數(shù)學(xué)建模講義02

1、數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 公平的席位分配公平的席位分配2.2 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途2.3 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效2.4 汽車(chē)剎車(chē)距離汽車(chē)剎車(chē)距離2.5 劃艇比賽的成績(jī)劃艇比賽的成績(jī)2.6 實(shí)物交換實(shí)物交換2.7 核軍備競(jìng)賽核軍備競(jìng)賽2.8 啟帆遠(yuǎn)航啟帆遠(yuǎn)航2.9 量綱分析與無(wú)量綱化量綱分析與無(wú)量綱化數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 2.1 公平的席位分配公平的席位分配系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.

2、5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 6.615 3.570 21.000 21問(wèn)問(wèn)題題三個(gè)系學(xué)生共三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表會(huì)議共會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為三系人數(shù)為103, 63, 34, 問(wèn)問(wèn)20席如何分配。席如何分配。若增加為若增加為21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加慣慣例例對(duì)對(duì)丙丙系系公公平平嗎嗎系別系別 學(xué)

3、生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 總和總和 200 100.0 20.0 20系別系別 學(xué)生學(xué)生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系

4、 李宇光 Email “公平公平”分配方法分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo) 人數(shù)人數(shù) 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2當(dāng)當(dāng)p1/n1= p2/n2 時(shí)，分配公平時(shí)，分配公平 p1/n1 p2/n2 對(duì)對(duì)A的的絕對(duì)不公平度絕對(duì)不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者對(duì)但后者對(duì)A的的不公平不公平程度已大大降低程度已大大降低! !雖二者雖二者的的絕對(duì)絕對(duì)不公平度相同不公平度相同

5、若若 p1/n1 p2/n2 ，對(duì)對(duì) 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 公平分配方案應(yīng)公平分配方案應(yīng)使使 rA , rB 盡量小盡量小設(shè)設(shè)A, B已分別有已分別有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，問(wèn)應(yīng)分給席，問(wèn)應(yīng)分給A, 還是還是B不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí)不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí) p1/n1 p2/n2 ，即對(duì)即對(duì)A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 對(duì)對(duì)A的的相對(duì)不公平度相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類似地定義類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配將一次性的

6、席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配, 即即“公平公平”分配方法分配方法若若 p1/n1 p2/n2 ，定義定義數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算應(yīng)計(jì)算rB(n1+1, n2)應(yīng)計(jì)算應(yīng)計(jì)算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問(wèn)：?jiǎn)枺?p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 B數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 當(dāng)當(dāng) rB(n1+1, n2) 車(chē)身的平均長(zhǎng)度車(chē)身的平均長(zhǎng)度15英尺英

7、尺(=4.6米米)“2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則”與與“10英里英里/小時(shí)加一車(chē)身小時(shí)加一車(chē)身”規(guī)則不同規(guī)則不同剎剎車(chē)車(chē)距距離離反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)時(shí)間制動(dòng)器作用力、車(chē)重、車(chē)速、道路、氣候制動(dòng)器作用力、車(chē)重、車(chē)速、道路、氣候 最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比，最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比，使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)。使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)。車(chē)速車(chē)速常數(shù)常數(shù)反反應(yīng)應(yīng)距距離離制制動(dòng)動(dòng)距距離離司機(jī)司機(jī)狀況狀況制動(dòng)系統(tǒng)制動(dòng)系統(tǒng)靈活性靈活性常數(shù)常數(shù)數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 假假 設(shè)設(shè) 與與 建建 模模 1. 剎車(chē)距離剎車(chē)距離 d 等于反應(yīng)距離等于反應(yīng)距離 d1 與制動(dòng)距離與制動(dòng)距離 d2 之和之和2. 反應(yīng)距離反應(yīng)距

8、離 d1與車(chē)速與車(chē)速 v成正比成正比3. 剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變作功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變;vtd11F d2= m v2/2F m21kvvtdt1為反應(yīng)時(shí)間為反應(yīng)時(shí)間21ddd且且F與車(chē)的質(zhì)量與車(chē)的質(zhì)量m成正比成正比22kvd數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)時(shí)間 t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒秒?yún)?shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 利用交通部門(mén)提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合利用交通部門(mén)提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合 k21kvvtd模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06計(jì)算剎車(chē)距離、剎車(chē)時(shí)間計(jì)算剎車(chē)距離、剎車(chē)時(shí)間車(chē)速車(chē)速( (英

