機器人技術(shù)第七章機器人的軌跡規(guī)劃

1、1& 第七章第七章 機器人的軌跡規(guī)劃機器人的軌跡規(guī)劃7.1 7.1 機器人規(guī)劃的定義和作用機器人規(guī)劃的定義和作用7.1.1 概述概述機器人學中的一個基本問題是為解決某個預定的任務(wù)而規(guī)劃機器人學中的一個基本問題是為解決某個預定的任務(wù)而規(guī)劃機器人的動作，然后在機器人執(zhí)行完成那些動作所需的命令時機器人的動作，然后在機器人執(zhí)行完成那些動作所需的命令時控制它。這里，規(guī)劃的意思就是機器人在行動前確定一系列動控制它。這里，規(guī)劃的意思就是機器人在行動前確定一系列動作作(作決策作決策)，這種動作的確定可用問題求解系統(tǒng)來解決，給定，這種動作的確定可用問題求解系統(tǒng)來解決，給定初始情況后，該系統(tǒng)可達到某一規(guī)定

2、的目標。因此，初始情況后，該系統(tǒng)可達到某一規(guī)定的目標。因此，規(guī)劃就是規(guī)劃就是指機器人為達到目標而需要的行動過程的描述。指機器人為達到目標而需要的行動過程的描述。 規(guī)劃內(nèi)容可能沒有次序，但是一般來說，規(guī)劃具有某個規(guī)劃規(guī)劃內(nèi)容可能沒有次序，但是一般來說，規(guī)劃具有某個規(guī)劃目標的蘊含排序。例如，早晨起床后的安排。目標的蘊含排序。例如，早晨起床后的安排。 缺乏規(guī)劃可能導致不是最佳的問題求解，甚至得不到問題的缺乏規(guī)劃可能導致不是最佳的問題求解，甚至得不到問題的求解。求解。2 許多規(guī)劃所包的步驟是含糊的，而且需要進一步說明（子許多規(guī)劃所包的步驟是含糊的，而且需要進一步說明（子規(guī)劃）。規(guī)劃）。大多數(shù)規(guī)劃具有很

3、大的子規(guī)劃結(jié)構(gòu)，規(guī)劃中的每個大多數(shù)規(guī)劃具有很大的子規(guī)劃結(jié)構(gòu)，規(guī)劃中的每個目標可以由達到此目標的比較詳細的子規(guī)劃所代替。因此，目標可以由達到此目標的比較詳細的子規(guī)劃所代替。因此，最終得到的規(guī)劃是某個問題求解算符的線性或分部排序，但最終得到的規(guī)劃是某個問題求解算符的線性或分部排序，但是由算符來實現(xiàn)的目標常常具有分層結(jié)構(gòu)。是由算符來實現(xiàn)的目標常常具有分層結(jié)構(gòu)。 把某些比較復雜的問題分解為一些比較小的問題的想法使把某些比較復雜的問題分解為一些比較小的問題的想法使我們應用規(guī)劃方法求解問題在實際上成為可能。我們應用規(guī)劃方法求解問題在實際上成為可能。 有兩條能夠?qū)崿F(xiàn)這種分解的重要途徑：第一條是當從一個有兩條

4、能夠?qū)崿F(xiàn)這種分解的重要途徑：第一條是當從一個問題狀態(tài)移動到下一個狀態(tài)時，無需計算整個新的狀態(tài)，而問題狀態(tài)移動到下一個狀態(tài)時，無需計算整個新的狀態(tài)，而只要考慮狀態(tài)中可能變化了的那些部分。第二條是把單一的只要考慮狀態(tài)中可能變化了的那些部分。第二條是把單一的困難問題分割為幾個有希望的、較為容易解決的子問題，這困難問題分割為幾個有希望的、較為容易解決的子問題，這種分解能夠使困難問題的求解變得容易些。種分解能夠使困難問題的求解變得容易些。3 機器人規(guī)劃分為機器人規(guī)劃分為高層規(guī)劃高層規(guī)劃和和低層規(guī)劃低層規(guī)劃。自動規(guī)劃自動規(guī)劃在機器人在機器人規(guī)劃中稱為高層規(guī)劃。在無特別說明時，機器人規(guī)劃都是指規(guī)劃中稱為高層

