5.4懸架襯套的特性與設計說明

1、 .5.4 懸架彈性橡膠襯套特性與設計5.4.1研究意義1 研究的意義隨著時代的發(fā)展，近年來對汽車的要求是乘坐舒適，高速，操縱穩(wěn)定，豪華。并且加緊研究解決有關(guān)公害、安全措施和噪音問題。隨著這些問題的研究解決，汽車上用的彈性件的種類逐年增加，現(xiàn)在據(jù)說已達幾百種之多。雖然防振橡膠的種類因汽車的車系、車型、車種以及因懸掛機構(gòu)的不同而多少有些差異，但其有代表性的主要種類可歸納為如圖5.4.1。圖5.4.1汽車常用的橡膠襯套用橡膠作防振材料的主要理由如下。1)橡膠的彈性模量與金屬相比非常小，隔離振動的性能優(yōu)越。圖5.4.1 汽車橡膠減振零部件分布2)橡膠是不可壓縮性的物質(zhì)，泊松比為0.5。能在應力與變形

2、之間產(chǎn)生時間延遲，具有非線性的性質(zhì)，適合作防振材料使用。3)防振橡膠本身不會誘發(fā)固有振動，出現(xiàn)沖擊性的諧振現(xiàn)象。 4)具有能自由選擇形狀的優(yōu)點，可適當選擇三方向的彈簧常數(shù)比。 5)容易和金屬牢固地粘結(jié)在一起，可使防振橡膠本身體積小，重量輕，其支撐方法也很簡單。 6)安裝后完全不需要給油和保養(yǎng)。 7)橡膠彈簧可通過不同的配方和聚合物來選擇其阻尼系數(shù)。 8)能在形狀不變的情況下改變其彈簧常數(shù)；或者在彈簧常數(shù)不變的情況下改變其形狀，這也是它的優(yōu)點。懸架系統(tǒng)承受車體重量，防止車輪上下振動傳給車身，抑制簧下的不規(guī)則運動，傳遞動力、制動力和操縱時的側(cè)向力等，從而保證汽車能夠正常行使。懸架可分為獨立懸架和非

3、獨立懸架兩個大類，而且每一類型中又有多種具體型式。一般前懸架系統(tǒng)和操縱系統(tǒng)及發(fā)動機系統(tǒng)有密切關(guān)系，前懸架系統(tǒng)的布置會直接影響到乘坐舒適性和操縱穩(wěn)定性。近年來，在轎車獨立懸架系統(tǒng)的設計開發(fā)過程中，采用剛度相對較小的彈簧來提高車輛的乘坐舒適性，就必然導致動行程過大等現(xiàn)象，從而直接影響到車輛的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)。前懸架系統(tǒng)振動與車身晃動、路面沖擊、車輪擺振等現(xiàn)象相關(guān)，為防止上述各種振動，車輛懸架系統(tǒng)中使用了許多防振橡膠。橡膠襯套最初在車輛懸架系統(tǒng)中的大量使用，得益于其無需潤滑，維修保養(yǎng)簡單，可以校正車輛組裝時的對準定向，修正各種誤差等優(yōu)點，得到廣泛應用。隨這人們對車輛性能要求的不斷提高，近年來橡膠襯套除了要具

4、備上述功能外，還要求起到抑制振動的作用。例如，振顫現(xiàn)象、路面的沖擊和發(fā)動機轉(zhuǎn)矩變化造成的后承重板簧系統(tǒng)的角振動諧振，是產(chǎn)生車內(nèi)噪音的原因，橡膠襯套對此有影響。隨著車輛性能的不斷提升，影響車輛操縱穩(wěn)定性、平順性能等重要因素越來越多的集中在了車輛的懸架系統(tǒng)中，而在車輛懸架系統(tǒng)性能的分析工作中，都必須設計到懸架橡膠襯套性能，特別對于高速行駛的車輛，橡膠彈性襯套性能的影響至關(guān)重要。為此，在研究懸架系統(tǒng)的工作中，這是一項很重要工作。2 懸架橡膠彈性襯套分類通常的襯套按制造方法和特性可分為以下幾類：A)只有橡膠的橡膠襯套；B)只有內(nèi)筒的襯套；C)有內(nèi)外筒的襯套。(1) 內(nèi)外筒粘結(jié)型；(2) 內(nèi)筒粘結(jié)、外筒

5、壓入型； (3)內(nèi)外筒都是壓入型。合成橡膠襯套是汽車或其它車輛懸架系統(tǒng)中使用的一種結(jié)構(gòu)元件。襯套實質(zhì)上是一個空心圓柱體，包括內(nèi)金屬桿、外圓柱金屬套筒和它們之間的合成橡膠。金屬套筒和桿件與車輛的懸架系統(tǒng)的部件相聯(lián)用來傳遞從車輪通過合成橡膠材料到底盤的力。合成橡膠材料被用來減少連接處的振動和沖擊。因為它們連接在車輛懸架系統(tǒng)中的不同部件上，套筒和桿件承受平行和垂直于它們共同軸線的相對位移和轉(zhuǎn)動。就是這種相對位移使合成橡膠彈性襯套受力并允許通過襯套傳遞力。在分析包括了襯套的懸架系統(tǒng)時，工程人員越來越多的使用多體系統(tǒng)動力分析的方法和軟件，特別在汽車行業(yè)應用非常廣泛。福特汽車公司的工程技術(shù)人員通過選擇正確

