全程復(fù)習(xí)課件：3[1].2.3_直線的一般式方程

1、3.2.3直線的一般式方程http:/ .2.2.明確直線方程一般式的特征明確直線方程一般式的特征, ,并能將一般式與其他形式的方并能將一般式與其他形式的方程進行互化程進行互化. .3.3.能根據(jù)直線的一般式方程進行簡單的應(yīng)用能根據(jù)直線的一般式方程進行簡單的應(yīng)用( (求斜率、截距求斜率、截距等等).).http:/ .直線直線Ax+By+C=0Ax+By+C=00 0CBx x軸軸CAy y軸軸http:/ 0=k(x-x=k(x-x0 0),),化為一般式為化為一般式為_;_;斜斜截式截式y(tǒng)=kx+b,y=kx+b,化為一般式為化為一般式為_;_;兩點式兩點式= ,= ,化為一般式為化為一般

2、式為_;_;截截距式距式 =1=1化為一般式為化為一般式為_._.ACyxBB xy1CCABkx-y-(kxkx-y-(kx0 0-y-y0 0)=0)=0kx-y+b=0kx-y+b=0112121yyxxyyxx(y(y2 2-y-y1 1)x-(x)x-(x2 2-x-x1 1)y+(x)y+(x2 2-x-x1 1)y)y1 1-(y-(y2 2-y-y1 1)x)x1 1=0=0bx+ay-ab=0bx+ay-ab=0 xyabhttp:/ (正確的打正確的打“”“”，錯誤的打，錯誤的打“”).”).(1)(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的直線都可以用關(guān)于坐標(biāo)平面內(nèi)的直線都可以用關(guān)于x,yx,y的

3、二元一次方程的二元一次方程Ax+By+C=0(AAx+By+C=0(A與與B B不同時為不同時為0)0)表示表示.( ).( )(2)(2)任何一條直線的方程都可以轉(zhuǎn)化為一般式任何一條直線的方程都可以轉(zhuǎn)化為一般式.( ).( )(3)(3)直線直線Ax+By+C=0Ax+By+C=0，在，在x x軸上的截距為軸上的截距為 ，在，在y y軸上的截距軸上的截距為為 .( ).( )(4)(4)若直線若直線Ax+By+C=0Ax+By+C=0與兩坐標(biāo)軸都相交，則與兩坐標(biāo)軸都相交，則A0A0或或B0.( )B0.( )CACBhttp:/ .當(dāng)當(dāng)A A與與B B不同時為不同時為0 0時，二元一次方程時

4、，二元一次方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0與平面內(nèi)的直線是一一對應(yīng)的與平面內(nèi)的直線是一一對應(yīng)的. .(2)(2)正確正確. .平面內(nèi)的直線方程都可以寫成一般式平面內(nèi)的直線方程都可以寫成一般式. .(3)(3)錯誤錯誤. .當(dāng)當(dāng)A0A0且且B0B0時，直線在時，直線在x x軸上的截距為軸上的截距為 ，在，在y y軸上的截距為軸上的截距為 . .(4)(4)錯誤錯誤. .直線與兩坐標(biāo)軸都相交，則直線與兩坐標(biāo)軸都相交，則A AB0B0，而不是，而不是A0A0或或B0.B0.答案：答案：(1) (2) (3)(1) (2) (3) (4) (4)CACBhttp:/ (請把正確的答案寫在橫線請

5、把正確的答案寫在橫線上上).).(1)(1)經(jīng)過點經(jīng)過點(1,2),(1,2),斜率為斜率為 的直線的一般式方程為的直線的一般式方程為_._.(2)(2)在在y y軸上的截距為軸上的截距為2,2,且過點且過點(-1,4)(-1,4)的直線的方程為的直線的方程為_._.(3)(3)方程方程2x-3y-1=02x-3y-1=0在在x x軸上的截距為軸上的截距為_;_;在在y y軸上的截距為軸上的截距為_._.(4)(4)若直線若直線-2x+ay+m=0-2x+ay+m=0的斜率為的斜率為1,1,則則a=_.a=_.13http:/ (x-1)y-2= (x-1)，整理得，整理得x+3y-7=0.x

