《數(shù)字信號處理課件》 第8章 FIR數(shù)字濾波器的設計

1、1第第7章章 FIR 有限長數(shù)字濾波器的設計有限長數(shù)字濾波器的設計2 本章內(nèi)容： 引言 線性相位FIR 數(shù)字濾波器的特點 FIR窗函數(shù)設計方法 FIR濾波器的頻率采樣設計法 重點： 線性相位FIR 數(shù)字濾波器特點 FIR窗函數(shù)設計方法 FIR設計函數(shù)3兩種濾波器比較兩種濾波器比較：一、一、IIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點 1、IIR數(shù)字濾波器的設計依托模擬濾波器的設計，有圖表可 查，方便簡單。 2、 IIR數(shù)字濾波器相位的非線性 H（Z）的頻響： 其中， 是幅度函數(shù)， 是相位函數(shù)。 通常， 與 不是呈線性的，這是IIR 濾波器 （無限長響應濾波器）的一大缺點。因此限制了 它的應用，如圖象

2、處理，數(shù)據(jù)傳輸都要求信道 具有線性相位特性。 3、用全通網(wǎng)絡進行相位校正，可以得線性特性。,e)e(H)Z(H)e(H)(jjeZjj)e (Hj)()(7.1引言引言4二、二、FIR 數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點 1、FIR單位抽樣響應單位抽樣響應h（n）是有限長的，因此）是有限長的，因此FIR 數(shù)字濾波器一定是穩(wěn)定的。數(shù)字濾波器一定是穩(wěn)定的。 2、經(jīng)延時，、經(jīng)延時，h（n）總可變成因果序列，所以）總可變成因果序列，所以FIR 總可以由因果系統(tǒng)實現(xiàn)。即通過移位，總可以總可以由因果系統(tǒng)實現(xiàn)。即通過移位，總可以 實現(xiàn)：實現(xiàn)： 3、h（n）為有限長，可以用）為有限長，可以用FFT實現(xiàn)實現(xiàn)FIR

3、。 4、FIR的系統(tǒng)函數(shù)是的系統(tǒng)函數(shù)是z-1的多項式，故的多項式，故IIR的方法的方法 不適用不適用FIR。 5、FIR的相位特性可以是線性的，因此，它有更廣泛的相位特性可以是線性的，因此，它有更廣泛 的應用，非線性的的應用，非線性的FIR一般不作研究。一般不作研究。nNnnhnh10| )(| )(|00）（時，當nhn5一、線性相位的條件一、線性相位的條件 如果FIR 數(shù)字濾波器的單位抽樣響應h（n）為實數(shù)，而且滿足偶對稱： h（n）=h（N-1-n）， 或滿足奇對稱： h（n）=-h（N-1-n），其對稱中心在 處，則可證明FIR濾波器就具有準確的線性相位。 N又分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，

4、所以有4種線性相位FIR 數(shù)字濾波器。21Nn7-2 線性相位線性相位FIR 數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點61、N為奇數(shù)的偶對稱為奇數(shù)的偶對稱例如 N=11，對稱中心為)n10(h)n(h, 52111nn0123456789107%FIR_test1.mN=11;%對稱中心為n=(N-1)/2+1y=zeros(1,N);x=1,2,-1,3,4,5;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) y(k)=x(k); else y(k)=x(N+1-k); endendstem(y);82、N為偶數(shù)時的偶對稱為偶數(shù)時的偶對稱例如 N=10，對稱中心為)n9(h)n(h, 5

5、 . 42110nn01234567899%FIR_test2.mN=10;%對稱中心為對稱中心為n=(N-1)/2+1y=zeros(1,N);x=1,2,-1,3,4;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) y(k)=x(k); else y(k)=x(N+1-k); endendstem(y);103、N為奇數(shù)時的奇對稱為奇數(shù)時的奇對稱例如，N=11，對稱中心為 )n10(h)n(h, 5nn01234567891011%FIR_test3.mN=11;%對稱中心為對稱中心為n=(N-1)/2+1y=zeros(1,N);x=1,2,-1,3,4,0;n=(N-1)/

6、2+1;for k=1:N if(k=n) y(k)=x(k); else y(k)=-x(N+1-k); endendstem(y);124、N為偶數(shù)時的奇對稱為偶數(shù)時的奇對稱例如，N=10，對稱中心為4.5， )n9(h)n(hn012 345678913%FIR_test4.mN=10;%對稱中心為對稱中心為n=(N-1)/2+1y=zeros(1,N);x=1,2,-1,3,4;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) y(k)=x(k); else y(k)=-x(N+1-k); endendstem(y);14二、線性相位的特點二、線性相位的特點)(jje )(H

