《機械優(yōu)化設計》課件

1、 1. 1.課程的最終成績構成：考勤成績（課程的最終成績構成：考勤成績（20%20%）+ +作業(yè)成績（作業(yè)成績（30%30%）+ +實驗（實驗（50%50%）2. 2.實行點名制度，請假需要正式假條。實行點名制度，請假需要正式假條。3. 3.按時、按質、按量、獨立完成作業(yè)，發(fā)現(xiàn)大量抄襲的情況，只有看到的按時、按質、按量、獨立完成作業(yè)，發(fā)現(xiàn)大量抄襲的情況，只有看到的 第一本作業(yè)有成績，其余按沒交處理。第一本作業(yè)有成績，其余按沒交處理。4. 4.課堂上不許大聲說話，有問題請舉手或下課討論；上課過程中，手機不課堂上不許大聲說話，有問題請舉手或下課討論；上課過程中，手機不 許響。許響。 優(yōu)化設計是20

2、世紀60年代初，在電子計算機技術廣泛應用的基礎上發(fā)展起來的一門新的設計方法。它是以電子計算機為計算工具，利用最優(yōu)化原理和方法尋求最優(yōu)設計參數(shù)的一門先進設計技術。 什么是優(yōu)化? 從客觀上來說，優(yōu)化是自然發(fā)展的規(guī)律，也是社會發(fā)展的規(guī)律，所謂“生存競爭”、“優(yōu)勝劣汰”，就包含了優(yōu)化的概念。 從主觀上來說，優(yōu)化是人類一切活動的準則，是人的本能，所謂“人往高處走，水往低處流”，也包含了優(yōu)化的概念。 “”這個概念當今已被廣泛用于各行各業(yè)各個領域。例如：優(yōu)化產業(yè)結構、優(yōu)化資源配置、優(yōu)化生存環(huán)境、企業(yè)勞動力的優(yōu)化組合、產品的優(yōu)質優(yōu)價，直至下一代的優(yōu)生優(yōu)育。在這里我們只想討論一下優(yōu)化與機械，特別是與機械CAD的

3、關系。 優(yōu)化設計技術是機械產品CAD中的一項核心技術。 我們所講的優(yōu)化，是作為一項工程技術而提出來的，它體現(xiàn)了人類在認識和掌握自然和社會發(fā)展規(guī)律的基礎上，運用自己的聰明才智和積累的經驗，追求美好事物、創(chuàng)造美好世界的主觀能動性，因而是改造客觀世界的有力武器和工具。特別是在電子計算機問世以后，使許多優(yōu)化理論和方法得以應用于實際，因此，。 優(yōu)化設計優(yōu)化設計：根據(jù)給定的設計要求和現(xiàn)有的設計條件，應用專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在計算機上滿足給定設計要求的許多可行方案中，按給定的目標自動地選出最優(yōu)的設計方案。機械優(yōu)化設計機械優(yōu)化設計：在滿足一定約束的前提下，尋找一組設計參數(shù)，使機械產品單項設計指標達到最優(yōu)的過程

4、。 緒論：機械優(yōu)化設計機械優(yōu)化設計：機械設計理論+優(yōu)化方法得到設計參數(shù)的指在一定條件指在一定條件( (各種設計因素各種設計因素) ) 影響下影響下所能得到的最佳設計值。所能得到的最佳設計值。 （相對概（相對概念）念）機械優(yōu)化設計方法包括：機械優(yōu)化設計方法包括：1)解析法: 主要是利用微分學和變分學的理論，適應于解決小型和簡單的問題；2)數(shù)值計算方法: 使利用已知的信息，通過迭代計算來逼近最優(yōu)化問題的解，因此它的運算量很大，直到計算機出現(xiàn)后才得以實現(xiàn)。 傳統(tǒng)設計傳統(tǒng)設計：在調查分析的基礎上，參考同類產品通過估算、經驗類比或試驗等方法來確定初始方案，然后通過計算各個參數(shù)是否能滿足設計指標的要求，如

5、果不符合要求就憑借經驗對參數(shù)進行修改，反復進行分析計算性能檢驗參數(shù)修改，直到符合設計指標為止。 優(yōu)化設計優(yōu)化設計：借助計算機技術，應用一些精度較高的力學的數(shù)值分析方法（如有限元法等）進行分析計算，并從大量的可行設計方案中尋找到一種最優(yōu)的設計方案。 優(yōu)化設計與傳統(tǒng)設計相比有以下三點特點：優(yōu)化設計與傳統(tǒng)設計相比有以下三點特點： 設計的思想是最優(yōu)設計，需要建立一個能夠正確反映實際設計問題的優(yōu)化數(shù)學模型； 設計的方法是優(yōu)化方法，一個方案參數(shù)的調整是計算機沿著使方案更好的方向自動進行的，從而選出最優(yōu)方案； 設計的手段是計算機，由于計算機的運算速度快，分析和計算一個方案只需要幾秒甚至千分之一秒，因而可以從

6、大量的方案中選出“最優(yōu)方案”。 機械優(yōu)化設計包括： 1）建立優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型 2）選擇恰當?shù)膬?yōu)化方法 3）編程求解最優(yōu)的設計參數(shù) 4）優(yōu)化結果分析NNY提出設計問題提出設計問題開始開始建立優(yōu)化數(shù)學模型建立優(yōu)化數(shù)學模型選擇優(yōu)化設計方法選擇優(yōu)化設計方法運行優(yōu)化設計程序運行優(yōu)化設計程序優(yōu)化結果分析優(yōu)化結果分析對優(yōu)化結果滿意否？對優(yōu)化結果滿意否？結束結束更更換換方方法法修修改改模模型型圖1-1 優(yōu)化設計過程 本課程的研究內容： 優(yōu)化的原理與算法本課程分為八章進行討論：第一章，介紹優(yōu)化設計的基本概念；第二章，介紹優(yōu)化設計算法中用到的數(shù)學基礎知識，為后面幾章的學習打好基礎；第三、四、五、六章分別介紹