9、里英里/ /小時(shí)小時(shí)) () (英尺英尺/ /秒秒) )實(shí)際剎車(chē)距離實(shí)際剎車(chē)距離（英尺）（英尺）計(jì)算剎車(chē)距離計(jì)算剎車(chē)距離（英尺）（英尺）剎車(chē)時(shí)間剎車(chē)時(shí)間（秒）（秒）202029.329.34242（4444）39.039.01.51.5303044.044.073.573.5（7878）76.676.61.81.8404058.758.7116116（124124）126.2126.22.12.1505073.373.3173173（186186）187.8187.82.52.5606088.088.0248248（268268）261.4261.43.03.07070102.7102.734

10、3343（372372）347.1347.13.63.68080117.3117.3464464（506506）444.8444.84.34.3數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email “2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)秒準(zhǔn)則則”22106.075.0vvkvvtd模模 型型車(chē)速車(chē)速( (英里英里/ /小時(shí)小時(shí)) )剎車(chē)時(shí)間剎車(chē)時(shí)間（秒）（秒）20201.51.530301.81.840402.12.150502.52.560603.03.070703.63.680804.34.3車(chē)速（英里車(chē)速（英里/ /小時(shí)）小時(shí)）010010104010404060406060

11、806080t t（秒）（秒）1 12 23 34 4數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 2.5 劃艇比賽的成績(jī)劃艇比賽的成績(jī)賽艇賽艇 2000米成績(jī)米成績(jī) t (分分)種類種類 1 2 3 4 平均平均單人單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21雙人雙人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇長(zhǎng)艇長(zhǎng)l 艇寬艇寬b (米米) (米米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21

12、.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 漿手?jǐn)?shù)漿手?jǐn)?shù)n 16.3 13.6 18.1 14.7對(duì)四種賽艇（對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）單人、雙人、四人、八人）4次國(guó)際大賽冠次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。問(wèn)問(wèn)題題準(zhǔn)準(zhǔn)備備調(diào)查賽艇的尺寸和重量調(diào)查賽艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不變基本不變數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 問(wèn)題分析問(wèn)題分析 前進(jìn)阻力前進(jìn)阻力 浸沒(méi)部分與水的摩擦力浸沒(méi)部分與水的摩擦力 前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)動(dòng)力

13、 漿手的劃漿功率漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定劃漿劃漿功率功率 賽艇賽艇速度速度賽艇賽艇速度速度前進(jìn)前進(jìn)動(dòng)力動(dòng)力前進(jìn)前進(jìn)阻力阻力漿手漿手?jǐn)?shù)量數(shù)量 艇艇重重浸沒(méi)浸沒(méi)面積面積 對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定 運(yùn)用合適的物理定律建立模型運(yùn)用合適的物理定律建立模型數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 模型假設(shè)模型假設(shè)1）艇形狀相同）艇形狀相同(l/b為常數(shù)為常數(shù)), w0與與n成正比成正比2）v是常數(shù)，阻力是常數(shù)，

14、阻力 f與與 sv2成正比成正比符號(hào)：艇速符號(hào)：艇速 v, 浸沒(méi)面積浸沒(méi)面積 s, 浸沒(méi)體積浸沒(méi)體積 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 漿手?jǐn)?shù)漿手?jǐn)?shù) n, 漿手功率漿手功率 p, 漿手體重漿手體重 w, 艇重艇重 W艇的靜態(tài)特性艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性3）w相同，相同，p不變，不變，p與與w成正比成正比漿手的特征漿手的特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比賽成績(jī)比賽成績(jī) t n 1/9np fv數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)n t1 7.2

15、12 6.884 6.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatloglog最小二乘法最小二乘法利用利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型成績(jī)對(duì)模型 t n 1/ 9 進(jìn)行檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)tn12487.216.886.325.84與模型巧合！與模型巧合！數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 問(wèn)問(wèn)題題甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。yxp.用用x,y分別表示甲分別表示甲(乙乙)占有占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占的數(shù)