5、規(guī)劃。在無特別說明時，機器人規(guī)劃都是指自動規(guī)劃。自動規(guī)劃是一種重要的問題求解技術(shù)，它從某個自動規(guī)劃。自動規(guī)劃是一種重要的問題求解技術(shù)，它從某個特定的問題狀態(tài)出發(fā)，尋求一系列行為動作，并建立一個操特定的問題狀態(tài)出發(fā)，尋求一系列行為動作，并建立一個操作序列，直到求得目標狀態(tài)為止。與一般問題求解相比，自作序列，直到求得目標狀態(tài)為止。與一般問題求解相比，自動規(guī)劃更注重于問題的求解過程，而不是求解結(jié)果。動規(guī)劃更注重于問題的求解過程，而不是求解結(jié)果。 我們在闡述機器人自動規(guī)劃問題時，機器人一般配備有傳我們在闡述機器人自動規(guī)劃問題時，機器人一般配備有傳感器和一組能在某個易于理解的現(xiàn)場中完成的基本動作。這感器

6、和一組能在某個易于理解的現(xiàn)場中完成的基本動作。這些動作可把該現(xiàn)場從一種狀態(tài)或布局變換為另一種狀態(tài)或布些動作可把該現(xiàn)場從一種狀態(tài)或布局變換為另一種狀態(tài)或布局。例如，局。例如， “積木世界積木世界” 。4 機器人能得到的一個解答是由下面的算符序列組成的：機器人能得到的一個解答是由下面的算符序列組成的：目標狀態(tài)目標狀態(tài) 機器人規(guī)劃是機器人學的一個重要研究領(lǐng)域，也是人工智能機器人規(guī)劃是機器人學的一個重要研究領(lǐng)域，也是人工智能與機器人學一個令人感興趣的結(jié)合點。與機器人學一個令人感興趣的結(jié)合點。5 機器人的規(guī)劃程序只需要給定任務(wù)機器人的規(guī)劃程序只需要給定任務(wù)初初始狀態(tài)和最終狀態(tài)的描始狀態(tài)和最終狀態(tài)的描述。

7、這些規(guī)劃系統(tǒng)一般都不說明為述。這些規(guī)劃系統(tǒng)一般都不說明為實實現(xiàn)現(xiàn)一一個算符所需的詳個算符所需的詳細細的的機器人運動。任務(wù)規(guī)劃程序機器人運動。任務(wù)規(guī)劃程序則則把任務(wù)級的說明變換成操作機級把任務(wù)級的說明變換成操作機級的說明。為了進行這種變換，任務(wù)規(guī)劃程序必須的說明。為了進行這種變換，任務(wù)規(guī)劃程序必須包含包含被操作物被操作物體、任務(wù)環(huán)境、機器人執(zhí)行的任務(wù)、環(huán)境的體、任務(wù)環(huán)境、機器人執(zhí)行的任務(wù)、環(huán)境的初初始狀態(tài)和所要求始狀態(tài)和所要求的最終的最終( (目標目標) )狀態(tài)等描述。任務(wù)規(guī)劃程序狀態(tài)等描述。任務(wù)規(guī)劃程序的的輸出就是一個機器輸出就是一個機器人程序，在指定的人程序，在指定的初初始狀態(tài)下執(zhí)行該程序后

8、，就能達到所要求始狀態(tài)下執(zhí)行該程序后，就能達到所要求的最終狀態(tài)。的最終狀態(tài)。 任務(wù)規(guī)劃有三個階段：建立模型、任務(wù)說明和操作機程序綜任務(wù)規(guī)劃有三個階段：建立模型、任務(wù)說明和操作機程序綜合。任務(wù)的世界模型應含有如下的信息合。任務(wù)的世界模型應含有如下的信息:(1):(1)任務(wù)環(huán)境中的所有任務(wù)環(huán)境中的所有物體和機器人的幾何描述；物體和機器人的幾何描述；(2)(2)所有物體的物理描述；所有物體的物理描述；(3)(3)所有所有連接件的運動學描述，連接件的運動學描述，(4) (4) 機器人和傳感器特性的描述。在世機器人和傳感器特性的描述。在世界模型中，任務(wù)狀態(tài)模型還必包括全部物體和連接件的布局。界模型中，任

