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文檔簡介

1、自自 動(dòng)動(dòng) 控控 制制 原原 理理2011年年11月月唐唐 求求電氣與信息工程學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念7-1信號(hào)的采樣與保持信號(hào)的采樣與保持7-2Z變換理論變換理論3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型47-37-4離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差47-5離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析47-6第七章第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正線性離散系統(tǒng)的分析與校正一、基本概念一、基本概念控制系統(tǒng)中所有信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)控制系統(tǒng)中所有信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)。函數(shù)??刂葡到y(tǒng)中有一處或幾處信號(hào)是一串脈沖控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號(hào)是一串

2、脈沖或數(shù)碼?;驍?shù)碼。1、連續(xù)系統(tǒng):、連續(xù)系統(tǒng):2、離散系統(tǒng):、離散系統(tǒng):3、采樣控制系統(tǒng):、采樣控制系統(tǒng):系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形式的系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形式的離散系統(tǒng),也稱脈沖控制系統(tǒng)。離散系統(tǒng),也稱脈沖控制系統(tǒng)。4、數(shù)字控制系統(tǒng):、數(shù)字控制系統(tǒng):系統(tǒng)中的離散信號(hào)是數(shù)字序列形式的系統(tǒng)中的離散信號(hào)是數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng),又稱計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。離散系統(tǒng),又稱計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。7-1 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念二、采樣控制系統(tǒng)二、采樣控制系統(tǒng)周期采樣:周期采樣:隨機(jī)采樣:隨機(jī)采樣:在有規(guī)律的時(shí)間間隔上,取得離散信息。在有規(guī)律的時(shí)間間隔上,取得離散信息。信息之間的間隔是時(shí)變的,或隨

3、機(jī)的。信息之間的間隔是時(shí)變的,或隨機(jī)的。te(t)0te (t)0teh(t)0采樣系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖采樣系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖Gh(s)Gp(s)r(t)c(t)_H(s)b(t)Se(t)e (t)eh(t)7-1 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念S:理想采樣開關(guān)理想采樣開關(guān)Gh(s):保持器的傳遞函數(shù)保持器的傳遞函數(shù)Gp(s):被控對象的傳遞函數(shù)被控對象的傳遞函數(shù)H(s):反饋元件的傳遞函數(shù)反饋元件的傳遞函數(shù)圖中,圖中,1、信號(hào)采樣、信號(hào)采樣在采樣控制系統(tǒng)中,把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過在采樣控制系統(tǒng)中,把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過程稱為采樣過程,簡稱采樣。程稱為采樣過程,簡稱采樣。實(shí)現(xiàn)采樣的裝

4、置稱為采樣器,或稱采樣開關(guān)。實(shí)現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器,或稱采樣開關(guān)。2、信號(hào)復(fù)現(xiàn)、信號(hào)復(fù)現(xiàn)在采樣控制系統(tǒng)中,把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過在采樣控制系統(tǒng)中,把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過程稱為信號(hào)復(fù)現(xiàn)過程。程稱為信號(hào)復(fù)現(xiàn)過程。實(shí)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置稱為保持器。實(shí)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置稱為保持器。最簡單的保持器是零階保持器。最簡單的保持器是零階保持器。7-1 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念 系統(tǒng)中如果用計(jì)算機(jī)來代替脈沖控制系統(tǒng)中如果用計(jì)算機(jī)來代替脈沖控制器,實(shí)現(xiàn)對偏差信號(hào)的處理,就構(gòu)成了數(shù)器,實(shí)現(xiàn)對偏差信號(hào)的處理,就構(gòu)成了數(shù)字控制系統(tǒng),也稱為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。字控制系統(tǒng),也稱為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。 數(shù)字控制系

5、統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖r(t)檢測元件檢測元件e(t)c(t)e(kT)D/AD/A和和保持器保持器對象對象b(t)計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)和和A/D采樣開關(guān)采樣開關(guān) 系統(tǒng)中的系統(tǒng)中的A/D轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)采樣開轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)采樣開關(guān),關(guān),D/A轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)保持器。轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)保持器。三、數(shù)字控制系統(tǒng)7-1 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念三、數(shù)字控制系統(tǒng)三、數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖Gh(s)Gp(s)r(t)c(t)_H(s)b(t)Se(t)u (t)uh(t)Gc(s)e (t)u(t)SS:理想采樣開關(guān);理想采樣開關(guān);Gh(s):保持器的傳遞函

6、數(shù);保持器的傳遞函數(shù);Gp(s):被控對象的傳遞函數(shù);被控對象的傳遞函數(shù);H(s):反饋元件的傳遞函數(shù);反饋元件的傳遞函數(shù);圖中,圖中,Gc(s):數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)。數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)。7-1 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念四、離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)四、離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)1、由數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字校正裝置,控制規(guī)律由軟由數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字校正裝置,控制規(guī)律由軟件實(shí)現(xiàn),因此,與連續(xù)式控制裝置相比,控制規(guī)律修改件實(shí)現(xiàn),因此,與連續(xù)式控制裝置相比,控制規(guī)律修改調(diào)整方便,控制靈活。調(diào)整方便,控制靈活。2、采樣信號(hào),特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞可以有效地抑制采樣信號(hào),特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞可以有效地抑制

7、噪聲,人而提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。噪聲,人而提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。3、可以采用高靈敏度的控制元件,提高系統(tǒng)的控制精度??梢圆捎酶哽`敏度的控制元件,提高系統(tǒng)的控制精度。4、可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng),提高了設(shè)備可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng),提高了設(shè)備利用率,經(jīng)濟(jì)性好。利用率,經(jīng)濟(jì)性好。五、離散控制系統(tǒng)的研究方法五、離散控制系統(tǒng)的研究方法z變換法變換法狀態(tài)空間分析法狀態(tài)空間分析法7-1 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念一、采樣過程與采樣定理一、采樣過程與采樣定理二、信號(hào)的保持二、信號(hào)的保持7-2 信號(hào)的采樣與保持信號(hào)的采樣與保持采樣開關(guān)每次閉合的時(shí)間為采樣開關(guān)每次閉合的時(shí)間為1、連

