控制工程導(dǎo)論課后習(xí)題答案

1、第一章 概論 習(xí)題及及解答1-1 試列舉幾個(gè)日常生活中的開(kāi)環(huán)控制和閉環(huán)控制系統(tǒng)實(shí)例，并說(shuō)明它們的工作原理。略1-2. 圖1-17是液面自動(dòng)控制系統(tǒng)的兩種原理示意圖。在運(yùn)行中，希望液面高度維持不變。1試說(shuō)明各系統(tǒng)的工作原理。2畫(huà)出各系統(tǒng)的方框圖，并說(shuō)明被控對(duì)象、給定值、被控量和干擾信號(hào)是什么?工作原理：出水量與進(jìn)水量一致，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，液位高度保持在。當(dāng)出水量大于進(jìn)水量，液位降低，浮子下沉，通過(guò)連桿使閥門(mén)開(kāi)大，使得進(jìn)水量增大，液位逐漸回升；當(dāng)出水量小于進(jìn)水量，液位升高，浮子上升，通過(guò)連桿使閥門(mén)1關(guān)小，液位逐漸降低。其中被控對(duì)象是水槽，給定值是液面高度希望值。被控量是液面實(shí)際高度，干擾量是出水

2、量。工作原理：出水量與進(jìn)水量一致系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，電位器滑動(dòng)頭位于中間位置，液面為給定高度。當(dāng)出水量大于（小于）進(jìn)水量，浮子下沉（上浮）帶動(dòng)電位器滑動(dòng)頭向上（下）移動(dòng)，電位器輸出一正（負(fù)）電壓，使電動(dòng)機(jī)正（反）轉(zhuǎn)，通過(guò)減速器開(kāi)大（關(guān)?。╅y門(mén)，使進(jìn)水量增大（減?。好娓叨壬撸ń档停?，當(dāng)液面高度為時(shí)，電位器滑動(dòng)頭處于中間位置，輸出電壓為零，電動(dòng)機(jī)不轉(zhuǎn)，系統(tǒng)又處于平衡狀態(tài)。其中被控對(duì)象是水槽，給定值為液面高度希望值，被控量是液面實(shí)際高度，干擾量是出水量。，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖題解1-2（a）系統(tǒng)方框圖 題解1-2（b）系統(tǒng)方框圖1-3 什么是負(fù)反饋控制?在圖1-17(b)系統(tǒng)中是怎樣實(shí)現(xiàn)負(fù)反饋控制的

3、?在什么情況下反饋極性會(huì)誤接為正，此時(shí)對(duì)系統(tǒng)工作有何影響?解：負(fù)反饋控制就是將輸出量反饋到輸入端與輸入量進(jìn)行比較產(chǎn)生偏差信號(hào)，利用偏差信號(hào)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)節(jié)，達(dá)到減小或消除偏差的目的。圖1-17系統(tǒng)的輸出量液面實(shí)際高度通過(guò)浮子測(cè)量反饋到輸入端與輸入信號(hào)（給定液面高度）進(jìn)行比較，如果二者不一致就會(huì)在電位器輸出一電壓值偏差信號(hào)，偏差信號(hào)帶動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)減速器使閥門(mén)1開(kāi)大或關(guān)小，從而進(jìn)入量改變，當(dāng)輸出量液面實(shí)際高度與給定高度一致偏差信號(hào)為0，電機(jī)，減速器不動(dòng)，系統(tǒng)又處于平衡狀態(tài)。當(dāng)電位器極性接反（或?qū)㈦姍C(jī)極反接）此時(shí)為正反饋，系統(tǒng)不可能把液面高度維持在給定值。1-4. 若將圖1-17(a)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)改為

4、圖1-18。試說(shuō)明其工作原理。并與圖1-17(a)比較有何不同?對(duì)系統(tǒng)工作有何影響?解：若將1-17系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖改為1-18，系統(tǒng)變成了正反饋，當(dāng)出水量與進(jìn)水量一致，液面高度為給定值。當(dāng)出水量大于進(jìn)水量，液面位降低，浮子下稱，通過(guò)連桿使閥門(mén)1關(guān)小，進(jìn)水量越來(lái)越小，液面高度不能保持給定高度，同樣當(dāng)出水量小于進(jìn)水量，浮子上浮，液位升高，使閥門(mén)1開(kāi)大，進(jìn)水量增大，液位越來(lái)越高，不可能維持在給定高度1-5 某倉(cāng)庫(kù)大門(mén)自動(dòng)控制系統(tǒng)的原理圖如圖1-19所示。試說(shuō)明自動(dòng)控制大門(mén)開(kāi)啟和關(guān)閉的工作原理并畫(huà)出系統(tǒng)方框圖解 當(dāng)合上開(kāi)門(mén)開(kāi)關(guān)時(shí)，電橋會(huì)測(cè)量出開(kāi)門(mén)位置與大門(mén)實(shí)際位置間對(duì)應(yīng)的偏差電壓，偏差電壓經(jīng)放大器放大后，