9、務(wù)狀態(tài)模型還必包括全部物體和連接件的布局。7.1.2 機器人任務(wù)規(guī)劃的作用機器人任務(wù)規(guī)劃的作用6 機器人軌跡規(guī)劃機器人軌跡規(guī)劃屬于機器人低層規(guī)劃，基本上不涉及人工屬于機器人低層規(guī)劃，基本上不涉及人工智能問題，而是在機械手運動學和動力學的基礎(chǔ)上，討論機智能問題，而是在機械手運動學和動力學的基礎(chǔ)上，討論機器人運動的規(guī)劃及其方法。所謂器人運動的規(guī)劃及其方法。所謂軌跡軌跡，就是指機器人在運動，就是指機器人在運動過程中的位移、速度和加速度。過程中的位移、速度和加速度。 軌跡規(guī)劃問題通常是將軌跡規(guī)劃器看成軌跡規(guī)劃問題通常是將軌跡規(guī)劃器看成“黑箱黑箱”，接受表示，接受表示路徑約束的輸入變量，輸出為起點和終點

10、之間按時間排列的操路徑約束的輸入變量，輸出為起點和終點之間按時間排列的操作機中間形態(tài)（位姿作機中間形態(tài)（位姿, 速度和加速度）序列。速度和加速度）序列。路徑約束路徑約束動力學約束動力學約束路徑設(shè)定路徑設(shè)定軌跡規(guī)劃器軌跡規(guī)劃器7.2 7.2 機器人軌跡規(guī)劃的一般性問題機器人軌跡規(guī)劃的一般性問題由初始點運動到終止由初始點運動到終止點，所經(jīng)過的由中間點，所經(jīng)過的由中間形態(tài)序列構(gòu)成的空間形態(tài)序列構(gòu)成的空間曲線稱為曲線稱為路徑。路徑。這些這些形態(tài)序列即是曲線上形態(tài)序列即是曲線上的的“點點”。7規(guī)劃操作機的軌跡有兩種常用的方法：規(guī)劃操作機的軌跡有兩種常用的方法： 第一種方法：要求使用者在沿軌跡選定的位置點

11、上第一種方法：要求使用者在沿軌跡選定的位置點上(稱為結(jié)稱為結(jié)節(jié)或插值點節(jié)或插值點)顯式地給定廣義坐標位置、速度和加速度的一組顯式地給定廣義坐標位置、速度和加速度的一組約束約束(例如，連續(xù)性和光滑程度等例如，連續(xù)性和光滑程度等)。然后，軌跡規(guī)劃器從插值。然后，軌跡規(guī)劃器從插值和滿足插值點約束的函數(shù)中選定參數(shù)化軌跡。顯然，在這種和滿足插值點約束的函數(shù)中選定參數(shù)化軌跡。顯然，在這種方法中，約束的給定和操作機軌跡規(guī)劃是在關(guān)節(jié)坐標系中進方法中，約束的給定和操作機軌跡規(guī)劃是在關(guān)節(jié)坐標系中進行的。行的。 第二種方法：使用者以解析函數(shù)顯式地給定操作機必經(jīng)之第二種方法：使用者以解析函數(shù)顯式地給定操作機必經(jīng)之路徑

12、，例如，笛卡爾坐標中的直線路徑。然后，軌跡規(guī)劃器路徑，例如，笛卡爾坐標中的直線路徑。然后，軌跡規(guī)劃器在關(guān)節(jié)坐標或笛卡幾坐標中確定一條與給定路徑近似的軌跡。在關(guān)節(jié)坐標或笛卡幾坐標中確定一條與給定路徑近似的軌跡。在這種方法中，路徑約束是在笛卡爾坐標中給定的。在這種方法中，路徑約束是在笛卡爾坐標中給定的。8 在第一種方法中，約束的給定和操作機軌跡規(guī)劃在關(guān)節(jié)坐標在第一種方法中，約束的給定和操作機軌跡規(guī)劃在關(guān)節(jié)坐標系中進行。由于對操作機手部沒有約束，使用者難于跟蹤操作系中進行。由于對操作機手部沒有約束，使用者難于跟蹤操作機手部運行的路徑。因此，操作機手部可能在沒有事先警告的機手部運行的路徑。因此，操作機