7、一位搜索、無約束優(yōu)化、線性規(guī)劃和約束優(yōu)化的原理與算法，這些都是本課程學習的重點；第七章，介紹多目標及離散變量優(yōu)化方法；第八章，介紹幾種機械優(yōu)化設計的實例，說明如何應用優(yōu)化方法解決機械設計問題。 1）模糊優(yōu)化設計技術2）面向產品創(chuàng)新設計的優(yōu)化技術3）廣義優(yōu)化設計技術4）產品全壽命周期的優(yōu)化設計技術5）CAD/CAPP/CAM集成系統(tǒng)中的優(yōu)化技術6）智能優(yōu)化算法7）多學科綜合優(yōu)化 有一塊邊長有一塊邊長為為6米的正方米的正方形鋁板，四角截取同樣的形鋁板，四角截取同樣的邊長為邊長為x的方塊并轉折，的方塊并轉折，造一個無蓋的箱子，造一個無蓋的箱子，x為為何箱子容積最大？何箱子容積最大？xx6m解解: V

8、=x(6-2x)2 dV/dx=(6-2x)2 -4x (6-2x) = (6-2x) (6-6x)=0 x=1 Vmax=16m3 如圖所示的人字架由兩個鋼管構成，如圖所示的人字架由兩個鋼管構成， 其頂點受外力其頂點受外力2F=32F=310105 5N N。 人字架的跨度人字架的跨度2B=152cm2B=152cm， 鋼管壁厚鋼管壁厚T=0.25cmT=0.25cm， 鋼管材料的彈性模量鋼管材料的彈性模量E=2.1E=2.110105 5MpaMpa， 材料密度材料密度=7.8=7.810103 3kg/mkg/m3 3， 許用壓應力許用壓應力 y y= 420MPa= 420MPa。 求

9、在鋼管求在鋼管壓應力壓應力 不超過許用壓應力不超過許用壓應力 y y 和和失穩(wěn)臨界應力失穩(wěn)臨界應力 e e的條件下，的條件下， 人字架的人字架的高高h h和鋼管和鋼管平均直徑平均直徑D D，使鋼管，使鋼管總質量總質量m m為最小為最小。人字架的優(yōu)化設計問題歸納為求x=D hT 使質量m(x)min滿足強度約束條件和穩(wěn)定約束條件ex)(yx)(L1222122442222()I()()48A()rRD=r+RT=R-reFLF BhFhhEIFLAIRrTDARrTD鋼管所受的壓力壓桿失穩(wěn)的臨界壓力其中， 是鋼管截面慣性矩是鋼管截面面積和 分別是鋼管的內半徑和外半徑而12221222221222

10、122222222()()8()()()()8()eeyFF BhATDhFE TDABhF BhTDhF BhE TDTDhBh鋼管所受的壓應力是鋼管的臨界應力是根據(jù)強度約束條件有根據(jù)穩(wěn)定約束條件有1222122222( , )22()( , )()( , )2( )yyym D hALTD BhD hF BhDm D hThF Bhm hh 人字架總質量剛好滿足強度條件導出代入式中得到2222*22()(1)01527622D6.4348.47yyyydmF dBhFBdhdhhhhBcmcmFDcmTFBmkg 求導解得代入 表達式得等值線越往里，函數(shù)值越小;等值線愈稀疏說明目標函數(shù)值的

11、變化愈慢；無約束時,等值線族的共同中心就是函數(shù)的極小值。等值線（面）：等值線（面）：函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的值依次為一系列常數(shù)的值依次為一系列常數(shù)c ci i時，變時，變量量x x取得的一系列值的集合。取得的一系列值的集合。求極值就是求等值線的中心！求極值就是求等值線的中心！等值線（面）：等值線（面）：函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的值依次為一系列常數(shù)的值依次為一系列常數(shù)c ci i時，變時，變量量x x取得的一系列值的集合。取得的一系列值的集合。二維設計問題，等值線為平面曲線。對于三維設計問題，其等值函數(shù)是一個面，叫做等值面；對于n 維設計問題則為等值超越曲面。 1222122212222222

12、2( , )2()min( )()( )()()8()yyem D hTD BhxF BhTDhxF BhE TDTDhBh人字架總質量滿足強度約束條件即滿足穩(wěn)定約束條件即由圖中數(shù)據(jù)得：由圖中數(shù)據(jù)得：D D* *=6.43cm=6.43cm，h h* *=76cm=76cm，在極值點處，在極值點處m m* *=8.47kg=8.47kg 第二節(jié)第二節(jié) 機械優(yōu)化設計問題示例機械優(yōu)化設計問題示例例例1.1 平面四連桿機構的優(yōu)化設計平面四連桿機構的優(yōu)化設計 問題：給定最大最小傳問題：給定最大最小傳動角的前動角的前提下，當曲柄提下，當曲柄從從0位置轉到位置轉到0+90o時，時，要求搖桿的輸出角要求搖桿

13、的輸出角最優(yōu)最優(yōu)地實現(xiàn)一個給定的規(guī)律地實現(xiàn)一個給定的規(guī)律f0() 。例如：。例如：= f0()= 0+2/(3)*(-0)2 取取x1=1.0，x4=5.0。目標函數(shù)：最小二乘法建立目標函數(shù)目標函數(shù)：最小二乘法建立目標函數(shù)連續(xù)模型：連續(xù)模型：離散模型離散模型:000902)()(dxfjsijiixxfxf1232)(),()(約束條件：約束條件：1) 傳動角傳動角maxmin)236arccos(322322maxxxxx)216arccos(322322minxxxx所以所以2212122cos135360 xxx x2212122cos45160 xxx xmaxmin135452) 曲

14、柄存在條件曲柄存在條件3) 邊界約束邊界約束 當當x1=1.0時，若給定時，若給定x4，則可求出，則可求出x2和和x3的邊界值。例如，的邊界值。例如，當當x4=5.0時，則曲柄存在條件和邊界值限制條件分別為：時，則曲柄存在條件和邊界值限制條件分別為： 和和21314123144123,xxxxxxxxxxxxxx23236040 xxxx231717xx例例1.2 齒輪減速器的優(yōu)化設計齒輪減速器的優(yōu)化設計 二級圓柱齒輪二級圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設計。減速器的優(yōu)化設計。已知條件：已知條件： 傳動功率傳動功率P; 總傳動比總傳動比i; 輸出轉速輸出轉速n.問題：問題： 滿足強度的條滿足強度的條件下，

