第十二章 能量法(一).

1、2 12-1 外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式12-2 互等定理互等定理12-4 變形體虛功原理變形體虛功原理12-5 單位載荷法單位載荷法 3 一、計算外力功的基本公式一、計算外力功的基本公式 載荷作用點(diǎn)沿載荷作用方向的位移分量，稱為該載荷的載荷作用點(diǎn)沿載荷作用方向的位移分量，稱為該載荷的。ffk k為比例常數(shù)。為比例常數(shù)。O f fd F d fdf12WF 200dd2kWfk 4軸向拉壓桿件的應(yīng)變能軸向拉壓桿件的應(yīng)變能NF lFllEAEA 22N222F lF lF lVWEAEA F5二、克拉比隆定理二、克拉比隆定理 應(yīng)變能只取決于外力和變形的最終數(shù)值，而與加力

2、的次應(yīng)變能只取決于外力和變形的最終數(shù)值，而與加力的次序無關(guān)。序無關(guān)。f1f2 1 2F2F1 1 2 假設(shè)假設(shè)f1、f2按相同的比例，從按相同的比例，從0開始逐漸增加到最終值。開始逐漸增加到最終值。在小變形、線彈性的條件下，位移在小變形、線彈性的條件下，位移 1 、 2也將按相同比例增也將按相同比例增加。引進(jìn)一個在加。引進(jìn)一個在0到到1之間變化的參數(shù)之間變化的參數(shù) f1 = F1、 f2 = F2 1 = 1、 2 = 26 F1 F212給給 一個增量一個增量d ，位移，位移 、 2的相應(yīng)增量為的相應(yīng)增量為 d , 2d 外力外力 F1 、 F2在以上位移增量上作的功為在以上位移增量上作的功

3、為dW = F1 d + F2 2d = (F1 + F2 2) d W = (F1 + F2 2) d 101122,22FFVW12niiiFVW7三、應(yīng)變能的一般表達(dá)式三、應(yīng)變能的一般表達(dá)式dxM(x)M(x)T(x)T(x)FN(x)FN(x)N( )d( )d( )ddd222FxT xM xVW222Np( )d( )d( )d222FxxTxxMxxEAGIEI222Np( )d( )d( )d222lllFxxTxxMxxVEAGIEI8例例 圖示懸臂梁，承受集中力圖示懸臂梁，承受集中力F與矩為與矩為Me的集中力偶作用。的集中力偶作用。計算外力所作的總功。計算外力所作的總功。l

4、EIABMeF23e1223AM lFlwwwEIEI2e122AM lFlEIEI222 3eee22226AAMFwM lM FlF lWEIEIEI22 3e 12e2226MFwM lF lWEIEI解：解：911( )M xFx BC 段：段：22()()M xF ax AB 段：段：22212120( )()dd22aaaMxMxVxxEIEI22222112220d(2)d2aaaFxxaaxxxEI23103F aEI解：解：例例 計算圖示梁的應(yīng)變能。計算圖示梁的應(yīng)變能。aaFMe=FaEIABCx1x22222212120()dd22aaaF xFaxxxEIEI10例例 計

5、算圖示直徑為計算圖示直徑為d 的圓截面水平直角彎桿在鉛直力的圓截面水平直角彎桿在鉛直力F作作用下的應(yīng)變能。用下的應(yīng)變能。(G = 0.4E)ABCF2aax1x2BC 段為彎曲變形段為彎曲變形:11( )M xFx AB 段為彎曲與扭轉(zhuǎn)組合段為彎曲與扭轉(zhuǎn)組合:22()M xFx 2()T xFa 2222222212122000ddd222aaaPF xF xF aVxxxEIEIGI232322(2 )2662PF aFaF aaEIEIGI234176F aEd解：解：11練習(xí)練習(xí) 求圖示外伸梁的應(yīng)變能及求圖示外伸梁的應(yīng)變能及C 點(diǎn)的撓度。點(diǎn)的撓度。EIABFx1x2FAy=F/2l/2l

6、C解：解： 外力功：外力功：12CWF變形能：變形能：111( )2M xFx22()M xFx222222133/2221210200014dd22246llllF xP xFPVxxxxEIEIEIEI2 31,216CF lFEI38CFlEI 2 316F lEI12 F1 11 2112F2 12 2221第一個下標(biāo)表示發(fā)生位移的部位，第二個表示引第一個下標(biāo)表示發(fā)生位移的部位，第二個表示引起該位移的載荷起該位移的載荷13 12F2F1 11 22 2112F1F2 11 2212111222111222FFWF222111222122FFWF12,WW112221FF1221稱為稱為