7、)e (H 為幅度函數(shù)， ，是一個純實數(shù)， 是相位函數(shù)，下面分為奇對稱奇對稱、偶對稱偶對稱兩種情況討論)(H )e (H)(Hj)()(151、h（n）為偶對稱情況）為偶對稱情況1N0nn1N0nnZ)n1N(hZ)n(h)Z(H)n1N(h)n(h1N0m)m1N(Z)m(h)1,1(mNnnNm1N0mm)1N(Z)m(hZ也就是)Z(HZ)Z(H1)1N(16上式兩邊同時加H（Z），再用2去除得：10) 1(1) 1()(21)()(21)(NnnNnNZZZnhZHZZHZH2ZZ )n(hZ)21Nn()21Nn(1N0n)(21N1710)21()21()21()(2)()(NnN

8、njNnjNjeZjnheeeZHeHj1N0n)21N( j)21Nncos()n(he1N0n)21N( j)n21Ncos()n(he18所以，這時的幅度函數(shù)和相位函數(shù)如下:幅度函數(shù)幅度函數(shù)為相位函數(shù)相位函數(shù)為)n21Ncos()n(h)(H1N0n)21N()(顯然 與 呈正比，是嚴格的嚴格的線性相位線性相位。)(19)21N()1N()(,2) 1N(0)(2)21N()(,202、h（n）為奇對稱的情況）為奇對稱的情況 當h（n）= -h（N-1-n）時，可以通過類似的推導，得到)21(sin)()(102)21(nNnheeHNnjNjj所以，其幅度函數(shù)幅度函數(shù)和相位函數(shù)相位函數(shù)

9、分別為)n21Nsin()n(h)(H1N0n2)21()(N21 可見，其相位特性是線性相位，而且還產(chǎn)生一個900相移，這樣就使得通過濾波器的所有頻率都相移900，因此稱它為正交變換網(wǎng)絡正交變換網(wǎng)絡。（相移900的信號與原信號為正交的）。)23()(,22)(,2)(,0NN)23( N2N)(2022)21()(N221、N為奇數(shù)，h（n）為偶對稱的情況三、幅度函數(shù)的特點三、幅度函數(shù)的特點 呈偶對稱，也對2/ ) 1()21cos()1(21cos()21(cos)21cos()21cos()()(10NnNnNNNnnNnNnhHNn23可表為。因此，項是奇數(shù)，故留下中間一項。由于并等等

10、，共合并為項合項與第合并；把第項項與第相等；可把第項項與第內(nèi)的第因此，)(2/ ) 1(:2/ ) 1(2110)1(HNnNNNnnNnnnNn24nNmmmNhNhnNnhNhHNmNn21)cos()21(2)21()21cos()(2)21()(2/ ) 3(02/ ) 3(0其中，2521, 2 , 1),21(2)()21()0()cos()()(2/ )1(0 NnnNhnaNhannaHNn可見， 對 呈現(xiàn)偶對稱。)(H,2 , 0進一步表為)(H26%FIR_H1.mN=11;%N為奇，為奇，h為偶對稱為偶對稱%對稱中心為對稱中心為n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,

11、N);hx=1,2,-1,3,4,5;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=hx(N+1-k); endendstem(h);a=zeros(1,n);a(1)=h(n);for p=2:n a(p)=2*h(n+1-p)endlen=round(2*pi/0.01);H=zeros(1,len);for w=1:1:len for nk=1:1:n H(w)=H(w)+ a(nk)*cos(nk*2*pi/len*w); endendfigure;plot(H);271234567891011-1012345010020030

12、0400500600700-15-10-50510152025282、N為偶數(shù)，h（n）為偶對稱的情況2N, 2 , 1n),n2N(h2)n(b)21ncos()n(b)(H2/N1n 可見， 對 呈奇對稱。)(H, 0)(H29%FIR_H2.mN=10;%N為偶為偶,%h偶對稱偶對稱%對稱中心為對稱中心為n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N);hx=1,2,-1,3,4;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=hx(N+1-k); endendstem(h);b=zeros(1,N/2);%b(1)=h(n);fo

13、r p=1:N/2 b(p)=2*h(N/2+1-p);endlen=round(2*pi/0.01);H=zeros(1,len);for w=1:1:len for nk=1:1:N/2 H(w)=H(w)+ b(nk)*cos(nk-0.5)*2*pi/len*w); endendfigure;plot(H);3012345678910-1-0.500.511.522.533.540100200300400500600700-20-15-10-505101520313、N為奇數(shù)，h（n）為奇對稱的情況21N, 2 , 1n),n21N(h2)n( c)nsin()n( c)(H2/ )1

14、N(1n 可見， 時， 對 呈奇對稱。2 , 0; 0)(H)(H 2 , 032%FIR_H3.mN=11;%N為奇，為奇，h為奇對稱為奇對稱%對稱中心為對稱中心為n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N);hx=1,2,-1,3,4,5;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=-hx(N+1-k); endendstem(h);c=zeros(1,n);for p=2:n c(p)=2*h(n+1-p)endlen=round(2*pi/0.01);H=zeros(1,len);for w=1:1:len for nk=