15、件下，體積最小體積最小。設計參數(shù)：設計參數(shù)： 4個齒輪的齒數(shù)：個齒輪的齒數(shù)： 傳動比：傳動比： 法向模數(shù)：法向模數(shù)： 齒輪螺旋角：齒輪螺旋角：設計變量：設計變量：4個齒輪齒數(shù)確定個齒輪齒數(shù)確定2個即可，設為：個即可，設為： 加上加上 ，共計，共計6個。個。 z,z,z,4321z zz ,z342121izi21 ,nnmm21 iii 12iii 31z,z , , ,211nnmmi目標函數(shù)：目標函數(shù)：約束條件：約束條件：齒面接觸強度、齒根彎曲強度、齒面接觸強度、齒根彎曲強度、中間軸上大齒輪不與低速軸干涉。中間軸上大齒輪不與低速軸干涉。1) 齒面接觸強度齒面接觸強度高速級：高速級：低速級：

16、低速級：)1 ()1 (cos21232111izmizmann0cos 106.845 3116131312TKizmnH0cos 106.845 3226233322TKizmnH2) 齒根彎曲強度條件齒根彎曲強度條件高高速級速級小小齒輪齒輪 (1-3a)高高速級速級大大齒輪齒輪 (1-3b)低低速級速級小小齒輪齒輪 (1-3c)低低速級速級大大齒輪齒輪 (1-3d)0cos )1 ( 3 2213111122zmiTKYnw0cos )1 ( 3 2213111111zmiTKYnw0cos )1 ( 3 2233222233zmiTKYnw0cos )1 ( 3 2233222244z

17、miTKYnw3)不干涉條件不干涉條件 (1-4)4)其它約束條件其它約束條件 (1-5)簡寫：簡寫：s.t. 0) 2cos (cos2 )i(1 z 111123n2sizmmmnniiibxamin)1 ()1 (cos21)(232111izmizmaxfnn)6 , 2 , 1( )7 , 2 , 1( 0)(maxminixxxjxgiiij例例1-4 軸承和軸承系統(tǒng)的優(yōu)化設計軸承和軸承系統(tǒng)的優(yōu)化設計優(yōu)化的目標：軸振動的振幅與激振力的幅值之比優(yōu)化的目標：軸振動的振幅與激振力的幅值之比最小。最小。ce運動方程，求振幅運動方程，求振幅X1 (1-7) 22222112112221121

18、111)()()()(xkxxxkxxxmxxkxxFxm 0)()(2211122111222111211111xkkxkxxxmFxkxkxxxm 000212111121211112121Fxxkkkkkxxxxmm FxKxCxM )sin()sin(222111tXxtXx目標函數(shù)：目標函數(shù)：約束條件：約束條件：2自由度有自由度有2個固有頻率，避開。個固有頻率，避開。min)(1FXxfX X1 122112 . 18 . 02 . 18 . 0例例1-8 生產計劃的優(yōu)化生產計劃的優(yōu)化生產甲種產品：生產甲種產品：9kg、3個工時、個工時、4kW、60元元生產乙種產品：生產乙種產品：4

19、kg、10個工時、個工時、5kW、120元元供應供應/天：天：360kg、300個工時、個工時、200kW最大利潤。最大利潤。設每天生產甲、乙種產品分別為設每天生產甲、乙種產品分別為x1、x2件，則目標件，則目標函數(shù)：函數(shù)：max12060),(2121xxxxf約束條件：約束條件：材料約束：材料約束：工時約束：工時約束：電力約束：電力約束：3604921 xx30010321xx2005421 xx一個優(yōu)化設計問題一般包括三個部分：一個優(yōu)化設計問題一般包括三個部分： 1. 1.需要合理選擇的一組獨立參數(shù)，稱為需要合理選擇的一組獨立參數(shù)，稱為設計變量設計變量； 2. 2.需要最佳滿足的設計目標

20、，這個設計目標是設計變量的需要最佳滿足的設計目標，這個設計目標是設計變量的函數(shù)，稱為函數(shù)，稱為目標函數(shù)目標函數(shù)； 3. 3.所選擇的設計變量必須滿足一定的限制條件，稱為所選擇的設計變量必須滿足一定的限制條件，稱為約束約束條件條件（或稱設計約束）。（或稱設計約束）。優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型的優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型的：設計變量、目：設計變量、目標函數(shù)和約束條件。標函數(shù)和約束條件。 在設計過程中進行選擇并最終必須確定的各項在設計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立獨立參數(shù)，參數(shù)，稱為設計變量。稱為設計變量。 設計變量向量：設計變量向量：12Tnxx xx設計常量：參數(shù)中凡是可以根據(jù)設計要求設計常量：

21、參數(shù)中凡是可以根據(jù)設計要求事先給定事先給定的，稱為設計常量的，稱為設計常量 。設計變量：需要在設計過程中設計變量：需要在設計過程中優(yōu)選的參數(shù)優(yōu)選的參數(shù)，稱為設計變量。，稱為設計變量。連續(xù)設計變量：有界連續(xù)變化的量。連續(xù)設計變量：有界連續(xù)變化的量。離散設計變量：表示為離散量。離散設計變量：表示為離散量。優(yōu)化設計的維數(shù)：優(yōu)化設計的維數(shù)：設計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設計的維數(shù)，如設計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設計的維數(shù)，如有有n(n=1n(n=1，2 2，)個設計變量，則稱為個設計變量，則稱為n n維設計問題。維設計問題。 任意一個任意一個特定的向量特定的向量都可以說是一個都可以說是一個“設計設計”。 設計空間：

22、設計空間：由由n n個設計向量為坐標所組成的實空間稱作設計個設計向量為坐標所組成的實空間稱作設計空間?？臻g。 一個一個“設計設計”，就是設計空間中的一個點，這個點可以看，就是設計空間中的一個點，這個點可以看成是設計變量向量的端點（始點是坐標原點），稱這個成是設計變量向量的端點（始點是坐標原點），稱這個點式點式設計點設計點。設計空間的維數(shù)設計空間的維數(shù)（設計的自由度設計的自由度）：設計變量愈多，則設計）：設計變量愈多，則設計的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設計愈靈活，但難度的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設計愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復雜。亦愈大、求解亦愈復雜。 含有含有210210個設