8、續(xù)信號(hào)的采樣過程:、連續(xù)信號(hào)的采樣過程:e(t)0t0te*(t)T T一般一般T 一、采樣過程與采樣定理一、采樣過程與采樣定理7-2 信號(hào)的采樣與保持信號(hào)的采樣與保持2采樣函數(shù)的數(shù)學(xué)表示采樣函數(shù)的數(shù)學(xué)表示 通過采樣開關(guān),將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變成離通過采樣開關(guān),將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變成離散信號(hào)。散信號(hào)。采樣過程為理想脈沖序列采樣過程為理想脈沖序列T(t) 對對e(t)幅值的調(diào)制過程。幅值的調(diào)制過程。T(t )= (t kT) 8k=- +8e*(t )=e(t )T (t )=e(t )(t kT)8k=- +8t 2 m)- s/21/T s- s m2 s-2 s221其中,其中,n=0的的頻譜頻譜是采樣

9、頻譜的主分量,如曲線是采樣頻譜的主分量,如曲線1所示,與所示,與連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜 E ( j ) 形狀一致,幅值上變化了形狀一致,幅值上變化了1/T倍。倍。其余頻譜(其余頻譜(n= 1, 2, )是采樣頻譜的補(bǔ)分量。是采樣頻譜的補(bǔ)分量。7-2 信號(hào)的采樣與保持信號(hào)的采樣與保持0 E ( j ) 采樣信號(hào)的頻譜(采樣信號(hào)的頻譜( s 2 m)可見,當(dāng)可見,當(dāng) s 17-3 Z 變換理論變換理論 = 1+ eaT z-1 + e2aT z-2 + e3aTz-3 + | ze at | 1 zz eaT 11 eaT z-1 = =(2)指數(shù)函數(shù))指數(shù)函數(shù) f (t) = e at f (kT)

10、z-k F (z)= 8k=0+(3)單位脈沖函數(shù))單位脈沖函數(shù)f (t)=(t ) =f (kT) z-k =1F (z)8k=0+f (kT)=(kT ) f (kT)= e akT 7-3 Z 變換理論變換理論(4)單位斜坡函數(shù))單位斜坡函數(shù)f (t) = t f (kT) = kT= Tz-1 + 2Tz-2 + 3Tz-3 + Tz(z 1 )2Tz-1 (1 z-1 ) 2 =| z | 1=f (kT) z-kF (z)8k=0+7-3 Z 變換理論變換理論(5)正弦函數(shù))正弦函數(shù)f (t)=sint = e jt -e jt 2 j e jkT e jkT 2 j f (kT)

11、 = 11 e jT z-1 11 e jT z-1 12 j=f (kT) z-kF (z)8k=0+z-1e jTz-1ejT1e jTz-1ejTz-1+z-2 12 j= z-1sinT 12(cosT)z-1+z-2 = zsinT z22zcosT+1=f (t)=costz(zcost ) z22zcosT+1F (z)=同理:同理:7-3 Z 變換理論變換理論2部分分式展開法部分分式展開法 pi 極點(diǎn)極點(diǎn) 如果已知連續(xù)函數(shù)如果已知連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s) ,則可將,則可將F(s)展開成部分分式之和展開成部分分式之和的形式,然后求的形式,然后求F(z)。設(shè)

12、設(shè) b0sm+b1sm1+bm sna1sn1+anF (s)=nmi=1nAiS Pi =Ai 待定系數(shù)待定系數(shù)AisPi = ZAi1ePiTz -1 基于基于 Ai1e PiTz -1 F (z)=i=1n得得 7-3 Z 變換理論變換理論 例例 求求F(s)的的z變換變換F(z)。解:解: 1 S(S+1)F (s)=1 S(S+1)F (s)=1 S1 S+1z(1e T ) (z1)(zeT )=z ze T zz1F (z)=7-3 Z 變換理論變換理論 解:解: 例例 求求F(s)的的z變換變換F(z)。1 S2(S+1)F (s)=1 S2(S+1)F (s)=1 S21 S

13、+11 S+z ze T zz1+F (z)=Tz(z1)27-3 Z 變換理論變換理論3留數(shù)計(jì)算法留數(shù)計(jì)算法 已知連續(xù)函數(shù)已知連續(xù)函數(shù)f (t) 的拉氏變換的拉氏變換F (s)及其全部極點(diǎn)及其全部極點(diǎn)pi ,F(z)可由留數(shù)計(jì)算公式可由留數(shù)計(jì)算公式求得求得:z ze sT (s-pi)riF(s)F (z)=1d ri -1(r1)! dsri -1s=pii=1n式中式中 : ri 為為s=pi 的重極點(diǎn)數(shù)的重極點(diǎn)數(shù)7-3 Z 變換理論變換理論 解:解: 例例 求求F(s)的的z變換變換F(z)。S+3 (S+1)(S+2)F (s)=z zeST S=-1 F(z)=(S+1)S+3 (

14、S+1)(S+2)z zeST S=-2 +(S+2)S+3 (S+1)(S+2)z ze 2T 2zF (z)= ze T z2+z(e-T -2e-2T )=z2-(e-T +e-2T )z+e -3T7-3 Z 變換理論變換理論三、三、Z變換的基本定理變換的基本定理1. 線性定理線性定理a1和和a2為常數(shù)為常數(shù) 2實(shí)數(shù)位移定理實(shí)數(shù)位移定理 z變換的基本定理為變換的基本定理為z變換的運(yùn)變換的運(yùn)算提供了方便。算提供了方便。 Za1 f1(t) a2 f2(t) = a1 F1(z) a2 F2(z)Z f (t kT ) = z kF(z)求求Z t T Z t T = Z t z -1 T