6、的襯套模型來對懸架系統(tǒng)的動力學特性進行預測，為了準確預測作用在懸架系統(tǒng)零部件上的動力學載荷，就必須對襯套的性能進行預測。在實際使用過程中，襯套特性是用力-位移關(guān)系來表達的。因此，確定正確的力-位移特性關(guān)系就成為襯套分析中的重要課題。5.4.2彈性橡膠襯套靜特性分析的理論及方法 1 橡膠襯套的靜力學特性橡膠襯套一般有三類：襯套長度不變；襯套長度隨半徑線性變化；切應力和襯套半徑無關(guān)為常數(shù)。1)軸向剪切特性 對于長度不變的襯套式橡膠彈簧，在軸向力作用下，位于距軸線不同距離的橡膠各點上承受有不同的切應力，而在距軸線等距離的各點上則由于結(jié)構(gòu)和外力對稱其切應力相同。在較大變形情況下，半徑處的剪切變形量可由

7、下式給出： (5.4.1)由此得到總變形量為：在近似計算時，其軸向剪切剛度為： (5.4.2)以上是純剪切情況下推導的公式，如果考慮彎曲變形的影響，其剛度為 (5.4.3)式中： (5.4.4)如果式(5.4.3)的括號中沒有第二項，則式(5.4.3)便和式(5.4.2)相同，所以這一項是反映了彎曲變形的影響。對于長度隨半徑線性變化的襯套式橡膠彈簧，軸向剪切變形為：在近似計算時軸向剪切剛度為： (5.4.5)對于切應力和半徑無關(guān)的襯套式橡膠彈簧，其軸向剪切剛度為： (5.4.6) 2)同軸扭轉(zhuǎn)特性 圖是襯套式橡膠彈簧同軸扭轉(zhuǎn)時的變形圖。長度隨半徑線性變化的襯套式橡膠彈簧的同軸扭轉(zhuǎn)剛度為： (5

8、.4.7)切應力和半徑無關(guān)的襯套式橡膠彈簧，其同軸扭轉(zhuǎn)剛度為： (5.4.8)3)徑向變形和彎曲變形特征襯套式橡膠彈簧在徑向變形(圖5.4.2a)或者彎曲變形(圖5.4.2b)時，橡膠的應力狀態(tài)是非常復雜的，并且具有剪切、壓縮和拉伸應力綜合的特征。所以，有關(guān)特性的計算也比較復雜，這里只列出剛度的近似計算公式。徑向剛度為： (5.4.9) 本文中將對橡膠彈性襯套的軸向剛度進行基于彈性理論基礎上的理論研究。為了研究方便，將研究彈性襯套簡化為如圖5.4.2所示的彈性襯套。其內(nèi)外與剛性的金屬套筒粘結(jié)，半徑分別為和，長度為。圖中只繪出了橡膠部分。假定所研究襯套的橡膠是均質(zhì)、各向同性和不可壓縮的，那么就有

9、足夠小的位移梯度，因此，可以使用經(jīng)典彈性理論進行分析工作。圖5.4.2 (a)襯套通過z為常數(shù)的橫斷面 (b)過x=0的軸向橫斷面在襯套橡膠內(nèi)建立參考坐標系，原點位于襯套軸線中心，軸與襯套軸線重合。相對于原點的任意一點在直角坐標系的坐標和其在圓柱坐標系中坐標的相互關(guān)系為： (5.4.10)假定襯套內(nèi)套筒固定,外側(cè)套筒受到軸方向力的作用。因而引起襯套外套筒在方向上偏移距離，如圖5.4.3所示。這里的工作就是要找出軸向作用力和襯套軸向方向上偏移距離表示的剛度的數(shù)值。這里應用的是經(jīng)典彈性力學的知識進行分析的。在彈性力學中，研究問題的方法最終都可以歸結(jié)為對三個平衡方程、六個幾何方程和六個物理方程以及剪

10、應力互等約束的十五個方程和若干邊界條件的聯(lián)立求解問題。由于所研究襯套為圓柱形物體，故本文中使用的是圓柱坐標系統(tǒng)下的方程組。根據(jù)研究問題的特殊性，襯套在所使用到的方程為分別為：平衡方程： (5.4.11)圖5.4.3 軸向變形的襯套過x=0的軸向橫斷面 圖5.4.4 襯套的扭轉(zhuǎn)變形幾何方程： (5.4.12)、和分別為徑向、切向和軸向正應變分量。物理方程（本構(gòu)方程）： (5.4.13)、和分別為徑向、切向和軸向正應力分量。這里是楊氏模量，是剪切模量，是泊松比。這三個常數(shù)之間的關(guān)系為： (5.4.14)從而得到： (5.4.15)對于小應變，根據(jù)不可壓縮假定，有： (5.4.16)P點位移的徑向、