23、計變量的為個設計變量的為小型小型設計問題；設計問題； 10501050個為個為中型中型設計問題；設計問題； 5050個以上個以上的為的為大型大型設計問題。設計問題。約束條件：約束條件：在優(yōu)化設計中，對設計變量在優(yōu)化設計中，對設計變量取值時的限制取值時的限制條件條件，稱為約束條件或設計約束，簡稱約束。，稱為約束條件或設計約束，簡稱約束。 等式約束：等式約束： 等式約束對設計變量的約束嚴格（降低設計自由度）等式約束對設計變量的約束嚴格（降低設計自由度）不等式約束：不等式約束： 要求設計點在設計空間中約束曲面要求設計點在設計空間中約束曲面 的一側的一側 （包括曲面本身）（包括曲面本身） ( )0h

24、x ( )0g x ( )0g x ( )0(1,2, )kh xkl( )0(1,2,)jgxjm目標函數(shù)（評價函數(shù)）：目標函數(shù)（評價函數(shù)）：在優(yōu)化設計中，把設計目在優(yōu)化設計中，把設計目標（設計指標）用標（設計指標）用設計變量的函數(shù)形式表示設計變量的函數(shù)形式表示出來，這個出來，這個函數(shù)就叫做目標函數(shù)，用它可以評價設計方案的好壞，函數(shù)就叫做目標函數(shù)，用它可以評價設計方案的好壞，所以它又被稱作評價函數(shù)。所以它又被稱作評價函數(shù)。12( )( ,)nf xf x xx12( )( ,)minnf xf x xx12( )( ,)maxnf xf x xx12( )( ,)minnf xf x xx

25、單目標函數(shù)優(yōu)化問題：單目標函數(shù)優(yōu)化問題：在最優(yōu)化設計問題中，可以在最優(yōu)化設計問題中，可以只有一只有一個個目標函數(shù)。目標函數(shù)。多目標函數(shù)優(yōu)化問題：多目標函數(shù)優(yōu)化問題：當在同一設計中要提出當在同一設計中要提出多個目標函多個目標函數(shù)數(shù)時，這種問題稱為多目標函數(shù)的優(yōu)化問題。時，這種問題稱為多目標函數(shù)的優(yōu)化問題。 1112221212( )( ,)( )( ,)( )( ,)nnqqnf xf x xxfxfx xxfxfx xx1122( )( )( ).( )qqf xW f xW fxW fxWq：加權因子，是個非負系數(shù)。 1212( )( ,)min( )0(1,2, )( )0(1,2,)Tn

26、nkjxx xxf xf x xxh xklgxjm求設計變量使目標函數(shù)且滿足約束條件和約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題：無約束優(yōu)化問題：k=j=0min( ),nf xxR優(yōu)化問題的數(shù)學模型優(yōu)化問題的數(shù)學模型min( ),. .( )0(1,2, )( )0(1,2,)nkjf x xRst h xklgxjm 建立優(yōu)化的數(shù)學模型，在計算機上求得的解，就稱為建立優(yōu)化的數(shù)學模型，在計算機上求得的解，就稱為優(yōu)優(yōu)化問題的最優(yōu)解化問題的最優(yōu)解，它包括：，它包括：1 1）最優(yōu)方案（最優(yōu)點）最優(yōu)方案（最優(yōu)點）：2 2）最優(yōu)目標函數(shù)值最優(yōu)目標函數(shù)值：*12,Tnxx xx*()min( )f xf

27、x建立數(shù)學模型要求建立數(shù)學模型要求： 1 1）希望建立一個盡可能）希望建立一個盡可能完善完善的數(shù)學模型，的數(shù)學模型，精精確確的表達實際問題；的表達實際問題； 2 2）力求所建立的數(shù)學模型盡可能的）力求所建立的數(shù)學模型盡可能的簡單簡單，方，方便計算求解。便計算求解。例：現(xiàn)用薄板制造一體積例：現(xiàn)用薄板制造一體積5m5m3 3，長度不小于，長度不小于4m4m的無上蓋的立的無上蓋的立方體貨箱。要求該貨箱的鋼板耗費量最少，試確定貨箱的方體貨箱。要求該貨箱的鋼板耗費量最少，試確定貨箱的長、寬和高的尺寸。（寫出該長、寬和高的尺寸。（寫出該優(yōu)化問題的數(shù)學模型優(yōu)化問題的數(shù)學模型）例：有一塊薄板，寬度為例：有一塊

28、薄板，寬度為24cm24cm，長度為，長度為100cm100cm，制成如圖所，制成如圖所示的梯形槽，問斜邊長示的梯形槽，問斜邊長l l和傾角和傾角 為多大時，梯形槽的容積最為多大時，梯形槽的容積最大。（寫出該大。（寫出該優(yōu)化問題的數(shù)學模型優(yōu)化問題的數(shù)學模型）優(yōu)化問題的幾何解釋：優(yōu)化問題的幾何解釋：無約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題：目標函數(shù)的極小點就是等值面的中心；：目標函數(shù)的極小點就是等值面的中心；等式約束優(yōu)化問題等式約束優(yōu)化問題：設計變量：設計變量x x的設計點必須在的設計點必須在所表示的面或線上，為起作用約束。所表示的面或線上，為起作用約束。不等式約束優(yōu)化問題不等式約束優(yōu)化問題：可行點：可行點

29、 非可行點非可行點 邊界點邊界點( )0h x ( )0g x ( )0g x ( )0g x優(yōu)化問題的幾何解釋：優(yōu)化問題的幾何解釋：數(shù)學解析法：數(shù)學解析法：把優(yōu)化對象用數(shù)學模型描述出來后，用數(shù)學解析法（如微分法、變分法等）來把優(yōu)化對象用數(shù)學模型描述出來后，用數(shù)學解析法（如微分法、變分法等）來求出最優(yōu)解。求出最優(yōu)解。圖解法：圖解法：直接用作圖的方法來求解優(yōu)化問題，通過畫目標函數(shù)和約束函數(shù)的圖形，求出直接用作圖的方法來求解優(yōu)化問題，通過畫目標函數(shù)和約束函數(shù)的圖形，求出最優(yōu)解。特點是簡單、直觀，但僅限于最優(yōu)解。特點是簡單、直觀，但僅限于n2n2的低維優(yōu)化問題的求解。的低維優(yōu)化問題的求解。 數(shù)值迭代