15、1:1:n H(w)=H(w)+ . c(nk)*sin(nk*2*pi/len*w); endendfigure;plot(H);331234567891011-4-3-2-10123450100200300400500600700-15-10-5051015344、N為偶數(shù)，h（n）為奇對稱的情況2N, 2 , 1n),n2N(h2)n(d)21nsin()n(d)(H2/N1n 可見， 時， 對呈奇對稱，而對 呈偶對稱。2 , 0; 0)(H)(H 2 , 035%FIR_H4.mN=10;%N為偶，為偶，h奇對稱奇對稱%對稱中心為對稱中心為n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N

16、);hx=1,2,-1,3,4;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=-hx(N+1-k); endendstem(h);d=zeros(1,N/2);for p=1:N/2 d(p)=2*h(N/2+1-p);endlen=round(2*pi/0.01);H=zeros(1,len);for w=1:1:len for nk=1:1:N/2 H(w)=H(w)+ . d(nk)*sin(nk-0.5)*2*pi/len*w); endendfigure;plot(H);3612345678910-4-3-2-10123401

17、00200300400500600700-20246810121437)23(N2/)1(0cos)()(NnnnaH)2/1cos()()(2/1NnnnbH2/)1(1sin)()(NnnncH)2/1sin()()(2/1NnnndH偶對稱序列偶對稱序列奇對稱序列奇對稱序列)1()(nNhnh)21()(N)1()(nNhnh2)21()(N38四、系統(tǒng)函數(shù)四、系統(tǒng)函數(shù)H（z）的零點分布情況）的零點分布情況 1、零點的分布原則)()(1)1(zHzzHN所以，如果 是零點，則 也一定是H（z） 的零點，h（n）為實數(shù)時，H（z）的零點必成共軛對出現(xiàn)，即 也一定是H（z）的零點， 也一定是

18、H（z）的零點。iZz iZz/1*iZz */1iZz 392、零點的位置（1）若 既不在實軸上，也不在單位圓上，則零 點是互為倒數(shù)的兩組共軛對，22/1 , 22/1jZjZiiiZ,41j41Z,41j41Z*ii*iZ/1ZjImZiiZiZ/1ZRe10例如例如40(2)若 不在實軸上，但在單位圓上，共軛對的倒數(shù)就是它們本身，如iZ22j22Z/1 ,22j22Z/122j22Z,22j22Z*ii*ii*iiZ/1Z i*iZ1Z 0141（3）若 在實軸上，不在單位圓上、實數(shù)零點，復共軛就是其本身；只有倒數(shù)。例如，iZiZiZ/1212012Z/1 , 2/1Zii2/1 , 2

19、/1*iiZZ42（4） 既在實軸上也在單位圓上。此時，只有一個零點，且有兩種可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。iZ1Zi1ZiN為偶數(shù)時的偶對稱 為其零點；N為偶數(shù)奇對稱：H（0）=0，有z=1零點；N為奇數(shù)奇對稱：有零點Z=1，和Z= -1。1, 0)(zH, 0)(H)0(H43%FIR_zero1.mN=11;%N為奇，為奇，h為偶對稱為偶對稱%對稱中心為對稱中心為n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N);hx=1,2,-1,3,4,5;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=hx(N+1-k); endends

20、tem(h);figure;zplane(h,1);1234567891011-1012345-2.5-2-1.5-1-0.500.51-1.5-1-0.500.511.510Real PartImaginary Part44%FIR_zero2.mN=10;%N為偶，為偶，h偶對稱偶對稱%對稱中心為對稱中心為n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N);hx=1,2,-1,3,4;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=hx(N+1-k); endendstem(h);figure;zplane(h,1);123456789

21、10-1-0.500.511.522.533.54-2.5-2-1.5-1-0.500.51-1.5-1-0.500.511.59Real PartImaginary Part45%FIR_zero3.mN=11;%N為奇，為奇，h為奇對稱為奇對稱%對稱中心為對稱中心為n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N);hx=1,2,-1,3,4,5;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=-hx(N+1-k); endendstem(h);figure;zplane(h,1);1234567891011-4-3-2-1012345

22、-2.5-2-1.5-1-0.500.51-1.5-1-0.500.511.510Real PartImaginary Part46%FIR_zero4.mN=10;%N為偶，為偶，h奇對稱奇對稱%對稱中心為對稱中心為n=(N-1)/1+1;h=zeros(1,N);hx=1,2,-1,3,4;n=(N-1)/2+1;for k=1:N if(k=n) h(k)=hx(k); else h(k)=-hx(N+1-k); endendstem(h);figure;zplane(h,1);12345678910-4-3-2-101234-2.5-2-1.5-1-0.500.51-1.5-1-0.5