13、手部可能在沒有事先警告的情況下與障礙物相碰。情況下與障礙物相碰。 在第二種方法中，路徑約束在笛卡爾坐標中給定，而關(guān)節(jié)驅(qū)在第二種方法中，路徑約束在笛卡爾坐標中給定，而關(guān)節(jié)驅(qū)動器是在關(guān)節(jié)坐標中受控制的。因此，為了求得一條逼近給定動器是在關(guān)節(jié)坐標中受控制的。因此，為了求得一條逼近給定路徑的軌跡，必須用函數(shù)近似把笛卡爾坐標中的路徑約束變換路徑的軌跡，必須用函數(shù)近似把笛卡爾坐標中的路徑約束變換為關(guān)節(jié)坐標中的路徑約束，再確定滿足關(guān)節(jié)坐標路徑約束的參為關(guān)節(jié)坐標中的路徑約束，再確定滿足關(guān)節(jié)坐標路徑約束的參數(shù)化軌跡。數(shù)化軌跡。v 軌跡規(guī)劃既可在關(guān)節(jié)變量空間中進行，也可在笛卡爾空間進軌跡規(guī)劃既可在關(guān)節(jié)變量空間中進

14、行，也可在笛卡爾空間進行。對于關(guān)節(jié)變量空間的規(guī)劃，要規(guī)劃關(guān)節(jié)變量的時間函數(shù)及行。對于關(guān)節(jié)變量空間的規(guī)劃，要規(guī)劃關(guān)節(jié)變量的時間函數(shù)及其前二階時間導數(shù)，以便描述操作機的預定運動。在笛卡爾空其前二階時間導數(shù)，以便描述操作機的預定運動。在笛卡爾空間規(guī)劃中，要規(guī)劃操作機手部位置、速度和加速度的時間函數(shù)，間規(guī)劃中，要規(guī)劃操作機手部位置、速度和加速度的時間函數(shù)，而相應的關(guān)節(jié)位置、速度和加速度可根據(jù)手部信息導出。而相應的關(guān)節(jié)位置、速度和加速度可根據(jù)手部信息導出。9 面向笛卡爾空間方法的優(yōu)點是概念直觀，而且沿預定直線路面向笛卡爾空間方法的優(yōu)點是概念直觀，而且沿預定直線路徑可達到相當?shù)臏蚀_性?？墒怯捎诂F(xiàn)代還沒有可

15、用笛卡爾坐標徑可達到相當?shù)臏蚀_性?？墒怯捎诂F(xiàn)代還沒有可用笛卡爾坐標測量操作機手部位置的傳感器，所有可用的控制算法都是建立測量操作機手部位置的傳感器，所有可用的控制算法都是建立在關(guān)節(jié)坐標基礎(chǔ)上的。因此，笛卡爾空間路徑規(guī)劃就需要在笛在關(guān)節(jié)坐標基礎(chǔ)上的。因此，笛卡爾空間路徑規(guī)劃就需要在笛卡爾坐標和關(guān)節(jié)之間進行實時變換，這是一個計算量很大的任卡爾坐標和關(guān)節(jié)之間進行實時變換，這是一個計算量很大的任務(wù)，常常導致較長的控制間隔。務(wù)，常常導致較長的控制間隔。 由笛卡爾坐標向關(guān)節(jié)坐標的變換是病態(tài)的，因而它不是一一由笛卡爾坐標向關(guān)節(jié)坐標的變換是病態(tài)的，因而它不是一一對應的映射。對應的映射。 如果在軌跡規(guī)劃階段要考

16、慮操作機的動力學特性，就要以笛如果在軌跡規(guī)劃階段要考慮操作機的動力學特性，就要以笛卡爾坐標給定路徑約束，同時以關(guān)節(jié)坐標給定物理約束卡爾坐標給定路徑約束，同時以關(guān)節(jié)坐標給定物理約束(例如，例如，每個關(guān)節(jié)電機的力和力矩、速度和加速度權(quán)限每個關(guān)節(jié)電機的力和力矩、速度和加速度權(quán)限)。這就會使最。這就會使最后的優(yōu)化問題具有在兩個不同坐標系中的混合約束。后的優(yōu)化問題具有在兩個不同坐標系中的混合約束。在笛卡爾空間進行軌跡規(guī)劃的特點：在笛卡爾空間進行軌跡規(guī)劃的特點：10 在關(guān)節(jié)變量空間的規(guī)劃有三個優(yōu)點：在關(guān)節(jié)變量空間的規(guī)劃有三個優(yōu)點： 直接用運動時的受控變量規(guī)劃軌跡；直接用運動時的受控變量規(guī)劃軌跡； 軌跡規(guī)劃

