第二十二講正弦定理和余弦定理1.

1、第二十二講正弦定理和余弦定理第二十二講正弦定理和余弦定理回歸課本回歸課本1.正弦定理正弦定理(1)內(nèi)容內(nèi)容: =2R(其中其中R為為ABC外接圓的半外接圓的半徑徑).(2)正弦定理的幾種常見變形正弦定理的幾種常見變形a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; (其中其中R是是ABC外接圓半徑外接圓半徑)abcsinAsinBsinC,;222abcsinAsinBsinCRRRasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;a:b:c=sinA:sinB:sinC.2.余弦定理余弦定理(1)余弦定理的內(nèi)容余弦定理的內(nèi)容c2=b2+a2-2bacosC,b2=

2、a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA. (2)余弦定理的變形余弦定理的變形222222222;2;2.2bcabcaccosAcosBcosbacabbCca (3)勾股定理是余弦定理的特殊情況勾股定理是余弦定理的特殊情況在余弦定理表達(dá)式中分別令在余弦定理表達(dá)式中分別令A(yù) B C為為90,則上述關(guān)系式則上述關(guān)系式分別化為分別化為:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2. 3.解斜三角形的類型解斜三角形的類型在在ABC中中,已知已知a、b和和A時時,解的情況如下解的情況如下:4.測距離的應(yīng)用測距離的應(yīng)用5.測高的應(yīng)用測高的應(yīng)用6.仰角仰角 俯角俯角 方位角方

3、位角 視角視角(1)在視線和水平線所成的角中在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫做視線在水平線上方的角叫做仰角仰角,在水平線下方的角叫做在水平線下方的角叫做俯角俯角,如下左圖所示如下左圖所示. (2)如上右圖所示如上右圖所示,P點的方向角為點的方向角為南偏東南偏東60.(3)由物體兩端射出的兩條光線由物體兩端射出的兩條光線,在眼球內(nèi)交叉而成的角叫做在眼球內(nèi)交叉而成的角叫做視角視角.7.ABC的面積公式有的面積公式有22aa1(1)211(2)2h (ha);(r);2241(3)()21(pabc .4)()()()2SasinBsinCabcSabsinCR sinAsinBsi

4、nCasinARSr abcSp papbpc表示 邊上的高為內(nèi)切圓半徑其中考點陪練考點陪練1.ABC,a,B60 ,A()A.135B.90C.45D.2,033b已知中那么角 等于232,.232:sin23,AaAB,A45 .absinAsinBsinAb解析 由正弦定理得可得又所以所以答案答案:C2. ABCa b c,a1,c4,B45 ,ABC2.4 3.5.2.()6 2ABCD的邊分別為 且則的面積為ABC1122:S1 4si522n4.acsinB 解析答案答案:C2223.ABC,A B Cabc,acbtanBB3,.6352.6()633acABCD在中 角 的對邊

5、分別為 、 、 若則角 的值為或或2222223,313.22:ac232,btanBBsinB(0, ).22B33acacbcosBcosBactanBsinB解析 由聯(lián)想到余弦定理并代入得顯然在內(nèi)或答案答案:D4.在在ABC中中,角角A,B,C的對邊為的對邊為a,b,c,若若 B=45,則角則角A等于等于( )A.30B.30或或105C.60D.60或或1203,2,ab:sinAA),A,3.22(,.43.3ADabsinAsinBasinBb解析 由正弦定理得又或故選答案答案:D5.(2010湖南湖南)在在ABC中中,角角A,B,C所對的邊長分別為所對的邊長分別為a,b,c.若若

6、C=120, a,則則( )A.abB.abC.a=bD.a與與b的大小關(guān)系不能確定的大小關(guān)系不能確定解析解析:c2=a2+b2-2abcos120a2-b2-ab=0b= AC知知CB,則則C有兩解有兩解.2 3,AB ,ABACsinCsinB12 332.22ABsinBAC (1)當(dāng)當(dāng)C為銳角時為銳角時,C=60,A=90,由三角形面積公式得由三角形面積公式得:S= ABACsinA= 2sin90= .(2)當(dāng)當(dāng)C為鈍角時為鈍角時,C=120,A=30,由三角形面積公式得由三角形面積公式得:S= ABACsinA= ABC的面積為的面積為 或或1212 322 312112 323,

7、22 2 33.解法二解法二:由余弦定理得由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|BC|cosB,即即:4=12+|BC|2-2 |BC|BC|2-6|BC|+8=0,|BC|=2或或|BC|=4.(1)當(dāng)當(dāng)|BC|=2時時,S= |AB|BC|sinB(2)當(dāng)當(dāng)|BC|=4時時,S= |AB|BC|sinBABC的面積為的面積為 或或2 33,212112 323.2212112 342 3.222 33. 反思感悟反思感悟本題主要考查正弦定理本題主要考查正弦定理 三角形面積公式及分類三角形面積公式及分類討論的數(shù)學(xué)思想討論的數(shù)學(xué)思想,同時也考查了三角函數(shù)的運算能力及推同時