5、驅(qū)動(dòng)伺服電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)絞盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)，將大門(mén)向上提起。與此同時(shí)，和大門(mén)連在一起的電刷也向上移動(dòng)，直到橋式測(cè)量電路達(dá)到平衡，電動(dòng)機(jī)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，大門(mén)達(dá)到開(kāi)啟位置。反之，當(dāng)合上關(guān)門(mén)開(kāi)關(guān)時(shí)，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)絞盤(pán)使大門(mén)關(guān)閉，從而可以實(shí)現(xiàn)大門(mén)遠(yuǎn)距離開(kāi)閉自動(dòng)控制。系統(tǒng)方框圖如圖解1-2所示。題解1-5圖 第二章 物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型習(xí)題及及解答2-1 試建立圖2-55所示各系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，并說(shuō)明這些動(dòng)態(tài)方程之間有什么特點(diǎn)。圖中電壓和位移為輸入量，電壓和位移為輸出量；、和為彈性系數(shù)；為阻尼器的阻尼系數(shù)。解：題解圖題圖及題解圖題圖及題解圖題圖及題解圖題圖及題解圖題圖及題解圖2-2. 圖2-56所示水箱中，和分別為水箱的進(jìn)水流量和用

6、水流量，被控量為實(shí)際水面高度。試求出該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。假設(shè)水箱橫截面面積為，流阻為。解：系數(shù)，取決于管道流出側(cè)的阻力，消去中間變量，可得假定系統(tǒng)初始處在穩(wěn)定點(diǎn)上，這時(shí)有：，當(dāng)信號(hào)在該點(diǎn)附近小范圍變化時(shí)，可以認(rèn)為輸出與輸入的關(guān)系是線性的，。即_流阻有時(shí)可將符號(hào)去掉，即2-3 求圖2-57信號(hào)的象函數(shù)。解：= = 2-4. 用拉氏變換求解下列微分方程（假設(shè)初始條件為零）1.其中分別為，和。2.3.解：1.2-5. 一齒輪系如圖2-58所示。、和分別為齒輪的齒數(shù)；、和分別表示傳動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；、和為各轉(zhuǎn)軸的角位移；是電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩。試列寫(xiě)折算到電機(jī)軸上的齒輪系的運(yùn)動(dòng)方程。解：2-6 系統(tǒng)的微分方程

7、組如下：其中、均為大于零的常數(shù)。試建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)、及解：求 令消去中間變量，得求 令消去中間變量得求 令消去中間變量得2-7. 簡(jiǎn)化圖2-59所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：2-8. 試用梅遜公式列寫(xiě)圖2-60所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：2-9. 求出圖2-61所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、。解：2-10. 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2-62所示，圖中為擾動(dòng)作用，為輸入。1.求傳遞函數(shù)和。2.若要消除干擾對(duì)輸出的影響（即），問(wèn)？解：2-11. 若某系統(tǒng)在階躍輸入作用時(shí)，系統(tǒng)在零初始條件下的輸出響應(yīng)為試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)。解 單位階躍輸入時(shí)，有，依題意 2-12. 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)且初始條

8、件為，。試求階躍響應(yīng)作用時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。解 系統(tǒng)的微分方程為 （1）考慮初始條件，對(duì)式（1）進(jìn)行拉氏變換，得 （2） 第三章 時(shí)域分析法習(xí)題及解答3-1.假設(shè)溫度計(jì)可用傳遞函數(shù)描述其特性，現(xiàn)在用溫度計(jì)測(cè)量盛在容器內(nèi)的水溫。發(fā)現(xiàn)需要時(shí)間才能指示出實(shí)際水溫的98%的數(shù)值，試問(wèn)該溫度計(jì)指示出實(shí)際水溫從10%變化到90%所需的時(shí)間是多少?解： 3-2.系統(tǒng)在靜止平衡狀態(tài)下，加入輸入信號(hào)，測(cè)得響應(yīng)為試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：3-3. 某慣性環(huán)節(jié)在單位階躍作用下各時(shí)刻的輸出值如下表所示。試求環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。01234567()01.612.973.724.384.815.105.366.00解： 設(shè)3-

9、4.已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-49所示。試分析參數(shù)對(duì)輸出階躍響應(yīng)的影響。解：當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢；時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)速度變快。3-5.設(shè)控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為試在s平面上繪出滿足下列各要求的系統(tǒng)特征方程式根的可能分布的區(qū)域。 1.， 2.， 3.， 題解3-5（1）解：題解3-5（2）題解3-5(3)3-6.已知某前向通路的傳遞函數(shù)(如圖3-50所示)今欲采用負(fù)反饋的辦法將階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間減小為原來(lái)的倍，并保證總放大系數(shù)不變。試選擇和的值。解： 解得：3-7.設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試分別求出當(dāng)和時(shí)系統(tǒng)的阻尼比，無(wú)阻尼自然頻率，單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量及峰值時(shí)間，并討論的大小對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的

10、影響。解： 增大使，但不影響調(diào)節(jié)時(shí)間。3-8.設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-51所示。如果該系統(tǒng)屬于單位反饋控制系統(tǒng)，試確定其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。解： 3-9.設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 試求1；時(shí)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間及峰值時(shí)間。 2；和；時(shí)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間和峰值時(shí)間。 3根據(jù)計(jì)算結(jié)果，討論參數(shù)、對(duì)階躍響應(yīng)的影響。解：1. 2. 3. 改變使閉環(huán)極點(diǎn)位置改變，從而系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能發(fā)生變化。3-10. 已知圖3-52(a)所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線圖3-52(b)，試確定、和的數(shù)值。解: 由系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線有 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 (1) 由 聯(lián)立求解得 由式（1）另外 3-11.

