計算機圖形學(xué) 曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識

1、第八講第八講 曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識1 1 顯式、隱式和參數(shù)表示顯式、隱式和參數(shù)表示 在工程上，曲線曲面的應(yīng)用十分廣泛。如根據(jù)實驗、在工程上，曲線曲面的應(yīng)用十分廣泛。如根據(jù)實驗、觀測或數(shù)值計算獲得的數(shù)據(jù)來繪制出一條光滑的曲線，以觀測或數(shù)值計算獲得的數(shù)據(jù)來繪制出一條光滑的曲線，以描述事物的各種規(guī)律。在汽車、飛機、船舶的等產(chǎn)品的外描述事物的各種規(guī)律。在汽車、飛機、船舶的等產(chǎn)品的外形設(shè)計中，要用到大量的曲線和曲面來描述其幾何形狀。形設(shè)計中，要用到大量的曲線和曲面來描述其幾何形狀。 表示曲線和曲面的基本方法有兩種：參數(shù)法和非參數(shù)表示曲線和曲面的基本方法有兩種：參數(shù)法和非參

2、數(shù)法。法。 （1）非參數(shù)法）非參數(shù)法 y=f(x) 顯函數(shù)顯函數(shù)(不能表示封閉或多值的曲線）不能表示封閉或多值的曲線） f(x，y)=0 隱函數(shù)（方程的根很難求）隱函數(shù)（方程的根很難求） （2）參數(shù)法參數(shù)法 x=f(t) y=g(t) 求導(dǎo)很方便，不會出現(xiàn)計算上的困難求導(dǎo)很方便，不會出現(xiàn)計算上的困難 對于非參數(shù)表示形式方式（無論是顯式還是隱式）存對于非參數(shù)表示形式方式（無論是顯式還是隱式）存在下述問題：在下述問題： 與坐標軸相關(guān)；與坐標軸相關(guān)； 會出現(xiàn)斜率為無窮大的情形（如垂線）；會出現(xiàn)斜率為無窮大的情形（如垂線）； 對于非平面曲線、曲面，難以用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表對于非平面曲線、曲面，難以

3、用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示；示； 不便于計算機編程。不便于計算機編程。 值得一提的是值得一提的是,隱式方程的優(yōu)點也很明顯隱式方程的優(yōu)點也很明顯.通過將某一點通過將某一點的坐標代入隱式方程的坐標代入隱式方程,計算其值是否大于、等于、小于零，計算其值是否大于、等于、小于零，能夠容易判斷出該點是落在隱式方程所表示的曲線（曲面）能夠容易判斷出該點是落在隱式方程所表示的曲線（曲面）上還是某一側(cè)。利用這個性質(zhì)，在曲線曲面求交時將會帶來上還是某一側(cè)。利用這個性質(zhì)，在曲線曲面求交時將會帶來莫大的方便。莫大的方便。 在幾何造型系統(tǒng)中，曲線曲面方程通常表示成參在幾何造型系統(tǒng)中，曲線曲面方程通常表示成參數(shù)的形式，即

4、曲線上任一點的坐標均表示成給定數(shù)的形式，即曲線上任一點的坐標均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。參數(shù)的函數(shù)。 假定用假定用t表示參數(shù)，平面曲線上任一點表示參數(shù)，平面曲線上任一點P可表示為：可表示為： P(t)=x(t), y(t)； 空間曲線上任一三維點空間曲線上任一三維點P可表示為：可表示為： P(t)=x(t), y(t), z(t)； 最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點為最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點為P1、P2的的直線段參數(shù)方程可表示為：直線段參數(shù)方程可表示為： P(t)=P1+(P2-P1)t t0, 1; 圓在計算機圖形學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，其在第一圓在計算機圖形學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，其在第一象限內(nèi)的單位

5、圓弧的非參數(shù)顯式表示為：象限內(nèi)的單位圓弧的非參數(shù)顯式表示為： 其參數(shù)形式可表示為：其參數(shù)形式可表示為： 在曲線、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、在曲線、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、隱式方程有更多的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在：隱式方程有更多的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在： （1）可以滿足幾何不變性的要求。）可以滿足幾何不變性的要求。 （2）有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。如一條）有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。如一條二維三次曲線的顯式表示為：二維三次曲線的顯式表示為： 只有四個系數(shù)控制曲線的形狀。而二維三次曲線的參只有四個系數(shù)控制曲線的形狀。而二維三次曲線的參數(shù)表達式為：數(shù)表達式為： 有有8個系數(shù)可用