16、量。設(shè)交換前甲占有有X的數(shù)量為的數(shù)量為x0, 乙占有乙占有Y的的數(shù)量為數(shù)量為y0, 作圖：作圖：若不考慮雙方對(duì)若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y)都是一種交換方案：甲占有都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y) xyyo0 xo2.6 實(shí)物交換實(shí)物交換數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的無(wú)差別曲線甲的無(wú)差別曲線分析與建模分析與建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)與占有與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即具有同樣的滿意程度，即p1, p2對(duì)

17、甲是無(wú)差別的，對(duì)甲是無(wú)差別的，MN將將所有與所有與p1, p2無(wú)差別的點(diǎn)連接無(wú)差別的點(diǎn)連接起來(lái)，得到一條起來(lái)，得到一條無(wú)差別曲線無(wú)差別曲線MN, 線上各點(diǎn)的滿意度相同線上各點(diǎn)的滿意度相同, 線的形狀反映對(duì)線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛(ài)程度，的偏愛(ài)程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差別曲線，在另一條無(wú)差別曲線M1N1上。上。于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）。于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）。數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1無(wú)差別曲線族的性質(zhì)：無(wú)差別曲線族的性質(zhì)

18、： 單調(diào)減單調(diào)減(x增加增加, y減小減小) 下凸下凸(凸向原點(diǎn)凸向原點(diǎn)) 互不相交互不相交在在p1點(diǎn)占有點(diǎn)占有x少、少、y多，多，寧愿以較多的寧愿以較多的 y換取換取較少的較少的 x;在在p2點(diǎn)占有點(diǎn)占有y少、少、x多，多，就要以較多的就要以較多的 x換取換取較少的較少的 y。甲的無(wú)差別曲線族記作甲的無(wú)差別曲線族記作f(x,y)=c1c1滿意度滿意度（f 等滿意度曲線）等滿意度曲線）數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email xyOg(x,y)=c2c2 乙的無(wú)差別曲線族乙的無(wú)差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）性質(zhì)（形狀可以不同） 雙方的交換路徑

19、雙方的交換路徑xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的無(wú)差別曲線族乙的無(wú)差別曲線族 g=c2 (坐標(biāo)坐標(biāo)系系xOy, 且反向）且反向）甲的無(wú)差別曲線族甲的無(wú)差別曲線族 f=c1ABp P 雙方滿意的交換方案必雙方滿意的交換方案必在在AB（交換路徑）上（交換路徑）上因?yàn)樵谝驗(yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)外的任一點(diǎn)p, (雙方雙方)滿意度低于滿意度低于AB上的點(diǎn)上的點(diǎn)p兩族曲線切點(diǎn)連線記作兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email ABp 交換方案的進(jìn)一步確定交換方案的進(jìn)一步確定交換方案交換方案 交換后甲的占有量交換后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩矩

20、形內(nèi)任一點(diǎn)形內(nèi)任一點(diǎn)交換路交換路徑徑AB雙方的無(wú)差別曲線族雙方的無(wú)差別曲線族等價(jià)交等價(jià)交換原則換原則X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為則下交換路徑為CD(x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線兩點(diǎn)的連線CDAB與與CD的的交點(diǎn)交點(diǎn)p設(shè)設(shè)X單價(jià)單價(jià)a, Y單價(jià)單價(jià)b, 則等價(jià)交換下則等價(jià)交換下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.x數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 2.7 核軍備競(jìng)賽核軍備競(jìng)賽 冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安

21、全，實(shí)行“核威核威懾戰(zhàn)略懾戰(zhàn)略”，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過(guò)了一系列隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過(guò)了一系列的核裁軍協(xié)議。的核裁軍協(xié)議。 在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張，而存在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張，而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。 當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。 估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)數(shù)量受哪些因

22、素影響。數(shù)量受哪些因素影響。背背景景數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 以雙方以雙方(戰(zhàn)略戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣的假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：核威懾戰(zhàn)略： 認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地； 乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能在任一方實(shí)施

23、第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地。攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地。摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。度和另一方的防御能力決定。模模型型假假設(shè)設(shè)數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 圖圖的的模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)x=g(y)乙方有乙方有y枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)當(dāng)當(dāng) x=0時(shí)時(shí) y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方實(shí)行第一次打擊

24、后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)乙安全區(qū)甲甲安安全全區(qū)區(qū)雙方雙方安全區(qū)安全區(qū)P平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線乙安全線數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 精細(xì)精細(xì)模型模型乙方乙方殘存率殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率。基地，基地未被摧毀的概率。sx個(gè)基地未摧毀，個(gè)基地未摧毀，yx個(gè)基地未攻擊。個(gè)基地未攻擊。xy甲方以