15、z (z1)2T(z1)2z -1=例例 解解 : 7-3 Z 變換理論變換理論3超前定理超前定理f (kT)z-kZ f(t+k1T)=z k1F(z)-zk1k11k=0 例例 求求1(t-2T)的的Z變換變換解:解: Z1(t+2T )=z2zz1-z2 f (0)z0+f (T)z-1z3z1z2z= 4復(fù)數(shù)位移定理復(fù)數(shù)位移定理Z f (t)e at =F(ze at) 例例 求求te-at 的的Z 變換。變換。 解:解: Zteat =T zeaT (zeaT1)25初值定理初值定理 t00Lim f(t) = lim F(z)z6終值定理終值定理 tLim f(t) = lim (

16、z-1)F(z)z117-3 Z 變換理論變換理論四、四、Z 反變換反變換Z 反變換:反變換:記作記作 從函數(shù)從函數(shù)F(z)求出原函數(shù)求出原函數(shù)f*(t)的過程的過程Z -1 F (z) = f * (t) 由于由于F(z)只含有連續(xù)函數(shù)只含有連續(xù)函數(shù)f(t)在采樣時(shí)在采樣時(shí)刻的信息,因而通過刻的信息,因而通過z反變換只能求得連反變換只能求得連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的數(shù)值。求反變換一續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的數(shù)值。求反變換一般有兩種方法。般有兩種方法。7-3 Z 變換理論變換理論可知:可知: 得:得:按按Z-1的升冪級(jí)數(shù)展開,即的升冪級(jí)數(shù)展開,即 1長除法長除法b0zm + b1zm1 + + bma0zn

17、 +a1zn1 + + anF (z)=(m n)設(shè)設(shè) F (z)=c0+c1z1+c2z 2+ f (0) = c0 , f (T ) = c1 , f (2T ) = c2 , f * (t)=c0(t)+c1(t T)+c2(t2T)+ 7-3 Z 變換理論變換理論 例例 求求F(z)反變換反變換f*(t) 。解:解: zz1F (z)= 用用F(z)的分子除以分母,得的分子除以分母,得=1+z1+z2+z3+ zz1F (z)=f *(t)=(t)+(t T)+(t 2T)+ 7-3 Z 變換理論變換理論 例例 求求F(z)反變換反變換f*(t) 。解:解: F (z)=z(z+1)(

18、z+2)ZF (s)=(t-T)-3(t-2T)+7(t-3T)-15(t-4T)+ F (z)=z z2+3z+2=0+z-1-3z-2+7z-3-15z-4 7-3 Z 變換理論變換理論 2部分分式法部分分式法 先將先將F(z)/z展開為部分分式,再把展展開為部分分式,再把展開式的每一項(xiàng)都乘上開式的每一項(xiàng)都乘上Z后,分別求后,分別求Z反變反變換換并求和。并求和。 例例 求求F(z)反變換反變換f*(t) 。 F (z) =0.5z(z1)(z0.5)解:解: 0.5(z1)(z0.5) F(z)z=1 z11 z0.5 = z z1z z0.5 F(z)= 即即 f (kT)=1 0.5k

19、k = 0,1,2 f * (t) = f (0)(t)+ f (T)(t T )+f(2T)(t 2T)+ 則則 7-3 Z 變換理論變換理論例例 求求F(z)反變換反變換f*(t) 。 解解: F (z)=(e-aT)z(z1)(ze-aT)F(z)z1 z 11 ze-aT =(1e-aT)z(z1)(ze-aT) =F(z)=z z 1z ze-aT f (kT)=1e-akT k = 0,1,2 8k=0 (1e-akT )(tkT) f * (t )= 7-3 Z 變換理論變換理論3留數(shù)計(jì)算法留數(shù)計(jì)算法 已知函數(shù)已知函數(shù)F (z)及其全部極點(diǎn)及其全部極點(diǎn)pi ,可可由留數(shù)計(jì)算公式求

20、由留數(shù)計(jì)算公式求z反變換反變換: F(z)zk-1(z-pi)rif (kT)=1d ri -1(r1)! dzri -1z=pii=1n式中式中 : ri 為為z=pi 的重極點(diǎn)數(shù)的重極點(diǎn)數(shù)7-3 Z 變換理論變換理論例例 求求F(s)的的z變換變換F(z)。z (z-0.5)(z-1)2F (s)= 解:解: z=0.5 f(kT)=zk (z-0.5)(z-1)2(z-0.5)(2-1)! dzd1z=0.5 +zk (z-0.5)(z-1)2(z-1)21 k10.5-=(0.51)2+0.5k(1-0.5)2=4(0.5k -1)+2k7-3 Z 變換理論變換理論一、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定

21、義一、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義在離散時(shí)間系統(tǒng)理論中,所涉及的在離散時(shí)間系統(tǒng)理論中,所涉及的數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào)總是以總是以序列的形式序列的形式出現(xiàn),即出現(xiàn),即輸入序列:輸入序列:.) , 2 , 1 , 0( ),( nnr輸出序列:輸出序列:.) , 2 , 1 , 0( ),( nnc離散系統(tǒng):離散系統(tǒng):將輸入序列變換為輸出序列的一種變換關(guān)系。將輸入序列變換為輸出序列的一種變換關(guān)系。記作記作)()(nrFnc 這里,這里,r(n)和和c(n)可以理解為可以理解為t=nT 時(shí)時(shí),系統(tǒng)的輸入序列,系統(tǒng)的輸入序列r(nT)和輸出序列和輸出序列c(nT),T為采樣周期。為采樣周期。7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

