第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法.

1、復(fù)變函數(shù)教案 第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法 河北民族師范學(xué)院數(shù)計系第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法級數(shù)也是研究解析函數(shù)的一個重要工具，這部分內(nèi)容大都是數(shù)學(xué)分析中的內(nèi)容的平移推廣。第一節(jié) 復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)（1）教學(xué)課題：第一節(jié) 復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)（1）教學(xué)目的：1、理解復(fù)級數(shù)斂、散、和的定義并掌握收斂性的刻畫定理；2、掌握復(fù)級數(shù)的絕對收斂性的概念及其判別法；3、切實了解復(fù)函數(shù)項級數(shù)收斂與一致收斂的定義；4、掌握柯西一致收斂準(zhǔn)則和優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則；5、掌握復(fù)連續(xù)函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，并充分了解復(fù)函數(shù)級數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性。6、了解關(guān)于解析函數(shù)項級數(shù)的威爾斯特拉斯定理。教學(xué)重點：復(fù)級數(shù)斂、散、和的定義并掌握收斂性

2、的刻畫定理；教學(xué)難點：復(fù)函數(shù)級數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性。教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：復(fù)級數(shù)也是研究解析函數(shù)的一種重要工具，它是我們根據(jù)原來函數(shù)項級數(shù)的內(nèi)閉一致收斂對級數(shù)進(jìn)行分析性質(zhì)的研究。教學(xué)過程：1、復(fù)數(shù)項級數(shù)和復(fù)數(shù)序列：1.1復(fù)數(shù)序列及其斂散性復(fù)數(shù)序列就是：在這里，是復(fù)數(shù)，一般簡單記為。按照是有界或無界序列，我們也稱為有界或無界序列。設(shè)是一個復(fù)常數(shù)。如果任給，可以找到一個正數(shù)N，使得當(dāng)nN時,那么我們說收斂或有極限，或者說是收斂序列，并且收斂于，記作。如果序列不收斂，則稱發(fā)散，或者說它是發(fā)散序列。令，其中a和b是實數(shù)。由不等式容易看出，等價于下列兩極限式：因此，有下面的

3、注解：注解1、序列收斂（于）的必要與充分條件是：序列收斂（于a）以及序列收斂（于b）。注解2、復(fù)數(shù)序列也可以解釋為復(fù)平面上的點列，于是點列收斂于，或者說有極限點的定義用幾何語言可以敘述為：任給的一個鄰域，相應(yīng)地可以找到一個正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時，在這個鄰域內(nèi)。注解3、利用兩個實數(shù)序列的相應(yīng)的結(jié)果，我們可以證明，兩個收斂復(fù)數(shù)序列的和、差、積、商仍收斂，并且其極限是相應(yīng)極限的和、差積、商。1.2 復(fù)數(shù)項級數(shù)及其斂散性復(fù)數(shù)項級數(shù)就是或記為，或，其中是復(fù)數(shù)。定義其部分和序列為：如果序列收斂，那么我們說級數(shù)收斂；如果的極限是，那么說的和是，或者說收斂于，記作，如果序列發(fā)散，那么我們說級數(shù)發(fā)散。注解1、對

4、于一個復(fù)數(shù)序列，我們可以作一個復(fù)數(shù)項級數(shù)如下則序列的斂散性和此級數(shù)的斂散性相同。注解2、級數(shù)收斂于的定義可以敘述為：，注解3、如果級數(shù)收斂，那么定理4.1、令 ，我們有因此，級數(shù)收斂（于）的必要與充分條件是：級數(shù)收斂（于a）以及級數(shù)收斂（于b）。注解、關(guān)于實數(shù)項級數(shù)的一些基本結(jié)果，可以不加改變地推廣到復(fù)數(shù)項級數(shù)，例如下面的柯西收斂原理：柯西收斂原理（復(fù)數(shù)項級數(shù)）：級數(shù)收斂必要與充分條件是：任給，可以找到一個正整數(shù)N，使得當(dāng)nN，p=1,2,3,時，柯西收斂原理（復(fù)數(shù)序列）：序列收斂必要與充分條件是：任給，可以找到一個正整數(shù)N，使得當(dāng)m及nN，對于復(fù)數(shù)項級數(shù)，我們也引入絕對收斂的概念：如果級數(shù)收

