(sinsin) AAAAA111221122sinsintancoscosAAAA其中其中（b）頻率不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。頻）頻率不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。頻率比為有理數(shù)時(shí)，合成為周期振動(dòng)；頻率比為無(wú)理數(shù)時(shí)，合率比為有理數(shù)時(shí)，合成為周期振動(dòng)；頻率比為無(wú)理數(shù)時(shí)，合成為非周期振動(dòng)。成為非周期振動(dòng)。設(shè)頻率比為有理數(shù)：設(shè)頻率比為有理數(shù)：式中式中m、n是互質(zhì)整數(shù)。上式

19、可寫(xiě)為：是互質(zhì)整數(shù)。上式可寫(xiě)為： 設(shè)設(shè) 記記機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述12mn1222mn1222Tmn12xxx則：則：機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述121222()()()x tTx tmx tn可見(jiàn)可見(jiàn)T就是合成的周期，兩者合成為周期振動(dòng)。就是合成的周期，兩者合成為周期振動(dòng)。（c）頻率很接近的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成會(huì)出現(xiàn)）頻率很接近的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成會(huì)出現(xiàn)拍拍現(xiàn)現(xiàn)象。象。 設(shè)設(shè)11112222sin()sin()xAtxAt12( )( )( )x tx tx t令令則則機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述12212121122121122sin()sin()2sin()sin()2AAxxxttAAtt僅考

20、慮僅考慮A1與與A2相近的情況，上式右端第二項(xiàng)可略去：相近的情況，上式右端第二項(xiàng)可略去：上式表示一個(gè)頻率為上式表示一個(gè)頻率為 的變幅振動(dòng)，振幅在的變幅振動(dòng)，振幅在（A1+A2)與零之間緩慢的變化。包絡(luò)線由下式給出：與零之間緩慢的變化。包絡(luò)線由下式給出：1212121212()cos()sin()222xxxAAtt1212( )()cos()2A tAAt122機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述12121212()cos()sin()222xAAtt上式表達(dá)了一種特殊的振動(dòng)現(xiàn)象，稱(chēng)為拍，拍的周期為上式表達(dá)了一種特殊的振動(dòng)現(xiàn)象，稱(chēng)為拍，拍的周期為機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述1.3.2 周期振動(dòng)的表示周期振動(dòng)的

21、表示周期振動(dòng)是工程中常見(jiàn)的振動(dòng)形式之一。周期振動(dòng)是工程中常見(jiàn)的振動(dòng)形式之一。u可用時(shí)域上的波形表示：可用時(shí)域上的波形表示：如圖：如圖：toxT機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述u 也可用頻域上的幅頻和相頻圖表示：也可用頻域上的幅頻和相頻圖表示： 設(shè)設(shè)x(t)信號(hào)，可以通過(guò)富里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為：信號(hào)，可以通過(guò)富里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為：0111( )(cossin)2nnnax tantbnt0112( )2( ) cos2( )sinTTnTnax t dtTax tntdtTbx tntdtT其中其中稱(chēng)為基頻稱(chēng)為基頻12T機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述oCn11213on11213左上圖表示周期信號(hào)的左上圖表示周期信號(hào)的

22、振幅頻譜圖，左下圖表振幅頻譜圖，左下圖表示相位頻譜圖。示相位頻譜圖。14151415機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述 課程安排課程安排機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述 主要參考書(shū)主要參考書(shū)l 倪振華，振動(dòng)力學(xué)，西安交通大學(xué)出版社，倪振華，振動(dòng)力學(xué)，西安交通大學(xué)出版社，1988.l 鄭兆昌，機(jī)械振動(dòng)（上冊(cè)），機(jī)械工業(yè)出版社，鄭兆昌，機(jī)械振動(dòng)（上冊(cè)），機(jī)械工業(yè)出版社，1982.l方同、薛璞，振動(dòng)理論及應(yīng)用，西北工業(yè)大學(xué)出版社，方同、薛璞，振動(dòng)理論及應(yīng)用，西北工業(yè)大學(xué)出版社， 1998.l 吳成軍，現(xiàn)代振動(dòng)控制技術(shù)概論，西安交大校內(nèi)講義，吳成軍，現(xiàn)代振動(dòng)控制技術(shù)概論，西安交大校內(nèi)講義， 2004單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單

