第2章 水動力彌散方程.

1、 第二章 水動力彌散方程用來描述地下水系統(tǒng)當中溶質運移規(guī)律的數學方程（微分方程）。本章主要內容有：2-1. 水動力彌散方程的有關參數1、流體的密度、濃度； 2、多組分流體的流速； 3、流體的通量。2-2. 溶液中組分的質量守恒方程2-3. 組分的的對流擴散（Fick方程）2-4. 多孔介質中水動力彌散方程2-5. 源匯項2-6. 初始條件與邊界條件2-1 水動力彌散方程的有關參數2-1-1 流體的密度（）所謂的流體密度指的是單位流體體積的質量，常用 表示，量綱ML-3。多組分流體的密度實際上對于非均質的多組分流體而言，其密度是隨著組成它的各種組分的濃度不同而變化的。假設某多組份流體共有N種組分

2、其某一組分稱為 ，取該液體中一體積為dv的微元，其質量為dm，該液體中在dv微元中組分的質量為dm則 組分的質量密度：dvdm若將所有N種組分的質量密度進行求和： dvdmdvdmdvdmNNN1121就等于該溶體的體系密度。某一組分的質量的密度：實際上就是水化學中學過的某一組分的濃度。濃度定義為單位體積流體某種溶質的質量。2-1-2 多組分流體的流速 u組分的質點流速u是指在dv內組分的各個分子的統(tǒng)計平均速度，也就是各個分子的速度之和除以分子的個數。對每種多組分流體來看溶液中各種組分的速度是不相等的。流體體系的質點流速:流體體系中各組分的質量平均速度 u一般情況下， 組分的質點流速 與流體體

3、系的質量平均流速 是不相等的，兩者存在一個偏差：uuuuuuuu 或u稱為組分質點相對于質量平均速度 的擴散速度。u2-1-3 流體的通量流體的質量通量流體的質量通量 ：流體在單位時間內通過單位面積的流體的質量：流體在單位時間內通過單位面積的流體的質量uJ組分的質量通量組分的質量通量 單位時間內通過與流體方向垂直的單位單位時間內通過與流體方向垂直的單位面積上的面積上的組分的質量。組分的質量。uJ組分相對與溶體質量平均流速組分相對與溶體質量平均流速 的的質量擴散通量質量擴散通量 ：對流體體系來說，顯然有：對流體體系來說，顯然有：JJJu()JuuuJ10NJ111110NNNNNJuuuuuu這

4、是因為這是因為2-2 溶液中組分的質量守恒方程（連續(xù)介質） 在多組分組成的流體體系中任取一點P(x,y,z),以P為中心取一微小的質量平衡體（如圖2-1），其側面分別平行與3個坐標面，邊長分別為 x、y、 z，質量守恒原理:在時間t內，組分在這個單元體中的凈流出（或流出）量（暫不考慮起內部有質量產生和消失），應等于這個單元中組分的質量變化用方程的形式可表示為：zyxtyxuutzxuutzyuuzzyxzzzyxzzyyxyzyyxyzyxxxzyxxx2,2,2,2,2,2質量守恒方程（連續(xù)介質）zyxuuu,設設 分別表示分別表示組分密度、組分密度、x,y,z方向的速度方向的速度分量。分量

5、。其中：其中： 經過經過t時間后，質量均衡體中時間后，質量均衡體中 的變化量。的變化量。將上式左右兩端同除以將上式左右兩端同除以 得：得：tzyxtzuuyuuxuuzzyxzzzyxzzyyxyzyyxyzyxxxzyxxx2,2,2,2,2,2再對方程兩端取極限，即令再對方程兩端取極限，即令0, 0, 0, 0tzyxtzuyuxuzyx即有即有：即即0divut若微小的質量均衡體內存在著若微小的質量均衡體內存在著組分的源匯項，則上式可改寫為：組分的源匯項，則上式可改寫為：Iutdiv多組分流體體系中多組分流體體系中組分組分的質量守恒方程的質量守恒方程 多組分組成的流體中，多組分組成的流體

6、中，單位體積流體在單位時間內，由于化單位時間內，由于化學反應或其它原因所學反應或其它原因所產生產生（或（或消失消失）的）的組分的組分的質量質量。I 上述質量守恒方程中，至少包括上述質量守恒方程中，至少包括 4個未知變個未知變量量 有時可以獨立給出（如抽、注、示蹤劑的速率），但有時也有時可以獨立給出（如抽、注、示蹤劑的速率），但有時也與與 有關，如吸附作用、溶解作用，不能簡單的有關，如吸附作用、溶解作用，不能簡單的 給定，因此上述給定，因此上述方程不能單獨求解，還必須引入方程不能單獨求解，還必須引入通量通量與與驅動力驅動力之間的關系式，即之間的關系式，即質質量通量量通量與與組分密度組分密度間的關