6、來控制此曲線的形狀。個系數(shù)可用來控制此曲線的形狀。 （3）對非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進行變換，必須）對非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進行變換，必須對曲線、曲面上的每個型值點進行幾何變換；而對參數(shù)表對曲線、曲面上的每個型值點進行幾何變換；而對參數(shù)表示的曲線、曲面可對其參數(shù)方程直接進行幾何變換。示的曲線、曲面可對其參數(shù)方程直接進行幾何變換。 （4）便于處理斜率為無窮大的情形，不會因此而中斷）便于處理斜率為無窮大的情形，不會因此而中斷計算。計算。 （5）參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完）參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個數(shù)不限，從而便于用戶把低維空全分離的，而且

7、對變量個數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間去。這種變量分離的特點間中曲線、曲面擴展到高維空間去。這種變量分離的特點使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。 （6）規(guī)格化的參數(shù)變量）規(guī)格化的參數(shù)變量t0, 1，使其相應(yīng)的幾何分量，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。 （7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算。）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算。 有一空間點A，從原點O到A點的連線表示一個矢量，此矢量稱為位置矢量。 空間一點的位置矢量有三個坐標分量，而空間曲線是空間動點運動

8、的軌跡，也就是空間矢量端點運動形成的矢端曲線，其矢量方程為：)(),(),()(uzuyuxuCC2 2 參數(shù)曲線的定義及其參數(shù)曲線的定義及其 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率 此式也稱為單參數(shù)的矢函數(shù)。它的參數(shù)方程為：)(),()(uzzuyyuxx,0nuuu規(guī)范化區(qū)間若t的區(qū)間：a,b，如果把它轉(zhuǎn)換為0,1，如何做？方法（相似性，比例不變）： t=(t-a)/(b-a) , 則 t 0,1 型值點指通過測量或計算得到的曲線或曲面上少量描述其幾何形狀的數(shù)據(jù)點。 控制點指用來控制或調(diào)整曲線曲面形狀的特殊點，曲線曲面本身不一定通過控制點。3 擬合、逼近、

9、插值和光順擬合、逼近、插值和光順 曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點來指定曲線曲曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點來指定曲線曲面的形狀時，形狀完全通過給定的型值點列。面的形狀時，形狀完全通過給定的型值點列。圖8-1 曲線的擬合 曲線曲面的逼近曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點來指定曲線曲面的形狀時，求出的形狀不必通過控制點列圖8-2 曲線的逼近 求給定型值點之間曲線上的點稱為曲線的插值曲線的插值。 將連接有一定次序控制點的直線序列稱為控制多邊形控制多邊形或特征多邊形特征多邊形圖8-2 曲線的逼近4 連續(xù)性條件連續(xù)性條件假定參數(shù)曲線段pi以參數(shù)形式進行描述：t ,t t)(i1i0tppii 參數(shù)連續(xù)性參數(shù)

10、連續(xù)性 幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性1.1.參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性0 0階參數(shù)連續(xù)性，記作階參數(shù)連續(xù)性，記作C C0 0連續(xù)性，是指曲線的連續(xù)性，是指曲線的幾何位置連接，即幾何位置連接，即)()(0)1()1(1iiiitptp1階參數(shù)連續(xù)性階參數(shù)連續(xù)性記作記作C1連續(xù)性，指代表兩個相鄰曲線段的方程在相連續(xù)性，指代表兩個相鄰曲線段的方程在相交點處有相同的一階導(dǎo)數(shù)：交點處有相同的一階導(dǎo)數(shù)：)()()()(0)1()1(10)1()1(1iiiiiiiitptptptp且2階參數(shù)連續(xù)性階參數(shù)連續(xù)性，記作C2連續(xù)性，指兩個相鄰曲線段的方程在相交點處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。 (a)0階連續(xù)性(b)1階連續(xù)性(c)2階