23、自由度系統(tǒng)的振動(dòng)l 2.1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)l 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法l 2.3 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度l 2.4 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)l 2.5 系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)l 2.6 振動(dòng)的隔離振動(dòng)的隔離l 2.7 簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用l 2.8 等效粘性阻尼等效粘性阻尼l 2.9 系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)l 2.10系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)l 2.1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)一個(gè)系統(tǒng)只

24、在起始時(shí)受到外界干擾，例如用力將質(zhì)量塊偏離一個(gè)系統(tǒng)只在起始時(shí)受到外界干擾，例如用力將質(zhì)量塊偏離靜平衡位置后突然釋放，或者給質(zhì)量塊以突然一擊使之得到靜平衡位置后突然釋放，或者給質(zhì)量塊以突然一擊使之得到一個(gè)初始速度，然后就靠系統(tǒng)本身的彈性恢復(fù)力維持的振一個(gè)初始速度，然后就靠系統(tǒng)本身的彈性恢復(fù)力維持的振動(dòng)，稱(chēng)為自由振動(dòng)。動(dòng)，稱(chēng)為自由振動(dòng)。單自由度的自由振動(dòng)是一種簡(jiǎn)諧振動(dòng)。單自由度的自由振動(dòng)是一種簡(jiǎn)諧振動(dòng)。令令x為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，位置為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為靜變形為靜變形當(dāng)系統(tǒng)受到系統(tǒng)擾動(dòng)時(shí)，由牛當(dāng)系統(tǒng)受到系統(tǒng)擾動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律，得：頓第二定律，得：()smx

25、mgkxs單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)在靜平衡位置：在靜平衡位置：smgk0mxkx令：令：nkm固有圓頻率，以后也稱(chēng)為固有頻率固有圓頻率，以后也稱(chēng)為固有頻率單位：弧度單位：弧度/秒秒則有：則有：20nxx通解：通解：12cos()sin()sin()nnnxctctAt微分方程：微分方程：C1,C2:由初始條件決定的常數(shù)由初始條件決定的常數(shù)振幅：振幅： 初相位：初相位：A 2212c +c112ctgc單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)sin()nxAt20nxx微分方程微分方程: 解：解：:n,:A系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與

26、系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)（與什么有關(guān)）（與什么有關(guān)）不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，它們與系統(tǒng)過(guò)去所受到不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，它們與系統(tǒng)過(guò)去所受到的激勵(lì)和考察開(kāi)始時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)。的激勵(lì)和考察開(kāi)始時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)。單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)考慮系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下的自由振動(dòng)考慮系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下的自由振動(dòng)12cos()sin()sin()nnnxctctAt設(shè)設(shè)t=時(shí)刻時(shí)刻：令：令：則有：則有：( ),( )xxxx112212cossinsinsnnnncbbcbb co 12( )cos()sin()nn

27、x tbtbt12nxbxb單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)刻之后的自由振動(dòng)解：時(shí)刻之后的自由振動(dòng)解：( )cos()sin()nnnxx txtt零時(shí)刻的初始條件：零時(shí)刻的初始條件：00(0)(0)xxxx零初始條件下的自由振動(dòng)：零初始條件下的自由振動(dòng)：00( )cossinsin()nnnnxx txttAt2200()nxAx100nxtgx單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)例例2-1(P39)：提升機(jī)系統(tǒng)提升機(jī)系統(tǒng)重物重量重物重量 鋼絲繩的彈簧剛度鋼絲繩的彈簧剛度重物以重物以 的速度勻速下降的速度勻速下降求：繩的上端被

28、卡住時(shí)，求：繩的上端被卡住時(shí)，（1）重物的振動(dòng)頻率，）重物的振動(dòng)頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力）鋼絲繩中的最大張力51.47 10WN45.78 10kN cm15minVm單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)解：解： 振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率 重物勻速下降時(shí)處于靜平衡重物勻速下降時(shí)處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時(shí)重物所在位置被卡住瞬時(shí)重物所在位置 則則 時(shí)，有：時(shí)，有： 振動(dòng)解：振動(dòng)解：19.6ngkrad sW0t 00 x 0 xv( )sin()1.28sin(19.6 )()nnvx tttcm單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的

29、振動(dòng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)繩中的最大張力等于靜張力繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和：與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和：max5551.47100.74102.2110 ()sTTkAWkAN由于由于nvkAkv km為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí): 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅與剛體的質(zhì)量有關(guān)，還與軸剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅與剛體的質(zhì)量有關(guān)，還與軸的位置有關(guān)。它是一個(gè)標(biāo)量，單位是：的位置有關(guān)。它是一個(gè)標(biāo)量，單位是：kg.