7、系。間的關系。zyxuuu,I 在多組分組成的溶體體系中，一種組分的運移受兩個因素的驅動在多組分組成的溶體體系中，一種組分的運移受兩個因素的驅動：2-3 組分的對流擴散方程（連續(xù)介質）一一是受流體的流動的控制是受流體的流動的控制，即該組分按平均流速隨這個流體體系，即該組分按平均流速隨這個流體體系的運移，的運移， 即即對流對流；二二是該組分的自身分子擴散是該組分的自身分子擴散，即由，即由濃度梯度濃度梯度引起的相對于平均流速引起的相對于平均流速運移的運移的分子擴散分子擴散。uutuututIdivdivdivdiv下面在下面在組分質量守恒方程基礎上建立組分質量守恒方程基礎上建立組分的組分的對流對流

8、擴散方程擴散方程：引入引入組分的質量擴散通量組分的質量擴散通量 則上式可寫成：則上式可寫成：JIJutdivdiv 是是組分的質量通量組分的質量通量 的的對流對流分量。分量。 是是組分的質量通量組分的質量通量 的的擴散擴散分量。分量。uuJu 對于上有溶質、溶劑兩種組分構成的二元體系，對于上有溶質、溶劑兩種組分構成的二元體系，組分在等溫組分在等溫條件（忽略熱擴散）相對于質量平均速度條件（忽略熱擴散）相對于質量平均速度 的擴散通量的擴散通量 可依可依Fick定律得出：定律得出：uJgradmDJ 表示溶質的分子擴散系數：表示溶質的分子擴散系數：mDICDuCtCmgraddivdiv二元體系中二

9、元體系中組分的組分的對流對流擴散方程擴散方程 對于低濃度溶液，濃度對于低濃度溶液，濃度C的改變并不明顯地影響的改變并不明顯地影響 ，于是，于是 可視為常量，可視為常量， 也可視為常數。則：也可視為常數。則：mDCDJmgradICDuCtCmgraddivdiv稀釋的二元體系中稀釋的二元體系中組分的對流組分的對流擴散方程擴散方程 將上述對流擴散方程加上適當的邊界條件和初始條件。即可用來解決流動的地表水中組分的分布及變化規(guī)律（例如地表水體中污染物質的遷移）。應用條件：1、二元體系二元體系；2、等溫條件等溫條件；3、低濃度低濃度；因此，必須對上述方程的各變量在典型單元體上取平均值，也就是從微觀水平

10、上的研究過渡到比較粗的宏觀水平上來研究多孔介質中所發(fā)生的現象。方程中微觀變量C、 ，都是相對于流體的質點而言的，而實際工作中都是取它們在典型單元體上的平均值。u2-4 多孔介質中水動力彌散方程 上述對流擴散方程是對流體連續(xù)介質建立的，若從這種微觀水平上來研究多孔介質中的溶質輸運，則需把多孔介質的骨架作為問題的邊界。 將速度將速度 和濃度和濃度 在典型單元體的空隙體積在典型單元體的空隙體積 上取平上取平均均 值值 和和 ：CuVV。uCvoVVVodVuVu1voVVVoCdVVC1速度速度 和濃度和濃度 可分別用平均值可分別用平均值 、 和偏差和偏差 、 之和之和來表示：來表示：uuCCuC顯

11、然顯然0u0CICCDuuCCtCCmgraddivdivuuuCCC于是連續(xù)性水動力方程可以寫成：于是連續(xù)性水動力方程可以寫成：注意到注意到：在典型單元體上的液相體積中取平均值，得在典型單元體上的液相體積中取平均值，得0uCuC0uCuC并且：并且：梯度的平均梯度的平均等于等于平均的梯度；散度的平均平均的梯度；散度的平均等于等于平均的散度；平均的散度；對時間導數的平均值對時間導數的平均值等于等于平均對時間求導平均對時間求導?？傻茫?。可得：ICDuCuCtCmgraddivdivdivuCuCCuC )( uCuC ICCDuuCCtCCmgraddivdiv)(展開，得展開，得ICDCDuC

