浙江大學(xué)自動(dòng)控制原理課第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1作者： 浙江大學(xué) 鄒伯敏 教授 2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型的方法描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型的方法狀態(tài)變量描述狀態(tài)變量描述狀態(tài)方程是這種描述的最基本形式狀態(tài)方程是這種描述的最基本形式建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法 實(shí)驗(yàn)法：實(shí)驗(yàn)法：人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄基本輸出響應(yīng)。人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄基本輸出響應(yīng)。 解析法：根據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的基本物理解析法：根據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的基本物理定律，列寫處每一個(gè)元件的輸入定律，列寫處每一個(gè)元件的輸入-輸出關(guān)系式。輸出關(guān)系式。 輸入輸出描述

2、輸入輸出描述 微分方程是這種描述的最基本形式。傳遞函數(shù)、方框圖微分方程是這種描述的最基本形式。傳遞函數(shù)、方框圖等其它模型均由它而導(dǎo)出等其它模型均由它而導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型：是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及于內(nèi)部其它變數(shù)學(xué)模型：是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及于內(nèi)部其它變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟根據(jù)基本的物理定律，列寫出系統(tǒng)中一個(gè)元件的輸入與輸出的微分方程式根據(jù)基本的物理定律，列寫出系統(tǒng)中一個(gè)元件的輸入與輸出的微分方程式確定系統(tǒng)的輸入量與輸出量，消去其余的中間變量，求得系統(tǒng)輸出與

3、輸入的確定系統(tǒng)的輸入量與輸出量，消去其余的中間變量，求得系統(tǒng)輸出與輸入的微分方程式微分方程式圖圖2-1 -L-C電路電路例例2-12-1求求UcUc與與UrUr的微分方程式的微分方程式 解：由基爾霍夫定律得解：由基爾霍夫定律得1,crccdiiRluudtduuidtiCCdt即22cccrd uduLCRCuudtdt消去中間變量消去中間變量 ，則有，則有:i舉例舉例一、電氣網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)一、電氣網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4圖圖2-2 R-C濾波網(wǎng)絡(luò)濾波網(wǎng)絡(luò)例例2-2. 2-2. 試寫出圖試寫出圖2-22-2電路的微分方程電路的微分方程解解 由基爾霍夫定律列出下列方程組由

4、基爾霍夫定律列出下列方程組121112221221221()11()1rciidti RuCi dti RiidtCCi dtuC1i212121122122cccrd uduR R C CRCR CRCuudtdt消去中間變量消去中間變量i1 、 i2 得得或?qū)懽骰驅(qū)懽?211232cccrd uduTTTTTuudtdt2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5圖圖2-3 彈簧彈簧-質(zhì)量質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)阻尼器系統(tǒng)22( )( )( )( )dy td y tF tky tfmdtdt22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF tdtdtdtdyf二、機(jī)械位移系統(tǒng)二、機(jī)

5、械位移系統(tǒng)2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型6例例2-4. 試寫出圖試寫出圖2-4所示直流調(diào)速系統(tǒng)的微分方程式所示直流調(diào)速系統(tǒng)的微分方程式圖圖2-4 G-M 直流調(diào)速系統(tǒng)原理圖直流調(diào)速系統(tǒng)原理圖三、直流調(diào)速系統(tǒng)三、直流調(diào)速系統(tǒng)2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7圖圖2-5 G-M 直流調(diào)速系統(tǒng)的框圖直流調(diào)速系統(tǒng)的框圖列寫元件和系統(tǒng)方程式前列寫元件和系統(tǒng)方程式前, ,首先要明確誰(shuí)是輸入量和輸出量，把與首先要明確誰(shuí)是輸入量和輸出量，把與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程式等號(hào)的左方，與輸入量有，關(guān)系的項(xiàng)寫輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程式等號(hào)的左方，與輸入量有，關(guān)系的項(xiàng)寫在等號(hào)的右方，列寫系統(tǒng)中各元