11、切向和軸向分量分別、和用表示。 (5.4.17)方程僅取決于，而則取決于和。根據(jù)如上方程，非零應變分量如下： (5.4.18)根據(jù)(5.4.16）式，得到： (5.4.19)故有： (5.4.20)根據(jù)物理方程(5.4.13)，得： (5.4.21)平衡方程(5.4.11)化為： (5.4.22)由方程(5.4.21)得： (5.4.23) (5.4.24)這些公式完成了作用在橡膠內(nèi)任意點P的非零應力分量的描述?，F(xiàn)在考慮一個和組成的微小面積，作用在該面積上體現(xiàn)在方向上應力為，因此得到： (5.4.25)將方程(5.4.21)代入(5.4.25)，經(jīng)整理得到微分方程： (5.4.26)求解此方程

12、，得到其一般解為： (5.4.27)由邊界條件確定積分常數(shù)，得到： (5.4.28)整理后得到： (5.4.29)回想方程(5.4.20)，得到： (5.4.30)分析襯套的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，有如下邊界條件： (5.4.31) (5.4.32) (5.4.33)將方程(5.4.29)和(5.4.30)代入上述的邊界條件，整理得到軸向剛度： (5.4.34)2徑向載荷作用下橡膠彈性襯套的剛度Hill推導了根據(jù)有限傅立葉和傅立葉-貝塞爾系列減少徑向剛度的表達式，他的數(shù)值估值是比較笨的。對于特殊情況，他分別重新生成了長和短襯套前面建議的減少徑向剛度L和S的公式。在對長襯套的平面假設下他發(fā)現(xiàn)： (5.4.

13、35）對短襯套進行廣義平面應力 (5.4.36）對于一個有限長度襯套，他建議L和S應該嚴格在對于長和短邊界下給出?？紤]一個圓環(huán)形橡膠襯套，其內(nèi)側(cè)和外側(cè)分別與剛性的圓柱體金屬套管連接，半徑分別為a和b，如圖所示。基于經(jīng)典彈性理論，Horton，Gover和Tupholme歸納出徑向剛度精確的無量綱表述: (5.4.37）這里： (5.4.38）1)近似徑向剛度使用如上方程，可以很近似的給出： (5.4.39）這里系數(shù)c1和c2選做取決于D的動力系列展開中的和。分析計算是麻煩的但很簡單。簡化的徑向剛度對應于方程(5.4.37）近似通過如下方程給出： (5.4.40）這里：， (5.4.41）而且有

14、： (5.4.42） (5.4.43）對于圖b情況，彎曲剛度為： (5.4.44)式(5.4.43)和式(5.4.44)中的表觀彈性模量，而式中的形狀系數(shù)為： (5.4.45)3彎曲變形下橡膠彈性襯套的剛度軸向長度為L的圓環(huán)形橡膠襯套其內(nèi)側(cè)和外側(cè)分別與半徑外a和b的剛性圓柱性金屬套管聯(lián)結(jié)。見圖5.4.4。 內(nèi)套管在固定位置夾緊，一組相對于x軸幅值為M的力矩施加于外套筒上，因而使外套筒產(chǎn)生了一個很小的角度。隨后產(chǎn)生的結(jié)果見圖中所示。彎曲剛度： (5.4.46)可以計算出對于內(nèi)外徑為a、b，長度為L襯套的精確值。其中： (5.4.47) (5.4.48)這里： (5.4.49) (5.4.50)矩

15、陣就是將矩陣中的第一列用矩陣代替的結(jié)果。5.4.3 彈性橡膠襯套動特性1 橡膠襯套的動力學性能當應力作用于橡膠元件時，并不能立即達到相應于應力值的應變程度，應變總是多少滯后于應力。在應力狀態(tài)或緩慢施加應力的情況下，這個時間上的滯后不怎么重要。但是，在動力狀態(tài)或應力迅速變化的情況下，這個滯后現(xiàn)象就不能忽略了。它是在設計橡膠彈簧時需要考慮的重要問題。1)橡膠彈簧的復數(shù)模量由于橡膠彈簧是粘彈性體，因而當它在應力作用下產(chǎn)生變形時，只有部分能量轉(zhuǎn)換為位能，其余將轉(zhuǎn)化為熱量損耗掉。作為熱量損耗掉的能量表現(xiàn)為力學阻尼。這是橡膠彈簧所固有的內(nèi)部阻尼，而理想彈性材料則沒有這種力學阻尼。為使分析簡單起見，假設應力

16、的變化是正弦曲線性的，同時還認為有效應力是由以下兩個分量構(gòu)成的：(1)彈性盈利分量，它的變化與應變同相位(曲線1)，因而該曲線在相應的垂直標尺上當然也表示應變；(2)粘性應力分量，它與應變相位差/2(曲線2)，該分量的大小取決于應變的速率。可以證明，同為正弦曲線變化而相位差/2的兩個上述應力分量，合成后的總應力也是一個正弦波，但是相對于彈性應力分量的曲線1推遲了一個角度(曲線3)。設和分別為彈性應力分量和粘性應力分量的振幅，則由圖中曲線3代表的總應力為： (5.4.51)而相位角為： (5.4.52)較為方便的方法是，把彈性應力分量和粘性應力分量看作兩個獨立模。因而有效彈性模量是一個由真正彈性