23、00.511.59Real PartImaginary Part47一、設計方法一、設計方法 1、設計思想 先給定理想filter的頻響 ，所要求設計一個FIR的filter的頻響為 ，使 逼近 2、設計過程 設計是在時域進行的，先用傅氏反變換求出理想filter的單位抽樣響應 ，然后加時間窗對 截斷，以求得FIR filter的單位抽樣響應h(n)。)e (Hjd)e (Hj)e (Hj)e (Hjd)n(hd)(nw)n(hd)()()()(21)(nhnwnhdeeHnhdnjjdd7-3 窗函數(shù)設計法窗函數(shù)設計法48例如，低通濾波器)(Hd0cc 是矩形的，則 一定是無限長的且是非因果

24、的。)e (Hjd)n(hd49二、窗函數(shù)對頻響的影響二、窗函數(shù)對頻響的影響 1、理想低通濾波器的單位抽樣響應、理想低通濾波器的單位抽樣響應理想低通filter的頻響 為)(nhd)(jdeH)e (Hjdcccje, 0,10)e (Hjdcc0)(為群延時50因為其相位 ，所以 是偶對稱，其對稱中心為 ，這是因為 時，即 為其最大，故 為其對稱中心。 又是無限長的非因果序列)n(hdcccnjnjnjjjdnnenjdedeeeHFccccc)()sin()(2112121)()()(1) n (hd)(n/)(cdh)(nhd51)n(hd2/ ) 1N(1Nn)n(RNn0.11N矩形

25、窗理想低通濾波器的單位脈沖響應522、加矩形窗、加矩形窗 加窗就是實行乘操作，而矩形窗就是截斷數(shù)據(jù)，這相當于通過窗口 看 ，稱 為窗口函數(shù)。)()(nRnwNR)n(RN)n(hd)(nwR)()()(nwnhnhRd1Nn0),n(hd, 0其他n值 因h（n）是偶對稱的。長度為N，所以其對稱中心應為 ，所以h（n）可寫作2/ ) 1N(h（n）=10 ,)21()21sin(1NnNnNnc, 0n為其他值533、h（n）的頻響）的頻響 h（n）的頻響 可通過傅式變換求得，為了便于與 的頻響 相比較，利用卷積定理)e (Hj)()(nhFeHj)n(hd)e (HjddeWeHeHnwnh

26、nhjRjdjRd)()(21)()()()()(1)對于矩形窗的頻響10)()()(NnnjRRjRenwnwFeW2/sin2Nsinee1e1e)21N(jjNj1N0nnj54)21()(NjReW 其中， 為幅度函數(shù)， 為相位函數(shù)。)2sin(/ )2Nsin()(WR)21()(N（2）對于理想LF的頻響)21N( jdjde )(H)e (H 其中， 為幅度函數(shù)， 為相位函數(shù)。)(Hdc, 1c, 0)21()(N55（3）h（n）的頻響)e (Hjd)(W)(H21ede )(We )(H21Rd)21N( j)(21N( jR)21N( jd其中， 為幅度函數(shù)， 為相位函數(shù)。

27、d)(W)(H21)(HRd)21()(N4、窗函數(shù)頻響產(chǎn)生的影響從幾個特殊頻率點的卷積過程就可看出其影響:56（1） 時，0ccd)(W21d)(W121)0(HRR也就 在 到 全部面積的積分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）歸一化）。)(WR)(dH0cc57)(RWN/2N/20NWR/2)(的主瓣寬度的一半為注意：矩形窗幅度函數(shù)矩形窗幅度函數(shù)58（2） 時， 正好與 的一半相重疊。這時有 。c)(WR)(Hd5 . 0)0(/ )(HHc59(3) 時， 的主瓣全部在的通帶內(nèi)，這時應出現(xiàn)正的肩峰。Nc2)(RW)(dH60（4） 時，主瓣全部在通帶外，時，主瓣全部在通帶外，出

28、現(xiàn)負的肩峰。出現(xiàn)負的肩峰。Nc/2N/2c61（5）當 時，隨 增加， 左邊 旁瓣的起伏部分掃過通帶，卷積 也隨著 的旁瓣在通帶內(nèi)的面積 變化而變化，故 將圍繞著零值而波動。Nc2)(WR)(H )(WR)(H 62(6)當 時， 的右邊旁瓣將進入 的通帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞 值而波動。N2c)(WR)(Hd)(H )0(H100.5)0(H/ )(H c0.0895cN4635、幾點結論、幾點結論（1）加窗后，使頻響產(chǎn)生一過渡帶，其寬度正好等于窗的頻響 的主瓣寬度（2） 在 處出現(xiàn)肩峰，肩峰兩側形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少則取決于旁瓣的多少。)(WRN4