6、+3y-7=0.答案：答案：x+3y-7=0 x+3y-7=0(2)(2)因為在因為在y y軸上的截距為軸上的截距為2 2，所以設(shè)直線方程為，所以設(shè)直線方程為 把點把點(-1,4)(-1,4)代入代入, ,得得a=1a=1，所以所求直線的方程為，所以所求直線的方程為 整理得整理得2x+y-2=0.2x+y-2=0.答案：答案：2x+y-2=02x+y-2=013xy1a2 ，xy112 ，http:/ y= ，令，令y=0y=0，得，得x= x= ，所以直線在，所以直線在x x軸軸,y,y軸上軸上的截距分別為的截距分別為 , ., .答案：答案：(4)(4)因為直線因為直線-2x+ay+m=0

7、-2x+ay+m=0的斜率為的斜率為1 1，所以，所以 ，所以，所以a=2.a=2.答案：答案：2 213121213121321ahttp:/ .http:/ .坐標(biāo)平面內(nèi)的直線都可以看成關(guān)于坐標(biāo)平面內(nèi)的直線都可以看成關(guān)于x,yx,y的二元一次方程，且方程有無數(shù)個的二元一次方程，且方程有無數(shù)個. .但一個關(guān)于但一個關(guān)于x,yx,y的二元的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線. .http:/ 表示與表示與y y軸垂直軸垂直的直線；當(dāng)?shù)闹本€；當(dāng)A0,B=0A0,B=0時，直線方程化為時，直線方程化為 ，表示與，表示與x x軸垂軸垂直的直線；當(dāng)直的直線；當(dāng)C=0C=0時，

8、方程表示過原點的直線時，方程表示過原點的直線. .CyB ，CxA http:/ .(2)A,B(2)A,B不同時為不同時為0,0,分三種情況：分三種情況：A0,B0;A0,B0;A0,B=0;A0,B=0;A=0,B0.A=0,B0.(3)(3)適用范圍：坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線適用范圍：坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線. .http:/ 1：已知直線：已知直線l過點過點(2,0),(0,3)(2,0),(0,3)，思考下列問題：，思考下列問題：(1)(1)能否寫出直線能否寫出直線l的方程的五種形式？的方程的五種形式？提示：提示：能能. .直線直線l的斜率的斜率 點斜式方程點斜式方程y-0=- (x

9、-y-0=- (x-2)2)；斜截式方程；斜截式方程y=- x+3y=- x+3；兩點式方程；兩點式方程 截距式方截距式方程程 一般式方程一般式方程3x+2y-6=0.3x+2y-6=0.303k022 ，3232y0 x23002；xy123 ，http:/ .http:/ 2：根據(jù)直線的一般式方程：根據(jù)直線的一般式方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0，思考下列問題：，思考下列問題：(1)(1)已知直線的一般式方程已知直線的一般式方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0，如何求直線的斜率？，如何求直線的斜率？提示：提示：若若B0B0，直線方程可化為，直線方程可化為 故直線的斜率故直線的斜

10、率為為 若若B=0B=0，則直線的斜率不存在，則直線的斜率不存在. .ACyxBB ，AB，http:/ x軸軸,y,y軸上的截距是多少？軸上的截距是多少？提示：提示：當(dāng)當(dāng)A,B,CA,B,C均不為均不為0 0時，一般式方程時，一般式方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0可化為可化為 此時在此時在x x軸軸,y,y軸上的截距分別為軸上的截距分別為 當(dāng)當(dāng)A=0,B,CA=0,B,C均不為均不為0 0時，直線平行于時，直線平行于x x軸，此時在軸，此時在y y軸上的截距為軸上的截距為 ；當(dāng)；當(dāng)B=0,A,CB=0,A,C均不為均不為0 0時，直線平行于時，直線平行于y y軸，此時在軸，此時在x