7、稱為稱為如果如果F1 = F2，則，則14FRBCMe例例 圖示曲桿，當(dāng)只加集中力圖示曲桿，當(dāng)只加集中力F時，端面的轉(zhuǎn)角時，端面的轉(zhuǎn)角 = kFR2/EI。求當(dāng)只加力偶求當(dāng)只加力偶Me時，時，B截面沿截面沿F力作用線方向的位移力作用線方向的位移 B。EI2eBkFRFMEI 2eBkM REI 解：解：112221FF1215 與外力保持平衡的內(nèi)力，稱為靜力可能內(nèi)力，簡稱與外力保持平衡的內(nèi)力，稱為靜力可能內(nèi)力，簡稱；滿足位移邊界條件與變形連續(xù)條件的任意微小位移，滿足位移邊界條件與變形連續(xù)條件的任意微小位移，稱為稱為，也稱為幾何可能位移，簡稱，也稱為幾何可能位移，簡稱。16dxd *dxd *d

8、xd *當(dāng)微段發(fā)生當(dāng)微段發(fā)生時，作用在微段上的可能內(nèi)力所作時，作用在微段上的可能內(nèi)力所作的虛功為的虛功為*iNddddWFTM總虛功為總虛功為*iN(ddd)lWFTM稱為稱為。17當(dāng)桿（或桿系結(jié)構(gòu)）發(fā)生虛位移時，作用于其上的外當(dāng)桿（或桿系結(jié)構(gòu)）發(fā)生虛位移時，作用于其上的外力在虛位移上作虛功，其總功稱為力在虛位移上作虛功，其總功稱為。We = Wi稱為稱為。18：虛位移滿足位移邊界條件：虛位移滿足位移邊界條件：*(0)0, (0)0, ( )0www l虛位移滿足變形連續(xù)條件：虛位移滿足變形連續(xù)條件：*ddwxM(l) = 0qdxdxFSFS+dFSMM+dMxdxxlw*q(x)19qdx

9、dxFSFS+dFSMM+dM*edlWw q x*Sdlw F*d0ddlMxxxdxxlw*q(x)*0dllMM*dlMeiWW*dddSlFwxx*SS0dddllwF wFxx*dlM20 qFnnMeA Ann1實(shí)際載荷引起的位移作為虛位移，微段的軸向變形實(shí)際載荷引起的位移作為虛位移，微段的軸向變形d 、d 和和d 為相應(yīng)的虛變形。為相應(yīng)的虛變形。單位力在位移單位力在位移 上作虛功，其值為上作虛功，其值為We = 1 21與單位力平衡的內(nèi)力在相應(yīng)的變形上作虛功，整個桿與單位力平衡的內(nèi)力在相應(yīng)的變形上作虛功，整個桿（或桿系）的內(nèi)虛功為（或桿系）的內(nèi)虛功為Ni( )d( )d( )dl

10、WFxT xM x根據(jù)變形體虛功原理根據(jù)變形體虛功原理N( )d( )d( )dlFxT xM x 應(yīng)理解為廣義位移，而式中的內(nèi)力則為相應(yīng)單位載荷應(yīng)理解為廣義位移，而式中的內(nèi)力則為相應(yīng)單位載荷的可能內(nèi)力。這種計算位移的方法，稱為的可能內(nèi)力。這種計算位移的方法，稱為，它不，它不僅適用于線性彈性桿或桿系，也適用于非線性彈性桿或桿系。僅適用于線性彈性桿或桿系，也適用于非線性彈性桿或桿系。22N( )d( )d( )dlFxT xM x對于對于線性彈性桿或桿系線性彈性桿或桿系N( )dd ,FxxEAt( )dd ,T xxGI( )ddM xxEINNt( )( )( ) ( )( )( )dddl

11、llFx FxT x T xM x M xxxxEAGIEINN1nii iiiiF F lE Ap( ) ( )dlT x T xxGI( )( )dlM x M xxEI1123桁架位移計算桁架位移計算求結(jié)點(diǎn)求結(jié)點(diǎn)D 的水平位移的水平位移求結(jié)點(diǎn)求結(jié)點(diǎn)D 的豎向位移的豎向位移求桿求桿BD 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角求結(jié)點(diǎn)求結(jié)點(diǎn)D、E 的相對位移的相對位移ABCDEFABCDEFBACDEFlBD1/BDl1/BDlCDEFAB1124例例 求圖示桁架結(jié)點(diǎn)求圖示桁架結(jié)點(diǎn)D 的水平位移和的水平位移和BE 桿的轉(zhuǎn)角，各桿桿的轉(zhuǎn)角，各桿EA 相同。相同。ABCDEFaaaF123456789712345689FN