22、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1、線性離散系統(tǒng):、線性離散系統(tǒng):滿足線性疊加原理的離散系統(tǒng),即下列關(guān)系成立:滿足線性疊加原理的離散系統(tǒng),即下列關(guān)系成立:為任意常數(shù),則為任意常數(shù),則和和其中其中,且有,且有,若若banbrnarnrnrFncnrFnc)()()()()()()(212211 )()()()()()()()(212121nbcnacnrbFnraFnbrnarFnrFnc 2、線性定常離散系統(tǒng):、線性定常離散系統(tǒng):輸入與輸出關(guān)系不隨時(shí)間而改變的線性離散系統(tǒng)。輸入與輸出關(guān)系不隨時(shí)間而改變的線性離散系統(tǒng)。若若r(n)c(n)則,則,r(n-k)c(n-k)線性定常離散系統(tǒng)可用線性定常離散系統(tǒng)可用

23、線性定常(常系數(shù))差分方程線性定常(常系數(shù))差分方程描述。描述。7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二、線性常系數(shù)差分方程及其解法二、線性常系數(shù)差分方程及其解法對于一般的線性定常離散系統(tǒng),對于一般的線性定常離散系統(tǒng),k 時(shí)刻的輸出時(shí)刻的輸出c(k)1)與)與k 時(shí)刻的輸入時(shí)刻的輸入r(k)有關(guān);有關(guān);2)與)與k 時(shí)刻以前的輸入時(shí)刻以前的輸入r(k-1)、r(k-2) 、有關(guān);有關(guān);3)與)與k 時(shí)刻以前的輸出時(shí)刻以前的輸出c(k-1)、c(k-2)、有關(guān)。有關(guān)。1、數(shù)學(xué)描述:、數(shù)學(xué)描述:)()1()1()()()1()2()1()(110121mkrbmkrbkrbkrbnkcank

24、cakcakcakcmmnn 上式亦可表示為:上式亦可表示為: mjjniijkrbikcakc01)()()(式中,式中,ai (i=1, 2, , n)和和bj (j=0, 1, , m)為為常系數(shù),常系數(shù),m n。1)用)用n階后向差分方程階后向差分方程來描述:來描述:7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2 2)用)用n n階前向差分方程階前向差分方程來描述:來描述:)()1()1()()()1()1()(11011krbkrbmkrbmkrbkcakcankcankcmmnn 上式亦可表示為:上式亦可表示為: mjjniijmkrbinkcankc01)()()(式中,式中,a

25、i (i=1, 2, , n)和和bj (j=0, 12, , m)為為常系數(shù),常系數(shù),m n。2、差分方程的解法:、差分方程的解法:1)迭代法)迭代法若已知差分方程,且給定輸出序列的初值,則可以利若已知差分方程,且給定輸出序列的初值,則可以利用遞推關(guān)系,在計(jì)算機(jī)上一步一步地算出輸出序列。用遞推關(guān)系,在計(jì)算機(jī)上一步一步地算出輸出序列。7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例:已知差分方程例:已知差分方程)2(6)1(5)()( kckckrkc輸入序列輸入序列r(k)=1,初始條件初始條件c(0)=0,c(1)=1,試用迭代法求試用迭代法求輸出序列輸出序列c(k),k=0, 1, 2,

26、, 10。解:根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系,得解:根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系,得1)1(0)0( cc6)0(6)1(5)2()2( ccrc25)1(6)2(5)3()3( ccrc90)2(6)3(5)4()4( ccrc86526)8(6)9(5)10()10( 301)3(6)4(5)5()5( ccrcccrc7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2)z變換法變換法對差分方程兩邊取對差分方程兩邊取z變換,并利用變換,并利用z變換的實(shí)數(shù)位移定理,變換的實(shí)數(shù)位移定理,得到以得到以z為變量的代數(shù)方程,然后對代數(shù)方程的解為變量的代數(shù)方程,然后對代數(shù)方程的解C(z)取取z反變換,求得輸出序列反變換

27、,求得輸出序列c(k)。0)(2)1(3)2( kckckc)()()(10 knnkznTezEzkTte例例6:用:用z變換法求解下列二階差分方程變換法求解下列二階差分方程0)(2)(3)2( tcTtcTtc設(shè)設(shè)初始條件初始條件c(0)=0,c(1)=1。解:該差分方程又可以寫成如下形式:解:該差分方程又可以寫成如下形式:對差分方程的每一項(xiàng)進(jìn)行對差分方程的每一項(xiàng)進(jìn)行z變換,根據(jù)實(shí)數(shù)位移定理變換,根據(jù)實(shí)數(shù)位移定理7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型)(3)0()(3)1(3zzCczCzkc )(2)(2zzCkc 所以,差分方程變成如下代數(shù)方程所以,差分方程變成如下代數(shù)方程zzC

28、zz )()23(2解得解得23)(2 zzzzC21 zzzz求出求出z反變換反變換 0)()2()1()(nnnnTttc , 2 , 1 , 0)2()1()( kkckk,或或得得)1()0()()2(12 zcczCzkczzCzzcczzCz )()1()0()(2227-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 在連續(xù)系統(tǒng)的分析中,用傳遞函數(shù)來在連續(xù)系統(tǒng)的分析中,用傳遞函數(shù)來表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在采樣控制系統(tǒng)的表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在采樣控制系統(tǒng)的分析中則用脈沖傳遞函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型。分析中則用脈沖傳遞函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型。三 、脈沖傳遞函數(shù)的定義、脈沖傳遞函數(shù)的定義r(t)G(s)Tr