11、x軸上軸上的截距為的截距為xy1CCAB，CC,AB；CBC.Ahttp:/ 0=k(x-x=k(x-x0 0) )(x(x0 0,y,y0 0) )是直線上是直線上的定點的定點,k,k是斜率是斜率不垂直于不垂直于x x軸軸斜截式斜截式y(tǒng)=kx+by=kx+bk k是斜率是斜率,b,b是直線是直線在在y y軸上的截距軸上的截距不垂直于不垂直于x x軸軸http:/ 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2) )是直是直線上兩定點線上兩定點不垂直于不垂直于坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸截距式截距式a,ba,b分別是直線在分別是直線在x x軸軸,y,y軸上的截距軸上的截距不垂直于不垂直于坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸,

12、,且且不過原點不過原點一般式一般式Ax+By+C=0Ax+By+C=0A,B,CA,B,C為系數(shù)為系數(shù)任何位置任何位置的直線的直線112121yyxxyyxxxy1abhttp:/ .(2)(2)各種形式互化的實質(zhì)是方程的同解變形各種形式互化的實質(zhì)是方程的同解變形. .http:/ 一一 直線的一般式方程直線的一般式方程嘗試解答下列題目嘗試解答下列題目, ,理解直線方程的一般式理解直線方程的一般式, ,并能夠利用并能夠利用直線的一般式方程解決有關(guān)問題直線的一般式方程解決有關(guān)問題. .1.1.過點過點(2,-1)(2,-1)和和(3,2)(3,2)的直線的一般式方程為的直線的一般式方程為. .2

13、.2.若方程若方程(m(m2 2-3m+2)x+(m-2)y-2m+1=0-3m+2)x+(m-2)y-2m+1=0表示直線表示直線, ,求實數(shù)求實數(shù)m m的范的范圍圍. .http:/ ,寫出直線的兩點式方寫出直線的兩點式方程程, ,再化為一般式方程再化為一般式方程; ;或者設(shè)出直線方程的一般式或者設(shè)出直線方程的一般式, ,得出有關(guān)得出有關(guān)參數(shù)的方程組參數(shù)的方程組, ,從而得出直線的一般式方程從而得出直線的一般式方程. .2.2.根據(jù)直線方程的一般式的條件求解根據(jù)直線方程的一般式的條件求解. .http:/ 整理得整理得3x-y-7=0.3x-y-7=0.方法二：設(shè)所求直線的方程為方法二：設(shè)

14、所求直線的方程為x+my+n=0 x+my+n=0，把點，把點(2,-1),(3,2)(2,-1),(3,2)代入代入, ,得得 解得解得 所以所求直線的方所以所求直線的方程為程為 整理得整理得3x-y-7=0.3x-y-7=0.答案：答案：3x-y-7=03x-y-7=0y( 1)x22( 1)32 ，2mn0,32mn0,17m,n33 ，17xy033 ，http:/ 解得解得m=2,m=2,因為方程因為方程(m(m2 2-3m+2)x+(m-2)y-3m+2)x+(m-2)y-2m+1=02m+1=0表示直線表示直線, ,所以所以(m(m2 2-3m+2)-3m+2)與與(m-2)(m

15、-2)不同時為不同時為0 0，即，即m2.m2.2m3m20,m20,http:/ .(2)(2)設(shè)直線的一般式方程，若設(shè)直線的一般式方程，若A0A0，則方程可設(shè)為，則方程可設(shè)為 只需確定只需確定 若若B0B0，則方程可設(shè)為，則方程可設(shè)為 只需確定只需確定BCxy0AA ，B C,A A；ACxy0BB ，A C,B Bhttp:/ .(1)(1)斜率為斜率為4 4，在，在y y軸上的截距為軸上的截距為-2.-2.(2)(2)斜率是斜率是 ，且經(jīng)過點，且經(jīng)過點A(5A(5，3).3).【解析解析】(1)(1)由直線方程的斜截式，可得所求直線的方程為由直線方程的斜截式，可得所求直線的方程為y=4