12、uCuCuCtCtCmmgraddivgraddivdivdivdivdivCDCDCDmmmgradgradgrad 在溶液連續(xù)體中的分子擴散系數在溶液連續(xù)體中的分子擴散系數 在多孔介質典型單元在多孔介質典型單元體的空隙體積上取平均之后變?yōu)轶w的空隙體積上取平均之后變?yōu)閙D mD多孔介質的分子擴散系數多孔介質的分子擴散系數它是一個張量，一般講，他在數值上要它是一個張量，一般講，他在數值上要小于小于 。mDuC在平均過程中而引入的宏觀水平上的附加變量為在平均過程中而引入的宏觀水平上的附加變量為 機械彌散變量機械彌散變量，它是由于速度偏差，它是由于速度偏差 而產生的彌散而產生的彌散通量。如果不存在

13、速度偏差通量。如果不存在速度偏差 ，并忽略分子擴散，并忽略分子擴散，則溶質呈現則溶質呈現“活塞式推進活塞式推進”或遷移。或遷移。uuCDuCgrad 機械彌散系數（張量）機械彌散系數（張量） 實驗表明實驗表明：機械彌散通量類似介質中的分子擴散通量，也服從：機械彌散通量類似介質中的分子擴散通量，也服從于類似于類似FickFick擴散定律的形式：擴散定律的形式：DIuCCDtCdivgraddivDDD 水動力彌散系數水動力彌散系數上式稱為水動力彌散方程。上式稱為水動力彌散方程。CDJDgrad水動力彌散通量多孔介質的分子擴散系數機械彌散系數水動力彌散系數水動力彌散系數ICDDuCtC grad)

14、(divdiv記則建立建立水動力彌散方程，水動力彌散方程，我們涉及了我們涉及了3 3個水平，即分子水平、微觀水個水平，即分子水平、微觀水平和宏觀水平。地下水動力學中，一般僅涉及宏觀水平。但對于彌平和宏觀水平。地下水動力學中，一般僅涉及宏觀水平。但對于彌散問題，必須涉及到此散問題，必須涉及到此3 3個水平。這是因為：不講分子水平，就無個水平。這是因為：不講分子水平，就無法理解分子擴散、不講微觀水平，就搞不清機械彌散；法理解分子擴散、不講微觀水平，就搞不清機械彌散；但為了解決問題，我們最終不得不上升到宏觀水平上來。但為了解決問題，我們最終不得不上升到宏觀水平上來。 習慣上去掉“”，水動力彌散方程即

15、表示為：IuCxxCDtCijijdivIuCCDtCdivgraddiv寫成微分的形式：3 , 2 , 1,ji I多組分組成的流體中，多組分組成的流體中，單位體積流體在單位時間內，由于化單位時間內，由于化學反應或其它原因所學反應或其它原因所產生產生（或（或消失消失）的某組分的）的某組分的質量質量。展開：展開：IuCzuCyuCxzCDyCDxCDzzCDyCDxCDyzCDyCDxCDxtCzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxx對于一維流動二維水動力彌散：IuCxyCDxCDyyCDxCDxtCxyyyxxyxx對于一維流動一維水動力彌散：IuCxxCDxtCxxx2-5 源匯項源匯項

16、源匯項 系指在單位時間內、單位液相體積中由于化學反應、生系指在單位時間內、單位液相體積中由于化學反應、生物化學作用或抽注水等產生減少物化學作用或抽注水等產生減少組分的質量。組分的質量。2-5-1 放射性密度與化學、生物化學反應放射性密度與化學、生物化學反應設其變化規(guī)律為：設其變化規(guī)律為：teCC0CeCtCt0即：衰變速率與當時濃度成正比CuCxxCDtCijijdiv3 , 2 , 1,ji 若由于化學反應或生物化學反應而使示蹤劑在單位體積溶液中的消耗速率或產生速率與其濃度成正比，也可以用上述式子表示。2-5-2 吸附與解吸 吸附與解吸：在一定條件下，溶液中某些溶質在多孔介質的固相表面產生吸

17、附、解吸等物理化學作用。 這些作用的結果應該綜合到源匯項中：如果固相表面吸附示蹤劑，稱為吸附，視為匯；否則，稱為解吸，視為源。(匯 )水吸 附解 吸離 子 交 換固 體(源 )(源 、 匯 )溶解相溶解相與吸附之間的吸附解析作用與吸附之間的吸附解析作用往往是一個可逆的過程：AAA吸附解析0)1()(tCntnC多孔介質多孔介質孔隙度孔隙度固體骨固體骨架體積架體積溶解相溶解相A A的密度的密度吸附相吸附相的密度的密度對于飽水多孔介質對于飽水多孔介質 n= =常數常數（孔隙率），則（孔隙率），則tCntCn)1 (tCnnI)1 (常數CnnC)1 ()(則則在體積為在體積為1 1的含水層中，如果

