新課標(biāo)人教A版數(shù)學(xué)選講4-1幾何證明選講一

1、2012版數(shù)學(xué)一輪精品復(fù)習(xí)學(xué)案：選修系列第三部分 幾何證明選講【高考目標(biāo)導(dǎo)航】一、相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)1考綱點(diǎn)擊（1）了解平行線分線段成比例定理。（2）會證明并應(yīng)用直角三角形射影定理。2熱點(diǎn)提示（1）利用平行線等分線段定理和平行級分線段成比例定理進(jìn)行相關(guān)推理和計(jì)算。（2）相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)，直角三角形的射影定理的應(yīng)用。二、直線與圓的位置關(guān)系1考綱點(diǎn)擊（1）會證明并應(yīng)用圓周定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理。（2）會證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理。2熱點(diǎn)提示（1）應(yīng)用圓心角、圓周角、弦切角定理說明角之間的關(guān)系。（2）應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理

2、。（3）利用圓的切線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理和證明。（4）利用圓中的比例線段進(jìn)行計(jì)算和推理。【考綱知識梳理】一、相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)1平行線等分線段定理及其推論（1）定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。（2）推論：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。2平行線分線段成比例定理及推論（1）定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例。如圖，若，則有：注：把推論中的題設(shè)和結(jié)論交換之后，命題仍然成立。3

3、相似三角形的判定及性質(zhì)（1）相似三角形的定義對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。（2）相似三角形的判定預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。如圖，若EF/BC，則AEFABC。判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。注：根據(jù)判定定理2，對于兩等腰三角形，只需再添加一頂角或底角對應(yīng)相等就可以了。若兩優(yōu)秀干等腰三角形的一底角相等，則另一底角必然相等，由判定定理1即可判定其相似；若頂角對

4、應(yīng)相等，則它們的兩底角也對應(yīng)相等，由判定定理1即可判定；若一等腰三角形的頂角與另一等腰三角形的一底角對應(yīng)相等，它們不一定相似。（3）直角三角形相似的判定：上述所有的任意三角形相似的判定皆適用于直角三角形。定理1：如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似。定理2：如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似。定理3：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。（4）相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)（一）（）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。（）相似三角形周長的比等于相似比。（）相似三

5、角形面積的比等于相似比的平方。相似三角形的性質(zhì)（二）（）相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比。（）相似三角形外接圓的面積比等于相似比的平方。4直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項(xiàng)。如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，則有CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·AB。二、直線與圓的位置關(guān)系1圓周角定理（1）圓周角定理及其推論定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論（）推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也

6、相等。（）推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；900的圓周角所對的弦是直徑。（2）圓心有定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理定理1：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。（2）圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論判定定理：如果一個四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓。推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓。3圓的切線的性質(zhì)及判定定理切線的性質(zhì)定理及推論（1）定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑（2）推論：推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過

7、切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。4弦切角的性質(zhì)弦切角定理：弦切角等于它所平的弧所對的圓周角。5與圓有關(guān)的比例線段圓中的比例線段定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用相交弦定理弦AB、CD相交于圓內(nèi)點(diǎn)P（1）PA·PB=PC·PD（2）ACPBDP（1）在PA、PB、PC、PD四線段中知三求一（2）求弦長及角割線定理PAB、PCD是的割線（1） PA·PB=PC·PD（2）PACPDB（1）求線段PA、PB、PC、PD及AB、CD（2）應(yīng)用相似求AC、B切割線定理PA切于A，PBC是的割線（1）PA2=PB·PC（2）PABPCA（1）已知PA、PB、P

8、C知二可求一（2）求解AB、AC切線長定理PA、PB是的切線（1）PA=PB（2）OPA=OPB（1）證線段相等，已知PA求PB（2）求角【要點(diǎn)名師透析】一、相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)（一）平行線（等）分線段成比例定理的應(yīng)用例如圖，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，連DF交AC于G，延長DF交CB的延長線于E。求證：DG·DE=DF·EG思路解析：由于條件中有平行線，考慮平行線（等）分線段定理及推論，利用相等線段（平行四邊形對邊相等），經(jīng)中間比代換，證明線段成比例，得出等積式。解答：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABDC，AD=BC，ADBC，又ABDC，即DG·DE=DF&

9、#183;EG。（二）相似三角形判定定理的應(yīng)用例如圖，BD、CE是ABC的高，求證：ADEABC。解答：（三）相似三角形性質(zhì)定理的應(yīng)用例ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=12cm，高AD=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上，求這個正方形的邊長。思路解析：利用相似三角形的性質(zhì)定理找到所求正方形邊長與已知條件的關(guān)系即可解得。解答：設(shè)正方形PQMN為加工成的正方形零件，邊QM在BC上，頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上，ABC的高AD與邊PN相交于點(diǎn)E，設(shè)正方形的邊長為xcm，PNBC，APNABC。解得x=4.8(cm).答：加工成的正方形零件的邊長