5、斂，我們稱級數(shù)絕對收斂。注解1、級數(shù)絕對收斂必要與充分條件是：級數(shù)以及絕對收斂：事實上，有注解2、若級數(shù)絕對收斂，則一定收斂。例、當(dāng)時，絕對收斂；并且有我們有，當(dāng)時，如果復(fù)數(shù)項級數(shù)及絕對收斂，并且它們的和分別為，那么級數(shù)也絕對收斂，并且它的和為。第一節(jié) 復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)（2）教學(xué)課題：第一節(jié) 復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)目的：1、理解復(fù)級數(shù)斂、散、和的定義并掌握收斂性的刻畫定理；2、掌握復(fù)級數(shù)的絕對收斂性的概念及其判別法；3、切實了解復(fù)函數(shù)項級數(shù)收斂與一致收斂的定義；4、掌握柯西一致收斂準(zhǔn)則和優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則；5、掌握復(fù)連續(xù)函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，并充分了解復(fù)函數(shù)級數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性。6、了解關(guān)于解析函數(shù)項級數(shù)的

6、威爾斯特拉斯定理。教學(xué)重點：復(fù)級數(shù)斂、散、和的定義并掌握收斂性的刻畫定理；教學(xué)難點：復(fù)函數(shù)級數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性。教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：復(fù)級數(shù)也是研究解析函數(shù)的一種重要工具，它是我們根據(jù)原來函數(shù)項級數(shù)的內(nèi)閉一致收斂對級數(shù)進(jìn)行分析性質(zhì)的研究。2、一致收斂的復(fù)函數(shù)項級數(shù)和復(fù)函數(shù)序列：定義4.3 設(shè)在復(fù)平面點集E上有定義，那么：是定義在點集E上的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)，記為，或。設(shè)函數(shù)f(z)在E上有定義，如果在E上每一點z，級數(shù)都收斂于f(z)，那么我們說此級數(shù)在E上收斂（于f(z)），或者此級數(shù)在E上有和函數(shù)f(z)，記作設(shè)是E上的復(fù)變函數(shù)列，記作或。設(shè)函數(shù)在E上有定義，如

7、果在E上每一點z，序列都收斂（于），那么我們說此序列在E上收斂（于），或者此序列在E上有極限函數(shù)，記作注解1、復(fù)變函數(shù)項級數(shù)收斂于f(z)的定義可以敘述為：注解2、復(fù)變函數(shù)序列收斂于的定義可以敘述為：定義4.4 如果任給，可以找到一個只與有關(guān)，而與z無關(guān)的正整數(shù)，使得當(dāng)時，有或 那么我們說級數(shù)或序列在E上一致收斂（于f(z)或）。注解、和實變函數(shù)項級數(shù)和序列一樣，我們也有相應(yīng)的柯西一致收斂原理：定理4.5 柯西一致收斂原理（復(fù)函數(shù)項級數(shù)）：復(fù)變函數(shù)項級數(shù)在E上一致收斂必要與充分條件是：任給，可以找到一個只與有關(guān)，而與z無關(guān)的正整數(shù)，使得當(dāng)，p=1,2,3,時，有柯西一致收斂原理 （復(fù)變函數(shù)序列

8、）：復(fù)變函數(shù)序列在E上一致收斂必要與充分條件是：任給，可以找到一個只與有關(guān)，而與z無關(guān)的正整數(shù)，使得當(dāng)時，有注解、一致收斂的魏爾斯特拉斯判別法（M-判別法）：設(shè)在復(fù)平面點集E上有定義，并且設(shè)是一個收斂的正項級數(shù)。設(shè)在E上， 那么級數(shù)在E上一致收斂。定理4.6 設(shè)復(fù)平面點集E表示區(qū)域、閉區(qū)域或簡單曲線。設(shè)在集E上連續(xù)，并且級數(shù)或序列在E上一致收斂于f(z)或，那么f(z)或在E上連續(xù)。定理4.7 設(shè)在簡單曲線C上連續(xù)，并且級數(shù)或序列在C上一致收斂于f(z)或，那么或注解1、在研究復(fù)變函數(shù)項級數(shù)和序列的逐項求導(dǎo)的問題時，我們一般考慮解析函數(shù)項級數(shù)和序列；注解2、我們主要用莫勒拉定理及柯西公式來研究