29、*(t)c(t)R(z)Tc*(t)C(z)G(z)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖其中其中 R(z)=Zr* (t )C(z)=Zc* (t )脈沖脈沖傳遞函數(shù)的定義:傳遞函數(shù)的定義: 零初始條件下,離散輸出信號(hào)的零初始條件下,離散輸出信號(hào)的Z Z 變變換與離散輸入信號(hào)的換與離散輸入信號(hào)的Z Z變換之比。變換之比。C (z)R(z)G(z) =7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 大多數(shù)采樣系統(tǒng)的輸出大多數(shù)采樣系統(tǒng)的輸出是連續(xù)信號(hào)是連續(xù)信號(hào)c(t)c(t)而不是離散信號(hào)而不是離散信號(hào) c c* *(t)(t),為了應(yīng)用脈為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念,通常在輸出端虛設(shè)一沖傳遞函數(shù)的概

30、念,通常在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開關(guān),如圖中虛線所示,它與輸入個(gè)采樣開關(guān),如圖中虛線所示,它與輸入端采樣開關(guān)同步工作。端采樣開關(guān)同步工作。Tc*(t)C(z)G(z)R(z)TD(s)r(t)r*(t)c(t)G1(s)G2(s)輸出的采樣信號(hào)可根據(jù)下式求得輸出的采樣信號(hào)可根據(jù)下式求得c* (t )=Z-1C(z)=Z -1G(z) R(z) 7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型四、開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)四、開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)的求取與采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)的求取與連續(xù)系統(tǒng)求傳遞函數(shù)類似。但脈沖傳遞連續(xù)系統(tǒng)求傳遞函數(shù)類似。但脈沖傳遞函數(shù)與采樣開關(guān)的位置有關(guān)。當(dāng)采樣

31、系函數(shù)與采樣開關(guān)的位置有關(guān)。當(dāng)采樣系統(tǒng)中有環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí),根據(jù)它們之間有無統(tǒng)中有環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí),根據(jù)它們之間有無采樣開關(guān),其等效的脈沖傳遞函數(shù)是不采樣開關(guān),其等效的脈沖傳遞函數(shù)是不相同的。相同的。7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān) G G1 1(s)(s)和和G G2 2(s)(s)的兩個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)如圖:的兩個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)如圖: G1G2(z)r(t)Tr*(t)c(t)R(z)Tc*(t)C(z)d(z)G1(s)G2(s)= G1(s)G2(s)C (s)R(s)G(s) =由圖可見由圖可見 Z Z變換變換: := ZG1(s)G2(s)=G1G2

32、(z)C (z)R(z)G(z) = 兩個(gè)期間無采樣開關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈兩個(gè)期間無采樣開關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù),等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)沖傳遞函數(shù),等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積的的乘積的Z變換。變換。7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例例 求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)G(z)。解:解: 1s+aG1(s)=1(s+a)(s+b)G(s)=G1(s)G2(s)=s+bG2(s)= 1( 1b-a- 1s+a) 1s+b= G(z)=Z( 1b-a- 1s+a) 1s+b 1bazz-e-aT -=zz-e-bT z(e-aT-e-bT) (z-e-aT)( z-e-bT

33、) 1ba=7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān) 當(dāng)兩串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)時(shí):當(dāng)兩串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)時(shí):G1(z)G2(z)G(z)r(t)Tr*(t)c(t)R(z)Tc*(t)C(z)d*(s)d(t)TD(z)G1(s)G2(s)可得:可得:D(s )=G1(s)R* (s)C(s )=G2(s)D* (s)D(z )=G1(z)R(z)C(z )=G2(z)D(z)= G1(z)G2(z)R(z)得得 C (z)R(z)G(z) = G1(z)G2(z) 兩個(gè)其間有采樣開關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈兩個(gè)其間有采樣開關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù),等于這兩

34、個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳沖傳遞函數(shù),等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。遞函數(shù)的乘積。7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例例 求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)G(z)。 解:解: 1s+aG1(s)=s+bG2(s)= 1G1(z)=zz-e-aT G2(z)=zz-e-bT G1(z)G2(z) G1G2(z) z2 (z-e-aT)( z-e-bT)G(z)=G1(z)G2(z)=7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3帶零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)的脈帶零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)沖傳遞函數(shù) r(t)Tr*(t)c(t)Tc*(t)C(z)1-es-TSG1(s) 系

35、統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖:開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為 G1(s) s=(1-e-Ts)G(s) =(1-e-Ts ) sG1(s)設(shè)設(shè) G1(s)sG2(s)=則則 G(s) = (1-e-Ts )G2(s) ZG2(s) = G2(z)Ze-TsG2(s) = z-1G2(z)G(z ) = Z(1-e-Ts )G2(s) = (1-z-1 )G2(z)7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如上圖所示,求系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如上圖所示,求G(z).G(z).解:解: T = 1S1S(S+1)G1(s)=1S2(S+1)G2(s)=(1-e-Ts )SG(s)=1S(S+1)G2(z

36、) = Z1S2(S+1) = Z1S2-1S+1S(S+1) z(z-e-1)-(z-1)( z-e-1) + (z-1)2( z-1)2(z-e-1)=0.386 z+0.264z2-1.368z+0.386 =e-1z+(1-2e-1)(z-1)(z-e-1)=G(z) = (1-z-1)G2(z)=(z-1)z z(z-e-1)-(z-1)( z-e-1) + (z-1)2( z-1)2(z-e-1)7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型五、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)五、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 在連續(xù)系統(tǒng)中,閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳在連續(xù)系統(tǒng)中,閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)之間有著確定的關(guān)