10、為4.8cm。（四）直角三角形射影定理的應(yīng)用例如圖，在RtABC中，BAC=900，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，求證：AD3=BC·BE·CF。思路解析：題目中有直角三角形和斜邊上的高符合直角三角形射影定理的兩個條件，選擇合適的直角三角形是解決問題的關(guān)鍵。解答：ADBC，ADB=ADC=900，在RtADB中，DEAB，由射影定理得BD2=BE·AB，同理CD2=CF·AC，BD2·CD2= BE·AB·CF·AC 又在RtABC中，ADBC，AD2=BD·DC 由得AD4= BD2

11、3;CD2 =BE·AB·CF·AC= BE·AB·AD·BCAD3=BC·BE·CF二、直線與圓的位置關(guān)系（一）圓周角定理的應(yīng)用例如圖，已知是ABC的外接圓，CD是AB邊上的高，AE是的直徑。求證：AC·BC=AE·CD。解答：連接EC，B=E。AE是的直徑，ACE=900。CD是AB邊上的高，CDB=900。在AEC與CBD中，E=B，ACE=CDB，AECCBD。，即AC·BC=AE·CD。（二）圓內(nèi)接四邊形及判定定理的應(yīng)用例如圖，已知AP是的切線，P為切點(diǎn)，AC是的割

12、線，與交于B，C兩點(diǎn)，圓心在PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)。（1）證明：A，P，M四點(diǎn)共圓；（2）求OAM+APM的大小。思路解析：要證A、P、M四點(diǎn)共圓，可考慮四邊形APOM的對角互補(bǔ)；根據(jù)四點(diǎn)共圓，同弧所對的圓周角相等，進(jìn)行等量代換，進(jìn)而求出OAM+APM的大小。解答：（1）連接OP，OM，因?yàn)锳P與相切于點(diǎn)P，所以O(shè)PAP，因?yàn)镸是的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)MBC，于是OPA+OMA=1800。由圓心在PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補(bǔ)，所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓。（2）由（1）得A，P，M四點(diǎn)共圓，所以O(shè)AM=OPM，由（1）得OPAP，由圓心在PAC的內(nèi)部，可知OPM+APM=9

13、00，所以O(shè)PM+APM=900。（三）圓的切線的性質(zhì)及判定的應(yīng)用例已知AB是的直徑，BC是的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD（如圖）。求證：DC是的切線。解答：連接OD。OA=OD，1=2，ADOC，1=3，2=4，3=4。又OB=OD，OC=OC，OBCODC，OBC=ODC。BC是的切線，OBC=900，ODC=900，DC是的切線。（四）與圓有關(guān)的比例線段例如圖所示，已知與相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作的切線交于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交、于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P。（1）求證：ADEC；（2）若AD是的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長。解答：（1）連接AB，A

14、C是的切線，BAC=D。又BAC=E，D=E，ADEC。（2）設(shè)BP=x,PE=y.PA=6，PC=2，由相交弦定理得PA·PC=BP·PE，xy=12 ADEC, 由可得，DE=9+x+y=16.AD是的切線，DE是的割線，AD2=DB·DE=9×16，AD=12?！靖形蚋呖颊骖}】1（2010上海文數(shù)）（幾何證明選做題）如圖，已知RtABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BDcm.解析：,由直角三角形射影定理可得2（2010天津理數(shù)）（14）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點(diǎn)

15、P，若,則的值為 【答案】【解析】本題主要考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)，屬于中等題。因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共圓，所以,因?yàn)闉楣步?，所以PBCPAB,所以.設(shè)OB=x，PC=y，則有，所以【溫馨提示】四點(diǎn)共圓時四邊形對角互補(bǔ)，圓與三角形綜合問題是高考中平面幾何選講的重要內(nèi)容，也是考查的熱點(diǎn)。3（2010天津理數(shù)）（13）已知圓C的圓心是直線與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x+y+3=0相切，則圓C的方程為 【答案】本題主要考查直線的參數(shù)方程，圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，屬于容易題。令y=0得t=-1，所以直線與x軸的交點(diǎn)為（-1.0）因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑

16、，即，所以圓C的方程為4（2010遼寧理數(shù)）（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E（I）證明：（II）若的面積，求的大小。證明：（）由已知條件，可得因?yàn)槭峭∩系膱A周角，所以故ABEADC. 5分（）因?yàn)锳BEADC，所以，即AB·AC=AD·AE.又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.則sin=1，又為三角形內(nèi)角，所以=90°. 10分A 5（2010江蘇卷）選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）AB是圓O的直徑，D為圓

17、O上一點(diǎn)，過D作圓O的切線交AB延長線于點(diǎn)C，若DA=DC，求證：AB=2BC。解析 本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識，考查推理論證能力。（方法一）證明：連結(jié)OD，則：ODDC， 又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO， DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=300，DOC=600，所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）證明：連結(jié)OD、BD。因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以ADB=900，AB=2 OB。因?yàn)镈C 是圓O的切線，所以CDO=900。又因?yàn)镈A=DC，所以DAC=DCA，于是ADBCDO，從而AB=CO。即2OB=OB+BC，得O