16、x-2y=4x-2，即，即4x-y-2=04x-y-2=0；(2)(2)由直線方程的點斜式，可得所求直由直線方程的點斜式，可得所求直線的方程為線的方程為y-3= (x-5)y-3= (x-5)，即，即 x-y+3-5 =0.x-y+3-5 =0.3333http:/ 二二 直線方程的互化直線方程的互化 嘗試解答下列題目，掌握直線方程的五種形式即各自的適嘗試解答下列題目，掌握直線方程的五種形式即各自的適用范圍，并能夠根據(jù)直線方程之間的聯(lián)系解決有關(guān)問題用范圍，并能夠根據(jù)直線方程之間的聯(lián)系解決有關(guān)問題. .1.1.在在x x軸軸,y,y軸上的截距分別為軸上的截距分別為2,-32,-3的直線的一般式方

17、程為的直線的一般式方程為( )( )A.3x+2y-6=0 B.3x-2y-6=0A.3x+2y-6=0 B.3x-2y-6=0C.3x+2y+6=0 D.3x-2y+6=0C.3x+2y+6=0 D.3x-2y+6=0http:/ 2-2m-3)x+(2m-2m-3)x+(2m2 2+m+1)y-2m+6=0+m+1)y-2m+6=0，根據(jù)下列，根據(jù)下列條件分別確定條件分別確定m m的值：的值：(1)(1)l在在x x軸上的截距為軸上的截距為-3.(2)-3.(2)l的斜率為的斜率為1.1.http:/ .2.(1)2.(1)令令y=0y=0得出得出l在在x x軸上的截距軸上的截距.(2).

18、(2)把直線方程的一般式化把直線方程的一般式化成斜截式，根據(jù)題中的條件得出關(guān)于成斜截式，根據(jù)題中的條件得出關(guān)于m m的方程，從而求出的方程，從而求出m m的的值值. .http:/ 整理得整理得3x-2y-6=0.3x-2y-6=0.2.(1)2.(1)令令y=0y=0，得，得所以所以 =-3=-3，解得，解得m m1 1=- ,m=- ,m2 2=3(=3(舍去舍去) )，故當(dāng)，故當(dāng)m=- m=- 時，時，l在在x x軸上的截距為軸上的截距為-3-3.(2)(2)直線直線l的方程可化為的方程可化為 所以所以 解得解得m m1 1=- ,m=- ,m2 2=1=1，故當(dāng)，故當(dāng)m=- m=- 或

19、或1 1時，直時，直線線l的斜率為的斜率為1.1.xy123，22m6xm2m3，22m6m2m35353222m2m32m6yx2mm12mm1 ，22m2m3k12mm1 ，2323http:/ x軸上的截距為軸上的截距為-3”-3”改為改為“l(fā)在在y y軸軸上的截距為上的截距為-3”-3”，求，求m m的值的值. .【解析解析】令令x=0 x=0，得得 所以所以解解得得 故故當(dāng)當(dāng) 時，時，l在在y y軸軸上的截距為上的截距為-3.-3.22m6y,2mm122m63,2mm1 597m,12 597m12 http:/ .(2)(2)求直線的一般式方程，通常根據(jù)題中的條件求出對應(yīng)形式求直