29、 )(H N2c64（3）吉布斯（Gibbs）效應 因為窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)為這是一個很特殊的函數(shù)，分析表明，當改變N時僅能改變 的絕對值的大小，和主瓣的寬度 ，旁瓣的寬度 ，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例，也就是說，不會改變歸一化頻響 的肩峰的相對值。對于矩形窗最大相對肩峰為8.95%，不管N怎樣改變，最大肩峰總是 8.95% ，這種現(xiàn)象稱作吉布斯效應吉布斯效應。)2sin(/ )2Nsin()(WR)(WR)N/4( )N/2( )(H 65三、各種窗函數(shù)三、各種窗函數(shù) 1、基本概念、基本概念（1）窗譜：窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)稱作窗譜。（2）對窗函數(shù)要求 a）希望窗譜主瓣盡量窄，以獲得較

30、陡的過渡帶，這 是因為過渡帶等于主瓣寬度。 b）盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度，這樣可使肩峰 和波紋減少。 2、矩形窗、矩形窗 時域表達式： 頻域表達式（頻譜）： 幅度函數(shù)：)()()(nwnRnwRN)21N( jRjRe )(W)e (W)2sin(/ )2Nsin()(WR663、三角形窗、三角形窗時域表達式：)(nw21Nn0 ,1Nn21Nn21N,1Nn22121210 1 2 3 4 67頻譜：)21N( j2je)2sin()41Nsin(1N2)e (W1N,e)2sin()4Nsin(1N2)21N( j2 第一對零點為 ，即 ，所以主瓣寬度 ，比矩形寬一倍。)e (Wj4

31、NN4N/8684、漢寧窗（升余弦窗）、漢寧窗（升余弦窗）其窗譜可利用如下方法求出，將 變形為又由于 其中又考慮到 ，這里)()12cos(1 21)(nRnNnwN) 1Nn0()(nw)(41)(41)(21)()12()12(nRenRenRnwNnNjNnNjN)21()()()(NjRRjReWnwFeW)2sin(/ )2Nsin()(WR)n(xeF)e(Xnj)( j001N2069所以有)e (Wj)21()21()()12(41)12(41)(21)(NjNjRRReWeNWNWWnwF當 時， ，窗譜分析 可知，它等于三部分之和，旁瓣較大程度地互相抵消，但主瓣加寬一倍，即

32、為1N N1N)N2(W41)N2(W41)(W21)(WRRR)(W N870)(W21R)N2(W41RN4N2N2N4)(W N4N4漢寧窗是 時，特例2)n(R)1Nn(sin)n(N715、漢（海）明窗，又稱作改進升余弦窗、漢（海）明窗，又稱作改進升余弦窗 其窗函數(shù)為仿照漢寧窗的分析方法可以得其頻響的幅度函數(shù)為 其主瓣寬度仍為 ，（旁瓣峰值/主瓣峰值）1%有99.963%的能量集中在主瓣內(nèi)。 海明窗是下一類窗的特例)N2(W)N2(W23. 0)(W54. 0)1N2(W)1N2(W23. 0)(W54. 0RRRRRR)()12cos(46. 054. 0)(nRNnnWN)(W

33、N8)54. 0()()12cos()1 ()(nRNnnwN726、布萊克曼窗，又稱二階余弦窗、布萊克曼窗，又稱二階余弦窗 加上余弦的二次諧波分量，可以進一步抑制旁瓣相應的幅度函數(shù)為 其主瓣寬度為 ，是矩形窗的三倍。)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRNnNnnwN)(W )1N4(W)1N4(W04. 0)1N2(W)1N2(W25. 0)(W42. 0RRRRRN/12737、五種窗函數(shù)的比較（1）時域窗布拉克曼三角矩形海明21N1Nn)n(（2）各個窗的幅度函數(shù)，如圖7-11，注意圖中 是dB表示的。（3）理想LF加窗后的幅度函數(shù)（響應）如 圖7-11

34、所示。74幾種函數(shù)的幅度響應（幾種函數(shù)的幅度響應（ N=51）75四、窗函數(shù)法的設計四、窗函數(shù)法的設計 1、設計步驟（1）給定頻響函數(shù)（2）求出單位抽樣響應（3）根據(jù)過渡帶寬度和阻帶最小衰減，借助窗函數(shù) 基本參數(shù)表（P342表7-3）確定窗的形式及N 的大?。?）最后求 及 2、設計舉例)e (Hjd)e (HF)n(hjd1d)()()(nwnhnhd)e (Hj例：分別利用矩形窗與漢寧窗設計具有線性相位的 FIR 低通濾波器，具體要求：)e (Hjd, 0,ecj其他;rad1, s12c并畫出相應的頻響特性76解：（1）由于 是一理想LF，所以 可以得出 （2）確定N 由于相位函數(shù) ，所