9、和函數(shù)與極限函數(shù)的解析性及其導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)在復(fù)平面C上的區(qū)域D內(nèi)解析。如果級數(shù)或序列在D內(nèi)任一有界閉區(qū)域（或在一個緊集）上一致收斂于f(z)或，那么我們說此級數(shù)或序列在D中內(nèi)閉（或內(nèi)緊）一致收斂于f(z)或。定理4.8（魏爾斯特拉斯定理） 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，并且級數(shù)或序列在D內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)f(z)或，那么f(z)或在區(qū)域D內(nèi)解析，并且在D內(nèi)或證明：先證明f(z)在D內(nèi)任一點解析，取的一個鄰域U，使其包含在D內(nèi)，在U內(nèi)作一條簡單閉曲線C。由定理2.2以及柯西定理，因為根據(jù)莫勒拉定理，可見f(z)在U內(nèi)解析。再由于是D內(nèi)任意一點，因此f(z)在D內(nèi)解析。其次，設(shè)U的邊界即圓K也在D內(nèi)，于是，

10、對于一致收斂于。由定理2.2，我們有也就是因此，定理中關(guān)于級數(shù)的部分證明結(jié)束。對于序列，我們也先證明在D內(nèi)任一點解析，取的一個鄰域U，使其包含在D內(nèi)，在U內(nèi)作一條簡單閉曲線C。由定理2.2以及柯西定理，因為根據(jù)莫勒拉定理，可見在U內(nèi)解析。再由于是D內(nèi)任意一點，因此在D內(nèi)解析。其次，設(shè)U的邊界即圓K也在D內(nèi)，于是，對于一致收斂于。由定理2.2，我們有 也就是因此，定理中關(guān)于序列的部分證明結(jié)束。第二節(jié) 冪級數(shù)教學(xué)課題：第二節(jié) 冪級數(shù)教學(xué)目的：1、理解冪級數(shù)的收斂性；2、充分理解冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域的意義；3、切實掌握冪級數(shù)和函數(shù)的解析性。教學(xué)重點：冪級數(shù)和函數(shù)的解析性；教學(xué)難點：冪級數(shù)和函數(shù)的

11、解析性。教學(xué)方法：啟發(fā)式、探究式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：冪級數(shù)是一種簡單解析函數(shù)項級數(shù)，把解析函數(shù)表示為簡單的冪級數(shù)，不僅有理論上的意義，更有實際的意義。教學(xué)過程：1、冪級數(shù)的斂散性：本節(jié)研究一類特別的解析函數(shù)項級數(shù)，即冪級數(shù)其中z是復(fù)變數(shù)，系數(shù)是任何復(fù)常數(shù)。注解1、這類級數(shù)在復(fù)變函數(shù)論中有特殊重要的意義；注解2、一般冪級數(shù)在一定的區(qū)域內(nèi)收斂于一個解析函數(shù)；注解3、在一點解析的函數(shù)在這點的一個鄰域內(nèi)可以用冪級數(shù)表示出來，因此一個函數(shù)在某個點解析的必要與充分條件是，它在這個點的某個鄰域內(nèi)可以展開成一個冪級數(shù)。首先研究冪級數(shù)的收斂性，我們有阿貝爾第一定理：定理4.10 如果冪級數(shù)在收