17、分量和粘性分量構(gòu)成的復數(shù)模量。它們之間的關(guān)系可由圖所示的矢量圖由下式表示： (5.4.53)同樣，對于復數(shù)切變模量也可以寫出矢量式 (5.4.54)式中和為模量的實數(shù)部分，和為模量的虛數(shù)部分，。相應地，由圖可以寫出或 (5.4.55) 通常把應力和應變之間的相位角稱為機械損耗角，而把稱為損耗因子。此外，模量的敘述部分是阻尼項，它決定了橡膠元件受應變時轉(zhuǎn)變成熱的能量損耗，所以通常也把和稱為損耗模量。2)橡膠彈簧的內(nèi)部阻尼對于減振橡膠來說，目前尚沒有比較滿意的內(nèi)阻理論，還需要更多的實驗數(shù)據(jù)。由于應力和應變之間存在一個相位差，因而在動力學試驗中將得到一個滯后回線。如果應力和應變是正弦曲線變化的，那么

18、這個滯后回線(動態(tài)應力和應變曲線)將是一個橢圓。此橢圓的長軸AB的斜率等于復數(shù)模量或(也可以寫成或)。滯后回線的面積等于橡膠單位體積在每個循環(huán)中所損耗的能量，其值。3)硫化橡膠的動態(tài)特性圖5.4.5正旋波的應力與變形3影響動態(tài)特性的因素11 正弦波振動首先研究圖5.45中正弦波應力與變形彼此對應的情況。把應力與變形任一方作為輸入函數(shù)，而把另一方作為響應函數(shù)都是可以的：變形： (5.4.1a)應力： (5.4.1b)在實際的物質(zhì)中，應力的相位常常比變形超前(即在外力作用之前，實際上不存在物質(zhì)的變形)，其相位差處于下述范圍之內(nèi)： 將(5.4.1b)式改寫成如下形式： (5.4.56)式中，右側(cè)第一

19、項是與變形同相位的應力分量，第二項是相位差為90°的應力分量。求各應力分量的振幅(峰值)和變形振幅之比。 (5.4.57) (5.4.58)式中角為損耗角，Gl為存儲彈性模量或動態(tài)彈性模量，G2為損耗彈性模量。另外 (5.4.59)為損耗系數(shù)或損耗正切，是表示橡膠材料阻尼(內(nèi)摩擦)大小的量。 (5.4.60)為復數(shù)，所以叫復數(shù)彈性模量。彈性模量的倒數(shù)叫柔性模量，此時，把(5.4.56c)式的時間原點向左移，寫成更為方便的公式。變形 (5.4.61a) 應力 (5.4.61b)(5.4.61a)式中右側(cè)第一項是與應力同相位的變形分量，第二項是相位差為90°的變形分量。 (5.

20、4.62a) (5.4.62b)式中為存儲柔性模量或動態(tài)柔性模量，為損耗柔性模量。 (5.4.63)是和(5.4.59)式相同的損耗系數(shù)。復數(shù)柔性模量可用下式表達： (5.4.64)上述各彈性模量與各柔性模量之間具有下列關(guān)系，可根據(jù)一方計算另一方。 (5.4.65a) (5.4.65b) (5.4.65c)4 應力變形曲線用(5.4.56)式給出應力與變形時，從兩式中消去，即得動態(tài)應力變形曲線。 (5.4.66)可以知道(5.4.66)式是二次橢圓曲線。圖5.4.6 動態(tài)應力-變形曲線5.5如圖5.4.57所示，分別平行于變形軸線及應力軸線的應力變形曲線作一外接長方形，而以、和、表示一變形曲線

21、與長方形的結(jié)點，可以看到，、與點逼近，、與點逼近。它們是不同于點和點的。 (5.4.67)另外，用、；、表示應力變形曲線與變形軸線和應力軸線的交點，則這些點的坐標如下： (5.4.68)根據(jù)動態(tài)應力變形曲線求橡膠的動態(tài)特性時，可用下列方法： (5.4.69a) (5.4.69b) (5.4.69c) (5.4.70a) (5.4.70b) (5.4.70c) (5.4.70d) 計算應力變形曲線所包括的面積，這個面積表示在一個循環(huán)中橡膠單位體積的能量損耗。 (5.4.71) (5.4.72a) (5.4.72b)圖5.4.7 力與變形量的動特性試驗曲線變形振幅一定的橡膠和應力振幅一定的橡膠，其

22、發(fā)熱量的評價函數(shù)是不相同的。實際上，在大多數(shù)情況下，動特性試驗采集到的信號都是以力的正弦振動為輸入的力與變形量的關(guān)系，其結(jié)果如圖5.4.7所示：那么，動剛度就為： (5.4.73)剪切模量為： (5.4.74)這里：測試片厚度；：有效橫截面面積；復數(shù)剪切模量的實部和虛部分別為： (5.4.75)阻尼角正切： (5.4.76)5 與動態(tài)特性有關(guān)的因素硫化橡膠的動態(tài)特性是一種物質(zhì)常數(shù)，一般是隨下列因素而變化的量。(1)溫度；(2)頻率；圖5.4.8三維體的拉伸和切變(3)平均變形與變形振幅，或平均應力與應力振幅。 上述三因素中，當要考查其中一種因素的影響，例如溫度影響時，需要使另外二種因素(振動數(shù)