11、 測(cè)得二階系統(tǒng)圖3-53(a)的階躍響應(yīng)曲線如圖3-53(b)所示。試判斷每種情況下系統(tǒng)內(nèi)、外兩個(gè)反饋的極性(其中“0”為開(kāi)路)，并說(shuō)明其理由。 解：(1) 單位階躍響應(yīng)為等幅振蕩，故閉環(huán)極點(diǎn)為純虛根，故內(nèi)回路斷開(kāi)，外回路為負(fù)反饋；(2) 單位階躍響應(yīng)為發(fā)散，內(nèi)回路為正反饋，外回路為負(fù)反饋；(3) 單位階躍響應(yīng)為近似斜坡信號(hào)，故外回路斷開(kāi)，內(nèi)回路為負(fù)反饋；(4) 單位階躍響應(yīng)為加速度信號(hào)，閉環(huán)極點(diǎn)為原點(diǎn)上2個(gè)極點(diǎn)，故內(nèi)回路開(kāi)路，外回路也開(kāi)路。3-12.試用代數(shù)判據(jù)確定具有下列特征方程的系統(tǒng)穩(wěn)定性。 1 2 3 解：Routh表第一列系數(shù)均大于0，故系統(tǒng)穩(wěn)定。Routh表第一列系數(shù)有小于0的，故

12、系統(tǒng)不穩(wěn)定。Routh表第一列系數(shù)有小于0的，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-13.設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為1； 2試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益的范圍(傳遞函數(shù)中的稱為不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)。為根軌跡增益)。解：由Routh表第一列系數(shù)得故當(dāng)時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。不滿足必要條件，系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-14. 試確定圖3-54所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性.解：系統(tǒng)穩(wěn)定。滿足必要條件，故系統(tǒng)穩(wěn)定。3-15. 已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，參數(shù)和的取值關(guān)系。解：由Routh表第一列系數(shù)大于0得，即3-16.設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-55所示，已知系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率。試確定系統(tǒng)作等幅振蕩時(shí)的和值(、均為大于零的常數(shù))。解：

13、解得：3-17.已知單位反饋控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試分別求出當(dāng)輸入信號(hào)為、和時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 1 2 3 解： 1. 經(jīng)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定2. 經(jīng)判斷：系統(tǒng)不穩(wěn)定。3. 經(jīng)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定3-18.設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試求當(dāng)輸入信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解： 滿足必要條件，系統(tǒng)穩(wěn)定。3-19.控制系統(tǒng)的誤差還有一種定義，這就是無(wú)論對(duì)于單位反饋系統(tǒng)還是非單位反饋系統(tǒng)，誤差均定義為系統(tǒng)輸入量與輸出量之差，即現(xiàn)在設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試證：系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下，不存在穩(wěn)態(tài)誤差的條件是和。證明：要使，只有讓，即3-20.具有擾動(dòng)輸入的控制系統(tǒng)如圖3-56所示。試計(jì)算階躍擾動(dòng)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

14、。解：3-21.試求圖3-57所示系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差。解：(a). (b). 3-22. 系統(tǒng)如圖3-58(a)所示，其單位階躍響應(yīng)如圖3-58(b)所示，系統(tǒng)的位置誤差，試確定、與值。解：系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故3-23.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-59所示?，F(xiàn)要求： (1) 擾動(dòng)，穩(wěn)態(tài)誤差為零； (2) 輸入，穩(wěn)態(tài)誤差不大于。 試：各設(shè)計(jì)一個(gè)零極點(diǎn)形式最簡(jiǎn)單的控制器的傳遞函數(shù)，以滿足上述各自的要求。并確定中各參數(shù)可選擇范圍。解：(1). 取，可使，,要使系統(tǒng)穩(wěn)定由勞斯判據(jù)得0k3/5。(2). 取,要使系統(tǒng)穩(wěn)定由勞斯判據(jù)得及，綜合得參數(shù)選擇范圍為及。第四章 根軌跡法習(xí)題及解答4-1、已知開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖4

15、-25所示。試概略繪制相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖。圖解4-1解：根軌跡如圖解4-1所示。圖解4-14-2、 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試作從的閉環(huán)根軌跡，并證明在平面內(nèi)的根軌跡是圓，求出圓的半徑和圓心。解：圖解4-2根軌跡圓心，半徑的圓，如圖解4-2所示。4-3、設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡圖（要求確定分離點(diǎn)坐標(biāo)）。（1）（2）解 系統(tǒng)有三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：, 實(shí)軸上的根軌跡： , 漸近線： 分離點(diǎn)：解之得：，(舍去)。 與虛軸的交點(diǎn)：特征方程為 令 解得與虛軸的交點(diǎn)（0，）。根軌跡如圖解4-3(a)所示。 根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡：, 漸近線： 分離點(diǎn)： 用試探法可得 。根軌