18、B=BC。故AB=2BC?！究键c(diǎn)模擬演練】一、填空題1如圖所示，已知在ABC中，C90°，正方形DEFC內(nèi)接于ABC，DEAC，EFBC，AC1，BC2，則AFFC等于_答案：解析：設(shè)正方形邊長為x，則由AFEACB，可得，即，所以x，于是.2在RtABC中，CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，設(shè)該圖中共有x個三角形與ABC相似，則x_.答案：2解析：2個，ACD和CBD.3在ABC中，D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DEBC，ADE的面積是2 cm2，梯形DBCE的面積為6 cm2，則DEBC的值為_答案：12解析：ADEABC，利用面積比等于相似比的平方可得答案4、（惠州201

19、1高三第三次調(diào)研考試文）如圖，已知O的割線PAB交O于A，B兩點(diǎn)，割線PCD經(jīng)過圓心，若PA=3，AB=4，PO=5，則O的半徑為_.答案：設(shè)圓的半徑為R,由得解得R=2。5、（江門2011高三上期末調(diào)研測試?yán)恚﹫D4如圖4，點(diǎn)、是圓上的點(diǎn)，且，則對應(yīng)的劣弧長為 答案：6如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上，CDAB，垂足為D，且AD5DB，設(shè)COD，則tan的值為_答案：解析：設(shè)BDk(k>0)，因?yàn)锳D5DB，所以AD5k，AOOB3k，所以O(shè)COB3k，OD2k.由勾股定理得，CDk，所以tan.7如圖，PC切O于點(diǎn)C，割線PAB經(jīng)過圓心O，弦CDAB于點(diǎn)E.已知O的半徑為3，PA

20、2，則PC_，OE_.答案：4解析：由切割線定理得：PC2PA×PB2×(62)16，所以PC4，連接OC，由題意可知，OCPC，又OP5，故在RtPCO中，cosCPO，在RtPCE中，cosCPO，故EP，OEOPEP.8如圖所示，已知圓O的直徑AB，C為圓O上一點(diǎn)，且BC，過點(diǎn)B的圓O的切線交AC的延長線于點(diǎn)D，則DA_.答案：3解析：由題意知三角形ABC為直角三角形，由勾股定理，得AC2，又在直角三角形ABD中，ABD為直角，BC為斜邊AD上的高，所以BC2AC·CD，CD1，DAACCD3，故填3.9、（2011豐臺二模理10）如圖所示，DB，DC是O的

21、兩條切線，A是圓上一點(diǎn)，已知D=46°，則A= 答案：67°ABCDO10、（2011海淀二模理12）如圖，已知的弦交半徑于點(diǎn)，若，且為的中點(diǎn)，則的長為 .答案：11兩個相似三角形的面積分別為9 cm2和25 cm2，它們的周長相差6 cm，則較大的三角形的周長為_cm.解析：因?yàn)閮蓚€相似三角形面積分別為9 cm2和25 cm2，所以面積之比為925，相似比為35，則周長比為35，設(shè)小三角形周長為x cm，則大三角形周長為(x6)cm，所以x(x6)35，x9(cm)，x615(cm)答案：1512如圖，在ABCD中，E是DC邊的中點(diǎn)，AE交BD于O，SDOE9 cm2，S

22、AOB_.答案：36 cm2解析：在ABCD中，ABDE，AOBEOD，()2，E是CD中點(diǎn)，DECDAB，2，224，SAOB4SDOE，而SDOE9 cm2，SAOB4×936(cm2)13如圖，D、E兩點(diǎn)分別在AC、AB上，且DE與BC不平行，請?zhí)钌弦粋€你認(rèn)為適合的條件：_，使得ADEABC.答案：1B或(2C或)解析：AA，由兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似，可添加1B或2C，由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似，可添加.14如右圖，AB為O的直徑，弦AC4 cm，BC3 cm，CDAB于D，則CD的長為_cm.答案：解析：由AB為O的直徑，可知ACB90°，由勾股定

23、理可得AB5，因SACBAC·BCAB·CD，故3×45·CD，所以CD cm.15如圖所示，圓O的直徑AB6，C為圓周上一點(diǎn)，BC3，過C作圓的切線l，則點(diǎn)A到直線l的距離AD為_答案：解析：連結(jié)CO，AB為直徑，ACB90°.即ABC為直角三角形，又AB6，BC3，sinCAB.CAB30°，AC3，AOOC.AOC為等腰三角形ACO30°.又l為O的切線，OCl，即DCO90°.DCA60°.ADAC·sin60°.16.如圖，O的割線PBA過圓心O，弦CD交PA于點(diǎn)F，且COFPDF，若PBOA2，則PF_.答案：3解析：如圖，因?yàn)镃OFPDF，所以，即DF&#