12、NFl-F0000F/2F/22/2F2/2F000011/21/22/22/2aaaaaaaa2a222211.914(2)222 2DFFFaaaEAEAABCDEF1234567891F/2F/2F1/21/2125ABCDEFaaaF123456789DEABCF1234567891/21/21/2a1/2a712345689l-F0000F/2F/22/2F2/2F0000-1/2a -1/2aa2/1aaaaaaaa2a200FNNF/12110.207(22)22 22B EFFFaaEAaEAa F/2F/2F26例例 求圖示桁架結(jié)點(diǎn)求圖示桁架結(jié)點(diǎn)D 的豎向位移，各桿的豎向位移

13、，各桿EA 相同。相同。ABCDaaaF1234512345FNFl0F/2F/22/2F11/21/22/2aaaa2a22/22/2F21()2 22DFFaaEAEA解：解：ABD123451F/2FF/227靜定梁靜定梁、剛架的位移計算剛架的位移計算求結(jié)點(diǎn)求結(jié)點(diǎn)C 的豎向位移的豎向位移求求B 截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角FABCD11FABCDFABCDE11FABCDE11求求C、E兩點(diǎn)的相對位移兩點(diǎn)的相對位移 求鉸求鉸C 兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角28例例 求圖示簡支梁求圖示簡支梁 C 截面的撓度和截面的撓度和A 截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。x1x22l/3EIABCFl/3ABC1

14、x1x21/32/3F/3F2/3111( )3M xFx222()3FxM x11( )3xM x222()3xM x222 /3/31212004dd99llCFxFxxxEIEI3384729729FaFaEIEI34243FaEI解：解：29x1x22l/3EIABCFl/3x1x21/l1/lF/3F2/3111( )3M xFx222()3FxM x11( )1xM xl 22()xM xl2 /3/31122120021-dd33llAFxxFx xxxEIlEIl3338227243243FlFlFlEIEIEI3481FlEIABC130例例 求圖示求圖示1/4圓弧形曲梁圓弧

15、形曲梁B 端的鉛直位移、水平位移和轉(zhuǎn)端的鉛直位移、水平位移和轉(zhuǎn)角。角。F、R、EI 已知。已知。 CDFABRO(1cos),MFR(1cos)MR( )( )dBylMMsEI3220(1 cos )dFREI CD1ABRO( )( )dMMREI解：解：313220(1 2coscos)dFREI CDFABROA CD1BRO320112sinsin2 24FREI3(38)4FREI32 CDFABRO CD1ABRO(1 cos ),MFRsinMR ( )( )dBxMMREI320(1 cos )sin dFREI 320(1 cos )dcosFREI32FREI 32/20

16、1coscos2FREI33 CDFBRO CD1ABRO220(1 cos )dBFREI2(2)2FREI1M 2/20sin FREI(1 cos ),MFR注意：注意：M與與 正負(fù)的正負(fù)的假設(shè)必須一致。假設(shè)必須一致。M34練習(xí)練習(xí) 求圖示外伸梁端截面求圖示外伸梁端截面C 的撓度的撓度 C和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角C 。ll/2EIABCFx1x2F/23F/21/23/2EIABC1x1x2111( )2M xFx 22()M xFx 解：解：111( )2M xx 22()M xx 22/2121200dd4llCFxFxxxEIEI33312/2001238llFFFlxxEIEIEI35ll/

17、2EIABCFx1x2F/23F/21/l1/l1x2EIABCx1111( )2M xFx 22()M xFx 111( )M xxl 2()1M x /22211200dd2llCFFxxxxEIlEI23212/27006224llFFFlxxEIlEIEI36BqlAClEIEI例例 求圖示剛架求圖示剛架B 點(diǎn)的水平位移和點(diǎn)的水平位移和C 截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。x1x2ql/2ql/2)(1xMqql/2)(2xM1)(1xM11)(2xM1解：解：x1x2BACEI1137qql/2ql/211)(1xM)(1xM)(2xM)(2xM111121)(qlxxM22222121)(qxqlxM11)(xxM22)(xlxM2221221200()()dd22llBxqlxq lxlxxxEIEIEIql834381/l)(1xMBA1EIx1x2C1/l)(2xM122222121)(qxqlxM111)(xlxM0)(2xM2110d2lCqxxEI1121)(q