16、跡如圖解4-3(b)所示。4-4、已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出系統(tǒng)的根軌跡圖（要求算出出射角）。（1）（2）解 根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡： 分離點(diǎn)：解之得： 起始角： 由對(duì)稱性得另一起始角為 。根軌跡如圖解4-4(a)所示。 系統(tǒng)有三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。 根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡： 起始角：根軌跡如圖解4-4(b)所示。 4-5、已知系統(tǒng)如圖4-26所示。作根軌跡圖，要求確定根軌跡的出射角和與虛軸的交點(diǎn)。并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值的范圍。解：圖解4-5有3條根軌跡，且3條全趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸上：漸近線：出射角：與虛軸交點(diǎn)：則有解得：使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為4-6、

17、已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫(huà)出概略根軌跡圖。（1）（2）（3）解：（1）圖解4-6(1)解：（1），有2條根軌跡且全趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸上：漸近線：圖解4-6分離點(diǎn)：圖解4-6(2)（2）有2條根軌跡，其中1條趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸上。（3）圖解4-6(3)有2條根軌跡，且1條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸上：分離點(diǎn)：4-7、設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試作出從變化時(shí)的根軌跡。圖解4-7 根軌跡圖解：做等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)實(shí)軸上的根軌跡：分離點(diǎn)：解得：(舍去)，如圖解4-7所示，根軌跡為以開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為圓心，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)到開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的距離為半徑的圓。4-8、設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程（1） 當(dāng)時(shí)，作系統(tǒng)根軌跡，并求出系統(tǒng)

18、階躍響應(yīng)分別為單調(diào)、阻尼振蕩時(shí)（有復(fù)極點(diǎn)）的取值范圍。（2） 若使根軌跡只具有一個(gè)非零分離點(diǎn)，此時(shí)的取值？并做出根軌跡。（3） 當(dāng)時(shí)，是否具有非零分離點(diǎn)，并做出根軌跡。解： 圖解4-8(1)（1）做等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有3條根軌跡，有2條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸上：漸近線：分離點(diǎn)：解得：當(dāng)時(shí)系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)。當(dāng)及時(shí)系統(tǒng)階躍響應(yīng)為阻尼振蕩。（2）圖解4-8(2)分離點(diǎn)：要使系統(tǒng)只有一個(gè)非零分離點(diǎn)，則即，（舍去）（3）作等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 有3條根軌跡其中2條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處圖解4-8(3)實(shí)軸上：漸近線：分離點(diǎn)：無(wú)解，故無(wú)分離點(diǎn)。4-9、試作圖4-27所示系統(tǒng)從時(shí)的系統(tǒng)根軌跡圖，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解

19、根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡： 漸近線： 與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為圖解4-9 根軌跡圖把代入上方程，令解得： ， 根軌跡如圖解4-9所示。由圖解4-9可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為 。4-10、做出圖4-28所示系統(tǒng)的根軌跡，圖中分別為（1）（2） (3)解：（1）有3條根軌跡且全趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸上：起始角：圖解4-10(1)漸近線：與虛軸相交：解得：（2）圖解4-10(2)實(shí)軸上：漸近線：出射角：100=120100-（+120+90）=（2k+1）=70（3）圖解4-10(3)實(shí)軸上：漸近線：出射角：，=120，60-（+120+90）=（2k+1） =304-11、設(shè)控制系統(tǒng)如圖4-

20、29所示，為了使系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)為，試確定增益和速度反饋系數(shù)的數(shù)值，并利用值繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。解：圖解4-11有有2條根軌跡，1條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸上：分離點(diǎn)：4-12、為了使圖4-30所示系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)的希望位置為，在前向通路中串入一個(gè)校正裝置作補(bǔ)償，其傳遞函數(shù)為圖中試確定（1）所需的值。 (2) 所希望的閉環(huán)極點(diǎn)上的值。 (3) 第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的位置。解：解得：4-13、設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為（1）試作系統(tǒng)的根軌跡。（2）求當(dāng)時(shí)，閉環(huán)的一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)值，并求其及另一個(gè)極點(diǎn)。（3）求出滿足(2)條件下的閉環(huán)零、極點(diǎn)分布，并求出其在階躍作用下的性能指標(biāo)。解：圖解4-13（）、有條根軌跡，其中

21、條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸上：漸近線：分離點(diǎn)：試根得：-0.5344設(shè)阻尼線與根軌跡交點(diǎn)為另一實(shí)根為有解得：1.1784-14、圖4-31所示的隨動(dòng)系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為為了改善系統(tǒng)性能，分別采用在原系統(tǒng)中加比例-微分串聯(lián)校正和速度反饋校正兩種不同方案。（1）試分別繪制這三個(gè)系統(tǒng)的根軌跡。（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布，試比較兩種校正對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響。圖解4-14(a)解：（）（）實(shí)軸上：圖解4-14(b)（）圖解4-14(c)（）（）（a）圖解4-14（2）（b）（c）比較：（b）與（a）相比附加了開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，因此影響了系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，改變了階躍響應(yīng)中的模態(tài)，使得超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短。（b