30、m2移軸定理：移軸定理：剛體對(duì)任一軸剛體對(duì)任一軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于質(zhì)心并與該軸平行的軸質(zhì)心并與該軸平行的軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量m與與這兩軸間距離這兩軸間距離d平方的乘積。平方的乘積。2zi iJmr剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸Z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)到的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)到該軸垂直距離平方的乘積之和，即：該軸垂直距離平方的乘積之和，即：2 zzJJmd單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法簡(jiǎn)單均質(zhì)形體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡(jiǎn)單均質(zhì)形體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(理論力學(xué)教科書(shū)）理論力學(xué)教科書(shū)）單

31、自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法例例2-2(P42例例2-3)：復(fù)擺：復(fù)擺 剛體質(zhì)量剛體質(zhì)量m 重心重心C 對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(dòng)時(shí)的微求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(dòng)時(shí)的微 分方程和固有頻率分方程和固有頻率單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法解：解：由牛頓定律：由牛頓定律：因?yàn)閯傮w做微振動(dòng)：因?yàn)閯傮w做微振動(dòng)：所以振動(dòng)微分方程可表達(dá)為：所以振動(dòng)微分方程可表達(dá)為：固有頻率：固有頻率：0sin0Imgasin00Imga0/nmga I若已測(cè)得物體的固有頻率若已測(cè)

32、得物體的固有頻率 ，則可以求得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則可以求得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ，再由移軸定理，可得物體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：再由移軸定理，可得物體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：以上是實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一種方法以上是實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一種方法20cIIman0I單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容l 2.1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)l 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法l 2.3 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度l 2.4 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)l 2.5 系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率

33、的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法l 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法 在系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí)，不論受到什么樣的初始干擾，均將以在系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí)，不論受到什么樣的初始干擾，均將以一定的頻率作振動(dòng)。這種頻率只決定于系統(tǒng)本身固有的物理一定的頻率作振動(dòng)。這種頻率只決定于系統(tǒng)本身固有的物理性質(zhì)，稱(chēng)為固有頻率。性質(zhì)，稱(chēng)為固有頻率。固有頻率是振動(dòng)問(wèn)題中的一個(gè)重要參數(shù)。固有頻率是振動(dòng)問(wèn)題中的一個(gè)重要參數(shù)。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率為 ，稱(chēng)為固有圓頻率：，稱(chēng)為固有圓頻率： nKm122nKfm12mTfK固有頻率為固有頻率為f:周期為周期為T(mén):n由以上各式可以看出：由以上各式可以看出：（

34、1）自由振動(dòng)的固有頻率和周期僅決定于系統(tǒng)本身的自由振動(dòng)的固有頻率和周期僅決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，如系統(tǒng)剛度物理性質(zhì)，如系統(tǒng)剛度 K 和振動(dòng)塊質(zhì)量和振動(dòng)塊質(zhì)量 m。（2）剛度相同的兩個(gè)系統(tǒng)，質(zhì)量大的系統(tǒng)固有頻率低，剛度相同的兩個(gè)系統(tǒng)，質(zhì)量大的系統(tǒng)固有頻率低，質(zhì)量小的系統(tǒng)固有頻率高。質(zhì)量相同的兩個(gè)系統(tǒng)，則彈質(zhì)量小的系統(tǒng)固有頻率高。質(zhì)量相同的兩個(gè)系統(tǒng)，則彈簧剛度小的固有頻率低，彈簧剛度大的固有頻率高?；蓜偠刃〉墓逃蓄l率低，彈簧剛度大的固有頻率高。即固有頻率是和加速度的平方根成正比的，所以導(dǎo)致固即固有頻率是和加速度的平方根成正比的，所以導(dǎo)致固有頻率高。有頻率高。2sin()nnaxAt 系統(tǒng)加速度：