8、也考查了三角函數(shù)的運算能力及推理能力理能力.類型二類型二判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:1.這類題型主要是利用正這類題型主要是利用正 余弦定理及其變形余弦定理及其變形,把題把題設(shè)條件中的邊設(shè)條件中的邊 角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角或邊的簡單關(guān)系角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角或邊的簡單關(guān)系,從而進(jìn)從而進(jìn)行判斷行判斷.2.判斷三角形的形狀的思路大致有兩種判斷三角形的形狀的思路大致有兩種:一是化邊為角一是化邊為角,以角為以角為著眼點著眼點,利用正利用正 余弦定理及變形余弦定理及變形,把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)之間的關(guān)系三角函數(shù)之間的關(guān)系,走三角變形之路走三角變形之路;二是化角為邊二是化角為

9、邊,以邊以邊為著眼點為著眼點,利用正利用正 余弦定理及變形余弦定理及變形,把已知條件轉(zhuǎn)化為邊把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系的關(guān)系,走代數(shù)變形之路走代數(shù)變形之路.在運用這些方法對等式變形時在運用這些方法對等式變形時,一一般兩邊不約去公因式般兩邊不約去公因式,應(yīng)移項提公因式應(yīng)移項提公因式,以免產(chǎn)生漏解以免產(chǎn)生漏解.【典例典例2】在在ABC中中,a、b、c分別表示三個內(nèi)角分別表示三個內(nèi)角A、B、C的的對邊對邊,如果如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2) sin(A+B),試判斷該三角形試判斷該三角形的形狀的形狀.分析分析利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化,轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或

10、角轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系角關(guān)系. 解解解法一解法一:由已知由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2) sin(A+B).得得a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理得由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即即sin2A sinAsinB=sin2B sinAsinB.0A,0B180,故故B=135不適合題意不適合題意,是個增解是個增解.這個增這個增解產(chǎn)生的根源是忽視了解產(chǎn)生的根源是忽視了ab這一條件這一條件,根據(jù)三角形的邊角關(guān)根據(jù)三角形的邊角關(guān)系系,角角

11、B應(yīng)小于角應(yīng)小于角A,故故B=135應(yīng)舍去應(yīng)舍去. 正解正解在在ABC中中,由正弦定理可得由正弦定理可得因為因為ab,所以所以AB,所以所以B=45.答案答案45評析評析已知兩邊和其中一邊的對角已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角時求另一邊的對角時,一定要一定要注意根據(jù)邊角關(guān)系注意根據(jù)邊角關(guān)系,確定適合題意的角是一個還是兩個確定適合題意的角是一個還是兩個.2602,26bsinAsinsinBa錯源二錯源二因忽視邊角關(guān)系而致錯因忽視邊角關(guān)系而致錯【典例典例2】在在ABC中中,tanA=a2,tanB=b2,那么那么ABC是是()A.銳角三角形銳角三角形B.直角三角形直角三角形C.等腰三角形

12、等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形222222, tanAa ,tanBbsinAcosAsinBcosB,sin2Asin2B,AB.ABC,C.,tanAatanBbsinAcosBsin AcosBsinAcosAsinBsin BcosAsinB錯解由得即所以所以所以所以所以是等腰三角形 選剖析剖析上述錯解忽視了滿足上述錯解忽視了滿足sin2A=sin2B的另一個角之間的的另一個角之間的關(guān)系關(guān)系:2A+2B=180. 222222,tanAa ,tanBbsinAcosAsinBcosB,sin2Asin2,B,ABAB90 .ABC,D.tanAasinAco

13、sBsin AtanBbcosAsinBsin BcosBsinAcosAsinB正解由得即所以所以所以所以或所以是等腰三角形或直角三角形 選答案答案D評析評析判斷三角形形狀時判斷三角形形狀時,一定要把邊或角的關(guān)系考查周全一定要把邊或角的關(guān)系考查周全,避避免遺漏免遺漏.錯源三錯源三因忽視角的范圍而致錯因忽視角的范圍而致錯【典例典例3】在在ABC中中,若若A=2B,求求 的取值范圍的取值范圍.錯解錯解在在ABC中中,由正弦定理由正弦定理,可得可得因為因為0B,所以所以-1cosB1,所以所以-22cosB2,又又 ,所以所以02cosB2,所以所以 的取值范圍是的取值范圍是(0,2).ab222

14、,asin BsinBcosBcosBbsinBsinB0abab 剖析剖析上述錯解忽視了根據(jù)已知條件上述錯解忽視了根據(jù)已知條件A=2B進(jìn)一步考查角進(jìn)一步考查角B的的取值范圍取值范圍.正解正解在在ABC中中,由正弦定理由正弦定理,可得可得因為因為A=2B,A+B,所以所以所以所以 cosB1,所以所以12cosBbc,即最大邊長為即最大邊長為a,所以所以A=120,因為因為b=a-4,c=b-4=a-8,4,2abacb所以在所以在ABC中由余弦定理中由余弦定理,得得解得解得a=14或或a=4,所以最大邊長為所以最大邊長為4或或14.剖析剖析上述錯解忽視了已知條件上述錯解忽視了已知條件a=4+