22、）與（c）相比開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)相同，只是前者附加了閉環(huán)零點(diǎn)，不影響極點(diǎn)，不影響單位階躍響應(yīng)中的各模態(tài)，但會(huì)改變各模態(tài)的加權(quán)系數(shù)，從而影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。（b）附加了閉環(huán)零點(diǎn)后，比（c）的峰值時(shí)間提前，超調(diào)量稍有增加。4-15、 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡，并確定系統(tǒng)輸出為等幅振蕩時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：（1）實(shí)軸上：圖解4-15（2）漸近線：（3）分離點(diǎn)：解得：（4）與虛軸交點(diǎn)：令：解得：根軌跡如圖。輸出為等幅振蕩時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)即為根軌跡與虛軸相交處對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。所求閉環(huán)傳遞函數(shù)為第五章 頻率響應(yīng)法習(xí)題及解答5-1 設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為今測(cè)得其頻率響應(yīng)，當(dāng)=1rad/s時(shí)，幅頻，相頻

23、。試問(wèn)放大系數(shù)及時(shí)間常數(shù)各為多少?解：已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)則頻率特性：幅頻特性：相頻特性：當(dāng)時(shí)，則有,。5-2 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)作用有以下輸入信號(hào)時(shí)，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。(1) (2)(3) 解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：（1） 當(dāng)時(shí)，則，則，（2） 當(dāng)時(shí)，則，則，（3） 當(dāng)時(shí)，5-3 若系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為試求系統(tǒng)的頻率特性。解 則 頻率特性為 5-4 試求圖5-50所示網(wǎng)絡(luò)的頻率特性，并畫(huà)出其對(duì)數(shù)頻率特性曲線。（a)依圖： (b)依圖： 5-5 已知某些部件的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-51所示，試寫(xiě)出它們的傳遞函數(shù)，并計(jì)算出各環(huán)節(jié)參數(shù)值。解：.由

24、，則.其中，由，得，. 由，得， ，。5-6 試證明慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線為一個(gè)半圓。證明:慣性環(huán)節(jié)其頻率特性為題解5-6圖 幅相曲線是圓5-7 概略畫(huà)出下列傳遞函數(shù)的幅相頻率特性曲線(1) 題解5-7(1)圖 (2) (3) 解 (1)，取特殊點(diǎn)：時(shí)，時(shí)， 描點(diǎn)畫(huà)圖可得幅頻特性曲線如圖所示. 題解5-7(2)圖 (2) ， 取特殊點(diǎn)：時(shí)，時(shí)，其幅頻特性曲線為: (3) ，題解5-7(3)圖 取特殊點(diǎn)：時(shí)，時(shí)，其幅頻特性曲線為:5-8 畫(huà)出下列傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線(幅頻特性作漸近線)(1) (2) (3)(4)(5)解(1)題解5-8(1)圖 Bode圖 Nyquist圖(2)題解5

25、-8(2)圖(3) 題解5-8(3)圖（4）題解5-8(4)圖題解5-8(5)圖5-9 若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為式中為中除比例、積分兩種環(huán)節(jié)外的部分，試證明為時(shí)的頻率值，如圖5-52所示。證 依題意，G(s)近似對(duì)數(shù)頻率曲線最左端直線(或其延長(zhǎng)線)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為。題意即要證明的對(duì)數(shù)幅頻曲線與0db交點(diǎn)處的頻率值。因此，令，可得 , 故 ，證畢。5-10 負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相頻率特性圖如圖5-53所示。假設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)K=500，在s右半平面內(nèi)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0。試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K值的范解：由奈氏判據(jù)可知，若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定（），由變化時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線不包圍點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。設(shè)時(shí)，由小到大

26、分別為，當(dāng)時(shí)，要使系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線不包圍點(diǎn)，應(yīng)有或且解得：當(dāng)或時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。5-11 圖5-54為三個(gè)最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。(1) 試寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。(2) 概略地畫(huà)出對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線和幅相頻率特性曲線解: (a) 依圖可寫(xiě)出：其中參數(shù)： ，則： 題解5-11(a) Bode圖 Nyquist圖(b) 依圖可寫(xiě)出 題解5-11(b) Bode圖 Nyquist圖(c) 題解5-11(c)Bode圖 Nyquist圖5-12 設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線如圖5-55(1)(10)所示，試用奈氏判據(jù)判別對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。已知對(duì)應(yīng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為(1)(2) (3) (4