35、以 呈 偶對稱，其對稱中心為 ，因此 )e (Hjd)n(hd)n()n(sin)n(hcccd)()n(hd2/ ) 1N(2512N)12n()12nsin(1)n(hd（3）加矩形窗)()()()()(25nRnhnwnhnhdd24, 2 , 1 , 0n),12n(/ )12nsin( 則有77可以求出h（n）的數(shù)值，注意偶對稱，對稱中心122/ ) 1N(31831. 0)12(14472. 0)14()10(06022. 0)16()8(01482. 0)18()6(03936. 0)20()4(01931. 0)22()2(;01423. 012/12sin)24()0(hhh

36、hhhhhhhhhh26785. 0)13(h)11(h01497. 0)15(h)9(h06104. 0)17(h)7(h02987. 0)19(h) 5(h01457. 0)21(h) 3(h02893. 011/11sin)23(h) 1 (h78)n(hn1224由于h（n）為偶對稱，N=25為奇數(shù)，所以)(H 121n2/ )1n(1n2/ )1N(0n)ncos()n12(h2)12(h)ncos()n21N(h2)21N(h)ncos()n(a79例如 H（0）=0.94789，可以計算 的值， 畫如下圖)(H 80（4）加漢寧窗 由于 可以求出序列的各點值240),242cos

37、(1 21)(nnnw1)12(9330. 0)14()10(75. 0)16()8(5 . 0)18()6(25. 0)20()4(06698. 0)22()2(0)24()0(wwwwwwwwwwwww9829. 0)13()11(85355. 0)15()9(62940. 0)17()7(37059. 0)19()5(1464. 0)21() 3(01903. 0)23() 1 (wwwwwwwwwwww通過 可求出加窗后的h（n）)()()(nwnhnhd8131831. 0)12()12()12(whhd13502. 0)14(h)10(h04516. 0)16(h)8(h00741

38、. 0)18(h)6(h00984. 0)20(h)4(h00116. 0)22(h)2(h0)24(h)0(h26326. 0)13(h)11(h1277. 0)15(h)9(h003841. 0)17(h)7(h01107. 0)19(h)5(h00213. 0)21(h)3(h00049. 0)23(h) 1 (h相應幅度函數(shù)可用下式求得：121n)ncos()n12(h2)12(h)(H82如H（0）=0.98460，圖如下837-4、凱澤（、凱澤（Kaiser）窗及其濾波器設計）窗及其濾波器設計 上述幾種窗函數(shù)：矩形窗、漢寧窗、海明窗等，為了壓制旁瓣，是以加寬主瓣為代價的。而且，每一

39、種窗的主瓣和旁瓣之比是固定不變的，而凱澤窗可以在主瓣寬度與旁瓣衰減之間自由選擇。 一、凱澤窗 凱澤在1966（1974）發(fā)現(xiàn)，利用第一類零階修正（變形）貝賽爾函數(shù)可以構成一種近似最佳的窗函數(shù)。凱澤窗定義為：1、定義84其它, 010 ,)()/ )(1 ()(02/120NnInInW2/ ) 1( N)(0I其中， 為第一類零階修正貝塞爾函數(shù)， ， 是一個可自由選擇的參數(shù)。850可同時調(diào)整主瓣寬度與旁瓣可同時調(diào)整主瓣寬度與旁瓣;越大，越大， 窗越窄。頻譜旁瓣越小，而主瓣窗越窄。頻譜旁瓣越小，而主瓣相應增加；相應增加；相當于矩形窗相當于矩形窗;)(nW通常選擇通常選擇，它們相當于旁瓣與主，它們

40、相當于旁瓣與主瓣幅度為瓣幅度為 3.1%-0.047%；凱澤窗隨凱澤窗隨 變化的曲線如下圖：變化的曲線如下圖：942.特點86.) ! 3()2/() ! 2()2/()2/(1!)2/(1)(26242120 xxxkxxIkk注：第一類零階修正貝塞爾函數(shù)為87由圖可以看出, 為對稱中心，且是偶對稱,2/ ) 1( Nn即即)1()(nNWnWkk1)()()2/ 1()(00IINWnWkk3.凱澤經(jīng)驗公式凱澤經(jīng)驗公式該公式可使該公式可使filter設計人員根據(jù)設計人員根據(jù)filter的設計指標的設計指標,估算出估算出值和值和 N 值。值。且，且，8811sp1)(jeH：通帶截止頻率，由