37、系,而在采樣系遞函數(shù)之間有著確定的關(guān)系,而在采樣系統(tǒng)中,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)還與采樣開關(guān)的統(tǒng)中,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)還與采樣開關(guān)的位置有關(guān)。位置有關(guān)。 Z 變換是對離散信號(hào)進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)變換是對離散信號(hào)進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)變換,為了方便分析系統(tǒng)中的連續(xù)信號(hào)都變換,為了方便分析系統(tǒng)中的連續(xù)信號(hào)都假設(shè)離散化了,用虛線表示采樣開關(guān)。假設(shè)離散化了,用虛線表示采樣開關(guān)。7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型r(t)e(t)c(t)G(s)H(s)b(t)r*(t)TTTTc*(t)C(z)e*(t)E(t)R(z)b*(t)B(z)(z)(1)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖:)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖:E(s)=R(s)B(s)

38、E(z)=R(z)B(z)B(z)=GH(z)E(z)B(s)=G(s)H(s)E*(s) R(z) 1+GH(z) E(z)=E(z)=R(z)GH(z)E(z)C(s)=G(s) E*(s)C(z)=G(z)E(z) R(z)G(z) 1+GH(z) C(z)= G(z) 1+GH(z) =C (z)R(z)(z) =7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(2 2)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖r(t)e(t)c(t)E(s)TC(z)G2(s)d*(s)D(z)C(s)c*(t)R(s)H(s)G1(s)d(t)TD(s)B(s)D(s )=R(s)G1(s)D*(s)G1(s

39、)G2 (s)H(s) D(s )=E(s)G1(s)=R(s)G1(s)-B(s)G1(s)E(s )=R(s)-B(s)B(s )=C(s)H(s)=D*(s)G2(S)H(s)D(z )=RG1(z)D(z)G1G2H(z) C(s )=D*(s)G2(s)C(z )=D(z)G2(z)RG1(z) 1+G1G2H(z) D(z)=RG1(z)G2(z) 1+G1G2H(z) c(z)= 對于這種系統(tǒng),只能求出對于這種系統(tǒng),只能求出C(z),C(z),求不求不出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(3 3)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖)采樣系

40、統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖 連續(xù)系統(tǒng)輸出的拉氏變換為連續(xù)系統(tǒng)輸出的拉氏變換為G1(s)G2(s)H(s)c*(t)c(t)C(z)e(t)E(s)r(t)R(s)TT-e*(t)TTG1(s)G2(s)R(s)1+G1(s)G2(s)H(s) C(s)=G1(z)G2(z)R(z)1+G1(z)G2(z)H(z) C(z)=可得可得:系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 =C (z)R(z)G1(z)G2(z)1+G1(z)G2(z)H(z) 環(huán)節(jié)之間都有采樣開關(guān),可直接寫環(huán)節(jié)之間都有采樣開關(guān),可直接寫出輸出的出輸出的Z Z變換式。變換式。 7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(4 4)采

41、樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖G1(s)G2(s)H(s)c*(t)C(z)c(t)e(t)r(t)R(s)TT- 先求出系統(tǒng)輸出的拉氏變換,再先求出系統(tǒng)輸出的拉氏變換,再根據(jù)采樣開關(guān)的位置寫出輸出根據(jù)采樣開關(guān)的位置寫出輸出Z Z 變換變換的表達(dá)式。的表達(dá)式。內(nèi)環(huán)的傳遞函數(shù):內(nèi)環(huán)的傳遞函數(shù): G2(s)1+G2(s)H(s) G(s)=系統(tǒng)輸出拉氏變換:系統(tǒng)輸出拉氏變換: G1(s)G2(s)R(s)1+G2(s)H(s)+G1(s)G2(s) C(s) =G1(z)G2(z)R(z)1+G2H(z)+G1(z)G2(z) C(z) =系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 G1(

42、z)G2(z)1+G2H(z)+G1(z)G2(z) C(z) R(z)=7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-T+T G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)c*(t)c(t)C(z)r(t)R(s)(5 5)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可得由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可得R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)G4(s) C(s) =R(s)G5(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)G4(s) +R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+R(s)G5(s)G4(s)1+ G2(s)G3(s)G4(s) =RG1(z)G2G3

43、G4(z)+RG5G4(z) 1+G2G3G4(z) C(z) =7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 在采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中,可以在采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中,可以從從s平面和平面和z平面之間的關(guān)系中,找出分平面之間的關(guān)系中,找出分析采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。析采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。 二、二、 z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件平面內(nèi)的穩(wěn)定條件 一、一、 z平面和平面和s平面的關(guān)系平面的關(guān)系 三、三、 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù) 四、四、 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 z變量和變量和s變量的關(guān)系為變量的關(guān)系為: 其中其中s是復(fù)變量是復(fù)變量: 一、一、

44、z平面和平面和s平面的關(guān)系平面的關(guān)系z=eTsS=+jz=eTs=eTejT=zej7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差s域到域到z域的基本映射關(guān)系式為:域的基本映射關(guān)系式為:TzezT ,1、s平面的虛軸(平面的虛軸( ) js , 0Tzz , 1):( z平面上的軌跡是以平面上的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓。原點(diǎn)為圓心的單位圓。 s23 s2 s23 s2主要帶主要帶次要帶次要帶次要帶次要帶Ts 2 采樣角頻率:采樣角頻率:22:ss 當(dāng)當(dāng)z平面上的相應(yīng)點(diǎn)沿單位圓從平面上的相應(yīng)點(diǎn)沿單位圓從z平面平面01s平面平面j0 s平面虛軸在平面虛軸在z平面上的映射平面上的映射