15、b中隱含的中隱含的a4這一要求這一要求.222(4)(8)1,2(4)(8)2aaacosAaa 正解正解由由 可得可得b-c=4,所以所以abc,即最大邊長為即最大邊長為a,所以所以A=120,因為因為b=a-4,c=b-4=a-8,所以在所以在ABC中由余弦定理中由余弦定理,得得4,2abacb解得解得a=14或或a=4,因為因為a=4+b,所以所以a4,所以最大邊長為所以最大邊長為14.222(4)(8)1,2(4)(8)2aaacosAaa 評析評析對于題目中的隱含條件對于題目中的隱含條件,尤其是范圍條件尤其是范圍條件,一定要善于一定要善于挖掘挖掘.錯源五錯源五忽視內(nèi)角和定理的限制忽視

16、內(nèi)角和定理的限制5ABC,3sinA4cosB6,3cosA4sinB15.,.66C52.6633()ABCD【典例 】在中則 的大小為或或3461.3sin ABsinC41215,266,C.sinAcosBcosAsinBC錯解由平方相加得或故選 ,3cosA4sinB111.3c2o.356sAAC.剖析 平方易增解由得3461.341215,266sin ABsinCC.C,AB1 3cosA4s5.6611,325inB0,c.os,3AAC,CA6.6sinAcosBcosAsinB正解由平方相加得或若則故應(yīng)選答案答案A技法一技法一方程思想方程思想【典例典例1】如圖如圖,D是直

17、角是直角ABC斜邊斜邊BC上一點上一點,AB=AD,記記CAD=,ABC=.(1)證明證明:sin+cos2=0;(2)若若AC= ,求求的值的值.3DC 1:BAD(2 )2sinsins2,22 .inc22os20.2cos 解證明 因為所以即 222ADC,.sinsin .1:sincos2 ,si()3,3()33(ncos21 2sin),330.33.22sinsins33in,.223sin0sinDCACsinsinDCDCsinsin 在中由正弦定理 得即所以又由可知所以即解得或因為故從而 方法與技巧方法與技巧第第(2)問借助正弦定理得到問借助正弦定理得到“sin= si

18、n”,結(jié)結(jié)合第合第(1)問的結(jié)論消去問的結(jié)論消去角角,把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sin的一元二的一元二次方程次方程,通過解方程求得通過解方程求得.此題靈活運用了消元思想和方程此題靈活運用了消元思想和方程思想思想.3技法二技法二分類討論思想分類討論思想【典例典例2】如圖如圖,有兩條相交成有兩條相交成60的直線的直線xx,yy,其交點為其交點為O,甲、乙兩輛汽車分別在甲、乙兩輛汽車分別在xx,Oy上行駛上行駛,起初甲離起初甲離O點點30 km,乙離乙離O點點10 km,后來兩車均用后來兩車均用60 km/h的速度的速度,甲沿甲沿xx方向方向,乙沿乙沿yy方向行駛方向行駛(設(shè)甲、乙兩車最初的位

19、置分別為設(shè)甲、乙兩車最初的位置分別為A,B). (1)起初兩車的距離是多少起初兩車的距離是多少?(2)用包含用包含t的式子表示的式子表示,t小時后兩車的距離是多少小時后兩車的距離是多少? 解解(1)由余弦定理由余弦定理,知知AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60=302+102-23010 =700.故故AB= (km).即起初兩車的距離是即起初兩車的距離是1210 710 7.km (2)設(shè)甲設(shè)甲 乙兩車乙兩車t小時后的位置分別為小時后的位置分別為P,Q,則則AP=60t,BQ=60t.當(dāng)當(dāng)0t 時時,POQ=60.此時此時OP=30-60t,OQ=10+60t.由余弦定理由余弦定理,

20、得得PQ2=(30-60t)2+(10+60t)2-2(30-60t)(10+60t)cos60=10800t2-3600t+700.12當(dāng)當(dāng) 時時,POQ=120.此時此時OP=60t-30,OQ=10+60t.由余弦定理由余弦定理,得得PQ2=(60t-30)2+(10+60t)2-2(60t-30)(10+60t)cos120=10800t2-3600t+700.綜上知綜上知PQ2=10800t2-3600t+700.則則故故t小時后兩車的距離是小時后兩車的距離是12t 210 108367.PQtt210 108367().PQttkm 方法與技巧方法與技巧本題是一個解三角形的實際問題本題是一個解三角形的實際問題,由于兩車的行由于兩車的行駛方向?qū)е乱择偡较驅(qū)е乱設(shè)點為起點的兩線段的夾角發(fā)生變化點為起點的兩線段的夾角發(fā)生變化,因此必因此必須對兩種情況進(jìn)行分類討論須對兩種情況進(jìn)行分類討論.技法三技法三數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想【典例典例3】在斜度一定的山坡上的一點在斜度一定的山坡上的一點A測得山頂上