41、：通帶截止頻率，由 定定;：止帶截止頻率，由：止帶截止頻率，由 定定.)(jeHps過渡帶寬度過渡帶寬度2/ )(psc891285. 2/)8(21, 0 . 05021,)21(07886. 0)21(5842. 050),7 . 8(1102. 0lg20. 4 . 0ANAAAAAAAps90二二.設計舉例設計舉例利用凱澤窗設計一利用凱澤窗設計一FIR低通低通filter，要求，要求6 . 0,4 . 0,001. 0sp2 . 04 . 06 . 0ps解：解：6010lg20lg203A65326. 5)7 . 860(1102. 091,22.3712 . 0285. 2/ )8

42、60(N取取38將將N=38, =5.653代入代入 表達式，得表達式，得)(nWk)()()653. 5() )37(3065. 0()(0000IxIInnInWk92nx)(nWk)()(00IxI)(0 xI0 37 0.0 1.000 0.0204 0.021 36 1.8336 2.030 0.0415 0.042 35 2.5568 3.345 0.0704 0.078 29 4.6548 19.96 0.4082 0.413 34 3.086 5.251 0.1074 0.11 4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.155 32 3.8656 10.11 0.2

43、067 0.216 31 4.1678 13.10 0.2679 0.297 30 4.4286 16.44 0.3362 0.349317 20 5.6350 48.03 0.9822 0.98nx)(nWk)()(00IxI)(0 xI9 28 4.8512 23.83 0.4873 0.4910 27 5.0215 27.73 0.5671 0.5711 26 5.1682 31.72 0.6489 0.6512 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72 13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.8014 23 5.4838 41.93 0.8575 0.86

44、15 22 5.5515 44.67 0.9135 0.9116 21 5.6017 46.74 0.9558 0.9618 19 5.6515 48.90 1.0 1.0094048121618192529333721955 . 02/ )4 . 06 . 0(2/ )(psc)(2sin)()()()(sin)(00nWyyIxInnnhkc)(nWk n012345637363534333231-0.01220.01290.0139-0.01458-0.015590.016940.018480.020.040.010.27-0.000240.0005160.000

45、96-0.0016-0.00230.00350.0049 yy2sin)(nh96 78910111213143029282726252423-0.01965-0.021520.02379-0.02659-0.03013-0.034770.041090.050220.340.410.490.570.650.720.800.86-0.0067-0.00880.0120.015-0.0196-0.0250.03290.043971516171822212019-0.06451-0.090400.15070.45200.910.960.981.00-0.059-0.0870.1480.45)(nh的

46、圖形如下所示的圖形如下所示98997.5 基于基于MATLAB的的FIR設計設計 1.窗函數(shù)BARTLETT, BARTHANNWIN, BLACKMAN, BLACKMANHARRIS, BOHMANWIN, CHEBWIN, GAUSSWIN, HAMMING, HANN, KAISER, NUTTALLWIN, PARZENWIN, RECTWIN, TRIANG, TUKEYWIN.100N = 65;hold on;w1 = rectwin(N);%產(chǎn)生的產(chǎn)生的w1序列長度為序列長度為Nplot(w1,b); w2=TRIANG(N);plot(w2,g); w3=HAMMING(N

47、);plot(w3,r);w4=hann(N);plot(w4,c);w5=blackman(N);plot(w5,m);w6=kaiser(N,50);plot(w6,k);axis(0 N 0 1);legend(rectwin,triang,hamming,hann,blackman,kaiser);101010203040506001rectwintrianghamminghannblackmankaiser1022.Window函數(shù)函數(shù)WINDOW(WNAME,N，opt)bartlett - Bartlett window.ba

48、rthannwin - Modified Bartlett-Hanning window. blackman - Blackman window. blackmanharris - Minimum 4-term Blackman-Harris window. bohmanwin - Bohman window. chebwin - Chebyshev window. flattopwin - Flat Top window. gausswin - Gaussian window. hamming - Hamming window. hann - Hann window. kaiser - Ka

49、iser window. nuttallwin - Nuttall defined minimum 4-term Blackman-Harris window. parzenwin - Parzen (de la Valle-Poussin) window. rectwin - Rectangular window. tukeywin - Tukey window. triang - Triangular window.103N = 65;hold on;w1 =window(rectwin,N); %產(chǎn)生的產(chǎn)生的w1序列長度為序列長度為Nplot(w1,b); w2=WINDOW(trian

50、g,N);plot(w2,g); w3=window(HAMMING,N);plot(w3,r);w4=window(hann,N);plot(w4,c);w5=window(blackman,N);plot(w5,m);w6=window(kaiser,N,50);plot(w6,k);axis(0 N 0 1);legend(rectwin,triang,hamming,hann,blackman,kaiser);104010203040506001rectwintrianghamminghannblackmankaiser1053.F

51、IR濾波器設計函數(shù)濾波器設計函數(shù) B = fir1(N,Wn)designs an Nth order lowpass FIR digital filterand returns the filter coefficients in length N+1 vector B. The cut-off frequency Wn must be between 0 Wn 1.0, with 1.0 corresponding to half thesample rate. The filter B is real and has linear phase.106N = 6;hold on;h=fir