23、、平均變形和變形振幅)保持一定進行實驗。 這樣用獨立變量求得的動態(tài)特性，稱作溫度特性、頻率特性、振幅依存性。 現(xiàn)在就變形振幅的影響稍加說明。因為變形振幅本身很小，G與變形振幅無關(guān)的范圍稱為線性范圍。在這個范圍內(nèi)，動態(tài)應力變形曲線為橢圓形，而且橢圓長軸的斜率與長短軸之比不變。超過這個變形振幅，應力變形曲線雖可看成是橢圓的，但橢圓長軸的斜率和長短軸之比有一個隨變形振幅變化而變化的范圍。換言之，G雖然可給以定義，但G是處于一個與變形振幅有關(guān)的范圍內(nèi)，這種變形振幅范圍叫做準線性范圍。如果變形振幅再大，則動態(tài)應力變形曲線不再是橢圓的(如新月型)。在這個范圍內(nèi)G已不能給以定義，完全處于非線性范圍。橡膠配方

24、中，天然橡膠和合成橡膠幾乎都含有碳黑(增強性填充劑)。含碳黑的硫化橡膠的動態(tài)特性將隨變形振幅而變化。這一變化將隨碳黑含量的增加而增加。因此，在表示橡膠的動態(tài)特性時，除標出溫度和振動頻率外，指出振幅(或載荷振幅)是絕對必要的。5.4.4 基于非線性粘彈性力學的橡膠彈性襯套特性研究在上述各種方法，都是在小變形的線性假設基礎上，運用了經(jīng)典的彈性理論來進行分析的，雖然在一定的范圍內(nèi)能夠比較好的反映出橡膠彈性襯套的特性，但對其非線性特性卻依然無法得到較好的結(jié)果。對于粘彈性材料而言，模量是依賴于時間引起的某些復雜因素的。在進行分析之前，首先需要對涉及到的參數(shù)進行嚴格定義。1 彈性模量如圖5.4.8a所示，

25、靜態(tài)單軸拉伸應力的定義為： (5.4.77) 表示單軸拉伸；其它符號見圖5.4.8所示。物體在受到應力后將產(chǎn)生應變。單軸應力所引起的拉伸應變?nèi)缦陆o出： (5.4.78)在經(jīng)典物理中，用如下方程定義拉伸模量和拉伸柔量： (5.4.79)如圖2-1b所示，切變應力為： (5.4.80)下標表示切變。切應變的定義為： (5.4.81)此處是圖5.4.8b所示的角度。用如下方程表示切變模量和切變?nèi)崃浚?(5.4.82)根據(jù)各向同性固體的彈性理論，和以及和之間存在如下關(guān)系： 和 (5.4.83)式中為泊松比。2 瞬時試驗考慮到粘彈性材料的松弛對時間的依賴型，問題復雜化了。在保持恒定的應力條件下，粘彈性材

26、料的切變?nèi)渥內(nèi)崃坑上率蕉x： (5.4.84)式中表示恒定的切應力。拉伸蠕變?nèi)崃繛椋?(5.4.85)式中表示恒定的拉伸應力。在保持恒定的應變的情況下，粘彈性材料的拉伸松弛模量為： (5.4.86)式中表示恒定的拉伸應變。切變應力松弛模量為： (5.4.87)圖5.4.9 動態(tài)試驗時，桿的實際位置(a)彈性桿 (b)粘性桿 (c)粘彈性桿式中表示恒定的切應變。這里，模量和柔量的定義與靜態(tài)定義不同，需要注意的是：只有在保持應變恒定的試驗中，才能直接測定和，只有在保持應力恒定的試驗中，才能直接測定和。如果混淆了條件，測定的結(jié)果就會大錯特錯。3 動態(tài)試驗在動態(tài)試驗中，應力和應變不是階梯函數(shù)，而是一個

27、角頻率為的振動函數(shù)。試驗中，桿狀樣品固定在夾盤上，在樣品端部掛砝碼，桿以頻率旋轉(zhuǎn)。桿將發(fā)生如圖5.4.9所示的變形。彈性桿的模量不依賴時間，所以如果形變是切變的，則切變量就可以寫成： (5.4.12)在上式中，應力可表示為： (5.4.88)由此得到應變?yōu)椋?(5.4.89)對完全粘性的桿件（圖2-5b），其基本性狀描述為： (5.4.90)對粘性體而言，應變速度與應力成線性關(guān)系，其比例常數(shù)稱為粘度系數(shù)，簡稱為粘度?？紤]方程(5.4.88)情況，方程(5.4.90)變?yōu)椋?(5.4.91)圖5.4.10 矢量表示積分得到： (5.4.92)那么，粘彈性桿件的位移介于上述兩種極端情況之間，就是說