30、法：數(shù)值迭代法：依賴于計算機的數(shù)值計算特點而產生的，它具有一定邏輯結構并按一定格式反依賴于計算機的數(shù)值計算特點而產生的，它具有一定邏輯結構并按一定格式反復迭代計算，逐步逼近優(yōu)化問題最優(yōu)解的一種方法。不僅可以用于求解復迭代計算，逐步逼近優(yōu)化問題最優(yōu)解的一種方法。不僅可以用于求解復雜函復雜函數(shù)的優(yōu)化解，還可以用于處理沒有數(shù)學解析表達式的優(yōu)化設計問題。數(shù)的優(yōu)化解，還可以用于處理沒有數(shù)學解析表達式的優(yōu)化設計問題。 000102. .44)(min2413222121122211xXgxXgxxXgxxXgt sxxxXf例例1 1：求下列二維優(yōu)化問題的最優(yōu)解：求下列二維優(yōu)化問題的最優(yōu)解 圖解法圖解法

31、000102. .44)(min2413222121122211xXgxXgxxXgxxXgt sxxxXf05 . 0)(12xxXh2221) 2() 2()(minxxXf0)(11xXg22( )0g Xx04)(22213xxXgs.t.X2O（2，2）h (X)g1(X)g3(X)X1g2(X)練習練習1：求下列二維優(yōu)化問題的最優(yōu)解：求下列二維優(yōu)化問題的最優(yōu)解練習練習2：已知優(yōu)化問題：已知優(yōu)化問題2221) 5() 2()(minxxXf 221212123142.1602000st g XxxgXxxgXxgXx 畫出此優(yōu)化問題的目標函數(shù)等值線和約束曲線，并確定畫出此優(yōu)化問題的目

32、標函數(shù)等值線和約束曲線，并確定（1）可行域的范圍（用陰影畫出）可行域的范圍（用陰影畫出）（2）在圖中標出無約束最優(yōu)解）在圖中標出無約束最優(yōu)解 和約束最優(yōu)解和約束最優(yōu)解（3）若加入等式約束）若加入等式約束 在圖中標出約束最優(yōu)解在圖中標出約束最優(yōu)解 021xxXh 11,XfX 22,XfX 33,XfXg2(X)g1(X)g3(X)g4(X)X1X2ABCh (X)o機械優(yōu)化設計中常用的數(shù)值解法：優(yōu)化準機械優(yōu)化設計中常用的數(shù)值解法：優(yōu)化準則法和數(shù)學規(guī)劃法。則法和數(shù)學規(guī)劃法。1）優(yōu)化準則法）優(yōu)化準則法2）數(shù)學規(guī)劃法）數(shù)學規(guī)劃法 kkkxCx1 kkkkkkkdxxxxx11 數(shù)值迭代法的基本步驟：

33、數(shù)值迭代法的基本步驟：數(shù)值迭代法的核心：數(shù)值迭代法的核心： 1 1）建立搜索方向）建立搜索方向d dk k 2 2）計算最佳步長）計算最佳步長 k k 3 3）如何判斷是否找到最優(yōu)點）如何判斷是否找到最優(yōu)點迭代法的基本思想：迭代法的基本思想：步步逼近、步步下降步步逼近、步步下降數(shù)值迭代法的迭代終止準則數(shù)值迭代法的迭代終止準則（ 是充分小的正數(shù)，且是充分小的正數(shù)，且00）1. 1.點距足夠小準則：點距足夠小準則： 當相鄰兩個設計點的移動距離已達到充分小時。當相鄰兩個設計點的移動距離已達到充分小時。2. 2.函數(shù)下降量足夠小準則：函數(shù)下降量足夠小準則： 當函數(shù)值的下降量充分小時，也就是前后兩個迭代

34、點間函當函數(shù)值的下降量充分小時，也就是前后兩個迭代點間函數(shù)的目標函數(shù)值充分接近時。數(shù)的目標函數(shù)值充分接近時。11kkxx13()()kkf xf x14()()()kkkf xf xf x12(i=1,2, )kkiixxn數(shù)值迭代法的迭代終止準則：數(shù)值迭代法的迭代終止準則：3. 3.函數(shù)梯度充分小準則：函數(shù)梯度充分小準則： 根據(jù)極值存在的必要條件（函數(shù)極值點的必要條件根據(jù)極值存在的必要條件（函數(shù)極值點的必要條件是函數(shù)在這一點的梯度的模為零），則迭代點的函數(shù)是函數(shù)在這一點的梯度的模為零），則迭代點的函數(shù)梯度的模充分小時，可以作為迭代的終止準則。梯度的模充分小時，可以作為迭代的終止準則。15()

35、kf x 一個多元函數(shù)可用一個多元函數(shù)可用偏導數(shù)偏導數(shù)的概念來研究函數(shù)沿各坐標方向的概念來研究函數(shù)沿各坐標方向的變化率。的變化率。 二元函數(shù)的偏導數(shù)：二元函數(shù)的偏導數(shù)：10201201020101201020011102021020022( ,)(,),lim,limxxxxf x xx xxf xx xf xxfxxf xxxf xxfxx一個二元函數(shù)在點處的偏導數(shù)是0120102010120210200( ,)(,),limdxf x xx xxdf xx xxf xxfdd 稱函數(shù)在點處沿某一方向的變化率為該函數(shù)沿此方向的方向導數(shù)，公式可以表示為21o1x2x10 x20 x0X1x2x

36、d偏導數(shù)偏導數(shù)與與方向導數(shù)方向導數(shù)之間的之間的數(shù)量關系數(shù)量關系：00010120210200101201020101101202101202021212,lim,lim,(,)limcoscosdxddxxf xx xxf xxfddf xx xf xxxxdf xx xxf xx xxxdffxx 0001212coscosxxxfffxxd 多元函數(shù)的方向導數(shù)：多元函數(shù)的方向導數(shù)：0000012012112( ,)coscoscoscoscosnnniixnixxxxiinf x xxxdfffffxxxxddx 元函數(shù)在點 處沿方向 的方向導數(shù)可以表示成：其中，是方向 與坐標軸 方向之間