6、件輸入輸出微分方程式，消去中在等號(hào)的右方，列寫系統(tǒng)中各元件輸入輸出微分方程式，消去中間變量，求得系統(tǒng)的輸出與輸入的微分方程式間變量，求得系統(tǒng)的輸出與輸入的微分方程式寫微分方程式的一般步驟：寫微分方程式的一般步驟：2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8放大器放大器圖圖2-6 直流他勵(lì)發(fā)電機(jī)電路圖直流他勵(lì)發(fā)電機(jī)電路圖11euKu(2-4) 假設(shè)驅(qū)動(dòng)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速假設(shè)驅(qū)動(dòng)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速n n0 0恒定不變，發(fā)恒定不變，發(fā)電電 機(jī)沒(méi)有磁滯回線和剩磁，發(fā)電機(jī)的磁機(jī)沒(méi)有磁滯回線和剩磁，發(fā)電機(jī)的磁化曲線為一直線化曲線為一直線 ，即，即/i/iB B =L =L。直流他勵(lì)發(fā)電機(jī)直流他勵(lì)發(fā)電機(jī)2022-5-

7、30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型9由電機(jī)學(xué)原理得：由電機(jī)學(xué)原理得：圖圖2-7 直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)電路圖直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)電路圖把式（把式（2-6）代入（）代入（2-5），則得），則得（2-5）（2-6）12 ; GC LLKRR21GGGdEEK Udt（2-7）式中式中1112BBGBBdiLi RUdtECC LiC i 2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型102375aaeGeLeuadii RLC nEdtG DdnTTdtTC i2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1122020 (2-8)028 1 3 5 71LmamGLaeeumuaLGedTd ndnRnETdtdtC

8、C CdtGDRCLRnTnEC 電時(shí)間常數(shù)為電動(dòng)機(jī)電時(shí)間常數(shù)。當(dāng)時(shí)電動(dòng)機(jī)空載運(yùn)行穩(wěn)態(tài)時(shí)蛻化為為電為動(dòng)機(jī)載轉(zhuǎn)速電動(dòng)機(jī)式中，的機(jī)；的氣，至，式便 （的空） 2-9 （）eaTi和上式中消去中間變量上式中消去中間變量 后得到后得到輸入量是電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速輸入量是電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速n，輸出量是測(cè)速發(fā)電機(jī)的電壓，輸出量是測(cè)速發(fā)電機(jī)的電壓Ufn ，假設(shè)，假設(shè)測(cè)速發(fā)電機(jī)的磁場(chǎng)恒定不變，則測(cè)速發(fā)電機(jī)的磁場(chǎng)恒定不變，則Ufn與與n成線性關(guān)系即有成線性關(guān)系即有測(cè)速發(fā)電機(jī)測(cè)速發(fā)電機(jī) 2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型12fnegfn (2-10) (2 ua-11n uu -u )系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)輸入引起而的給電壓負(fù)載轉(zhuǎn)

9、矩動(dòng) 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速 為系統(tǒng)的輸出經(jīng)gL量是定u 和T(擾),的n量,消元后得323222 (2 1 )1- 2ma GmaGGmeLLgGaaGLeeud nd ndnKa ndtdtdtCd TdTKRU TT CC Cdtd t mG21RRR ,KKK ,式中2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型13第二節(jié)第二節(jié) 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型線性化的假設(shè)非線性數(shù)學(xué)模型線性化的假設(shè) 變量對(duì)于平衡工作點(diǎn)的偏離較小變量對(duì)于平衡工作點(diǎn)的偏離較小 非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其多階導(dǎo)數(shù)均存在非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其多階導(dǎo)數(shù)均存在微偏法微偏法在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性