45、ReReIm7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差2、s平面的左半平面(平面的左半平面( )TzezT , 1 s平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)的點(diǎn)。平面單位圓內(nèi)的點(diǎn)。3、s平面的右半平面(平面的右半平面( )TzezT , 1 s平面的右半平面映射到平面的右半平面映射到z平面單位圓內(nèi)外的點(diǎn)。平面單位圓內(nèi)外的點(diǎn)。7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定0=00z1 s平面和平面和z平面的穩(wěn)定域平面的穩(wěn)定域0jS平面平面穩(wěn)定區(qū)穩(wěn)定區(qū)0ImRez平面平面穩(wěn)定區(qū)穩(wěn)定區(qū)7-5 離散系統(tǒng)

46、的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 二、二、 z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件平面內(nèi)的穩(wěn)定條件 采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的條件:采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的條件: 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于z平平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。即面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。即zi1 若閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有位于單位圓若閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有位于單位圓外的極點(diǎn),則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。外的極點(diǎn),則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 例例 采樣控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。采樣控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 r(t)e(t)c(t)G(s)TC(s)R

47、(s)G(s)=S(S+4)1T=0.25 s解:解: G(z)=Z S(S+4)1 41S1S+41( - )=Z = 41z-1zz-e-4Tz( - )(1-e-4T)z/4(z-1)(1-e-4T)=(z-1)(z-e-4T)+(1-e-4T)z/4(1-e-4T)z/4G(z)1+G(z)(z)= 特征方程式為特征方程式為z2-1.21z+0.368=0z1,2=0.605j0.04444141(z-1)(z-e-4T)+ (1-e-4T)z=0即即 所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。z1=z20u0u=0z=x2+y2 =1z=x2+y2 1 將將Z Z平面上的特征方程式經(jīng)過平面

48、上的特征方程式經(jīng)過ZWZW變換,就可變換,就可應(yīng)用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)應(yīng)用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。定性。7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差例例 已知采樣控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式已知采樣控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:解: D(z)=45z3-117z2+119z-39=045( w+1w-1w+1w-1w+1w-1 )3-117( )2+119( )-39=0 45(w+1)3-117(w+1)2(w-1)+119(w+1)(w-1)2-39(w-1)3=0 將將ZWZW變換變換代入特征方程式:代入特征方程式: 經(jīng)整理得經(jīng)整理得 w3

49、+2w2+2w+40=0列勞斯表列勞斯表 w3w2w1w00040240-1821 有二個(gè)根在有二個(gè)根在w右半平面右半平面,即有兩即有兩個(gè)根在個(gè)根在Z 平面上的平面上的單位圓外,故系統(tǒng)單位圓外,故系統(tǒng)為不穩(wěn)定。為不穩(wěn)定。7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差例:例:設(shè)某閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示,已知采設(shè)某閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示,已知采樣周期樣周期T分別為分別為0.1(s)和和0.01(s),試確定使系統(tǒng)穩(wěn)試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的定的K值范圍。值范圍。r(t)e (t)c(t)C*(s)e(t)E (s)c*(t)Ks(0.1s+1)解:系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為解:系統(tǒng)開環(huán)脈

50、沖傳遞函數(shù)為)10(10)()( ssKsGzGH)(1()1(1010TTezzzeK 7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為0)(1()1(1)(11010 TTezzzeKzGH0)1()(1(1010 zeKezzTT代入上式得代入上式得,令令)( 1 . 011sTz 0)632. 0736. 2(264. 1632. 02 KK 列勞斯表列勞斯表0 632. 0736. 2 0 264. 1 632. 0736. 2 632. 0 012KKK 為保證系統(tǒng)穩(wěn)定,必須為保證系統(tǒng)穩(wěn)定,必須 0632. 0736. 20632.

51、0KK T=0.1(s)時(shí),時(shí),使系統(tǒng)穩(wěn)定的使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍:值范圍:0K4.33。7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)當(dāng)T=0.01(s)時(shí),同樣的步驟可得時(shí),同樣的步驟可得 域中的特征方程為域中的特征方程為0)1 . 08 . 3(2 . 01 . 02 KK 列勞斯表列勞斯表0 1 . 0.83 0 .20 1 . 0.83 1 . 0 012KKK 為保證系統(tǒng)穩(wěn)定,必須為保證系統(tǒng)穩(wěn)定,必須 01 . 08 . 301 . 0KK T=0.01(s)時(shí),時(shí),使系統(tǒng)穩(wěn)定的使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍:值范圍:0K m ) (z-z1)(z-z2) (z-zn) zz1

52、 C(z) =b0zm+b1zm-1+ +bm-1z+bm展開成部展開成部 分分式分分式 =+ + A1 z -z1C(z)z A0 z -1 An z -zn系統(tǒng)的輸出響應(yīng):系統(tǒng)的輸出響應(yīng):+ + zA1 z -z1C(z)= zA0 z -1 zAn z -znc(kT) = A0 1(kT) i=1 n+Ai (zi )k下面分兩種情況進(jìn)行討論。下面分兩種情況進(jìn)行討論。7-7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正離散系統(tǒng)的數(shù)字校正1閉環(huán)極點(diǎn)為實(shí)數(shù)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)為實(shí)數(shù)極點(diǎn) Zi為正實(shí)數(shù)極點(diǎn)時(shí):為正實(shí)數(shù)極點(diǎn)時(shí):10ImRec(kT) = A0 1(kT) i=1 n+Ai (zi )k| zi | 17-7 離