18、體系中某種溶質的吸附的含水層中，如果體系中某種溶質的吸附- -解吸為平衡，解吸為平衡，則有則有 I 表示單位時間內在單位液相體積由于這些作用增加或減少的示蹤劑的質量。 （i）對于非均衡吸附作用：）對于非均衡吸附作用：0CKCKrf 吸附作用常數吸附作用常數解析作用常數解析作用常數rK （ii）對于均衡吸附作用：）對于均衡吸附作用：CKCKKCdrf平衡常數平衡常數tCKnntCnnId)1 ()1 (tCKnnId10CKCKrffKiiiijidCuxxCDxtCKnn 113 , 2 , 1,ji令ddKnnR11則上式可以寫為：則上式可以寫為：diijdijiRuCxxCRDxtC3 ,

19、 2 , 1,ji該方程形式上也不再含有源匯項。只是用只是用 去除以水動力彌散系數去除以水動力彌散系數 和流速和流速 ，由于，由于 ，因，因此吸附作用產生的后果，相對于此吸附作用產生的后果，相對于 和和 均減小均減小 ，起到減緩，起到減緩彌散的作用。所以把彌散的作用。所以把 稱為：減緩因子。稱為：減緩因子。DudR1dRDudR1dR將其代入對流將其代入對流彌散方程中整理得到：彌散方程中整理得到：2-5-3 抽水與注水抽水與注水 如果有抽水或注水井，含水層中示蹤劑的質量就會發(fā)生變化：如果有抽水或注水井，含水層中示蹤劑的質量就會發(fā)生變化：（i）當抽水時：）當抽水時：若假設單位時間內從單位體積含水

20、層中的抽水量為若假設單位時間內從單位體積含水層中的抽水量為W。則。則CnWI孔隙率孔隙率為抽水點處的溶質濃度為抽水點處的溶質濃度表示失去的溶質表示失去的溶質則，水動力彌散方程可寫為：則，水動力彌散方程可寫為：CnWCuxxCDxtCiijiji3 , 2 , 1,ji（ii）單位時間內向單位體積含水層中注入含有示蹤劑的水（示蹤）單位時間內向單位體積含水層中注入含有示蹤劑的水（示蹤劑濃度劑濃度C0）)(0CCnWI水動力彌散方程為：水動力彌散方程為：)(0CCnWCuxxCDxtCiijiji3 , 2 , 1,ji0CnWI0CnWCuxxCDxtCiijiji或或 若含水量若含水量不等于常數

21、（飽氣帶）。不等于常數（飽氣帶）。（iii）含水層中注入濃度）含水層中注入濃度C0的放射性示蹤劑，該示蹤劑又與固體顆的放射性示蹤劑，該示蹤劑又與固體顆粒發(fā)生均衡吸附作用，此時的水動力彌散方程可表示為：粒發(fā)生均衡吸附作用，此時的水動力彌散方程可表示為：0CnWCRuCxxCRDxtCdiiidiji3,2, 1,ji則：則：0WCCRuCxxCRDxtCdiiidiji3,2,1,ji研究非飽和帶中的溶質運移研究非飽和帶中的溶質運移非飽和水動力彌散方程。2-6 初始條件與邊界條件水動力彌散方程揭示了溶質在地下水中運移的一般規(guī)律，對于一個具體問題，我們必須知道其初始的狀態(tài)，以及邊界條件，才能達到地

22、下水中溶質的空間分布規(guī)律及其隨時間的變化。2-6-1 初始條件初始條件 描述綜合初始時刻，研究區(qū)D內各點（x,y,z)處的濃度分布狀態(tài)的條件（數學表達式） 初始條件如),(|00zyxCCtDzyx,初始條件確指原始狀態(tài)；初始時刻可以任意選定，只要已知那一時刻研究區(qū)各點的濃度即可。 例如：t=0時向某區(qū)域注入含示蹤劑的水，若在此之前研究區(qū)D不含該示蹤劑，則C(x,y,z)=0。如：在彌散試驗時，可將示蹤劑注入前濃度分布視為初始狀態(tài)。設計地下污水治理方案時，可將現狀污染物分布視為初始條件。2-6-2 邊界條件 邊界條件指的是研究區(qū)邊界上的溶質濃度分布和變化情況或邊界上流入（或流出）研究區(qū)的濃度分