10、函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階及二階以在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階及二階以上的各項(xiàng)，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。上的各項(xiàng)，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。設(shè)一非線性元件的輸入為設(shè)一非線性元件的輸入為x、輸出為、輸出為y，它們間的，它們間的 關(guān)系如圖關(guān)系如圖2-9所示，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為所示，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖圖 2-9 非線性特性的線性化非線性特性的線性化y=f(x)（2-13）2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型14在給定工作點(diǎn)A（x0,y0）附近，將上式展開為泰勒級(jí)數(shù) 20220000! 21xxdxfdxxdxdfxfxfyxxx

11、x00000 , , 0 xxxyyydxdfKxfyxKyxxKyyxx，式中 或?qū)憺椋谑堑镁€性化方程其后面的所有的高階項(xiàng)項(xiàng)及）x（x較小，故可略去式中的xx由于增量x2002022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型15上節(jié)在推導(dǎo)直流他勵(lì)發(fā)電動(dòng)機(jī)的微分方程式時(shí)，曾假設(shè)其磁化曲線為上節(jié)在推導(dǎo)直流他勵(lì)發(fā)電動(dòng)機(jī)的微分方程式時(shí)，曾假設(shè)其磁化曲線為直線，實(shí)際上發(fā)電機(jī)的磁化曲線如圖直線，實(shí)際上發(fā)電機(jī)的磁化曲線如圖2-10所示。所示。設(shè)發(fā)電機(jī)原工作于磁化曲線的設(shè)發(fā)電機(jī)原工作于磁化曲線的A點(diǎn)，若發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁電壓增加點(diǎn)，若發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁電壓增加U1，求其增量電動(dòng)勢(shì)求其增量電動(dòng)勢(shì)EG的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。圖

12、圖2-10 發(fā)電機(jī)的磁化曲線發(fā)電機(jī)的磁化曲線16-2 15-2 010100CEuRiGB若勵(lì)磁電壓增量若勵(lì)磁電壓增量 ，則有，則有1u如果發(fā)電機(jī)在小信號(hào)勵(lì)磁電壓的作用下，工作點(diǎn)如果發(fā)電機(jī)在小信號(hào)勵(lì)磁電壓的作用下，工作點(diǎn)A的偏離就較小，這樣的偏離就較小，這樣就可通過(guò)點(diǎn)就可通過(guò)點(diǎn)A作一切線作一切線CD，且以此切線，且以此切線CD近似代替原有的曲線近似代替原有的曲線EAF。在平衡點(diǎn)在平衡點(diǎn)A處，直流電機(jī)的方程為處，直流電機(jī)的方程為）（）（18-2 )( 17-2 )( 0101010CEEuudtdNRiiGGBB2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1611 2 -1 9 2 2 -0BG

13、di RNud tEC （）（）這寫線條直線即電動(dòng)勢(shì)BBdi里需要注意的是，在式（2-19）中之所以不作L，dtd而用N表示，其原因是那一段磁化曲不是一，dtd常量，故用反表示。di2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型17 2000000001-f- (2,- -21)2!BBBBBBBBBBBBBBf if ifiiiiiifiif iiii 線點(diǎn)處開為級(jí)數(shù)項(xiàng)階項(xiàng)則簡(jiǎn)化為寫作B0B02BB0把磁化曲f i在平衡, i展泰勒略去上式中 i -i及其后面所有的高，并令，式（2-21）便或0 2 -22BBdfid i（）2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型18在實(shí)際應(yīng)用中，常把增

14、量符號(hào)在實(shí)際應(yīng)用中，常把增量符號(hào)“”省去，這樣上述兩式顯然和（省去，這樣上述兩式顯然和（2-5）（2-6）完全相同）完全相同小結(jié)小結(jié) 隨著發(fā)電機(jī)平衡工作點(diǎn)的不同，其時(shí)間常數(shù)隨著發(fā)電機(jī)平衡工作點(diǎn)的不同，其時(shí)間常數(shù) 和放和放大大 倍數(shù)倍數(shù) 是不同的。是不同的。0NRBLfiR2CKR 由線性化引起的誤差大小與非線性的程度有關(guān)由線性化引起的誤差大小與非線性的程度有關(guān)1G20210RNRR 2-23 EC 2-24LN CCBBBBBBBBBd id iddiiNiLudtd idtdtififi 化為（），于是式（2-19）和式（2-10）可式中2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型19第三節(jié)

