計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識(shí)

1、第八講第八講 曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識(shí)曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識(shí)1 1 顯式、隱式和參數(shù)表示顯式、隱式和參數(shù)表示 在工程上，曲線曲面的應(yīng)用十分廣泛。如根據(jù)實(shí)驗(yàn)、在工程上，曲線曲面的應(yīng)用十分廣泛。如根據(jù)實(shí)驗(yàn)、觀測(cè)或數(shù)值計(jì)算獲得的數(shù)據(jù)來(lái)繪制出一條光滑的曲線，以觀測(cè)或數(shù)值計(jì)算獲得的數(shù)據(jù)來(lái)繪制出一條光滑的曲線，以描述事物的各種規(guī)律。在汽車(chē)、飛機(jī)、船舶的等產(chǎn)品的外描述事物的各種規(guī)律。在汽車(chē)、飛機(jī)、船舶的等產(chǎn)品的外形設(shè)計(jì)中，要用到大量的曲線和曲面來(lái)描述其幾何形狀。形設(shè)計(jì)中，要用到大量的曲線和曲面來(lái)描述其幾何形狀。 表示曲線和曲面的基本方法有兩種：參數(shù)法和非參數(shù)表示曲線和曲面的基本方法有兩種：參數(shù)法和非參

2、數(shù)法。法。 （1）非參數(shù)法）非參數(shù)法 y=f(x) 顯函數(shù)顯函數(shù)(不能表示封閉或多值的曲線）不能表示封閉或多值的曲線） f(x，y)=0 隱函數(shù)（方程的根很難求）隱函數(shù)（方程的根很難求） （2）參數(shù)法參數(shù)法 x=f(t) y=g(t) 求導(dǎo)很方便，不會(huì)出現(xiàn)計(jì)算上的困難求導(dǎo)很方便，不會(huì)出現(xiàn)計(jì)算上的困難 對(duì)于非參數(shù)表示形式方式（無(wú)論是顯式還是隱式）存對(duì)于非參數(shù)表示形式方式（無(wú)論是顯式還是隱式）存在下述問(wèn)題：在下述問(wèn)題： 與坐標(biāo)軸相關(guān)；與坐標(biāo)軸相關(guān)； 會(huì)出現(xiàn)斜率為無(wú)窮大的情形（如垂線）；會(huì)出現(xiàn)斜率為無(wú)窮大的情形（如垂線）； 對(duì)于非平面曲線、曲面，難以用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表對(duì)于非平面曲線、曲面，難以

3、用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示；示； 不便于計(jì)算機(jī)編程。不便于計(jì)算機(jī)編程。 值得一提的是值得一提的是,隱式方程的優(yōu)點(diǎn)也很明顯隱式方程的優(yōu)點(diǎn)也很明顯.通過(guò)將某一點(diǎn)通過(guò)將某一點(diǎn)的坐標(biāo)代入隱式方程的坐標(biāo)代入隱式方程,計(jì)算其值是否大于、等于、小于零，計(jì)算其值是否大于、等于、小于零，能夠容易判斷出該點(diǎn)是落在隱式方程所表示的曲線（曲面）能夠容易判斷出該點(diǎn)是落在隱式方程所表示的曲線（曲面）上還是某一側(cè)。利用這個(gè)性質(zhì)，在曲線曲面求交時(shí)將會(huì)帶來(lái)上還是某一側(cè)。利用這個(gè)性質(zhì)，在曲線曲面求交時(shí)將會(huì)帶來(lái)莫大的方便。莫大的方便。 在幾何造型系統(tǒng)中，曲線曲面方程通常表示成參在幾何造型系統(tǒng)中，曲線曲面方程通常表示成參數(shù)的形式，即

4、曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均表示成給定數(shù)的形式，即曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。參數(shù)的函數(shù)。 假定用假定用t表示參數(shù)，平面曲線上任一點(diǎn)表示參數(shù)，平面曲線上任一點(diǎn)P可表示為：可表示為： P(t)=x(t), y(t)； 空間曲線上任一三維點(diǎn)空間曲線上任一三維點(diǎn)P可表示為：可表示為： P(t)=x(t), y(t), z(t)； 最簡(jiǎn)單的參數(shù)曲線是直線段，端點(diǎn)為最簡(jiǎn)單的參數(shù)曲線是直線段，端點(diǎn)為P1、P2的的直線段參數(shù)方程可表示為：直線段參數(shù)方程可表示為： P(t)=P1+(P2-P1)t t0, 1; 圓在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，其在第一圓在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，其在第一象限內(nèi)的單位