37、夾角的余弦。例：例：21212012112212( )( ,),1 14436Tf xf x xx xxdddd設目標函數(shù)求點處沿和兩個方向的方向導數(shù)。向量 的方向為：，向量 的方向為：，0010120122( ,)(),Txxfxfff x xxf xfxxx二元函數(shù)在點 處的梯度是0012102( ,)cos()cosxff x xxdf xd 二元函數(shù)在點 處的方向導數(shù)等于該點處的梯度與方向單位向量的內積。方向導數(shù)與梯度的關系：方向導數(shù)與梯度的關系：000()() cos(, )Txff xdf xf dd 0010120122( ,)(),Txxfxfff x xxf xfxxx二元函

38、數(shù)在點 處的梯度是 1 1）梯度是一個向量；）梯度是一個向量； 2 2）梯度方向是方向導數(shù)最大的方向，即函）梯度方向是方向導數(shù)最大的方向，即函數(shù)值變化最快（函數(shù)值變化率最大）的方向數(shù)值變化最快（函數(shù)值變化率最大）的方向 ； 3 3）梯度方向是等值面（線）的法線方向）梯度方向是等值面（線）的法線方向 。000012102001212( ,)(,)nnTnxnxf x xxxxxxfxffffxf xxxxfx函數(shù)在點處的梯度是220121212,42500Tf x xxxxxx求二元函數(shù)在點處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值。例題：例題：00110222201200244()222()2 52()51

39、()5xxfxxf xfxxfff xxxf xpf x 解：解： 函數(shù)變化率最大的方向就是梯度方向，用單位向量 表示，函數(shù)變化率最大的數(shù)值就是梯度的模 。p 2212121212,4253 22 2TTf x xxxxxxx求二元函數(shù)在點和點處的梯度，并作圖表示。例題：例題：020002200( )1( )()()()2()f xxxf xf xfxxfxxxxxxxx 在點處的泰勒展開式：其中，000000121020222221210201211222212112211102220( ,)(,)1( ,)(,)22xxxxxf x xxxxffffff x xf xxxxxxxxxxxx

40、 xxxxxxxx 在點處的泰勒展開式：其中，二元函數(shù)：二元函數(shù)：二元函數(shù)泰勒展開式的矩陣形式：二元函數(shù)泰勒展開式的矩陣形式： 002221121101222221222120001212xxTTffxx xxxfff xf xxxxxxxffx xxf xf xxx G xx 00121020( ,)(,)G xf x xxxx是函數(shù)在點處的海賽矩陣對稱矩陣對稱矩陣泰勒展開式的矩陣形式：泰勒展開式的矩陣形式：0001( )2TTf xfxfxxx G xx 0012Tnxffff xxxx 是函數(shù)在該點的梯度是函數(shù)在該點的梯度多元函數(shù)的海賽矩陣：多元函數(shù)的海賽矩陣：2222112122220

41、2122222212nnnnnfffxx xx xfffG xxxxxxfffxxxxx 3322012121( )3391 1Tf xxxxxxx將函數(shù)在點處用泰勒展開的方法簡化成一個二次函數(shù)。例：例：0001( )2TTf xf xf xxx G xx 多次函數(shù)（高次函數(shù)）多次函數(shù)（高次函數(shù)）二次函數(shù)（低次函數(shù)）二次函數(shù)（低次函數(shù)）泰勒二次泰勒二次近似式近似式221211221212( )( ,)2,21( )2TTf xf x xaxbx xcxdxexfxabdXABCfxbcef xX AXB XC若令則多次函數(shù)（高次函數(shù)）多次函數(shù)（高次函數(shù)）二次函數(shù)（低次函數(shù)）二次函數(shù)（低次函數(shù)）

42、泰勒二次泰勒二次近似式近似式二次二維函數(shù)用向量和矩陣的表示方法：二次二維函數(shù)用向量和矩陣的表示方法：22112212( )28910f xxx xxxx例：將寫成向量及矩陣形式。二次二次n維函數(shù)用向量和矩陣的表示方法：維函數(shù)用向量和矩陣的表示方法：1211111121122122212( )( )( ,) , nnnnijijkkijkTTnnnnnnnf xnf xf x xxa x xb xcX AXB XCaaaxxaaaXAxaaa若是 維函數(shù)，則可按下式化為向量及矩陣形式：式中：12,nbbBCcb()()()();TTTTf XB XX Bf XB XX BB （1）函數(shù)的梯度為(

43、)()()2;TTfXXXfXXXX （2）函數(shù)的梯度為11()()();22 (A)TTfXXAXfXXAXAX （3）函數(shù)的梯度為為是對稱矩陣1()21 ()()2TTTTfXXAXB XCfXXAXB XCAXB （4）對于一般二次函數(shù)，梯度為12211111,()( ,)Tijn nnnnnnnTijijiiiijijijiijj iAaxx xxxx Axa x xa xa x x 設是方陣，是列向量，則 與矩陣A的二次型是00A0A00ATTTxx Axx Axxx Ax如果對于任意，有二次型成立，則矩陣 為正定矩陣；若二次型，則矩陣 為半正定矩陣；相反，如果對于任意，有，則矩陣

44、負定。矩陣正定與負定的判定：矩陣正定與負定的判定：正定：正定：矩陣矩陣A A正定的條件是正定的條件是A A的的各階主子式大于零各階主子式大于零；負定：負定：矩陣矩陣A A負定的條件是負定的條件是各階主子式負、正相間各階主子式負、正相間。*12*12()()()0,0,0()()()(),0nTnf xf xf xxxxf xf xf xf xxxx，即梯度 *G xG x海賽矩陣正定（負定），即的各階主子式均大于零（或負、正相間）*1212( )( ,)( ,)Tnnf xf x xxxx xx多元函數(shù)在點處取得極值必要條件必要條件充分條件充分條件 12*12*( )( ,)( ,)nTnf