35、系統(tǒng)加速度：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法l 2.2.1 靜變形法靜變形法假如不知道系統(tǒng)的彈簧剛度假如不知道系統(tǒng)的彈簧剛度k，可以對(duì)上式進(jìn)行變換。，可以對(duì)上式進(jìn)行變換。將式：將式：12nsgf122nnKfm固有頻率為固有頻率為f: 利用上式只要知道彈簧在質(zhì)量塊作用下的利用上式只要知道彈簧在質(zhì)量塊作用下的靜變形靜變形 ， 就可以直接計(jì)算出系統(tǒng)的固有頻率。就可以直接計(jì)算出系統(tǒng)的固有頻率。單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法ssWmgK代入上式得：代入上式得：固有頻率固有頻率f:s單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單

36、自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法例例2-3（補(bǔ)充）：（補(bǔ)充）：設(shè)有一懸臂梁。設(shè)有一懸臂梁。長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為 ，抗彎剛度為，抗彎剛度為 ，自由端有一集中，自由端有一集中質(zhì)量質(zhì)量m。梁本身重量可忽略不計(jì)。梁本身重量可忽略不計(jì)。lEJ求：求： 系統(tǒng)的固有頻率。系統(tǒng)的固有頻率。解：解：懸臂梁自由端由集中質(zhì)量懸臂梁自由端由集中質(zhì)量mgmg引起的靜撓度為：引起的靜撓度為： 利用靜變形法的公式可得系統(tǒng)固有頻率為：利用靜變形法的公式可得系統(tǒng)固有頻率為：如上述懸臂梁是變截面的，因而不易用計(jì)算方法得到靜撓如上述懸臂梁是變截面的，因而不易用計(jì)算方法得到靜撓度，可實(shí)測(cè)梁的靜撓度度，可實(shí)測(cè)梁的

37、靜撓度 。單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法33smglEJ3132nEJfmls單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法例例2-4（P40）：）：重物落下，與簡(jiǎn)支梁做完全非彈性碰撞，梁長(zhǎng)重物落下，與簡(jiǎn)支梁做完全非彈性碰撞，梁長(zhǎng) ，抗彎剛度抗彎剛度求：梁的自由振動(dòng)頻率和最大撓度求：梁的自由振動(dòng)頻率和最大撓度lEJ單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法解：解： 以梁承受重物時(shí)的靜平衡位以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系靜變形：靜變

38、形：s由材料力學(xué)：由材料力學(xué)：348sm glE J自由振動(dòng)頻率為：自由振動(dòng)頻率為：348nsgEJml單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，則撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，則t=0時(shí)，有：時(shí)，有：0sx 02xgh則自由振動(dòng)振幅為：則自由振動(dòng)振幅為：222002ssnxAxh梁的最大撓度：梁的最大撓度：maxsAl 2.2.2 能量法能量法當(dāng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)作自由振動(dòng)而忽略阻尼不計(jì)時(shí)，它就沒(méi)有當(dāng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)作自由振動(dòng)而忽略阻尼不計(jì)時(shí)，它就沒(méi)有能量損失。根據(jù)機(jī)械能守恒定律，整個(gè)振動(dòng)過(guò)程任一瞬時(shí)能量損失。根據(jù)機(jī)械能守恒定律，整個(gè)振動(dòng)過(guò)程任一瞬時(shí)機(jī)械能

39、應(yīng)保持不變。機(jī)械能應(yīng)保持不變。 式中式中T T為系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)質(zhì)量所具有的動(dòng)能，為系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)質(zhì)量所具有的動(dòng)能，U U為系統(tǒng)由于彈性為系統(tǒng)由于彈性變形而儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能，或由于重力作功而產(chǎn)生的重力勢(shì)變形而儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能，或由于重力作功而產(chǎn)生的重力勢(shì)能。能。利用這個(gè)關(guān)系，適當(dāng)選擇兩個(gè)瞬時(shí)位置，就可用來(lái)直接計(jì)利用這個(gè)關(guān)系，適當(dāng)選擇兩個(gè)瞬時(shí)位置，就可用來(lái)直接計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率。這對(duì)于比較復(fù)雜的系統(tǒng)常常是一種計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率。這對(duì)于比較復(fù)雜的系統(tǒng)常常是一種計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的簡(jiǎn)便方法。算系統(tǒng)固有頻率的簡(jiǎn)便方法。 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法即即: :+co