28、，應變將落后于應力，相位差在0°和90°之間。運用矢量分析方法進行分析。矢量的值代表施加的應力最大值，該矢量以角頻率按反時針方向旋轉(zhuǎn)。應變將在一定程度上落后于應力，通常把二者的相位差稱為損耗角。用矢量表示應變，其旋轉(zhuǎn)頻率與的頻率相同，數(shù)值正比于應變極大值。應力與應變不會同時達到最大值。如圖5.4.10所示，分別將矢量在矢量上投影和矢量在矢量的投影綜合表示在圖上并將粘彈性響應分成“同相位”（應力與應變方向一致） 和“異相位”（應力與應變方向垂直） 分量，則同相位和異相位切變模量和由下式給出： (5.4.93)同理，將切變?nèi)崃亢瘮?shù)和定義為： (5.4.94)并且有如下關(guān)系成立：

29、 (5.4.95)通常將稱為損耗正切。帶單撇的參數(shù)稱為儲能函數(shù)，帶雙撇的參數(shù)稱為損耗函數(shù)。這種稱呼是基于這樣一個事實：同相位的應力和應變構(gòu)成可以完全復原的彈性儲能，而有90°相位差的應力和應變構(gòu)成損耗于體系的能量。此外，也有用復數(shù)模量和復數(shù)柔量術(shù)語的表示方法，這兩種方法的差別僅在于采用了復數(shù)平面。4 Boltzmann疊加原理Boltzmann疊加原理是聚合物物理學中最簡單而又最有用的原理之一。在靜態(tài)基礎上考慮時間的影響。Boltzmann疊加原理指出，這兩個應力將獨立作用，兩個應變線性疊加，如圖5.4.11所示。對于在時刻時施加不連續(xù)的應力增量，則有如下關(guān)系： (5.4.96)對連

30、續(xù)施加應力結(jié)果如下： (5.4.97)同理得到： (5.4.98)利用分部積分方法，將方程(5.4.97)化為： (5.4.99)如果假設等于零，也可化為： (5.4.100)同理得到： (5.4.101)方程(5.4.98)、(5.4.99)、(5.4.100)和(5.4.101)中的任何一個都是Boltzmann疊加原理的完整描述。5 蠕變?nèi)崃亢蛻λ沙谀Ａ恐g的關(guān)系根據(jù)方程(5.4.100)和(5.4.101)，借助Laplace變換分別得到蠕變?nèi)崃亢蛻λ沙谀Ａ恐g的關(guān)系。分別對方程(5.4.101)和(5.4.101)進行Laplace變換，得到柔量和模量在變換空間中問題的解： (5

31、.4.102)利用Borel法則和Laplace變換結(jié)果，得到轉(zhuǎn)換回實空間的最后結(jié)果： (5.4.103)這是蠕變?nèi)崃亢蛻λ沙谀Ａ恐g關(guān)系的卷積積分，它是嚴格成立的，并僅依賴于Boltzmann疊加原理的適用性。6 靜態(tài)性質(zhì)和動態(tài)性質(zhì)之間的關(guān)系根據(jù)Boltzmann疊加原理可以推導出拉伸應力松弛模量和同相位及異相位的動態(tài)拉伸模量及關(guān)聯(lián)起來的方程。根據(jù)方程(5.4.99)，假定所施加的應變是由下式表達的正弦變化應變： (5.4.104)式中是應變振幅最大值。得到： (5.4.105)將項展開： (5.4.106)用復數(shù)正弦變化表達振動函數(shù)時，拉伸應力和拉伸應變之比是復數(shù)拉伸模量。動態(tài)模量函數(shù)中

32、可由拉伸松弛模量計算得到： (5.4.107)使用Fourier變化方法，將這些關(guān)系進行逆變換，就可以得到作為動態(tài)性質(zhì)函數(shù)的靜態(tài)模量。作用在彈性襯套內(nèi)外套筒上的力與它們變形量之間的關(guān)系是非線性的，這個性質(zhì)顯示出粘彈性特征。對于多剛體系統(tǒng)動力學數(shù)值仿真分析而言（如Adams軟件中），找出合成橡膠力-位移之間的關(guān)系是非常重要的。在單獨的研究工作中，人們介紹嘗試過了可以用于多體系統(tǒng)動力學分析中的力-位移關(guān)系。此關(guān)系時用了力松弛函數(shù)來表達，得到了一種從襯套試驗數(shù)據(jù)確定這種關(guān)系的方法。在這里的研究方法中，由于襯套中的合成橡膠材料特性的復雜性，為分析工作帶拉了巨大的困難。襯套中使用的材料具有粘彈性和非線性