27、) (5)(6) (7) (8) (9) (10) 解 題5-12計(jì)算結(jié)果列表題號(hào)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)穩(wěn)定性備注10-12不穩(wěn)定2000穩(wěn)定30-12不穩(wěn)定4000穩(wěn)定50-12不穩(wěn)定6000穩(wěn)定7000穩(wěn)定811/20穩(wěn)定9101不穩(wěn)定101-1/22不穩(wěn)定5-13 設(shè)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為(1) (2) (3) (4) (5) 試用奈氏判據(jù)或?qū)?shù)判據(jù)，判別對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定穩(wěn)定系統(tǒng)的相裕量和幅裕量。解 (1) 畫(huà)Bode圖得：題解5-13(1) Bode圖 Nyquist圖（2）畫(huà)Bode圖判定穩(wěn)定性：Z=P-2N=0-2(-1)=2 系統(tǒng)不穩(wěn)定。由Bode圖得：令： 解得 令：

28、解得 題解5-13(2) Bode圖 Nyquist圖（3）令得令得系統(tǒng)不穩(wěn)定。題解5-13(3) 圖 (4) 畫(huà)Bode圖得： 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。題解5-13(4) Bode圖 Nyquist圖(5) 題解5-13(5) 圖令得為之間，即：幅相曲線與負(fù)實(shí)軸無(wú)交點(diǎn)5-14設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線如圖5-56所示，為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性時(shí)的頻率，在第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率之前的頻率范圍，都有，試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由在原曲線上增補(bǔ)從變化時(shí)對(duì)應(yīng)得相角變化在的范圍內(nèi)故系統(tǒng)不穩(wěn)定在曲線上增補(bǔ)從變化時(shí)對(duì)應(yīng)得相角變化在范圍內(nèi)故系統(tǒng)穩(wěn)定。5-15 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)(1) 試確定使相裕量等于45時(shí)的a值

29、。(2) 試確定使相角裕度等于45時(shí)的值。 解：（1）由： 又 解得：， （2）由：得：5-16已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性(數(shù)據(jù)列表如下)，試畫(huà)出系統(tǒng)閉環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。 0 7 10 15 20 22 30 40 10.5 5.9 0 .5解：根據(jù)表格中的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性數(shù)據(jù)，查Nichols圖線得出比環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性相應(yīng)數(shù)值，然后描圖作出曲線。-7題解5-16圖5-17 一系統(tǒng)，其實(shí)驗(yàn)得到的對(duì)數(shù)頻率特性數(shù)據(jù)如下表，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。0.10.20.412410203034282113552031449397105123145180225285345解：由，2倍頻程，須有一個(gè)積分

30、環(huán)節(jié)，2倍頻程，須有一個(gè)慣性環(huán)節(jié)時(shí)，須有延遲環(huán)節(jié)故， 由，當(dāng)時(shí)，有 時(shí)，因此由時(shí)，得故5-18一單位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)漸近線曲線如圖5-57所示。試 (1) 寫(xiě)出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)；(2) 判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；(3) 確定系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)；(4) 將幅頻特性曲線向右平移10倍頻程，求時(shí)域指標(biāo)和。解：（1）由系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，可設(shè)開(kāi)環(huán)傳函 又 ，則，故（2） 由于 所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 （3） (4 )將幅頻特性曲線右移10倍頻程,不變,增大10倍 因此5-19 已知二個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-58中曲線(1)和(2)所示。試分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和瞬態(tài)性能。 解(1)由系統(tǒng)的對(duì)數(shù)

31、幅頻特性曲線,設(shè)兩系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函分別為，時(shí),則，由解得:解得: 第六章 線性系統(tǒng)頻率法校正習(xí)題及答案6-1 對(duì)圖621所示系統(tǒng)，要求具有相角裕量等于45，幅值裕量等于6dB的性能指標(biāo)，若用串聯(lián)超前校正系統(tǒng)以滿足上述要求，試確定超前校正裝置的傳遞函數(shù)。解：采用超前校正，提供最大超前角 取校正后截止頻率為 校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)解得：6-2 對(duì)習(xí)題61系統(tǒng)，若改用串聯(lián)遲后校正使系統(tǒng)滿足要求，試確定遲后校正參數(shù)，并比較超前和遲后校正的特點(diǎn)。解：由取做弧線得 取過(guò)作垂直于線交于，其鏡像點(diǎn)為，過(guò)作平行于線，取 過(guò)作斜率直線交線于 校正裝置校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 算出：如圖所示題解6-2圖6-3 單位反饋

32、系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試設(shè)計(jì)一個(gè)無(wú)源校正網(wǎng)絡(luò)，使已校正系統(tǒng)的相角裕量不小于45，截止頻率不低于50rad/s，同時(shí)要求保持原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。解：采用串聯(lián)超前校正查表得：在處作水平線交于點(diǎn)取校正后截止頻率為過(guò)點(diǎn)作垂直于線，其鏡像點(diǎn)為，過(guò)作直線交線于點(diǎn)，取，過(guò)作平行于線，即為校正裝置頻率特性校正裝置傳遞函數(shù)為：， 校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 由于開(kāi)環(huán)增益及系統(tǒng)型別沒(méi)改變，故穩(wěn)態(tài)精度校正后沒(méi)改變題解6-3圖6-4 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試設(shè)計(jì)一個(gè)串聯(lián)遲后校正網(wǎng)絡(luò)，使已校正系統(tǒng)的相角裕量為402，幅值裕量不低于10dB，開(kāi)環(huán)增益保持不變，截止頻率不低于1rad/s。解： 求得取校正后截止頻率為過(guò)作垂直于