40、nstT U 簡(jiǎn)諧振動(dòng)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)： 則速度：則速度：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)sin()xAtcos()xAt靜平衡位置：靜平衡位置：最大位移處：最大位移處：動(dòng)能：動(dòng)能：勢(shì)能為零勢(shì)能為零222maxmax1122TmxmA22maxmax1122UKxKA勢(shì)能：勢(shì)能：動(dòng)能為零動(dòng)能為零由能量守恒得：由能量守恒得：2221122mAKA所以：所以：12nKfm例例2-5（補(bǔ)充）：（補(bǔ)充）： 如圖所示為低頻振幅傳感器元件如圖所示為低頻振幅傳感器元件-無(wú)定向擺。搖桿一端為鉸鏈，另一端無(wú)定向擺。搖桿一端為鉸鏈，另一端為質(zhì)量塊

41、為質(zhì)量塊m。彈簧剛度為。彈簧剛度為K/2。系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法221.76 10.3.540.03/0.08564OIkg cmacmKkg cmWNlcm 求：系統(tǒng)固有頻率求：系統(tǒng)固有頻率解：解： 此搖桿做間歇擺動(dòng)，以角位移此搖桿做間歇擺動(dòng)，以角位移 為參數(shù)：為參數(shù)： 則則 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法sin()nAtcos()nAt在靜平衡位置，系統(tǒng)具有最大動(dòng)能：在靜平衡位置，系統(tǒng)具有最大動(dòng)能：222maxmax1122OOnTI

42、I A在最大角位移處，系統(tǒng)包在最大角位移處，系統(tǒng)包括彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能：括彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能：22221maxmax122UKaKa A2 maxmax22max(1cos)/ 2/ 2UmglmglmglA 由由 ： 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法maxmax1max2max=TUUU2222201122OI AKa AmglA代入數(shù)據(jù)得：代入數(shù)據(jù)得：得得 ：202nKamglI22120.033.540.085640.77z21.7610nf例例2-6（補(bǔ)充）：（補(bǔ)充）： 鉛垂平面滑輪鉛垂平面滑輪-質(zhì)量質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)彈簧系統(tǒng) 滑輪為均質(zhì)圓

43、柱，繩子不可伸滑輪為均質(zhì)圓柱，繩子不可伸 長(zhǎng)，且與滑輪間無(wú)滑動(dòng)，繩長(zhǎng)，且與滑輪間無(wú)滑動(dòng)，繩 右下端與地面固結(jié)。右下端與地面固結(jié)。 求：系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率求：系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法解解:取廣義坐標(biāo)為質(zhì)量塊的垂直位移取廣義坐標(biāo)為質(zhì)量塊的垂直位移x則：則： 在靜平衡位置只有動(dòng)能：在靜平衡位置只有動(dòng)能：在最大位移處勢(shì)能最大：在最大位移處勢(shì)能最大： 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法222221111 1()()()2222 2213()28xTmxMxMRRmM x222212

44、111111()()22224Uk xkxkk x由由得：得：所以系統(tǒng)固有頻率：所以系統(tǒng)固有頻率： 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法maxmaxTU22max21max1311()()2824mM xkk x2211311()()2824nmMkkmaxmaxnxx218283nkkmMl 2.2.3 瑞利法瑞利法在以上兩種方法中，均忽略了彈簧的質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的影響。但在以上兩種方法中，均忽略了彈簧的質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的影響。但有些工程問(wèn)題中，彈簧本身質(zhì)量占系統(tǒng)總質(zhì)量一定比例，如有些工程問(wèn)題中，彈簧本身質(zhì)量占系統(tǒng)總質(zhì)量一定比例，如被忽略，會(huì)造成計(jì)被忽略，會(huì)

45、造成計(jì) 算出的固有頻率偏高。算出的固有頻率偏高。為此可以運(yùn)用為此可以運(yùn)用能量原理能量原理，把一個(gè)分布質(zhì)量系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)單，把一個(gè)分布質(zhì)量系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)單自由度系統(tǒng)，從而把彈簧分布質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻率的影響考自由度系統(tǒng)，從而把彈簧分布質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻率的影響考慮進(jìn)去，可得到了相當(dāng)準(zhǔn)確的慮進(jìn)去，可得到了相當(dāng)準(zhǔn)確的 固有頻率值。固有頻率值。利用動(dòng)能計(jì)算把分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)量，加在原來(lái)的慣性利用動(dòng)能計(jì)算把分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)量，加在原來(lái)的慣性元件上，作為單自由度系統(tǒng)處理，這種方法稱(chēng)為元件上，作為單自由度系統(tǒng)處理，這種方法稱(chēng)為瑞利法瑞利法。 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)