45、xf x xxxx xxG xG x多元函數(shù)在點處取得極小值的充要條件是：函數(shù)在該點的剃度為0，且海賽矩陣正定，即的各階主子式均大于零。 12*12*( )( ,)( ,)nTnf xf x xxxx xxG x多元函數(shù)在點處取得極大值的充要條件是：函數(shù)在該點的剃度為0，且海賽矩陣負定，即各階主子式負、正相間。4222112121( )245,4f xxx xxxx證明函數(shù)在點（2 ）處具有極小值。例：例： 當極值點當極值點x x* *能使能使f f（x x* *）在）在整個可行域中整個可行域中為最小值（最大為最小值（最大值）時，即在整個可行域中對任一值）時，即在整個可行域中對任一 x x都有

46、都有f f（x x）f f（x x* *）（或者（或者f（x）f（x*） ）時，則）時，則x x* * 就是全局極小點（全局極就是全局極小點（全局極大點）。大點）。全局極值點（最優(yōu)點）：全局極值點（最優(yōu)點）： 若若f f（x x* *）為）為局部可行域中局部可行域中的極小值（極大值）而不的極小值（極大值）而不是整個可行域中的最小值（或最大值）時，則稱是整個可行域中的最小值（或最大值）時，則稱x x* *為局為局部極小點（局部極大點）。部極小點（局部極大點）。 局部極值點（相對極值點）：局部極值點（相對極值點）： 一個下凸的函數(shù)，它的極值點只有一個，并且該點既一個下凸的函數(shù)，它的極值點只有一個，

47、并且該點既是局部極值點也是全局極值點，我們就稱這個函數(shù)具有是局部極值點也是全局極值點，我們就稱這個函數(shù)具有凸性。凸性。 函數(shù)的凸性（單峰性）：函數(shù)的凸性（單峰性）： 設設R R是一個點集（或區(qū)域），若連接其中任意兩點是一個點集（或區(qū)域），若連接其中任意兩點x x1 1和和x x2 2的直線都屬于的直線都屬于R R，則稱這種集合，則稱這種集合R R是一個凸集。是一個凸集。 凸集：凸集：121201(1)RxRxRxxyR如果對于一切，及一切滿足的實數(shù) ，點，則稱集合 是凸集。凸集的性質：凸集的性質：1AaAaA |,2ABabABaAbB |,3Ax xa aAABx xab aA bB若 是一

48、個凸集， 是一個實數(shù)， 是凸集 中的一個動點，即，則集合還是凸集。若 和 是凸集， 、 分別是凸集 、 中的動點，即，則集合還是凸集。任何一組凸集的交集還是凸集。 具有凸性（表現(xiàn)為單峰性）或只有唯一的局部最優(yōu)值，具有凸性（表現(xiàn)為單峰性）或只有唯一的局部最優(yōu)值，即全局最優(yōu)值的函數(shù)，稱為凸函數(shù)或單峰函數(shù)。即全局最優(yōu)值的函數(shù)，稱為凸函數(shù)或單峰函數(shù)。 凸函數(shù)：凸函數(shù)：1212121212R01Rxx( )(1)()(1) ()R( )(1)()(1) ()fxf xfxxf xf xf xfxxf xf x設f(x)是一個凸集 上的函數(shù)，如果對任何實數(shù)（）以及對 中任意兩點 和恒有，則函數(shù)f(x)就是

49、定義在凸集 上的一個凸函數(shù)。如果將上式中的等號去掉而寫成嚴格的不等式：則稱 （ ）為嚴格凸函數(shù)。 1 1若若f (x)f (x)為定義在凸集為定義在凸集R R上的一個凸函數(shù)，且上的一個凸函數(shù)，且 是一個正數(shù)（是一個正數(shù)（00），則），則f (x)f (x)也必是定義在凸集也必是定義在凸集R R上的上的凸函數(shù)凸函數(shù)。 2 2定義在凸集定義在凸集R R上的兩個凸函數(shù)上的兩個凸函數(shù)f f 1 1 (x) (x)和和f f 2 2 (x) (x) ，其和，其和f (x) = f (x) = f f 1 1 (x) + f (x) + f 2 2 (x)(x) 也一定是該凸集上的一個也一定是該凸集上的一

50、個凸函數(shù)凸函數(shù)。 3 3若若f f 1 1 (x) (x) 、f f 2 2 (x)(x)是定義在凸集是定義在凸集R R上的兩個凸函數(shù)，上的兩個凸函數(shù)， 和和 為兩個任意正為兩個任意正數(shù)，則函數(shù)數(shù)，則函數(shù)f f 1 1 (x) +f (x) +f 2 2 (x)(x) 仍是仍是R R上的上的凸函數(shù)。凸函數(shù)。 4 4若定義在凸集若定義在凸集R R上的一個凸函數(shù)上的一個凸函數(shù)f (x)f (x)有有兩個最小點兩個最小點x x1 1和和x x2 2則這兩點處的則這兩點處的函數(shù)值函數(shù)值f (xf (x1 1) ) 和和f (xf (x2 2) ) 必相等必相等，否則，其中較大的點就不是，否則，其中較大

51、的點就不是f (x)f (x)的最小點了。的最小點了。 5 5若若x1和和x2是定義在凸集是定義在凸集R R上的一個凸函數(shù)上的一個凸函數(shù)f (x)f (x)的的兩個最小點兩個最小點，則其，則其連接連接線段上的一切點線段上的一切點必為必為f (x)f (x)的的最小點最小點。凸函數(shù)的性質：凸函數(shù)的性質：凸性條件：凸性條件： 12212111f xR1RR1,f xRxxR()()()()2f xR1RR1f xRf xRf xHessianG xTf xf xxxf x若為定義在上且具有連續(xù)一階導數(shù)的函數(shù)，而 又是內部的一個凸集 則為 上的凸函數(shù)的充分必要條件為：對任意兩點 、，不等式恒成立。若

52、為定義在上的一個函數(shù)，而 又是內部的一個凸集。設在 上有連續(xù)二階導數(shù)，則在 上為凸函數(shù)的充分必要條件為：函數(shù)的二階偏導數(shù)矩陣，即矩陣處處半正定。2212121212( )10460D|,1,2if xxxx xxxxxxi 證明函數(shù)在，上是凸函數(shù)。例：例：2212( )()f xxx 試判斷函數(shù)的凸性。例：例：凹函數(shù)：凹函數(shù)：1212( )(1)()(1) ()f xfxxf xf x凸函數(shù)凸函數(shù)下凸下凸有極小值有極小值上凸上凸有極大值有極大值凹函數(shù)凹函數(shù)1212( )(1)()(1) ()f xfxxf xf x凸規(guī)劃：凸規(guī)劃：目標函數(shù)目標函數(shù)與與約束條件約束條件均為均為凸函數(shù)凸函數(shù)的優(yōu)化問