33、線交于，其鏡像點(diǎn)為，過(guò)B作平行于線于點(diǎn)，取過(guò)作線交線于點(diǎn)。校正裝置傳遞函數(shù)校正后開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 算得：題解6-4圖 6-5 圖622所示為三種串聯(lián)校正網(wǎng)絡(luò)的對(duì)數(shù)幅頻特性，它們均由穩(wěn)定環(huán)節(jié)組成。若有一單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試問(wèn)：（1）這些校正網(wǎng)絡(luò)特性中，哪一種可使已校正系統(tǒng)的穩(wěn)定程度最好？（2）為了將12Hz的正弦噪聲削弱10倍左右，應(yīng)采用哪一種校正網(wǎng)絡(luò)特性？解 （1）（a）采用遲后校正時(shí)，校正裝置的傳遞函數(shù)為 校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 畫(huà)出對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖題解6-5中曲線所示：截止頻率 相角裕度 （系統(tǒng)不穩(wěn)定）(b) 采用超前校正時(shí)，校正裝置的傳遞函數(shù)為 校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 畫(huà)

34、出對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖題解6-5中曲線所示：截止頻率 相角裕度 (c) 采用遲后-超前校正時(shí)，校正裝置的傳遞函數(shù)為 校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 畫(huà)出對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖解5-39中曲線所示：截止頻率 相角裕度 可見(jiàn)，采用遲后校正時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定；采用遲后-超前校正時(shí)穩(wěn)定程度最好，但響應(yīng)速度比超前校正差一些。題解6-5圖（2）確定使12Hz正弦噪聲削弱10倍左右的校正網(wǎng)絡(luò) 時(shí)， 對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，高頻段的閉環(huán)幅頻特性與開(kāi)環(huán)幅頻特性基本一致。從Bode圖上看，在處，有 衰減倍數(shù)，可見(jiàn)，采用遲后-超前校正可以滿足要求。6-6 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試設(shè)計(jì)一串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò)，使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)不

35、小于5，超調(diào)量不大于25%，調(diào)節(jié)時(shí)間不大于1s。解：取對(duì)應(yīng)頻域指標(biāo)即串聯(lián)超前校正可補(bǔ)償?shù)淖畲蠼嵌炔楸淼迷谧魉骄€交于點(diǎn)，過(guò)作垂直于線，交線于取 過(guò)作垂直于線交于，其鏡像點(diǎn)為，過(guò)作線交線于，取校正裝置傳遞函數(shù)校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 題解6-6圖6-7 已知單位反饋系統(tǒng)及其串聯(lián)校正的傳遞函數(shù)當(dāng)式中=10，=0.1時(shí)，系統(tǒng)截止頻率，若要求不變，如何改變、才能使相裕量提高45。解： 當(dāng)時(shí)， 若重新選擇值，使提前設(shè)當(dāng)時(shí)由得另外，在增大的同時(shí)要保持的幅制不變即： 解得：6-8 已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，串聯(lián)微分校正傳遞函數(shù)為 要使校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益為100，=31.6rad/s，中頻段斜率為-20d

36、B/dec，而且具有兩個(gè)十倍頻程的寬度。試求（1） 校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線；（2） 確定的參數(shù)、；（3） 校正后系統(tǒng)的相裕量、幅裕量。解： 校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)校正后開(kāi)環(huán)增益為中頻段斜率為，且有2個(gè)十倍頻程，故 校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)校正后對(duì)數(shù)幅頻特性如圖所示 題解6-8圖第七章 非線性控制系統(tǒng)理論習(xí)題及解答7-1. 三個(gè)非線性系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)一樣，線性部分分別為 (1) (2) (3) 試問(wèn)用描述函數(shù)法分析時(shí)，哪個(gè)系統(tǒng)分析的準(zhǔn)確度高？為什么?解: 線性部分低通濾波特性越好，描述函數(shù)法分析結(jié)果的準(zhǔn)確程度越高。分別作出三個(gè)系統(tǒng)線性部分的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖題解7-1所示。題解7-1圖

37、由對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可見(jiàn)，L2的高頻段衰減較快，低通濾波特性較好，所以系統(tǒng)(2)的描述函數(shù)法分析結(jié)果的準(zhǔn)確程度較高。7-2一個(gè)非線性系統(tǒng)，其非線性特性是一個(gè)斜率的飽和特性。當(dāng)不考慮飽和因素時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。試問(wèn)該系統(tǒng)有沒(méi)有可能產(chǎn)生自振？為什么？解：飽和特性k=1時(shí)，其負(fù)倒描述函數(shù)如右圖所示：題解 7-2圖 負(fù)倒描述函數(shù)圖不考慮飽和特性時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則其開(kāi)環(huán)幅性頻率特性曲線不包圍點(diǎn)，但當(dāng)與 相交時(shí)，系統(tǒng)可能存在等幅振蕩，如圖所示,因此，該系統(tǒng)有可能產(chǎn)生自振。7-3將下列圖7-50 所示非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化成非線性部分和等效的線性部分相串聯(lián)的單位反饋系統(tǒng)，并寫(xiě)出線性部分的傳遞函數(shù)。解：題解7-3(1)