46、算系統(tǒng)固有頻率的方法 由：由： 可得：可得： 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法例如：例如： 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動(dòng)能：設(shè)彈簧的動(dòng)能：212ttTm xtm為彈簧等效為彈簧等效質(zhì)量質(zhì)量系統(tǒng)最大動(dòng)能：系統(tǒng)最大動(dòng)能：222maxmaxmaxmax111222ttTmxm xmmx系統(tǒng)最大勢(shì)能：系統(tǒng)最大勢(shì)能：2maxmax12Vkxmaxmaxnxxtnkmm為彈簧單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為彈簧單位長(zhǎng)度的質(zhì)量設(shè)質(zhì)量塊設(shè)質(zhì)量塊m的速度為：的速度為：則微段則微段 的速度為：的速度為：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有

47、頻率的方法x dxl整個(gè)彈簧的動(dòng)能：整個(gè)彈簧的動(dòng)能：22011()22 3lxlTdxl質(zhì)量塊經(jīng)過(guò)靜平衡位置時(shí)：質(zhì)量塊經(jīng)過(guò)靜平衡位置時(shí)：2maxmax1)23lTmx由由 ，得，得maxmaxTU22maxmax11)232lmxK x 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)：對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)：22maxmax11)232lmxK x maxmaxsin()nnxAtxAxA代入得：代入得：222)3nmmAKAml3nKmm結(jié)論：結(jié)論： 只要把三分之一彈簧質(zhì)量當(dāng)作一個(gè)集中質(zhì)量加只要把三分之一彈簧質(zhì)量當(dāng)作一個(gè)集中質(zhì)量加 到質(zhì)量塊上去，就可以把

48、彈簧對(duì)系統(tǒng)的固有頻率到質(zhì)量塊上去，就可以把彈簧對(duì)系統(tǒng)的固有頻率 的影響考慮到。這種近似解法的精度比較高。的影響考慮到。這種近似解法的精度比較高。單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容l 2.1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)l 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法l 2.3 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度l 2.4 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)l 2.5 系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度l 2.3 等效質(zhì)量與等效剛度等效質(zhì)量與等效剛度 瑞利法中將彈性元件的分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)

49、量，從而瑞利法中將彈性元件的分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)量，從而使一個(gè)較復(fù)雜的系統(tǒng)簡(jiǎn)化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。工程中有許使一個(gè)較復(fù)雜的系統(tǒng)簡(jiǎn)化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。工程中有許多復(fù)雜的單自由度系統(tǒng)都可以簡(jiǎn)化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。簡(jiǎn)多復(fù)雜的單自由度系統(tǒng)都可以簡(jiǎn)化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。簡(jiǎn)化的方法有兩種。一種是能量法，另一種是利用定義?；姆椒ㄓ袃煞N。一種是能量法，另一種是利用定義。單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度方法一：能量法方法一：能量法選定廣義位移坐標(biāo)選定廣義位移坐標(biāo)x后，將系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能寫(xiě)成如下形式：后，將系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能寫(xiě)成如下形式：212eTM x當(dāng)當(dāng) 分別取最大值時(shí)，分別取最大

50、值時(shí)，T及及U取最大值：取最大值：可得簡(jiǎn)化后的系統(tǒng)的固有頻率為：可得簡(jiǎn)化后的系統(tǒng)的固有頻率為：212eUK xeneKM：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效剛度等效剛度eK：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效質(zhì)量等效質(zhì)量eM這里等效的含義是指簡(jiǎn)化前后系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能是分別這里等效的含義是指簡(jiǎn)化前后系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能是分別相等的。相等的。x x 、maxmax,TU單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度方法二：定義法方法二：定義法等效剛度：等效剛度： 使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要 在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫系統(tǒng)在此坐標(biāo)在此坐標(biāo)方向