12、斂，那么對滿足的任何 z，它都不僅絕對收斂，而且內(nèi)閉一致收斂。證明：由于冪級數(shù)在收斂，所以有，因此存在著有限常數(shù)M，使得。把級數(shù)改寫成則有其中已令由于級數(shù)收斂，所以此冪級數(shù)在滿足的任何點 z不僅收斂，而且絕對收斂。注解：與冪級數(shù)相對應(yīng)，作實系數(shù)冪級數(shù)其中x為實變數(shù)。則有推論4.11 如果冪級數(shù)在發(fā)散，那么對滿足的任何 z，它都發(fā)散。定理4.11 設(shè)的收斂半徑是R，那么按照不同情況，我們分別有：(1)、如果，那么當(dāng)時，級數(shù)絕對收斂，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；（2）如果，那么級數(shù)在復(fù)平面上每一點絕對收斂；（3）如果R=0，那么級數(shù)在復(fù)平面上除去外每一點發(fā)散。證明： （1）先考慮的情形。如果，那么可以找到一個

13、正實數(shù)，使它滿足。由于級數(shù)在時絕對收斂，所以級數(shù)在時絕對收斂，從而它在時也絕對收斂。如果，那么可以找到一個正實數(shù)，使它滿足。假定級數(shù)在時收斂，那么級數(shù)在時也收斂，與所設(shè)相矛盾。（2）如果，則對任何實數(shù)x，級數(shù)都絕對收斂。如果，由于級數(shù)在時絕對收斂，所以級數(shù)在時絕對收斂，從而它在時也絕對收斂，由于的任意性，那么級數(shù)在復(fù)平面上每一點絕對收斂；（3）如果R=0，則對任何實數(shù)，級數(shù)都發(fā)散。若存在一個復(fù)數(shù)，使得收斂，則由定理3.1，當(dāng)時，絕對收斂，即收斂，所以存在，使得收斂，與假設(shè)矛盾。注解1、當(dāng)時，對于，級數(shù)的斂散性不定。注解2、和數(shù)學(xué)分析中一樣，定理3.2中的稱為此級數(shù)的收斂半徑；而稱為它的收斂圓盤

14、。當(dāng)時，我們說此級數(shù)的收斂半徑是，收斂圓盤擴(kuò)大成復(fù)平面。當(dāng)R=0時，我們說此級數(shù)的收斂半徑是0，收斂圓盤收縮成一點。注解3、因此，求的收斂半徑的問題歸結(jié)成求的收斂半徑的問題。和數(shù)學(xué)分析中一樣，常見情況下，可以用達(dá)朗貝爾法則或柯西法則求出。對于一般情況，則可用柯西-阿達(dá)馬公式求出，因此，有下面的定理：定理4.12 如果下列條件之一成立：（1） （2） （3） 那么當(dāng)（1）時，級數(shù)的收斂半徑；（2）當(dāng)時， ；（3）當(dāng)時， 。注解1、公式（3）中的l總是存在的。注解2、（上極限的定義）已給一個實數(shù)序列。數(shù)滿足下列條件：任給，（1）至多有有限個；（2）有無窮個，那么說序列的上極限是L，記作如果任給，有

15、無窮個，那么說序列的上極限是，記作如果任給，至多有有限個，那么說序列的上極限是，記作注解3、（柯西-阿達(dá)馬公式的證明）設(shè)，任取定z，使得?？梢哉业?，使得。又由上極限的定義，存在著N0，使得當(dāng)nN時從而因此級數(shù)在時絕對收斂。由于的任意性，得到此級數(shù)在內(nèi)絕對收斂。另一方面，任取定，使得?？梢哉业?，使得。又由上極限的定義，有無窮多個，滿足，即滿足因此級數(shù)在時發(fā)散，從而此級數(shù)在內(nèi)發(fā)散。注解4、冪級數(shù)的和是收斂圓內(nèi)有定義的一個函數(shù)，我們稱為和函數(shù)。定理4.13 設(shè)冪級數(shù)有收斂圓盤。那么在內(nèi)，它內(nèi)閉一致收斂；它的和函數(shù)解析，并且證明：我們只需證明在收斂圓盤內(nèi)閉一致收斂即可。設(shè)E是這個圓盤內(nèi)的任意一個緊集。