33、特性，因此，對應的力和位移之間的關(guān)系是非線性的，而且與時間有關(guān)。在密歇根大學機械工程與應用力學系汽車結(jié)構(gòu)耐久性仿真中心進行的襯套的力-位移響應研究已經(jīng)證實了這個事實。從一維測試中得到的試驗數(shù)據(jù)說明力相對于變形具有明顯的非線性特性。有兩種基本方法可用來確定所需要的襯套力-位移關(guān)系。第一種，在典型響應模式下應用力學中使用的標準方法來建立力-位移關(guān)系，用一個襯套合成橡膠材料的三維本構(gòu)方程開始。這個本構(gòu)方程在大變形和長時間條件下把應力和應變聯(lián)系起來。本構(gòu)方程、平衡方程和幾何方程組合起來定義正確的邊界值問題，這樣來描述響應。因為響應的非線性性能，此過程無法導出可以進行準確數(shù)學表達力位移關(guān)系。也可以指定力

34、或位移，其它量通過求解邊界值問題得到，這種方法可以用來計算任何給定襯套的力-位移關(guān)系。這種方法的一個缺點是非線性粘彈性響應本構(gòu)方程的建立是很困難的。在各種出版文獻中，這種本構(gòu)方程僅有很少的幾個例子。而且，確定這種本構(gòu)方程需要進行大量的試驗工作。這種方法的另一個缺點是力-位移關(guān)系明確定義為邊界值問題的解。使用這個模型需要重復計算邊界值問題的解。確定力-位移關(guān)系的第二種方法是從試驗數(shù)據(jù)中直接得到。這種方法的優(yōu)點是能夠直接獲得多體系統(tǒng)動力學分析中使用的力-位移關(guān)系。其缺點是在每個襯套的設計工作中都必須重復這個過程。目前，在公開出版的文獻中很難找到研究襯套力-位移特性的內(nèi)容。在少有的研究中，使用了上面

35、提到的第一種方法。Adkins和Gent建立了徑向、軸向、扭轉(zhuǎn)和圓柱形襯套聯(lián)結(jié)變形的圓錐形模式的力-位移關(guān)系，他們的結(jié)論明顯是使用彈性線性理論得到的，因此沒有考慮到非線性、時效性和這兩種模式之間的耦合作用。Morman等人用非線性粘彈性固體理論建立了合成橡膠襯套材料的模型。假定了一個本構(gòu)方程，并使用有限元方法來分析在大平衡變形上疊加了小幅振動的情況。盡管他們使用的方法對研究襯套響應是很重要的，但并不能說明瞬態(tài)響應過程，因此在多體動力學中的使用受到極大的限制。Wineman等人使用上面提到的第二種方法并建議了對于單模式襯套響應（組合了非線性帶有時間性粘彈性的位移）的力-位移關(guān)系。它使用力松弛函數(shù)

36、表達，襯套特性直接通過試驗確定。力松弛函數(shù)描述了襯套對應于每一位移的力。當前工作的目的是準確獲得文獻中的力-位移關(guān)系并確定他的力松弛函數(shù)特性的方法。1) 基于非線性粘彈性力學的襯套軸向力-位移關(guān)系考慮襯套力-位移關(guān)系，這個關(guān)系中組合了對于粘彈性的時變和位移效應的非線性依賴關(guān)系。滿足這種條件的最簡單關(guān)系為Pipkin和Rogers的聚合物非線性粘彈性響應，Pipkin-Rogers模型可以寫成如下形式： (5.4.108)R(,t)是襯套的特性和表示根據(jù)在時刻0是作用數(shù)量的階躍的力。也就是說，R(,t)可以說成是位移變化的力松弛方程，假定R(0-,t)=0和R(,t)為對應時間t的單調(diào)遞增函數(shù)。

37、由上可見，確定力松弛函數(shù)的工作是非常重要的。對于粘彈體襯套材料來說，在應變保持不變的情況下，力隨時間的增加而逐漸衰減的現(xiàn)象叫做力松弛。圖5.4.12(a)表示在不同時間內(nèi)給試樣施加一階躍位移輸入情況下，5.4.12(b)表示了力值的變化情況，5.4.12(c)為根據(jù)輸出力的統(tǒng)計結(jié)果外推零時刻力的情形。圖5.4.11 順序施加在樣品上的應變的線性疊加圖5.4.12 力松弛斜坡位移控制試驗確定襯套材料的力松弛函數(shù)后，就可以針對橡膠襯套進行模型的建立工作，并給出襯套的力松弛函數(shù)結(jié)果。這些工作需要進行大量的試驗工作來配合。根據(jù)方程(5.4.2)就可以確定基于粘彈性分析的襯套的軸向剛度特性。2) 顯式力

38、-位移關(guān)系參數(shù)，通過使用非線性最小二乘方法得到并在表5.4.1中列出。 表5.4.1與力松弛函數(shù)相關(guān)參數(shù)I10.693940.106550.11171015.46082.0170無2-0.09589-0.02521-0.02428010.33341.7875無30.028640.007510.00753-0.000039.01361.73580.024得到軸向運動的Pipkin-Rogers模型的完整表達式： (5.4.109）這里： (5.4.110)這里：等參數(shù)見表4。這種方法得到的關(guān)系是顯式的，但結(jié)果是近似的，這種方法也只是在非常有限的范圍內(nèi)證明有效，而且確定襯套材料的力松弛試驗的實施也