15、第三節(jié) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下，系統(tǒng)（或元件）輸出量的拉在零初始條件下，系統(tǒng)（或元件）輸出量的拉氏變換與其輸入量的拉氏變換之比，即為系統(tǒng)（或元件）的傳遞氏變換與其輸入量的拉氏變換之比，即為系統(tǒng)（或元件）的傳遞函數(shù)。函數(shù)。設(shè)線性定系統(tǒng)的微分方程式為設(shè)線性定系統(tǒng)的微分方程式為 1011011111; nmnnnnmmmmmd c tdc tdc td r taaaa c tbdtdtdtdtdr tdr tbbb c t n mdtdtr tc t，系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸出量式中量2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型20在零初始

16、條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉式變換得在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉式變換得 1101101110111011 G 0 2-3nnmmnnmmmmmmnnnna sa sasaC sb sbsbsbR sC sb sbsbsbsR sa sa sasa（）即 就是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。sG 方框圖表示。它們之間的傳遞關(guān)系用其中，tRLsRtCLsC;2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型21（1） 傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)的微分方程經(jīng)拉氏變換后求得，而拉氏變傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)的微分方程經(jīng)拉氏變換后求得，而拉氏變換是一種線性變換，因而這必然同微分方程一樣能象征系統(tǒng)的固有換是一種線性變換，因而這必然同微分方程一樣能象征

17、系統(tǒng)的固有特性，即成為描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的又一形式的數(shù)學(xué)模型。特性，即成為描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的又一形式的數(shù)學(xué)模型。（2）由于傳遞函數(shù)包含了微分方程式的所有系數(shù)，因而根據(jù)微分）由于傳遞函數(shù)包含了微分方程式的所有系數(shù)，因而根據(jù)微分方程就能直接寫出對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，即把微分算子方程就能直接寫出對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，即把微分算子 用復(fù)變量用復(fù)變量s表示，表示，把把c(t) 和和r(t)換為相應(yīng)的象函數(shù)換為相應(yīng)的象函數(shù)C(s)和和R(s) ，則就把微分方程轉(zhuǎn)換為，則就把微分方程轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的傳遞函數(shù)。反之亦然。相應(yīng)的傳遞函數(shù)。反之亦然。根據(jù)式根據(jù)式(2-30) 111 , 1gC sG s R sr ttR sLttLC s

18、LG sC sG s所以令單位脈沖響應(yīng)及應(yīng)用單位脈沖響應(yīng)及應(yīng)用小結(jié)：小結(jié)：dtd2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型22如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t),則利用卷積積分求解系統(tǒng)在任則利用卷積積分求解系統(tǒng)在任何輸入何輸入r(t)作用下的輸出響應(yīng)作用下的輸出響應(yīng),即即 00 (2-3 )*1ttC tg tr tg trdgr td 下面以一個(gè)下面以一個(gè)R-C電路電路(圖圖2-11)為例為例,說(shuō)明卷積積分的應(yīng)用說(shuō)明卷積積分的應(yīng)用該電路的微分方程為該電路的微分方程為 1 ,TRCccrcrduRCuudtUsG sUsTS t對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為圖圖2-11 R-C電

19、路電路2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型23 111 231tTg tLG seT由式得 tur11、 11001222211 sinsin1 sin()1 1ttttTTrtTutedeeTdTTteTT 由于由于11()001( )()( )1ttTTruc tg tudedeT ttur2、 111c0011u tttttTTTtedee dtTTeTT ttursin3、式中式中Tarctan2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型24傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的性質(zhì) 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號(hào)的大小傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號(hào)的大小