16、于是存在著0rR，使得E包含在閉圓盤內(nèi)。于是當(dāng)時因為收斂，所以在E上一致收斂，因此它在收斂圓內(nèi)閉一致收斂。注解：冪級數(shù)在收斂圓周的收斂與發(fā)散不定。例1、級數(shù) 的收斂半徑是1。注解1、由柯西準(zhǔn)則我們可以證明，復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的一個必要條件也是其通項趨近于0。注解2、例1中的冪級數(shù)在|z|=1上通項不趨近于0，所以發(fā)散。例2、級數(shù) 的收斂半徑是1。在收斂圓|z|=1上，有，而級數(shù)收斂，所以此冪級數(shù)在收斂圓周上處處收斂。注解：下面將要證明，例2中冪級數(shù)的和函數(shù)等于它在|z|=1上，除去z=-1外，處處解析。3、冪級數(shù)和的解析性定理4.14（1）冪級數(shù)的和函數(shù)f(z)在氣收斂園內(nèi)解析；（2）在K內(nèi)冪級數(shù)

17、可以逐項求導(dǎo)至任意階；（3）第三節(jié) 解析函數(shù)的泰勒展式教學(xué)課題：第三節(jié) 解析函數(shù)的泰勒（Taylor）展式教學(xué)目的：1、掌握泰勒定理、泰勒系數(shù)公式及解析函數(shù)的等價刻畫命題；2、充分理解冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周上的狀況；3、了解冪級數(shù)的四則運(yùn)算及其冪級數(shù)的各種展開法。教學(xué)重點：泰勒定理、泰勒系數(shù)公式及解析函數(shù)的等價刻畫命題教學(xué)難點：冪級數(shù)的各種展開法教學(xué)方法：啟發(fā)式、討論式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：主要研究在圓內(nèi)解析的函數(shù)如何展開成冪級數(shù)的問題。教學(xué)過程：1、解析函數(shù)泰勒定理：定理4.14、設(shè)函數(shù)f(z)在圓盤內(nèi)解析，那么在U內(nèi)，證明：設(shè)。以為心，在U內(nèi)作一個圓C，使z屬于其內(nèi)區(qū)域。

18、我們有由于當(dāng)時，又因為所以上式的級數(shù)當(dāng)時一致收斂。把上面的展開式代入積分中，然后利用一致收斂級數(shù)的性質(zhì)，得其中，由于z是U內(nèi)任意一點，定理的結(jié)論成立。定理4.15 函數(shù)f(z)在一點解析的必要與充分條件是：它在的某個鄰域內(nèi)有定理4.14中的冪級數(shù)展式。注解：在定理4.14中，f(z)在U內(nèi)的冪級數(shù)展式我們稱為它在U內(nèi)的泰勒展式。推論4.11 冪級數(shù)是它的和函數(shù)f(z)在收斂圓內(nèi)的泰勒展式，即因此，我們有解析函數(shù)的冪級數(shù)展式的唯一性定理：推論4.12 在定理4.11中，冪級數(shù)的和函數(shù)f(z)在U內(nèi)不可能有另一種形式的冪級數(shù)。注解： 利用泰勒展式的唯一性定理，我們可以用多種方法求一個函數(shù)的泰勒展式

19、，所得結(jié)果一定相同。例1、 求在z=0的泰勒展式。解：由于，所以，因此同理，有由于在復(fù)平面上，以某些射線為割線而得的區(qū)域內(nèi)，多值函數(shù)-對數(shù)函數(shù)和一般冪函數(shù)可以分解成解析分支，因此在已給區(qū)域中任一圓盤內(nèi)，可以作出這些分支的泰勒展式。例2、求Ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展式：解：已給解析分支在z=0的值為0，它在z=0的一階導(dǎo)數(shù)為1，二階導(dǎo)數(shù)為-1，n階導(dǎo)數(shù)為,因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是：其收斂半徑1。例3、求的下列解析分支在z=0的泰勒展式（其中不是整數(shù)），。解：已給解析分支在z=0的值為1，它在z=0的一階導(dǎo)數(shù)為，二階導(dǎo)數(shù)為，n階導(dǎo)數(shù)為,因此，它在z=0或在|z|1