20、線的一般式方程，通常根據(jù)題中的條件求出對應(yīng)形式的方程，再化為一般式的方程，再化為一般式. .http:/ 三三 直線一般式方程的應(yīng)用直線一般式方程的應(yīng)用嘗試解答下列題目嘗試解答下列題目, ,體會用直線的一般式解決直線位置關(guān)體會用直線的一般式解決直線位置關(guān)系的過程系的過程, ,歸納總歸納總結(jié)結(jié)用一般式解決有關(guān)問題的方法用一般式解決有關(guān)問題的方法. .1.1.已知點已知點A(2,2)A(2,2)與直線與直線l：3x+4y-20=0,3x+4y-20=0,(1)(1)過點過點A A且與直線且與直線l平行的直線的方程為平行的直線的方程為. .(2)(2)過點過點A A且與直線且與直線l垂直的直線的方程

21、為垂直的直線的方程為. .2.2.已知直線已知直線l的方程為的方程為(m+1)x+y+2-m=0(mR),(m+1)x+y+2-m=0(mR),若直線若直線l不經(jīng)過第二象限不經(jīng)過第二象限, ,求實數(shù)求實數(shù)m m的取值范圍的取值范圍. .http:/ ,由題意得出參數(shù)的值由題意得出參數(shù)的值, ,從而得出所從而得出所求直線的方程求直線的方程. .2.2.利用直線的斜率與截距的范圍利用直線的斜率與截距的范圍, ,得出關(guān)于得出關(guān)于m m的不等式組求解的不等式組求解. .http:/ ,所以所以3 32+42+42+c=0,2+c=0,所以所以c=-14,c=-14,所以所求直線的方程為所以所求直線的方

22、程為3x+4y-14=0.3x+4y-14=0.(2)(2)設(shè)所求直線的方程為設(shè)所求直線的方程為4x-3y+n=0,4x-3y+n=0,因為點因為點A(2,2)A(2,2)在直線上在直線上, ,所以所以4 42-32-32+n=0,2+n=0,所以所以n=-2,n=-2,所以所求直線的方程為所以所求直線的方程為4x-3y-2=0.4x-3y-2=0.答案：答案：(1)3x+4y-14=0(1)3x+4y-14=0(2)4x-3y-2=0(2)4x-3y-2=0http:/ 或解得http:/ 1, ,l2 2平行時平行時, ,若若l1 1：Ax+By+CAx+By+C1 1=0,=0,根據(jù)平行

23、的等價條件根據(jù)平行的等價條件, ,可設(shè)直線可設(shè)直線l2 2：Ax+By+CAx+By+C2 2=0,=0,且且C C1 1CC2 2. .(2)(2)當(dāng)直線當(dāng)直線l1 1, ,l2 2垂直時垂直時, ,若若l1 1：Ax+By+CAx+By+C1 1=0,=0,根據(jù)垂直的等價條件根據(jù)垂直的等價條件, ,可設(shè)直線可設(shè)直線l2 2：Bx-Ay+CBx-Ay+C2 2=0.=0.提醒：提醒：在解決有關(guān)直線平行與垂直的問題時在解決有關(guān)直線平行與垂直的問題時, ,注意直線的斜率注意直線的斜率存在條件的討論存在條件的討論. .http:/ 1：(a+2)x+(1-a)y-3=0(a+2)x+(1-a)y-

24、3=0與與l2 2：(a-1)x(a-1)x+(3+2a)y+2=0,+(3+2a)y+2=0,求下列情況下求下列情況下a a的值的值. .(1)(1)直線直線l1 1, ,l2 2平行平行.(2).(2)直線直線l1 1, ,l2 2垂直垂直. .【解析解析】(1)(1)由由l1 1l2 2得得(a+2)(a+2)(3+2a)-(a-1)(1-a)=0,(3+2a)-(a-1)(1-a)=0,整理得整理得3a3a2 2+5a+7=0,+5a+7=0,無解無解. .(2)(2)由由l1 1l2 2得得(a+2)(a-1)+(1-a)(a+2)(a-1)+(1-a)(3+2a)=0,(3+2a)