25、甲方以 x攻擊乙方攻擊乙方 y個(gè)基地中的個(gè)基地中的 x個(gè)個(gè),y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy個(gè)被攻擊個(gè)被攻擊2次，次，s2(xy)個(gè)未摧毀；個(gè)未摧毀；y (xy)=2y x個(gè)被攻擊個(gè)被攻擊1次，次，s(2y x )個(gè)未摧毀個(gè)未摧毀y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email yxasysyy/00 a交換比交換比(甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比)x=a y,精細(xì)精細(xì)模型模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威懾值

26、威懾值s殘存率殘存率y=f(x)y是一條上凸的曲線是一條上凸的曲線y0變大，曲線上移、變陡變大，曲線上移、變陡s變大，變大，y減小，曲線變平減小，曲線變平a變大，變大，y增加，曲線變陡增加，曲線變陡xy0y0 xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,xssssyy21)2(0數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)乙方威懾值乙方威懾值 y0變大變大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí)。甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使

27、雙方軍備競(jìng)賽升級(jí)。),(mmyxP（其它因素不變）（其它因素不變）乙安全線乙安全線 y=f(x)上移上移模型解釋模型解釋 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)PP 數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架乙安全線乙安全線y=f(x)不變不變甲方殘存率變大甲方殘存率變大威懾值威懾值x 0和交換比不變和交換比不變x減小，甲安全線減小，甲安全線x=g(y)向向y軸靠近軸靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解釋模型解釋 甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少甲方這種單獨(dú)行為

28、，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少PP 數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo)雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo)(x , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量)雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加y0減小減小 y下移且變平下移且變平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP a 變大變大 y增加且變陡增加且變陡雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析?PP模型解釋模型解釋 乙安全線乙安全線 y=f(x)?PP

29、數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向簡(jiǎn)化問(wèn)題簡(jiǎn)化問(wèn)題AB 風(fēng)向風(fēng)向北北航向航向帆船帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從要從A點(diǎn)駛向正東方的點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向確定起航時(shí)的航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 2.8 啟帆遠(yuǎn)航啟帆遠(yuǎn)航數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 模型分析模型分析 風(fēng)風(fēng)(通過(guò)帆通過(guò)帆)對(duì)船的推力對(duì)船的推力w 風(fēng)對(duì)船體部分的阻力風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解

30、w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假設(shè)假設(shè) w與帆迎風(fēng)面積與帆迎風(fēng)面積s1成正比，成正比，p與船迎風(fēng)面積與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于 s2，f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email w1=wsin( - )f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 模型模型假設(shè)假設(shè) wpw1w2f1f2p2p1 w2與帆面平行，可忽略與帆面平行，可忽略 f2, p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消模型模型建立

31、建立w=ks1, p=ks2船在正東方向速度分量船在正東方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v與力與力f=f1-p1成正比成正比v=k1(f1-p1)v1v數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 2) 令令 = /2, v1=k1 w(1-cos )/2 -pcos cos 求求 使使v1最大最大（w=ks1, p=ks2）1) 當(dāng)當(dāng) 固定時(shí)求固定時(shí)求 使使f1最大最大f1=wcos( -2 )-cos /2 = /2 時(shí)時(shí) f1=w(1-cos )/2最大最大= k1(f1-p1)cos f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 求求 , ,使使

32、 v1最大最大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 60 75 1 t 2cos)cos1 (21tkv)21(cos41222tttkv1最大最大2),21(21cos12sstt備注備注 只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型 航行過(guò)程中終點(diǎn)航行過(guò)程中終點(diǎn)B將不在正東方將不在正東方 記記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks1, p=ks21/4cos s2數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光