51、上施加的力，叫系統(tǒng)在此坐標(biāo) 系上的等效剛度。系上的等效剛度。等效質(zhì)量：等效質(zhì)量： 使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需 要在此坐標(biāo)系上施加的力，叫系統(tǒng)在此坐標(biāo)要在此坐標(biāo)系上施加的力，叫系統(tǒng)在此坐標(biāo) 系上的等效質(zhì)量。系上的等效質(zhì)量。單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度例例2-8：(P54例例2.9)如圖所示：兩個(gè)彈簧串聯(lián)起來(lái)，剛度分別為如圖所示：兩個(gè)彈簧串聯(lián)起來(lái)，剛度分別為K1，K2懸掛物體的質(zhì)量為懸掛物體的質(zhì)量為m，求系統(tǒng)的等效剛度。，求系統(tǒng)的等效剛度。（a）（b）單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/等效質(zhì)量和等效

52、剛度等效質(zhì)量和等效剛度解：解： 對(duì)質(zhì)量對(duì)質(zhì)量m施加力施加力P，對(duì)于（，對(duì)于（a）系統(tǒng)。）系統(tǒng)。 彈簧的變形分別為：彈簧的變形分別為： 由于串聯(lián)，彈簧的總變形為：由于串聯(lián)，彈簧的總變形為： 根據(jù)定義，等效剛度為：根據(jù)定義，等效剛度為：12PPKK1211(PKK1212eK KPKKK對(duì)于（對(duì)于（b）系統(tǒng)，兩彈簧的變形相同都為）系統(tǒng)，兩彈簧的變形相同都為 ，受力分別為：受力分別為：1122PKPK由力的平衡：由力的平衡：根據(jù)定義，等效剛度為：根據(jù)定義，等效剛度為：1212PPPKK12ePKKK由以上計(jì)算可以得到如下結(jié)論：由以上計(jì)算可以得到如下結(jié)論：對(duì)于系統(tǒng)（對(duì)于系統(tǒng)（a），屬于串聯(lián)彈簧系統(tǒng)，）

53、，屬于串聯(lián)彈簧系統(tǒng)，等效剛度的倒數(shù)是每個(gè)彈簧剛度的倒數(shù)等效剛度的倒數(shù)是每個(gè)彈簧剛度的倒數(shù)之和。之和。對(duì)與系統(tǒng)（對(duì)與系統(tǒng)（b），屬于并聯(lián)彈簧系統(tǒng)，），屬于并聯(lián)彈簧系統(tǒng)，等效剛度為每個(gè)彈簧剛度的總和。等效剛度為每個(gè)彈簧剛度的總和。單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度例例2-9：杠桿系統(tǒng)：杠桿系統(tǒng)(P54例例2.10）杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體求：系統(tǒng)對(duì)于求：系統(tǒng)對(duì)于 坐標(biāo)的等效質(zhì)量和等效剛度坐標(biāo)的等效質(zhì)量和等效剛度x單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/等效質(zhì)量和等效剛度等

54、效質(zhì)量和等效剛度解法解法1：能量法：能量法動(dòng)能：動(dòng)能：2221211122lTm xmxl22212211()2lmmxl等效質(zhì)量：等效質(zhì)量：221221elMmml勢(shì)能：勢(shì)能：2222331212211111()222llVk xkxkkxll等效剛度：等效剛度：231221elKkkl固有頻率：固有頻率：eneKM設(shè)系統(tǒng)在設(shè)系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位位移需要施加方向產(chǎn)生單位位移需要施加力力P，則在，則在 處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，對(duì)支座取矩對(duì)支座取矩單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度解法解法2：定義法：定義法設(shè)系統(tǒng)在設(shè)系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位加速

55、度需要方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力施加力P，則在，則在 上產(chǎn)生慣性上產(chǎn)生慣性力，對(duì)支座取矩力，對(duì)支座取矩12m m21112211lPlmlmll221221elMPmml3111231(1)()lPlklkll231221elKPkkl12k k 所以等效剛度：所以等效剛度：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容l 2.1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)l 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法l 2.3 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度l 2.4 有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)l 2.5 系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)l 2.4 有阻尼的自由振動(dòng)有