39、有一定困難，使其通用性受到限制。其它剛度特性也可以用同樣的方法得到。5.4.5 彈性橡膠襯套在工程中的使用目前，車輛和懸架系統(tǒng)性能系統(tǒng)中使用了基于多體系統(tǒng)動力學理論的Adams軟件。在模型建立的過程中，比較準確的確定懸架系統(tǒng)中彈性橡膠襯套的各向力學性能對車輛和懸架系統(tǒng)的仿真分析至關(guān)重要，往往必須進行大量實測才能確定。而且，在新的設計工作中，只能采用比例縮放的思想進行設計，增大了設計工作中的不確定因素。上3、4節(jié)中，總結(jié)了迄今為止前人的大量工作，在這些工作的基礎上，本文將提出彈性橡膠襯套在實際工程中的近似計算方法，為設計分析工作提供一定的支持。下面，結(jié)合試驗來討論以下前人工作結(jié)果在工程中的一般使

40、用情況。選擇幾種彈性橡膠襯套，對其做靜、動態(tài)試驗，試驗在無錫中策減振器有限公司進行，試驗設備如圖5.4.13、5.4.14所示。圖5.4.13 MTS靜態(tài)試驗臺圖5.4.14 SCHENCK動態(tài)試驗臺 1 彈性橡膠襯套靜特性的近似計算方法結(jié)合試驗，分析靜特性計算公式與實際彈性襯套特性的符合情況，并找出對不符合的改進對策。1) 軸向剛度選擇三個彈性橡膠襯套為研究對象，實際測量了其軸向剛度，試驗裝置見圖所示，試驗曲線如圖5.4.15、5.4.16所示，具體參數(shù)見表5.4.2：表5.4.2 三個彈簧襯套的特性編號有效長度(mm)內(nèi)徑(mm)外徑(mm)試驗軸向剛度(N/m)理論軸向剛度(N/m)誤差

41、(%)備注1261629416666.74559939.48無孔27731.264.51625001664763.1924有孔1號襯套天然橡膠：G1.66 Mpa，取泊松比0.5，則E3G4.98Mpa。2號襯套天然橡膠：G2.499 Mpa，取泊松比0.5，則E3G7.497Mpa。（數(shù)據(jù)來源：防振橡膠及應用，pp 163）。由上述結(jié)果可見，彈性橡膠襯套的軸向剛度一般呈線性，采用理論公式（3）對橡膠彈性襯套的軸向剛度進行估算時，與實際試驗的剛度結(jié)果的誤差在10以內(nèi)，可以反映出軸向剛度的實際情況，計算誤差在工程范圍內(nèi)可以接受，理論公式（3）可以用于估算圓筒型橡膠襯套的軸向剛度。對于開有徑向減弱

42、孔的襯套，這些開孔對軸向剛度的影響并不是很大，在其正常的使用范圍內(nèi)是線性的。同時，我們也應當看到，計算結(jié)果對襯套幾何參數(shù)的簡化、剪切模量的依賴性很強，而橡膠材料生產(chǎn)制造中性能的穩(wěn)定性較差，都會導致計算數(shù)值與試驗數(shù)值之間的誤差，造成這種誤差的原因主要是簡化參數(shù)的選取和橡膠剪切彈性模量，對不同襯套應該分別測定其彈性模量的數(shù)值。圖5.4.19 徑向動態(tài)試驗裝置圖5.4.18 徑向剛度試驗裝置圖5.4.17 軸向剛度試驗裝置圖5.4.20 襯套1徑向剛度試驗曲線圖5.4.21 襯套3徑向剛度試驗曲線2) 徑向剛度選擇三個彈性橡膠襯套為研究對象，實際測量了其徑向剛度，試驗裝置見圖5.4.23所示，試驗曲

43、線如圖5.4.20、5.4.21、5.4.22所示，具體參數(shù)見表5.4.2：圖5.4.22 襯套3橫斷面及對應方向的徑向剛度 襯套一般是徑向的剛性高，所以為了改進動態(tài)特性，襯套開孔以改進徑向的彈簧常數(shù)，但組裝時有方向性，耐久性也降低，這是不能避免的缺點。表5.4.3：徑向剛度編號有效長度(mm)內(nèi)徑(mm)外徑(mm)試驗剛度(N/m)理論剛度(N/m)備注方法1誤差(%)方法2誤差(%)12616295014285.4421859815.8452315711.9無孔278.842.258.49756097.6756702522.4864510311.4無孔37731.264.5X783333

44、.31690909.1332952632.596.911526228631.8有孔Y5000001250000200000056.616666.51307.842.3U147258812621.81號襯套天然橡膠：G1.66 Mpa，取泊松比0.5，則E3G4.98Mpa。2號襯套天然橡膠：G6.5 Mpa，取泊松比0.5，則E3G19.5Mpa。3號襯套天然橡膠：G2.499 Mpa，取泊松比0.5，則E3G7.497Mpa。 （數(shù)據(jù)來源：防振橡膠及應用，pp 163）由于彈性橡膠襯套受到徑向載荷工況對橡膠襯套的性能的影響最大，要求也最苛刻，所以，徑向剛度的研究就顯得尤為重要。對于結(jié)構(gòu)形式與推導理論模型出入不大的1、2兩個彈性