38、圖題解 7-3(2)圖 題解 7-3(3)圖(1)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可等效變換為題解7-3(1)的形式:其中(2)將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為題解7-2(2)的形式:(3)將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為題解7-3(3)的形式:7-4判別圖7-51 所示各系統(tǒng)是否存在自振點(diǎn)。解: （a） 不是（b） 是（c） 是（d） 點(diǎn)是，點(diǎn)不是（e） 是（f） 點(diǎn)不是，點(diǎn)是（g） 點(diǎn)不是，點(diǎn)是（h） 系統(tǒng)不穩(wěn)定（i） 系統(tǒng)不穩(wěn)定（j） 系統(tǒng)穩(wěn)定（k）7-5非線性系統(tǒng)如圖7-52所示。試確定系統(tǒng)是否存在自振，若存在自振，確定其自振的振幅和頻率。解：和曲線如圖所示，可見(jiàn)系統(tǒng)一定自振。題解 7-5圖 由有 即 比較實(shí)部，虛部有 解得：

39、 7-6. 系統(tǒng)如圖7-53所示。試計(jì)算系統(tǒng)的自振參數(shù)。解：由于反饋通道的飽和特性與前向通道飽和特性同時(shí)進(jìn)入飽和狀態(tài)，所以反饋通道的非線性特性實(shí)質(zhì)上不起作用，可將其去掉。前向通道中兩個(gè)非線性系統(tǒng)可合并，得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的等效變換如下：題解7-6圖 由自振條件：有比較實(shí)部，虛部，并代入，有：7-7如圖7-54所示系統(tǒng)。試用描述函數(shù)法確定在下列傳遞函數(shù)時(shí)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是否存在自振，若存在自振，確定其參數(shù)。1. 2. 題解7-7(1)圖解：(1) 和曲線如圖題解7-7（1）所示，可見(jiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定，存在自振。由自振條件： 有：比較實(shí)部，虛部，并代入,有： 題解 7-7(2)圖(2) 和曲線如圖題解7-7（2

40、）所示,曲線包括曲線，故系統(tǒng)穩(wěn)定。7-8.繪制并研究下列方程的相軌跡. 1. 2. 3. 解：(1) 系統(tǒng)方程可寫(xiě)為：則奇點(diǎn)： ： 圖1由特征方程的特征根，奇點(diǎn)為中心點(diǎn).系統(tǒng)的相平面圖如圖1所示.可見(jiàn)，系統(tǒng)最終收斂到之間.(2) 系統(tǒng)方程可寫(xiě)為：特征方程及特征根：(1):, (中心點(diǎn)) 圖 2(2): , （鞍點(diǎn)）系統(tǒng)的相平面圖如圖2所示.由圖可見(jiàn)，系統(tǒng)的自由相應(yīng)總是會(huì)向軸負(fù)方向發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定.(3)求平衡點(diǎn)，令 得平衡點(diǎn) )。將原方程在平衡點(diǎn)附近展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，取線性項(xiàng)。設(shè) 特征方程及特征根： k為偶數(shù)時(shí) （中心點(diǎn)） k為奇數(shù)時(shí) （鞍點(diǎn)） 用等傾斜線法作相平面 -2 -1 -1/2 -1/

41、4 0 1/4 1/2 1 2 -1/ 1/2 1 2 4 -4 -2 -1 -1/2作出系統(tǒng)相平面圖如圖3所示。圖37-9. 設(shè)系統(tǒng)如圖7-55所示，求出起始點(diǎn)，的相軌跡方程，并作出相軌跡。解:由結(jié)構(gòu)圖可得: 且 即 根據(jù)已知的非線性特性,系統(tǒng)可分為三個(gè)線性區(qū)域.區(qū): 系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)在該區(qū)有一個(gè)奇點(diǎn),為穩(wěn)定焦點(diǎn).區(qū): 系統(tǒng)的微分方程為解得: 對(duì)上式求導(dǎo),有已知,.故相軌跡方程為由此可作出該區(qū)相軌跡.區(qū): 系統(tǒng)的微分方程為 .易得其相軌跡方程為 于是,可得子系統(tǒng)的相軌跡如圖所示.題解7-9圖 子系統(tǒng)相軌跡圖7-10 設(shè)系統(tǒng)如圖7-56所示，試畫(huà)出，的相軌跡和相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)曲線。解: 由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可知: 開(kāi)關(guān)線為區(qū): 則,積分可得其中. 故這時(shí),相軌跡是一頂點(diǎn)在,開(kāi)口向左的拋物線.區(qū): . 由積分可得由區(qū)域的相軌跡與開(kāi)關(guān)線的交點(diǎn)決定.由得 這時(shí),相軌跡為水平直線.區(qū): . 積分解得 由區(qū)域內(nèi)得相軌跡與開(kāi)關(guān)線的交點(diǎn)決定.題解7-10圖易見(jiàn),交點(diǎn),此時(shí)