17、可接近實時地進行；軌跡規(guī)劃可接近實時地進行； 關(guān)節(jié)軌跡易于規(guī)劃。關(guān)節(jié)軌跡易于規(guī)劃。 伴隨的缺點是難于確定運動中各桿件和手的位置，但是，為伴隨的缺點是難于確定運動中各桿件和手的位置，但是，為了避開軌跡上的障礙常常又要求知道一些桿件和手位置。了避開軌跡上的障礙常常又要求知道一些桿件和手位置。 由于面向笛卡爾空間的方法有前述鐘種缺點，使得面向關(guān)節(jié)由于面向笛卡爾空間的方法有前述鐘種缺點，使得面向關(guān)節(jié)空間的方法被廣泛采用。它把笛卡爾結(jié)點變換為相應的關(guān)節(jié)坐空間的方法被廣泛采用。它把笛卡爾結(jié)點變換為相應的關(guān)節(jié)坐標，并用低次多項式內(nèi)插這些關(guān)節(jié)結(jié)點。這種方法的優(yōu)點是計標，并用低次多項式內(nèi)插這些關(guān)節(jié)結(jié)點。這種方法

18、的優(yōu)點是計算較快，而且易于處理操作機的動力學約束。但當取樣點落在算較快，而且易于處理操作機的動力學約束。但當取樣點落在擬合的光滑多項式曲線上時，面向關(guān)節(jié)空間的方法沿笛卡爾路擬合的光滑多項式曲線上時，面向關(guān)節(jié)空間的方法沿笛卡爾路徑的準確性會有損失。徑的準確性會有損失。11一般說來，生成關(guān)節(jié)軌跡設(shè)定點的基本算法是很簡單的：一般說來，生成關(guān)節(jié)軌跡設(shè)定點的基本算法是很簡單的：0tt循環(huán)：等待下一個控制間隔；循環(huán)：等待下一個控制間隔； 時刻操作機關(guān)節(jié)所處的位置；時刻操作機關(guān)節(jié)所處的位置； 若若 ，則退出循環(huán)；，則退出循環(huán)； 轉(zhuǎn)向循環(huán)。轉(zhuǎn)向循環(huán)。ttt ( )h ttftt 從上述算法可以看出，要計算的是

19、在每個控制間隔中必須更從上述算法可以看出，要計算的是在每個控制間隔中必須更新的軌跡函數(shù)新的軌跡函數(shù)(或軌跡規(guī)劃器或軌跡規(guī)劃器)h(t)。因此，對規(guī)劃的軌跡要提出。因此，對規(guī)劃的軌跡要提出四個限制。第一，必須便于用迭代方式計算軌跡設(shè)定點；第二，四個限制。第一，必須便于用迭代方式計算軌跡設(shè)定點；第二，必須求出并明確給定中間位置；第三，必須保證關(guān)節(jié)變量及其必須求出并明確給定中間位置；第三，必須保證關(guān)節(jié)變量及其前二階時間導數(shù)的連續(xù)性，使得規(guī)劃的關(guān)節(jié)軌跡是光滑的；最前二階時間導數(shù)的連續(xù)性，使得規(guī)劃的關(guān)節(jié)軌跡是光滑的；最后，必須減少額外的運動后，必須減少額外的運動 (例如，例如，“游移游移” )。7.3

