高三第一輪復(fù)習(xí)角的概念及誘導(dǎo)公式

1、高三新數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第18講 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式一【課標(biāo)要求】1任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化；2三角函數(shù)（1）借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；（2）借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（/2, 的正弦、余弦、正切）。二【要點(diǎn)精講】1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線由原來(lái)的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置，就形成角。旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn)。為了區(qū)別起見(jiàn)，我們規(guī)定:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角

2、叫負(fù)角。如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角。2終邊相同的角、區(qū)間角與象限角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限,稱為非象限角。終邊相同的角是指與某個(gè)角具有同終邊的所有角，它們彼此相差2k(kZ)，即|=2k+，kZ，根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。區(qū)間角是介于兩個(gè)角之間的所有角，如|=，。3弧度制長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫(xiě))。角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)

3、也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來(lái)決定。角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，l是圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，是半徑。角度制與弧度制的換算主要抓住?；《扰c角度互換公式：1rad57.30=5718、10.01745（rad）。弧長(zhǎng)公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：。4三角函數(shù)定義在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過(guò)作軸的垂線,垂足為,則線段的長(zhǎng)度為,線段的長(zhǎng)度為.則；。a的終邊P(x,y)Oxy利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:(1)叫做的正弦,記做,即

4、；（2）叫做的余弦,記做,即；（3）叫做的正切,記做,即。Oxya角的終邊PTMA5三角函數(shù)線三角函數(shù)線是通過(guò)有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問(wèn)題時(shí)，十分方便。以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度1為半徑畫(huà)一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：這個(gè)單位長(zhǎng)度不一定就是1厘米或1米）。當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義：；。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎颍矣姓?；?dāng)線段與軸反

5、向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無(wú)論那種情況都有同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)這樣,無(wú)論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖,過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊（或反向延長(zhǎng)線）交于點(diǎn),請(qǐng)根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí),借助有向線段,我們有我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。6同角三角函數(shù)關(guān)系式使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示

6、，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法幾個(gè)常用關(guān)系式：sin+cos，sin-cos，sincos；(三式之間可以互相表示)同理可以由sincos或sincos推出其余兩式。 當(dāng)時(shí)，有。7誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為“縱變橫不變，符號(hào)看象限”。誘導(dǎo)公式一：，其中誘導(dǎo)公式二： ； 誘導(dǎo)公式三： ； 誘導(dǎo)公式四：； 誘導(dǎo)公式五：； sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscossin（1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”；（3）sin(k+)=(1)ksin；cos(k+)=(1)kcos(kZ)；（4）；。三【典例解析】題型1：

7、象限角例1已知角；（1）在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；（2）集合，那么兩集合的關(guān)系是什么？例2若sincos0，則在（ ）A第一、二象限 B第一、三象限C第一、四象限 D第二、四象限例3若A、B是銳角ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P（cosBsinA，sinBcosA）在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限例4已知“是第三象限角，則是第幾象限角?例5已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，求的四個(gè)三角函數(shù)值。例6已知角的終邊上一點(diǎn)，且，求的值。題型3：誘導(dǎo)公式例7（2009遼寧文，8）已知，則（ ） A. B. C. D.例8化簡(jiǎn)：（1）；（2）。例9已知，試確定使等式成立的角的集合。例10（

8、1）證明：；（2）求證：。練習(xí)1.(2009海南寧夏理，5).有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題：xR, += : x、yR, sin(x-y)=sinx-siny: x,=sinx : sinx=cosyx+y=其中假命題的是A， B.， C.， D.，2.（2009遼寧理，8）已知函數(shù)=Acos()的圖象如圖所示，則=（ ）A. B. C.- D. 3.（2009全國(guó)I文，1）的值為A. B. C. D. 4.（2009全國(guó)I文，4）已知tan=4,cot=,則tan(a+)= （ ）A. B. C. D. 5.（2009全國(guó)II文，4） 已知中， 則A. B. C. D. 6.（2009全國(guó)II文

9、，9）若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 7.（2009北京文）“”是“”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件8.（2009北京理）“”是“”的 （ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件9.（2009全國(guó)卷文）已知ABC中，則A. B. C. D. 10.（2009四川卷文）已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是 A. 函數(shù)的最小正周期為2 B. 函數(shù)在區(qū)間0，上是增函數(shù) C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線0對(duì)稱 D. 函數(shù)是奇函數(shù)11.（2009全國(guó)卷理）已知中， 則（ ）

10、A. B. C. D. 12.（2009湖北卷文）“sin=”是“”的 （ ） A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件13.（2009重慶卷文）下列關(guān)系式中正確的是（ ）A B C D二、填空題14.（2009北京文）若，則 .15.(2009湖北卷理)已知函數(shù)則的值為 .16. 函數(shù)，給出下列4個(gè)命題：在區(qū)間上是減函數(shù)； 直線是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸；函數(shù)f（x）的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移而得到；OABCNM若，則f（x）的值域是其中正確命題序號(hào)是 。17. 已知邊長(zhǎng)為4的正三角形的中心為，一個(gè)半徑為8，中心角為的扇形的頂點(diǎn)與重合，當(dāng)扇形繞著逆時(shí)針旋

11、轉(zhuǎn)時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明：與扇形的重疊部分的面積變化特征： 。 18. 銳角中，且，則的最大值為 19. 設(shè)則的值等于_ .20. 在ABC中，BC=1，當(dāng)ABC的面積等于時(shí)，_ .21. 若的三個(gè)內(nèi)角的正弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的余弦值，則的三個(gè)內(nèi)角從大到小依次可以為 （寫(xiě)出滿足題設(shè)的一組解） 22. 在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，給出下列結(jié)論：若ABC，則；若；必存在A、B、C，使成立；若，則ABC必有兩解.其中，真命題的編號(hào)為 .（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）23. 若函數(shù)對(duì)任意的存在常數(shù),使得恒成立,則的最小正值是: 五【思維總結(jié)】1幾種終邊在特殊位置時(shí)對(duì)應(yīng)角的集合為：角的終邊所在位

12、置角的集合X軸正半軸Y軸正半軸X軸負(fù)半軸Y軸負(fù)半軸X軸Y軸坐標(biāo)軸2、2之間的關(guān)系。若終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。若終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限；2終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。若終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限；2終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。若終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。3任意角的概念的意義，任意角的三角函數(shù)的定義，同角間的三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式由于本重點(diǎn)是任意角的三角函數(shù)角的基礎(chǔ)，因而三學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)要注意如下幾點(diǎn)：（1）熟練地掌握常用的方法與技巧，在使用三角代換求解有關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意有關(guān)范圍的限制；（2）要注意差異分析，又要活用公式，要善于瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)進(jìn)行有效的變形，其解題一般思維模式為：發(fā)現(xiàn)差異，尋找聯(lián)系，合理轉(zhuǎn)化只有這樣才能在高考中奪得高分。三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的