20、和形式無(wú)關(guān)和形式無(wú)關(guān) 傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng) 傳遞函數(shù)為復(fù)變量傳遞函數(shù)為復(fù)變量s的有理分式，它的分母多項(xiàng)式的有理分式，它的分母多項(xiàng)式S的最高階次的最高階次n總是大于或等于其分子多項(xiàng)式總是大于或等于其分子多項(xiàng)式s的最高階次的最高階次m，即，即nm 傳遞函數(shù)不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程傳遞函數(shù)不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程 一個(gè)傳遞函數(shù)是由相應(yīng)的零、極點(diǎn)組成一個(gè)傳遞函數(shù)是由相應(yīng)的零、極點(diǎn)組成 一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入與一個(gè)輸出的關(guān)系，它不能反一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入與一個(gè)輸出的關(guān)系，它不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的特性映系統(tǒng)內(nèi)部的特性對(duì)于多輸入對(duì)于多輸入

21、多輸出的系統(tǒng)，要用傳遞函數(shù)關(guān)系陣去描述它們間的關(guān)系，多輸出的系統(tǒng)，要用傳遞函數(shù)關(guān)系陣去描述它們間的關(guān)系，例如圖例如圖2-12所示的系統(tǒng)所示的系統(tǒng)2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型25圖圖2-12 多輸入多輸出系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng) 由圖由圖2-12得得 11111222211222111121221222 Y sGs UsGs UsYsGs UsGs UsY sGsGsUsYsGsGsUs或 陣就是該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)sG2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型26典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)特點(diǎn)：特點(diǎn)：輸出不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的變化輸出不失真、不延遲、成比例地

22、復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的變化 KGtKrssRsC tC 傳遞函數(shù)方程式比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 環(huán)節(jié)的輸入量環(huán)節(jié)的輸出量tr ,tC 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)特點(diǎn)：特點(diǎn)：輸出量延緩地反映輸入量的變化規(guī)律輸出量延緩地反映輸入量的變化規(guī)律微分方程微分方程 dc tTdtc tKr t2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型27 1G s1 C sR sTs對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：特點(diǎn)：環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量對(duì)時(shí)間的積分成正比，即有環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量對(duì)時(shí)間的積分成正比，即有 G s tcC tKr t dtC sKR sS傳遞函數(shù)圖圖2-13 積分環(huán)節(jié)模擬電路圖積

23、分環(huán)節(jié)模擬電路圖例如圖例如圖2-13所示的積分器，其傳遞函數(shù)為所示的積分器，其傳遞函數(shù)為RcssG1 2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型28微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分成正比，即理想的微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分成正比，即 CtGsdrtKdtCsK sRs傳 遞 函 數(shù)圖2-14 微分環(huán)節(jié)模擬電路圖微分環(huán)節(jié)模擬電路圖1）實(shí)際的微分環(huán)節(jié)，如圖）實(shí)際的微分環(huán)節(jié)，如圖2-14所示，它的所示，它的傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：1crUsT SGsUsT S2）直流測(cè)速發(fā)電機(jī)。如圖）直流測(cè)速發(fā)電機(jī)。如圖2-15所示，所示， KsssUUdtdKKUfnfnfn

24、 , 測(cè)速機(jī)的輸出電壓轉(zhuǎn)角圖圖2-15直流測(cè)速發(fā)電機(jī)直流測(cè)速發(fā)電機(jī)2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型29振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)特點(diǎn)：特點(diǎn)：如輸入為一階躍信號(hào)，則環(huán)節(jié)的輸出卻是周期振蕩形式如輸入為一階躍信號(hào)，則環(huán)節(jié)的輸出卻是周期振蕩形式微分方程微分方程 22222 2 2 2-331d ctdctTTCtK rtdtdtCsKGsRsTsT s傳 遞 函 數(shù)阻尼比放大系數(shù)時(shí)間常數(shù)式中,TT 22121tanarg11sin111, 10,1, 1tTtCssRKtT則則若令具有式（具有式（2-33）形式的傳遞函數(shù)在控制工程中經(jīng)常會(huì)碰到，例如）形式的傳遞函數(shù)在控制工程中經(jīng)常會(huì)碰到，例如2022

