自動控制原理教案08

1、 閩南理工學(xué)院備課筆記 第8次課§ 3.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1穩(wěn)定的概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件如果系統(tǒng)受到有界擾動，不論擾動引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)都能以足夠的準確度恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)稱為大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)；如果系統(tǒng)受到有界擾動，只有當(dāng)擾動引起的初始偏差小于某一范圍時，系統(tǒng)才能在取消擾動后恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，否則就不能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則稱為小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)。 對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，它必然在大范圍內(nèi)和小范圍內(nèi)都能穩(wěn)定，只有非線性系統(tǒng)才可能有小范圍穩(wěn)定而大范圍不穩(wěn)定的情況。 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動d(t)的影響下，

2、其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定。反之，則為不穩(wěn)定。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)自身固有特性，而與輸入信號無關(guān)。 根據(jù)定義輸入d(t)，其輸出為脈沖過渡函數(shù)g(t)。如果當(dāng) t時， g(t)收斂到原來的平衡點，即有那么，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。不失一般性，設(shè)n 階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負實部，或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均位于s左半平面（不包括虛軸）。 根據(jù)穩(wěn)定的充要條件決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須知道系統(tǒng)特征根的全部符號。如果能解出全部根，則立即可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然而對于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，常常希望使用一種直接判斷

3、根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介紹勞斯代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。3.5.2線性系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 首先給出系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：設(shè)線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為式中，a0 >0 , si（i =1,2 , ¼ , n）是系統(tǒng)的n個閉環(huán)極點。根據(jù)代數(shù)方程的基本理論，下列關(guān)系式成立：從上式可以導(dǎo)出，系統(tǒng)特征根都具有負實部的必要條件為： ai aj > 0 ( i, j =1,2, ¼ , n)即閉環(huán)特征方程各項同號且不缺項。 如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因為上式僅是必要條件。下面給現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。 1. 勞斯判

4、據(jù) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：該方程式的全部系數(shù)為正，且由該方程式作出的勞斯表中第一列全部元素都要是正的；勞斯表中第一列元素符號改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位于右半s平面上根的個數(shù)。勞斯表見PPT。表中: (1)最左一列元素按s 的冪次排列，由高到低，只起標識作用，不參與計算。(2)第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。(3)從第三行起各元素,是根據(jù)前二行的元素計算得到。2.勞斯判據(jù)的應(yīng)用(1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性例3-5 設(shè)有下列特征方程D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0試用勞斯判據(jù)判別該特征方程的正實部根的數(shù)目。解：勞斯表（見PPT）第一列元素 符號改變了2

5、次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且s 右半平面有2個根。例3-6 系統(tǒng)的特征方程為 D(s) = s3 - 3s + 2 = 0試用勞斯判據(jù)確定正實數(shù)根的個數(shù)。解：系統(tǒng)的勞斯表為（見PPT）第一種特殊情況：勞斯表中某行的第一列元素為零，而其余各項不為零，或不全為零。對此情況，可作如下處理： 用一個很小的正數(shù) 來代替第一列為零的項，從而使勞斯表繼續(xù)下去。 可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可為任意正數(shù)，再對新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。0+時，b1< 0，勞斯表中第一列元素符號改變了兩次系統(tǒng)有兩個正根，不穩(wěn)定。 （s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程為： D1(s) = D(s)(s + 3 ) =

6、s4 + 3s3 - 3s2 - 7s + 6 = 0例3-7 設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 D(s) = s4 + s3 - 3s2 - s + 2 = 0試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解:該系統(tǒng)的勞斯表如下（見PPT）第二種特殊情況：勞斯表中某行元素全為零。此時，特征方程中存在對原點對稱的根（實根，共軛虛根或共軛復(fù)數(shù)根）。對此情況，可作如下處理： 用全為零上一行的系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程，對輔助方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。 由于勞斯表中第一列元素的符號改變了兩次， 系統(tǒng)有兩個正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。關(guān)于對原點對稱的根，可解輔助方程求出。得 s1=1 和 s2= -1 。 對本例題

7、，可用長除法求出另二個根，分別為 s3=1 和 s4= -2 。(2)分析參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響例3-8 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。 解：系統(tǒng)特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0（勞斯表見PPT）要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第一列元素均大于零。0< K < 6(3)確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性例3-9 檢驗多項式2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0是否有根在s 右半平面，并檢驗有幾個根在垂直線 s = -1的右邊？解：1)（勞斯表見PPT）勞斯表中第一列元素均為正系統(tǒng)在s 右半平面沒有根，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 2) 令 s = s1 - 1 坐標

8、平移，得新特征方程為2 s13 + 4 s12 - s1 - 1 = 0（勞斯表見PPT） 勞斯表中第一列元素不全為正，且第一列元素符號改變了一次，故系統(tǒng)在s1 右半平面有一個根。因此，系統(tǒng)在垂直線 s = -1的右邊有一個根。§ 3.6穩(wěn)態(tài)誤差的定義及一般計算公式3.6.1誤差的基本概念1. 誤差的定義 誤差的定義有兩種： 從系統(tǒng)輸入端定義，它等于系統(tǒng)的輸入信號與主反饋信號之差，即 E(s)=R(s) -B(s) 從系統(tǒng)輸出端定義，它定義為系統(tǒng)輸出量的實際值與希望值之差。（性能指標中經(jīng)常使用） 對于單位反饋系統(tǒng)，兩種定義是一致的。2.兩種定義的關(guān)系 由圖可知，R' (s)表

9、示等效單位反饋系統(tǒng)的輸入信號，也就是輸出的希望值。因而， E' (s)是從輸出端定義的非單位控制系統(tǒng)的誤差。 E(s) = R(s) -B(s) = R(s) -H(s)C(s) 由此可見，從系統(tǒng)輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，可以直接或間接地表示從系統(tǒng)輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差。3.穩(wěn)態(tài)誤差ess定義： 終值定理的條件例3-10 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函為G(s)=1/TS ,試求當(dāng)輸入信號分別為r(t) = t2/2 ，r(t) = 1(t) ， r(t) = t ， r(t) = sint 時，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：(1) 當(dāng) r(t) = t2/2 R(s) =1/s3解法一：解法二：e

10、(t) = T(tT) + T2 e t/T (2)當(dāng) r(t) = 1(t) R(s) =1/s(3)當(dāng) r(t) = t R(s) =1/s2(4)當(dāng)r(t) = sint R(s) = /(s2 + 2) 終值定理的條件不成立！3.6.2 控制系統(tǒng)的類型在一般情況下，系統(tǒng)誤差的拉氏變換為：不失一般性，開環(huán)傳函可寫為：N = 0 稱為 0 型系統(tǒng)；N = 1 稱為型系統(tǒng)；N = 2 稱為型系統(tǒng)。等等3.6.3 給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分析1.階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令 系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù) 0 型系統(tǒng)： Kp = K ess = 1/ (1+ K)型及型以上系統(tǒng)： Kp = ess = 02.單位斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令 靜態(tài)速度誤差系數(shù) 0 型系統(tǒng)： Kv = 0 ess = 型系統(tǒng)： Kv = K ess = 1/ K型及型以上系統(tǒng)： Kv = ess = 03.加速度輸入