33、 Email 2.9 量綱分析與無(wú)量綱化量綱分析與無(wú)量綱化物物理理量量的的量量綱綱長(zhǎng)度長(zhǎng)度 l 的量綱記的量綱記 L=l質(zhì)量質(zhì)量 m的量綱記的量綱記 M=m時(shí)間時(shí)間 t 的量綱記的量綱記 T=t動(dòng)力學(xué)中動(dòng)力學(xué)中基本量綱基本量綱 L, M, T速度速度 v 的量綱的量綱 v=LT-1導(dǎo)出量綱導(dǎo)出量綱221rmmkf 加速度加速度 a 的量綱的量綱 a=LT-2力力 f 的量綱的量綱 f=LMT-2引力常數(shù)引力常數(shù) k 的量綱的量綱 k對(duì)無(wú)量綱量對(duì)無(wú)量綱量 ， =1(=L0M0T0)2.9.1 量綱齊次原則量綱齊次原則=fl2m-2=L3M-1T-2數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 E

34、mail 量綱齊次原則量綱齊次原則等式兩端的量綱一致等式兩端的量綱一致量綱分析量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系系例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng))1 (321glmt 321glmt lmgm求擺動(dòng)周期求擺動(dòng)周期 t 的表達(dá)式的表達(dá)式設(shè)物理量設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式之間有關(guān)系式 1, 2, 3 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)， 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量 2/ 12/ 10321glt(1)的量綱表達(dá)式的量綱表達(dá)式glt2對(duì)比對(duì)比33212TLMT12003321數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 對(duì)對(duì) x,y,z的兩組測(cè)量值的

35、兩組測(cè)量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp為什么假設(shè)這種形式為什么假設(shè)這種形式321glmt 設(shè)設(shè)p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量綱單的量綱單位縮小位縮小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式為的形式為),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 0002010010101004321)()()()(TML

36、TMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運(yùn)動(dòng)中單擺運(yùn)動(dòng)中 t, m, l, g 的一般表達(dá)式的一般表達(dá)式0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為無(wú)量綱量為無(wú)量綱量0)(F數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 設(shè)設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T

37、, s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià)等價(jià), F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是基本量綱綱, n m, q1, q2, , qm 的量綱可表為的量綱可表為,mnijaA量綱矩陣記作量綱矩陣記作rA rank若線性齊次方程組線性齊次方程組0Ay有有 m-r 個(gè)基本解，記作個(gè)基本解，記作mjyjssjq1為為m-r 個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量, 且且則則數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Ema

38、il )()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力波浪對(duì)航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒(méi)面積浸沒(méi)面積 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqf數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email TTTyyy) 1, 0, 0()0,

39、1, 0()0, 0, 1(321flgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3個(gè)基本解個(gè)基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r個(gè)基本解個(gè)基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 個(gè)無(wú)量綱量個(gè)無(wú)量綱量0),(21mqqqf0),(fsvlg數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email F( 1, 2 , 3 ) = 0與與 (g,l, ,v,s,f) = 0 等價(jià)等價(jià)flgslvl得到阻

40、力為得到阻力 f 的顯式表達(dá)式的顯式表達(dá)式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià)等價(jià)221213,),(lsglvglf數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 量綱分析法的評(píng)注量綱分析法的評(píng)注 物理量的選取物理量的選取 基本量綱的選取基本量綱的選取 基本解的構(gòu)造基本解的構(gòu)造 結(jié)果的局限性結(jié)果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的中包括哪些物理量是至關(guān)重要的基本量綱個(gè)數(shù)基本量綱個(gè)數(shù)n; 選哪些基本量綱選哪些基本量綱有目的地構(gòu)造有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解的基本解 方法

41、的普適性方法的普適性函數(shù)函數(shù)F和無(wú)量綱量未定和無(wú)量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識(shí)不需要特定的專業(yè)知識(shí)數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 2.9.2 量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用 例例: 航船阻力的物理模擬航船阻力的物理模擬通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的參數(shù)模型船的參數(shù)(均已知均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的參數(shù)原型船的參數(shù)(f1未

42、知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量測(cè)量測(cè) f，可算出，可算出 f1 物理模擬物理模擬221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 2.9.3 無(wú)量綱化無(wú)量綱化例：火箭發(fā)射例：火箭發(fā)射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射。初速星球表面豎直發(fā)射。初速v, 星球半星球半徑徑r, 表面重力加速度表面重力加速度g研究火箭高度研究火箭高度 x 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律t=0 時(shí)時(shí) x=0, 火箭質(zhì)量火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律)0( xgx grkm223個(gè)獨(dú)立參數(shù)個(gè)獨(dú)立參數(shù)數(shù)學(xué)建模 武漢理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系 李宇光 Email 用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立