53、題稱為凸規(guī)劃。的優(yōu)化問題稱為凸規(guī)劃。 001, |( )()2 |( )01,2, 3jRx f xf xRx gxjm）若給定點x 則集合是凸集。）凸規(guī)劃的可行域是凸集。）凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。凸規(guī)劃的性質凸規(guī)劃的性質 min( ). . ( )0 (1,2,)kf xst h xkm消元法降維法拉格朗日乘子法升維法12()xx12(,)0h xx12(,)f xx2()F x（二維）（二維）（一維）（一維）1212min( ,). . ( ,)0 f x xsth x x二元函數(shù)（一個等式約束）：二元函數(shù)（一個等式約束）：1212min( ,). . ( ,)0 (1,2,

54、 )nknf x xxsth x xxkl1112221212(,)(,)(,)llnllnllllnxxxxxxxxxxxx12min(,)llnF xxx（ n-l n-l 維無約束優(yōu)化問題維無約束優(yōu)化問題 ）1212min( ,). . ( ,)0 (1,2, )nknf x xxsth x xxkl*1(, )()()0lkkkF xf xh x 1( , )( )( )lkkkF xf xh x12 ,Tl 極值必要條極值必要條件件*1(, )()()0lkkkF xf xh x 極值必要條極值必要條件件幾何意義：幾何意義： 在等式約束的極值點上，目標函數(shù)的在等式約束的極值點上，目標

55、函數(shù)的負梯度負梯度等于各等于各約束函數(shù)梯度約束函數(shù)梯度的的線性組合線性組合。1212221212,2360,45h x xxxf x xxx用拉格朗日乘子法計算約束條件是的情況下，目標函數(shù)的極值點。例：例：求解不等式約束優(yōu)化問題求解不等式約束優(yōu)化問題的的基本思想基本思想： 將將不等式不等式約束條件變成約束條件變成等式等式約束條件。約束條件。具體做法具體做法： 引入引入松弛變量松弛變量。松弛變量松弛變量 12 min. . 0 0f xstgxaxgxxb一元函數(shù)一元函數(shù)f(x)f(x)在給定區(qū)間在給定區(qū)間a,ba,b上的極值優(yōu)化問題上的極值優(yōu)化問題 ： 1200gxaxgxxb 2211111

56、2221211,0,0hx agxaaxahx bgxbxbb 2211121121,F x a bf xaxaxbb 拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)： 2211121121,F x a bf xaxaxbb 拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)：1200極值條件極值條件 121211221200,00,0dgdgdfdxdxdxgxgx極值條件極值條件 121211221200,00,0dgdgdfdxdxdxgxgx1212120dgdgdfdfdxdxdxdx*()axb*()xa*()xb極值條件極值條件 121211221200,00,0dgdgdfdxdxdxgxgx |0,1,2jJ xj g

57、xj起作用約束的下標集合： 000jjj JjjdgdfdxdxgxjJjJ多元函數(shù)多元函數(shù)不等式不等式優(yōu)化問題模型：優(yōu)化問題模型：min( ). . ( )0 (1,2,)jf xstgxjm*1*01,2,.,01,2,.,01,2,.,mjjjiijjjf xgxinxxgxjmjm極值條件庫恩庫恩塔克條件塔克條件*1*01,2,.,01,2,.,01,2,.,mjjjiijjjf xgxinxxgxjmjm極值條件庫恩庫恩塔克條件塔克條件*01,2,.,00jjj Jiijjf xgxinxxgxjJjJ*1*01,2,.,01,2,.,01,2,.,mjjjiijjjf xgxinx

58、xgxjmjm極值條件庫恩庫恩塔克條件塔克條件*0jjjJfxgx 在約束極小值點在約束極小值點x x* *處，處，函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的負梯度一定可的負梯度一定可以表示成所有起作用約以表示成所有起作用約束在改點的梯度（法向束在改點的梯度（法向量）的非負線性組合。量）的非負線性組合。 庫恩塔克條件的幾何意義（二維）：庫恩塔克條件的幾何意義（二維）：庫恩塔克條件的幾何意義（二維）：結論：結論： 1212k1212x0,0kkkkkkkkkf xg xg xf xg xg xf xg xg x1)在 極 值 點 處和以 及是 線 性 相 關 的 ， 或 者 說可 以 看 做 是和的 線 性 組

59、 合 。2)如 果 點 是 極 小 點 ， 那 么 目 標 函 數(shù) 的 梯 度一 定 位 于 兩 個 約 束 函 數(shù)的 梯 度和形 成 的 夾 角 內 ， 或 者 說 它 們 的 線 性 組 合 系 數(shù) 是 正 的 。 min( ). . ( )0(1,2,) ( )0(1,2, )jkf xstgxjmh xkl同時具有等式和不等式約束的優(yōu)化問題： 101,2,.,00ljkjkj JkiiijjghfinxxxgxjJjJ庫恩庫恩塔克條件：塔克條件：庫恩庫恩塔克條件舉例：塔克條件舉例：*2221221122231KT1,0min( )2,s.t. ( )10 ( )0 ( )0Txf xx

60、xxRg xxxgxxgxx 試用條件判定點是否是下面優(yōu)化問題的極值點。庫恩庫恩塔克條件舉例：塔克條件舉例：131122132min( ). . ( )(1)0 ( )0 ( )0f xxstg xxxgxxgxx 試分析約束優(yōu)化問題：的約束最優(yōu)解及其庫恩塔克條件。(畫出目標函數(shù)的等值線和可行域)：對于：對于單個變量單個變量（一維問題一維問題）的直接探索（搜索）的直接探索（搜索 或尋查）。或尋查）。多維多維問題的數(shù)值迭代法問題的數(shù)值迭代法1(0,1,2,)kkkkxxdk1()()()minkkkkkf xf xd 每步為每步為一維一維搜索搜索*()0 1 1）解析法解析法：2 2）數(shù)值解法數(shù)