23、布和變化情況。主要有以下三類情況 1、第一類邊界條件：給定濃度邊界，即已知邊界上的濃度分布。 tzyxfCB,110,1tBzyx為B B1上的已知函數為研究區(qū)D的第一類邊界 2、第二類邊界條件 給定彌散通量邊界 指已知邊界彌散通量隨時間變化規(guī)律的邊界條件，或者稱之為Neumann邊界條件，tzyxfnCDB,grad220,2tBtzyx水動力彌散系數為研究區(qū)上的第二類邊界為邊界B2上某點（x，y，z）處的外法線方向上的單位向量已知函數，定義在B2上。 3、第三類邊界條件 給定溶質通量邊界 指已知邊界上溶質通量隨時間變化規(guī)律的邊界條件，或稱之為Cauchy邊界條件。zyxfnCDuCB,gr

24、ad330,3tBtzyx孔隙平均流速已知函數為研究區(qū)上的第三類邊界數學模型：描述實際問題的函數或數學方程。數學模型：描述實際問題的函數或數學方程。地下水溶質運移數學模型：微分方程地下水溶質運移數學模型：微分方程+初始條件初始條件+邊界條件。邊界條件。一般可以寫成：一般可以寫成：2-7 數學模型IuCxxCDxtCxxx),(|00zyxCCtDzyx,zyxfnCDuCB,grad330,3tBzyx0,tDzyx例例1 1： 無限長多孔介質柱體，初始示蹤劑呈階梯函數分布無限長多孔介質柱體，初始示蹤劑呈階梯函數分布 設有一無限長均質砂柱，以速度設有一無限長均質砂柱，以速度u做穩(wěn)定流動，且初始

25、濃度呈階做穩(wěn)定流動，且初始濃度呈階梯狀分布（梯狀分布（圖圖48）。）。解：該問題屬于一維穩(wěn)定流動一維水動力彌散問題，取坐標系如圖解：該問題屬于一維穩(wěn)定流動一維水動力彌散問題，取坐標系如圖4-8，則數學模型可寫成，則數學模型可寫成xCuxCDtCL2200)0 ,(10 xCxCxC0),(0tCtC0),(1tCtC例例2 2： 半無限長多孔介質柱體，一端為定濃度邊界半無限長多孔介質柱體，一端為定濃度邊界 設有一半無限長均質砂柱，一維穩(wěn)定流動，孔隙平均流速為設有一半無限長均質砂柱，一維穩(wěn)定流動，孔隙平均流速為u，其一端為定濃度邊界，求其濃度分布。其一端為定濃度邊界，求其濃度分布。 解：取坐標系

26、如圖解：取坐標系如圖410所示。該問題的數學模型可描述如下所示。該問題的數學模型可描述如下 xCuxCDtCL220)0 ,(xC0), 0(CtC0),( tC例3： 一維穩(wěn)定流動二維水動力彌散問題 在均質各向同性、等厚的承壓含水層中存在著一維穩(wěn)定流在均質各向同性、等厚的承壓含水層中存在著一維穩(wěn)定流動，孔隙平均流速為動，孔隙平均流速為u，取，取x坐標軸平行地下水流向（圖坐標軸平行地下水流向（圖411）。）。這時，對于水動力彌散系數而言卻是均質各向異性的，在這時，對于水動力彌散系數而言卻是均質各向異性的，在x方向方向為縱向彌散系數為縱向彌散系數DL，而在，而在y方向為橫向彌散系數方向為橫向彌散

27、系數DT。 xCuyCDxCDtCxTL22220)0 ,(yxC0), 0(CtyC0),(tyC0),( txC 習題： 1.設計Fick試驗儀，驗證Fick定律，計算多孔介質分子擴散系數及水動力彌散系數。2.寫出一維砂柱溶質運移數學模型 例一、如下圖多孔介質A的邊界外為另一種介質B則在A-B的邊界上，溶質通量應該保持BLxALxxCDCunxCDCun21n為孔隙率為孔隙率例二、如右圖多孔介質為無孔隙介質，則通過該邊界的流量和溶質的質量都為0。000BxLxxCuxCDu0LD例三、多孔介質外圍為Cr的河水。0BdrLxdrLxxCDuCxCDCunxCDuCxCDCun若忽略分子擴散：若忽略分子擴散：0BrLxuCxCDCu當是湖泊，水流靜止：當是湖泊，水流靜止：0BLxxCDCu例四、多求介質邊界為空氣，此時兩側的濃度相等：0BxC濃度不變，變化率為0。方向導數：方向導數：coscoscoszuyuxulu梯度：梯度：sMusMulu)()(lim定義：若在數量場中的一點定義：若在數量場中的一點M處，存在這樣的矢量處，存在這樣的矢量G，其方，其方向為函數向為函數u(M)在點在點M處變化率最大的方向，其模也正好是處變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數位