25、-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型301）R-L-C電路的傳遞函數(shù)電路的傳遞函數(shù) 21 1crUsUsLC sRC s2）彈簧）彈簧-質(zhì)量質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 211YsFsm sfs3）直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)在變化時(shí)的傳遞函數(shù)）直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)在變化時(shí)的傳遞函數(shù) 211 GmamNsEsss 上述三個(gè)傳遞函數(shù)在化成式（上述三個(gè)傳遞函數(shù)在化成式（2-33）所示的形式時(shí)，雖然它們的阻）所示的形式時(shí)，雖然它們的阻尼比尼比和和1/T所含的具體內(nèi)容各不相同，但只要滿足所含的具體內(nèi)容各不相同，但只要滿足01，則它們，則它們都是振蕩環(huán)節(jié)。都是振蕩環(huán)節(jié)。2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的

26、數(shù)學(xué)模型31純滯后環(huán)節(jié)純滯后環(huán)節(jié)圖圖2-16純滯后純滯后 環(huán)節(jié)模擬電路圖環(huán)節(jié)模擬電路圖 測(cè)量點(diǎn)處溶液的濃度混合點(diǎn)處溶液的濃度式中tCtrvd, C tr t sC sG seR s則則如果如果2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型32第四節(jié)第四節(jié) 系統(tǒng)框圖及其等效變換系統(tǒng)框圖及其等效變換繪制系統(tǒng)方框圖的一般步驟繪制系統(tǒng)方框圖的一般步驟1、 寫出系統(tǒng)中每一個(gè)部件的運(yùn)動(dòng)方程式寫出系統(tǒng)中每一個(gè)部件的運(yùn)動(dòng)方程式2、 根據(jù)部件的運(yùn)動(dòng)方程式寫出相應(yīng)的傳遞函數(shù)，一個(gè)部件用一個(gè)根據(jù)部件的運(yùn)動(dòng)方程式寫出相應(yīng)的傳遞函數(shù)，一個(gè)部件用一個(gè)方框表示在框中填入相應(yīng)的傳遞函數(shù)方框表示在框中填入相應(yīng)的傳遞函數(shù)3、根據(jù)信

27、號(hào)的流向，將各方框單元依次連接起來(lái)，并把系統(tǒng)的輸、根據(jù)信號(hào)的流向，將各方框單元依次連接起來(lái)，并把系統(tǒng)的輸入量置于系統(tǒng)方框圖的最左端，輸出量置于最右端入量置于系統(tǒng)方框圖的最左端，輸出量置于最右端例例2-3 繪制圖繪制圖2-18所示電路的方框圖所示電路的方框圖1）列方程）列方程 sICSsURsUsUsIccr1圖圖2-18 R-C網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型332）畫出上述兩式對(duì)應(yīng)的方框圖）畫出上述兩式對(duì)應(yīng)的方框圖3）將兩方框圖按信號(hào)的流向依次連接，求得）將兩方框圖按信號(hào)的流向依次連接，求得2-19C的系統(tǒng)方框圖的系統(tǒng)方框圖例例2-4 繪制圖繪制圖2-2所示所示R-C網(wǎng)絡(luò)

28、方框圖網(wǎng)絡(luò)方框圖1）列方程）列方程 11212112212, 1 , rcrcccUsUsUsUsIsIsRRIsIsUsUsIsC SC S圖圖2-19 2-18所示電路系統(tǒng)框圖所示電路系統(tǒng)框圖2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型342）畫出上述四式對(duì)應(yīng)的方框圖，如圖）畫出上述四式對(duì)應(yīng)的方框圖，如圖2-20a所示所示3）根據(jù)信號(hào)的流向，將各方框單元依次連接起來(lái)，就得到圖）根據(jù)信號(hào)的流向，將各方框單元依次連接起來(lái)，就得到圖2-20b所所示的方框圖示的方框圖圖圖2-202-202022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型35方框圖的等效變換方框圖的等效變換1、串聯(lián)連接、串聯(lián)連接圖圖2-2