56、阻尼的自由振動(dòng) 前述的自由振動(dòng)都沒(méi)有考慮運(yùn)動(dòng)中阻力的影響，實(shí)際系統(tǒng)前述的自由振動(dòng)都沒(méi)有考慮運(yùn)動(dòng)中阻力的影響，實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，因?yàn)榇嬖诟鞣N各樣的阻力。的機(jī)械能不可能守恒，因?yàn)榇嬖诟鞣N各樣的阻力。振動(dòng)中將阻力稱(chēng)為振動(dòng)中將阻力稱(chēng)為阻尼阻尼，例如摩擦阻尼、電磁阻尼等。實(shí)，例如摩擦阻尼、電磁阻尼等。實(shí)際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)很難確定。最常用的一種阻尼力際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)很難確定。最常用的一種阻尼力學(xué)模型是學(xué)模型是粘性阻尼粘性阻尼，或稱(chēng)為，或稱(chēng)為粘滯阻尼粘滯阻尼，在流體中低速運(yùn)動(dòng)，在流體中低速運(yùn)動(dòng)或沿潤(rùn)滑表面滑動(dòng)的物體，通常認(rèn)為受到了粘性阻尼?；蜓貪?rùn)滑表面滑動(dòng)的物體，通常認(rèn)為受到了粘性阻尼。

57、粘性阻尼與相對(duì)速度成正比，即：粘性阻尼與相對(duì)速度成正比，即：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) Pd為粘性阻尼力，為粘性阻尼力，v為相對(duì)速度，為相對(duì)速度， c 稱(chēng)為稱(chēng)為粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)，單位為：，單位為：Ns/m。粘性阻尼由于它與速度成正比，又稱(chēng)粘性阻尼由于它與速度成正比，又稱(chēng)線性阻尼線性阻尼。線性阻尼在。線性阻尼在分析振動(dòng)同題時(shí)使求解大為簡(jiǎn)化，所以我們一開(kāi)始以粘性阻分析振動(dòng)同題時(shí)使求解大為簡(jiǎn)化，所以我們一開(kāi)始以粘性阻尼為基本模型來(lái)分析有阻尼的振動(dòng)。如果遇到非粘性的阻尼為基本模型來(lái)分析有阻尼的振動(dòng)。如果遇到非粘性的阻尼，我們將在后面的介紹中引進(jìn)一個(gè)等

58、效粘性阻尼來(lái)作近似尼，我們將在后面的介紹中引進(jìn)一個(gè)等效粘性阻尼來(lái)作近似計(jì)算。計(jì)算。單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)dPcv以靜平衡位置為原點(diǎn)。設(shè)以靜平衡位置為原點(diǎn)。設(shè)x坐標(biāo)向下坐標(biāo)向下為正。受力分析后，利用牛頓運(yùn)動(dòng)定為正。受力分析后，利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律得運(yùn)動(dòng)方程：律得運(yùn)動(dòng)方程：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)0mxcxkx220nxnxx2cnm2nkm令：令：(截塔截塔)上式變?yōu)椋荷鲜阶優(yōu)椋毫睿毫睿簄成為衰減系數(shù)，成為衰減系數(shù)， 為相應(yīng)的無(wú)阻尼時(shí)的固有頻率為相應(yīng)的無(wú)阻尼時(shí)的固有頻率n微分方程：微分方程：nn220nnx

59、xx單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)解二次方程：解二次方程：兩個(gè)特征根為：兩個(gè)特征根為：21,21nns 通解為：通解為：221112()nnntttxec ec e stxe220nnxxx令：令：得到特征方程：得到特征方程：2220nnss（1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，稱(chēng)為時(shí)，稱(chēng)為過(guò)阻尼狀態(tài)過(guò)阻尼狀態(tài)（2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，稱(chēng)為時(shí)，稱(chēng)為欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)（3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，稱(chēng)為時(shí)，稱(chēng)為臨界阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)特征方程：特征方程：動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：取不同值時(shí)，微分方程有不同性質(zhì)的解。取不同值時(shí)，微

60、分方程有不同性質(zhì)的解。220nnxxx2220nnss111l 2.4.1 欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài) 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)1欠阻尼欠阻尼振動(dòng)解振動(dòng)解令令12( )(cossin)ntddx tectct21dn設(shè)初始條件：設(shè)初始條件：00(0)(0)xxxx其中：其中：( )sin()ntdx tAet22000()ndxxAx1000dnxtgxx則振動(dòng)解為：則振動(dòng)解為：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)/有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng)1 欠阻尼欠阻尼振動(dòng)解：振動(dòng)解：( )sin()ntdx tAetnT阻尼固有頻率：阻尼固有頻率：21dn阻