25、=0,解得解得a=a=1.1.http:/ 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0 =0 l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0 =0 則：則：(1)(1)當(dāng)當(dāng)A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 100時時, ,l1 1與與l2 2相交相交. .(2)(2)當(dāng)當(dāng)A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 1=0=0且且B B1 1C C2 2-B-B2 2C C1 100時時, ,l1 1l2 2. .(3)(3)當(dāng)當(dāng)A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 1=0=0且且B B1 1C C2 2-B-B2 2C C1 1=0=0

26、時時, ,l1 1與與l2 2重合重合. .(4)(4)特別地特別地, ,當(dāng)當(dāng)A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0=0時時, ,l1 1l2 2. .2211(AB0),2222(AB0),http:/ ,體會定點直線系的用法體會定點直線系的用法, ,并能夠利用并能夠利用定點直線系的有關(guān)結(jié)論解決有關(guān)問題定點直線系的有關(guān)結(jié)論解決有關(guān)問題. .1.1.若直線若直線mx-y+(2m+1)=0mx-y+(2m+1)=0恒過一定點恒過一定點, ,則此定點是則此定點是( () )A.(-2,1) B.(2,1) C.(1,-2) D.(1,2)A.(-2,1) B.(2,1) C.(1,

27、-2) D.(1,2)2.2.求證：直線求證：直線l：(k+1)x-y-2k-1=0(k+1)x-y-2k-1=0恒過第一象限恒過第一象限. .http:/ ,求出直線恒過的定點求出直線恒過的定點. .2.2.利用直線恒經(jīng)過的定點證明結(jié)論利用直線恒經(jīng)過的定點證明結(jié)論. .【解析解析】1.1.選選A.A.把直線把直線mx-y+(2m+1)=0,mx-y+(2m+1)=0,化為點斜式得化為點斜式得y-1y-1=m(x+2),=m(x+2),所以直線過點所以直線過點(-2,1).(-2,1).http:/ ,所所以直線以直線l恒過第一象限恒過第一象限. .http:/ ,得得y=(k+1)x-(2k

28、+1),y=(k+1)x-(2k+1),若若k+10,k+10,則直線過第一象限則直線過第一象限; ;若若k+1=0,k+1=0,則則k=-1,k=-1,此時此時, ,直線的方程為直線的方程為y=1,y=1,過第一象限過第一象限; ;若若k+10,k+10,則則k1,k1,即直線與即直線與y y軸交于正半軸軸交于正半軸, ,所以所以直線過第一象限直線過第一象限. .綜上可知直線恒過第一象限綜上可知直線恒過第一象限. .http:/ ,從而得出直線恒過的定點從而得出直線恒過的定點. .(2)(2)將直線方程變形將直線方程變形, ,把把x,yx,y看作參數(shù)的系數(shù)看作參數(shù)的系數(shù), ,利用此式對任意利

29、用此式對任意實數(shù)都成立實數(shù)都成立, ,故需系數(shù)為故需系數(shù)為0,0,解方程組可得解方程組可得x,yx,y的值的值, ,即得直線過即得直線過的定點的定點. .http:/ ( () )A.x-y-11=0 B.x+y-11=0A.x-y-11=0 B.x+y-11=0C.x-y+11=0 D.x+y+11=0C.x-y+11=0 D.x+y+11=0【解析解析】選選C.C.因為直線傾斜角為因為直線傾斜角為4545, ,所以直線的斜率所以直線的斜率k=1,k=1,所所以直線的點斜式方程為以直線的點斜式方程為y-7=x-(-4),y-7=x-(-4),整理得整理得x-y+11=0.x-y+11=0.http:/ y軸上的截距為軸上的截距為b,b,則則( () )A.k=3,b=6 B.k=-3,b=-6A.k=3,b=6 B.k=-3,b=-6C.k=-3,b=6 D.k=3,b=-6C.k=-3,b=6 D.k=3,b=-6【解析解析】選選B.B.把直線把直線3x+y+6=03x+y+6=0轉(zhuǎn)化為斜截式轉(zhuǎn)