29、3 sGsGsGsGsRsCsRsGsGsGsCsUsGsCsUsGsUsRsGsU3213212312211 i14 G niGs 通式：通式：串聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)串聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)-n 2、并聯(lián)連接、并聯(lián)連接圖圖-2-242022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型36由圖由圖2-24得得 sGsGsGsGsGsG sGsGsG 321321321321sGsRsCsRsRsRsRsCsCsCsC通式：通式： sGsGnii1并聯(lián)環(huán)節(jié)數(shù)并聯(lián)環(huán)節(jié)數(shù)n3、反饋連接、反饋連接圖圖2-252022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型371）負(fù)反饋連接）負(fù)反饋連接 39)-(2 1 sHsGsGsRsC2）正反饋

30、連接）正反饋連接 1 sHsGsGsRsC例如例如4、引出點(diǎn)移動(dòng)、引出點(diǎn)移動(dòng)1）引出點(diǎn)后移）引出點(diǎn)后移圖圖2-262022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型382）引出點(diǎn)前移）引出點(diǎn)前移5、綜合點(diǎn)移動(dòng)、綜合點(diǎn)移動(dòng)1）綜合點(diǎn)后移）綜合點(diǎn)后移2）綜合點(diǎn)前移）綜合點(diǎn)前移2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型39例例2-27，求圖，求圖2-27所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)解解 將圖中引出點(diǎn)將圖中引出點(diǎn)A后移后移,然后從內(nèi)回路到外回路逐步化簡(jiǎn)然后從內(nèi)回路到外回路逐步化簡(jiǎn),其過(guò)程為圖其過(guò)程為圖2-28所示所示圖圖2-272022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型40圖圖

31、2-282022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型41設(shè)系統(tǒng)如圖設(shè)系統(tǒng)如圖2-30所示所示,圖中圖中R(s)參數(shù)輸入?yún)?shù)輸入, D(s)擾動(dòng)擾動(dòng)1、開環(huán)傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)反饋量系統(tǒng)反饋量B(s)與誤差信號(hào)與誤差信號(hào)E(s)的比值稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。即的比值稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。即 12 (2-41)B sG s Gs H sE s圖圖2-302、參改輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)、參改輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令令D(s)=0，則圖，則圖2-30變?yōu)閳D變?yōu)閳D2-31第五節(jié)第五節(jié) 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型42 1212 (2-42)1RGs G

32、sCsRsGs GsHs根據(jù)式（根據(jù)式（2-39）求得）求得圖圖2-31 1212 (2-41)1RCsGs GsRsGs GsHs系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)的輸出為如果如果H(s)=1，則圖，則圖2-31所示的系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為所示的系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 1212Gs (2-43)11 GsRCsGs GsRsGs Gs2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型43 1212 (2-45)1REsGs GsRsGs GsHs 則上式改寫為若令其中,sG,sG21sVsUsGsG Gs (2-44)GsGsRCsUsRsVsUs的 分 子的 分 母的 分 子 42

33、)求得所以由式(2因?yàn)?21sEsGsGsCRR3、擾動(dòng)、擾動(dòng)D(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令令r(t)=0，把圖，把圖2-30改畫為圖改畫為圖2-32，由該圖求得，由該圖求得 1212 (2-47)1DGsGsCsDsGsGsHs 212 (2-46)1DCsGsDsGsGsHs2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型44圖圖2-33 212 (2-48)1DEsGs HsD sGs Gs Hs2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型45當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到R(s)和和 D(s)作用時(shí)，由疊加原理得系統(tǒng)總的輸出為作用時(shí)，由疊加原理得系統(tǒng)總的輸出為 2RD12