53、散系統(tǒng)的數(shù)字校正離散系統(tǒng)的數(shù)字校正ZI為負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)時(shí):為負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)時(shí):系統(tǒng)的瞬態(tài)系統(tǒng)的瞬態(tài)分量為振蕩函數(shù)分量為振蕩函數(shù)10ImRec(kT) = A0 1(kT) i=1 n+Ai (zi )k| zi | 1 發(fā)散震蕩發(fā)散震蕩 7-7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正離散系統(tǒng)的數(shù)字校正2閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn) 設(shè)復(fù)數(shù)極點(diǎn)設(shè)復(fù)數(shù)極點(diǎn) zi = |zi |e -ji zi = |zi |e ji i |zi |zi 的模的模zi 的相角的相角ImRe0 zi |zi |i 設(shè)待定系數(shù)設(shè)待定系數(shù) Ai = |Ai |e j i Ai = |Ai |e -j i |Ai | 、i 復(fù)數(shù)系數(shù)的復(fù)數(shù)系數(shù)

54、的 模和相角模和相角一對復(fù)數(shù)極點(diǎn)一對復(fù)數(shù)極點(diǎn)的瞬態(tài)分量的瞬態(tài)分量c(kT) = Ai (zi )k + Ai (zi )k= |Ai |zi |k e j( ki+i ) + |Ai |zi |k e -j( ki+i ) = 2|Ai |zi |k cos(ki+i )= 2|Ai |zi |k e j( ki+i ) + e -j( ki+i ) 2 | zi | = 1等幅震蕩函數(shù)等幅震蕩函數(shù)| zi | 1發(fā)散震蕩函數(shù)。發(fā)散震蕩函數(shù)。i 越大瞬越大瞬態(tài)分量的振態(tài)分量的振蕩頻率越高。蕩頻率越高。7-7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正離散系統(tǒng)的數(shù)字校正一、數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)一、數(shù)字控制器的脈沖傳

55、遞函數(shù)離散系統(tǒng)的數(shù)字校正:離散系統(tǒng)的數(shù)字校正:根據(jù)對離散系統(tǒng)性能指標(biāo)的根據(jù)對離散系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求確定數(shù)字校正裝置(數(shù)字控制器)的過程。要求確定數(shù)字校正裝置(數(shù)字控制器)的過程。具有數(shù)字控制器的離散系統(tǒng)如圖所示。具有數(shù)字控制器的離散系統(tǒng)如圖所示。圖圖7-31 具有數(shù)字控制器的離散系統(tǒng)具有數(shù)字控制器的離散系統(tǒng)R(s)E (s)C(s)C*(s)H(s)D(z)G(s)E(s)E1(s)E1*(s)R*(s)D(z):數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)。數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)。G(s):保持器與被控對象的傳遞函數(shù)。保持器與被控對象的傳遞函數(shù)。H(s):反饋通道的傳遞函數(shù)。反饋通道的傳遞函數(shù)。7-7 離散系

56、統(tǒng)的數(shù)字校正離散系統(tǒng)的數(shù)字校正設(shè)設(shè)H(s)=1, G(s)的的z變換為變換為G(z),可求得可求得)()()()(1)()()(zRzCzGzDzGzDz )()()()(11)(zRzEzGzDze )(1)()()(zzGzzD )()()(1)(zzGzzDee 或者,或者,顯然,有顯然,有)(1)(zze 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正問題是:離散系統(tǒng)的數(shù)字校正問題是:1)由性能指標(biāo)要求確定)由性能指標(biāo)要求確定 (z)或者或者 e(z);2)由)由 (z)或者或者 e(z)確定確定D(z),并加以實(shí)現(xiàn)。并加以實(shí)現(xiàn)。7-7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正離散系統(tǒng)的數(shù)字校正二、最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)二、最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)在采

57、樣過程中,通常稱在采樣過程中,通常稱一個(gè)采樣周期為一拍一個(gè)采樣周期為一拍。最少拍系統(tǒng):最少拍系統(tǒng):在典型輸入作用下,能以有限拍結(jié)束響應(yīng)過程,且在在典型輸入作用下,能以有限拍結(jié)束響應(yīng)過程,且在采樣點(diǎn)上穩(wěn)態(tài)誤差為零的離散系統(tǒng)。采樣點(diǎn)上穩(wěn)態(tài)誤差為零的離散系統(tǒng)。常見的典型輸入作用:常見的典型輸入作用:1)單位階躍函數(shù):)單位階躍函數(shù):1111)( 1 zzzt2)單位斜坡函數(shù):)單位斜坡函數(shù):2112)1()1( zTzzTzt3)單位加速度函數(shù):)單位加速度函數(shù):31112322)1()1(21)1(2)1(21 zzzTzzzTt7-7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正離散系統(tǒng)的數(shù)字校正所以,典型輸入可以表示為

58、一般形式:所以,典型輸入可以表示為一般形式:mzzAzR)1()()(1 A(z)為不含為不含(1-z-1)因子的因子的z-1多項(xiàng)式。多項(xiàng)式。誤差信號(hào)誤差信號(hào)e(t)的的z變換為:變換為:meezzAzzRzzE)1()()()()()(1 由由z變換的終值定理,離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為變換的終值定理,離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為)()1(lim)(11zEzez 上式表明,使上式表明,使e( ) =0的條件是的條件是 e(z)中包含有中包含有 (1-z-1)m 的的因子因子,即,即)()1()()1(lim111zzzAzemz )()1()(1zFzzme 式中,式中,F(xiàn)(z)為不包含為不包含 (1-z-1) 因子的多項(xiàng)式。因子的多項(xiàng)式。7-7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正離散系統(tǒng)的數(shù)字校正為了使所求為了使所求D(z)的簡單,階數(shù)較低,可取的簡單,階數(shù)較低,可取F(z)=1,即,即mezz)1()(1 又又)(1)(zze 即即 (z)的的全部極點(diǎn)都位于全部極點(diǎn)都位于z平面上的原點(diǎn)。平面上的原點(diǎn)。 210)2()()0()()(zTezTeeznTezEnn最少拍系統(tǒng)要求上式自某個(gè)最少拍系統(tǒng)要求上式自某個(gè)k開始,在開始,在n k時(shí)

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