52、1(N,0.3)stem(h);figure;freqz(h,1,512);123456700.050.4107設計的設計的FIR濾波器幅頻特性與相頻特性濾波器幅頻特性與相頻特性01-500-400-300-200-1000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)01-150-100-500Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)10

53、8 B = FIR1(N,Wn,high) designs an Nth order highpass filter. You can also use B = FIR1(N,Wn,low) to design a lowpass filter. If Wn is a two-element vector, Wn = W1 W2, FIR1 returns an order N bandpass filter with passband W1 W W2. You can also specify B = FIR1(N,Wn,bandpass). If Wn = W1 W2, B = FIR1(

54、N,Wn,stop) will design a bandstop filter. 109B = FIR1(N,Wn,WIN)designs an N-th order FIR filter using the N+1 length vector WIN to window the impulse response. If empty or omitted, FIR1 uses a Hamming window of length N+1.110N = 21;hold on;h=fir1(N,0.3, . kaiser(N+1,10);stem(h);figure;freqz(h,1,512)

55、;0510152025-0.0500.00.250.3111設計的設計的FIR濾波器幅頻特性與相頻特性濾波器幅頻特性與相頻特性01-1500-1000-5000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)01-200-150-100-500Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)112N = 22;hold on;h=fir1(N,0.3,high,kais

56、er(N+1,10);stem(h);Figure;Freqz(h,1,512);0510152025-0.3-0.2-0.60.7113設計的高通FIR濾波器幅頻特性與相頻特性01-2000-1500-1000-5000500Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)01-150-100-50050Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)

57、114$7.6 幾種常用的理想濾波器幾種常用的理想濾波器 1、理想低通濾波器 頻率響應： 單位脈沖響應：|, 0| ,)(ccjjdeeHnnnnnhccd,)()sin(.1)(115 2、理想高通濾波器 頻率響應 單位脈沖響應：0|, 0|,)(ccjjHPeeHnnnnnnnhccHP,1,)()(sin)()(sin)(116 3、理想帶通濾波器 頻率響應 單位脈沖響應：|, 0|, 0|,)(2112ccccjjBPeeHnnnnnnnhccccBP,)()(sin)()(sin)(1212117 4、理想帶阻濾波器 頻率響應 單位脈沖響應：1221|, 0|, 0|,)(ccccj

58、jBSeeHnnnnnnnnnhccccBS,1,)()(sin)()(sin)()(sin)(1221118 5、理想線性相位線性差分濾波器 頻率響應 幅度響應 相位響應| ,)(jjdefejeH| ,| )(|jdefeH0,20 ,2)(119 理想線性相位線性差分濾波器的單位脈沖響應：理想線性相位線性差分濾波器的單位脈沖響應： 為奇對稱，且N為奇nnnnhndef, 0,)() 1()(120從而使頻響從而使頻響 近似理想頻響近似理想頻響 一、設計思想一、設計思想窗函數(shù)設計法是從時域出發(fā)，把理想的窗函數(shù)設計法是從時域出發(fā)，把理想的 用一定用一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長的形狀的窗函數(shù)截

59、取成有限長的 ，以，以 來近似來近似 )(nhd)(nhd)(nh)(nh)(jdeH)(jeH。頻率采樣法是從頻域出發(fā)，對理想的頻響頻率采樣法是從頻域出發(fā)，對理想的頻響 )(jdeH進行等間隔取樣，以有限個頻響采樣去近似理想頻響進行等間隔取樣，以有限個頻響采樣去近似理想頻響)(jdeH，即：，即：，7-7、頻率采樣設計法、頻率采樣設計法121)()(2kHeHdkNjd等間隔取樣等間隔取樣并且并且1,.,1 , 0),()(NkkHkHd二、利用二、利用N個頻域采樣值重構個頻域采樣值重構FIR的系統(tǒng)函數(shù)與頻響的系統(tǒng)函數(shù)與頻響1. 重構重構FIR的的單位抽樣響應的的單位抽樣響應h(n)根據(jù)頻域

60、抽樣理論，由根據(jù)頻域抽樣理論，由N個頻域采樣點個頻域采樣點可以唯一確定可以唯一確定h(n) , 即對即對 H(k)進行進行IDFT1221,.,1 , 0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkj2.重構系統(tǒng)函數(shù)重構系統(tǒng)函數(shù)H(Z)1101/21010/21010/2101011)(111)(1 )(1)(1)()(ZWZkHNZeZkHNZekHNZekHNZnhZHkNNNkNnkjNNknNnNnkjNknNkNnkjNnNnnNjNeW/2123將將 代入代入 表達式可得表達式可得3.FIR的頻響的頻響jeZ )(ZH)()(2/ )/2sin()2/sin()(11)1)(1)