20、的泰勒展式是：其中，其收斂半徑為1。注解、這是二項式定理的推廣，對為整數(shù)的情況也成立。第四節(jié) 解析函數(shù)零點的孤立性及唯一性定理教學(xué)課題：第四節(jié) 解析函數(shù)零點的孤立性及唯一性定理教學(xué)目的：1、了解解析函數(shù)零點的概念及其有零點的解析函數(shù)的表達(dá)式2、充分理解解析函數(shù)零點的孤立性及其內(nèi)部唯一性定理；3、充分掌握解析函數(shù)的最大模原理。教學(xué)重點：解析函數(shù)零點的孤立性及其內(nèi)部唯一性定理教學(xué)難點：最大模原理教學(xué)方法：啟發(fā)式、討論式教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：解析函數(shù)零點的概念、解析函數(shù)零點的孤立性及其內(nèi)部唯一性定理以及解析函數(shù)的最大模原理是本節(jié)的主要內(nèi)容。教學(xué)過程：1、解析函數(shù)零點的孤立性：定義4.

21、7 設(shè)函數(shù)f(z)在的鄰域U內(nèi)解析，并且，那么稱為f(z)的零點。設(shè)f(z)在U內(nèi)的泰勒展式是：現(xiàn)在可能有下列兩種情形：（1）如果當(dāng)n=1,2,3,時，,那么f(z)在U內(nèi)恒等于零。（2）如果不全為零，并且對于正整數(shù)m，而對于n1，我們說是f(z)的單零點或m階零點。如果是解析函數(shù)f(z)的一個m階零點，那么顯然在的一個鄰域U內(nèi)其中在U內(nèi)解析。因此存在一個正數(shù)，使得當(dāng)時，。于是。換而言之，存在著的一個鄰域，其中是f(z)的唯一零點。定理4.17 設(shè)函數(shù)f(z)在解析，并且是它的一個零點，那么或者f(z)在的一個鄰域內(nèi)恒等于零，或者存在著的一個鄰域，在其中是f(z)的唯一零點。（簡單說來，不恒為

22、零的解析函數(shù)的零點是孤立的）注解：此性質(zhì)我們稱為解析函數(shù)零點的孤立性。推論4.18 在圓域K：內(nèi)解析，在K內(nèi)f(z)的一列零點收斂于a,則f(z)在K內(nèi)必恒為零。2、解析函數(shù)的唯一性定理：我們知道，已知一般有導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的單實變或多實變函數(shù)在它的定義范圍內(nèi)某一部分的函數(shù)值，完全不能斷定同一個函數(shù)在其他部分的函數(shù)值。解析函數(shù)的情形和這不同：已知某一個解析函數(shù)在它區(qū)域內(nèi)某些部分的值，同一函數(shù)在這區(qū)域內(nèi)其他部分的值就可完全確定。引理6.1 設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。如果f(z)在D內(nèi)的一個圓盤內(nèi)恒等于零，那么f(z)在D內(nèi)恒等于零。證明：設(shè)在D內(nèi)一個以為心的圓盤內(nèi)，。我們只需證明在以外任一點。

23、用D內(nèi)的折線L連接，存在著一個正數(shù)，使得L上任一點與區(qū)域D的邊界上任一點的距離大于。在L上依次取，而其他任意相鄰兩點的距離小于；作每一點的鄰域，顯然，當(dāng)jn時，。由于f(z)在內(nèi)恒等于零，。于是f(z)在內(nèi)泰勒展式的系數(shù)都是零，從而f(z)在內(nèi)恒等于零。一般地，已經(jīng)證明了f(z)在內(nèi)恒等于零，就可推出它在內(nèi)恒等于零，而最后就得到，因此引理的結(jié)論成立。定理4.19 如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，并且不恒等于零，那么f(z)的每個零點有一個鄰域，在其中是f(z)唯一的零點。定理4.20（解析函數(shù)的唯一性定理） 設(shè)函數(shù)f(z)及g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。設(shè)是D內(nèi)彼此不同的點(k=1,2,3,)，并且點列在D內(nèi)有極限點。如果，那么在D內(nèi)，f(z)=g(z)。證明：假定定理的結(jié)論不成立。即在D內(nèi)，解析函數(shù)F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。顯然。設(shè)是點列在D內(nèi)有極限點。由于F(z)在連續(xù)，可見?？墒沁@時找不到的一個鄰域，在其中是F(z)唯一的零點