5、圓弧的非參數(shù)顯式表示為：象限內(nèi)的單位圓弧的非參數(shù)顯式表示為： 其參數(shù)形式可表示為：其參數(shù)形式可表示為： 在曲線、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、在曲線、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、隱式方程有更多的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在：隱式方程有更多的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在： （1）可以滿足幾何不變性的要求。）可以滿足幾何不變性的要求。 （2）有更大的自由度來(lái)控制曲線、曲面的形狀。如一條）有更大的自由度來(lái)控制曲線、曲面的形狀。如一條二維三次曲線的顯式表示為：二維三次曲線的顯式表示為： 只有四個(gè)系數(shù)控制曲線的形狀。而二維三次曲線的參只有四個(gè)系數(shù)控制曲線的形狀。而二維三次曲線的參數(shù)表達(dá)式為：數(shù)表達(dá)式為： 有有8個(gè)系數(shù)可用

6、來(lái)控制此曲線的形狀。個(gè)系數(shù)可用來(lái)控制此曲線的形狀。 （3）對(duì)非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進(jìn)行變換，必須）對(duì)非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進(jìn)行變換，必須對(duì)曲線、曲面上的每個(gè)型值點(diǎn)進(jìn)行幾何變換；而對(duì)參數(shù)表對(duì)曲線、曲面上的每個(gè)型值點(diǎn)進(jìn)行幾何變換；而對(duì)參數(shù)表示的曲線、曲面可對(duì)其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換。示的曲線、曲面可對(duì)其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換。 （4）便于處理斜率為無(wú)窮大的情形，不會(huì)因此而中斷）便于處理斜率為無(wú)窮大的情形，不會(huì)因此而中斷計(jì)算。計(jì)算。 （5）參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無(wú)關(guān)的變量是完）參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無(wú)關(guān)的變量是完全分離的，而且對(duì)變量個(gè)數(shù)不限，從而便于用戶把低維空全分離的，而且

7、對(duì)變量個(gè)數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。這種變量分離的特點(diǎn)間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。這種變量分離的特點(diǎn)使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。 （6）規(guī)格化的參數(shù)變量）規(guī)格化的參數(shù)變量t0, 1，使其相應(yīng)的幾何分量，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。 （7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡(jiǎn)化了計(jì)算。）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡(jiǎn)化了計(jì)算。 有一空間點(diǎn)A，從原點(diǎn)O到A點(diǎn)的連線表示一個(gè)矢量，此矢量稱為位置矢量。 空間一點(diǎn)的位置矢量有三個(gè)坐標(biāo)分量，而空間曲線是空間動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

8、的軌跡，也就是空間矢量端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的矢端曲線，其矢量方程為：)(),(),()(uzuyuxuCC2 2 參數(shù)曲線的定義及其參數(shù)曲線的定義及其 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率 此式也稱為單參數(shù)的矢函數(shù)。它的參數(shù)方程為：)(),()(uzzuyyuxx,0nuuu規(guī)范化區(qū)間若t的區(qū)間：a,b，如果把它轉(zhuǎn)換為0,1，如何做？方法（相似性，比例不變）： t=(t-a)/(b-a) , 則 t 0,1 型值點(diǎn)指通過(guò)測(cè)量或計(jì)算得到的曲線或曲面上少量描述其幾何形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)。 控制點(diǎn)指用來(lái)控制或調(diào)整曲線曲面形狀的特殊點(diǎn)，曲線曲面本身不一定通過(guò)控制點(diǎn)。3 擬合、逼近、

9、插值和光順擬合、逼近、插值和光順 曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點(diǎn)來(lái)指定曲線曲曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點(diǎn)來(lái)指定曲線曲面的形狀時(shí)，形狀完全通過(guò)給定的型值點(diǎn)列。面的形狀時(shí)，形狀完全通過(guò)給定的型值點(diǎn)列。圖8-1 曲線的擬合 曲線曲面的逼近曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點(diǎn)來(lái)指定曲線曲面的形狀時(shí)，求出的形狀不必通過(guò)控制點(diǎn)列圖8-2 曲線的逼近 求給定型值點(diǎn)之間曲線上的點(diǎn)稱為曲線的插值曲線的插值。 將連接有一定次序控制點(diǎn)的直線序列稱為控制多邊形控制多邊形或特征多邊形特征多邊形圖8-2 曲線的逼近4 連續(xù)性條件連續(xù)性條件假定參數(shù)曲線段pi以參數(shù)形式進(jìn)行描述：t ,t t)(i1i0tppii 參數(shù)連續(xù)性參數(shù)

10、連續(xù)性 幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性1.1.參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性0 0階參數(shù)連續(xù)性，記作階參數(shù)連續(xù)性，記作C C0 0連續(xù)性，是指曲線的連續(xù)性，是指曲線的幾何位置連接，即幾何位置連接，即)()(0)1()1(1iiiitptp1階參數(shù)連續(xù)性階參數(shù)連續(xù)性記作記作C1連續(xù)性，指代表兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相連續(xù)性，指代表兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)：交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)：)()()()(0)1()1(10)1()1(1iiiiiiiitptptptp且2階參數(shù)連續(xù)性階參數(shù)連續(xù)性，記作C2連續(xù)性，指兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。 (a)0階連續(xù)性(b)1階連續(xù)性(c)2階