34、121E sEsEs 11 G s H sR sD sG s G s H sG s G s H s 122RD1212C sCsCs 11 G s G sG sR sD sG s G s H sG s G s H s系統(tǒng)總的誤差為系統(tǒng)總的誤差為2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型46第五節(jié)第五節(jié) 信號(hào)流圖和梅遜公式的應(yīng)用信號(hào)流圖和梅遜公式的應(yīng)用信號(hào)流圖也是一種圖示法，將它應(yīng)用于線性系統(tǒng)時(shí)必須先將系統(tǒng)的信號(hào)流圖也是一種圖示法，將它應(yīng)用于線性系統(tǒng)時(shí)必須先將系統(tǒng)的微分方程組變成以微分方程組變成以S為變量的代數(shù)方程組，且把每個(gè)方程改寫為下為變量的代數(shù)方程組，且把每個(gè)方程改寫為下列的因果形式列的

35、因果形式 1, j1,2,nnjkkkjXsGs Xs信號(hào)流圖的基本組成單元有兩個(gè)：節(jié)點(diǎn)和支路信號(hào)流圖的基本組成單元有兩個(gè)：節(jié)點(diǎn)和支路節(jié)點(diǎn)在圖中用節(jié)點(diǎn)在圖中用“O”表示，它表示系統(tǒng)中的變量；兩變量間的因果關(guān)系用表示，它表示系統(tǒng)中的變量；兩變量間的因果關(guān)系用一被稱為支路的有向線段來(lái)表示。箭頭表示信號(hào)的傳輸方向，兩變量間一被稱為支路的有向線段來(lái)表示。箭頭表示信號(hào)的傳輸方向，兩變量間的因果關(guān)系叫做增益，標(biāo)明在相應(yīng)的支路旁的因果關(guān)系叫做增益，標(biāo)明在相應(yīng)的支路旁例一個(gè)線性方程為例一個(gè)線性方程為是這兩個(gè)量間的增益輸出量輸入量,式中1221,axx2121 xa x2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模

36、型47舉例說(shuō)明信號(hào)流圖繪制的步驟。設(shè)一系統(tǒng)的線性方程組為舉例說(shuō)明信號(hào)流圖繪制的步驟。設(shè)一系統(tǒng)的線性方程組為212 132342452532324343444535345415 - ,xa xa xa xa xxa xxa xa xxa xa xxx輸入量輸出量式中繪制的步驟如圖繪制的步驟如圖2-35所示。所示。圖圖2-35 方程組的信號(hào)流程方程組的信號(hào)流程2022-5-30第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型48信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ)和性質(zhì)信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ)和性質(zhì)1、術(shù)語(yǔ)、術(shù)語(yǔ)1）節(jié)點(diǎn)）節(jié)點(diǎn)代表系統(tǒng)中的變量代表系統(tǒng)中的變量,并等于所有流入該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之和。并等于所有流入該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之和。2）支路）支路信號(hào)在支路上按箭頭的指向由一個(gè)節(jié)點(diǎn)流向另一個(gè)節(jié)點(diǎn)信號(hào)在支路上按箭頭的指向由一個(gè)節(jié)點(diǎn)流向另一個(gè)節(jié)點(diǎn)3）輸入節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)）輸入節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)相當(dāng)于自變量，它只有輸出支路。相當(dāng)于自變量，它只有輸出支路。4）輸出節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn)）輸出節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn)它是只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于因變量。它是只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于因變量。5）通路）通路沿著支路的箭頭方向穿過(guò)各相連支路的途徑，稱為通路沿著支路的箭頭方向穿過(guò)各相連支路的途徑，稱為通路 開通路開通路通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次 閉通路閉通路通路的終點(diǎn)也是通路的起點(diǎn)，并且與任何其它節(jié)點(diǎn)相交通路的