20、7.3 關(guān)節(jié)插值軌跡關(guān)節(jié)插值軌跡12 若某關(guān)節(jié)若某關(guān)節(jié)(例如關(guān)節(jié)例如關(guān)節(jié) i )的關(guān)節(jié)軌跡使用的關(guān)節(jié)軌跡使用 p 個多項式，則要滿個多項式，則要滿足初始和終止條件足初始和終止條件(關(guān)節(jié)位置、速度和加速度關(guān)節(jié)位置、速度和加速度)，并保證這些變，并保證這些變量在多項式銜接處的連續(xù)性，因而需要確定量在多項式銜接處的連續(xù)性，因而需要確定 3( p十十1)個系數(shù)。個系數(shù)。 若給定附加的中間條件若給定附加的中間條件(例如位置例如位置)，則對每個中間條件需要，則對每個中間條件需要增加一系數(shù)。通常，可以給定兩個中間位置，一個靠近初始位增加一系數(shù)。通常，可以給定兩個中間位置，一個靠近初始位置；另一個靠近終止位置

21、。這樣做，除了可以較好地控制運動置；另一個靠近終止位置。這樣做，除了可以較好地控制運動外，還能保證操作機末端以適當?shù)姆较螂x開起點和接近終點。外，還能保證操作機末端以適當?shù)姆较螂x開起點和接近終點。 因此，對于連接初始位置和終止位置的每個關(guān)節(jié)變量，一因此，對于連接初始位置和終止位置的每個關(guān)節(jié)變量，一個七次多項式就足夠了，或者用兩段四次軌跡加一段三次軌跡個七次多項式就足夠了，或者用兩段四次軌跡加一段三次軌跡 （434），也可以用兩段三次軌跡加一段五次軌跡（），也可以用兩段三次軌跡加一段五次軌跡（353），或五段三次軌跡（），或五段三次軌跡（33333）。）。p +1個點個點由約束條件數(shù)所對應的多項式

22、系數(shù)的個數(shù)確定多項式的次數(shù)由約束條件數(shù)所對應的多項式系數(shù)的個數(shù)確定多項式的次數(shù)13 為了控制操作機，在規(guī)劃運動軌跡之前，需要給定機器人為了控制操作機，在規(guī)劃運動軌跡之前，需要給定機器人在初始點和終止點的手臂形態(tài)。在規(guī)劃機器人關(guān)節(jié)插值運動在初始點和終止點的手臂形態(tài)。在規(guī)劃機器人關(guān)節(jié)插值運動軌跡時，需要注意下述幾點：軌跡時，需要注意下述幾點：1、抓住一個物體時，手的運動方向應該指向離開物體支承表、抓住一個物體時，手的運動方向應該指向離開物體支承表面的方向。否則，手可能與支承面相碰。面的方向。否則，手可能與支承面相碰。2、若沿支承面的法線方向從初始點向外給定一個離開位置、若沿支承面的法線方向從初始點

23、向外給定一個離開位置(提升點提升點)，并要求手，并要求手(即手部坐標系的原點即手部坐標系的原點)經(jīng)過此位置，這種經(jīng)過此位置，這種離開運動就是允許的。如果還給定由初始點運動到離開位置離開運動就是允許的。如果還給定由初始點運動到離開位置的時間，我們就可以控制提起物體運動的速度。的時間，我們就可以控制提起物體運動的速度。3、對于手臂運動提升點的要求同樣也適用于終止位置運動的、對于手臂運動提升點的要求同樣也適用于終止位置運動的下放點下放點(即必須先運動到支承表面外法線方向上的某點，再慢即必須先運動到支承表面外法線方向上的某點，再慢慢下移至終止點慢下移至終止點)。這樣，可獲得和控制正確的接近方向。這樣，

24、可獲得和控制正確的接近方向。4、對手臂的每一次運動，都設(shè)定上述四個點：初始點，提升、對手臂的每一次運動，都設(shè)定上述四個點：初始點，提升點，下放點和終止點。點，下放點和終止點。145、位置約束、位置約束 (a) 初始點：給定速度和加速度初始點：給定速度和加速度(一般為零一般為零)； (b) 提升點：中間點運動的連續(xù)；提升點：中間點運動的連續(xù)； (c) 下放點：同提升點；下放點：同提升點； (d) 終止點：給定速度和加速度終止點：給定速度和加速度(一般為零一般為零)。156、除上述約束外，所有關(guān)節(jié)軌跡的極值不能超出每個關(guān)節(jié)、除上述約束外，所有關(guān)節(jié)軌跡的極值不能超出每個關(guān)節(jié)變量的物理和幾何極限。變量

25、的物理和幾何極限。7、時間的考慮、時間的考慮 (a) 軌跡的初始段和終止段：時間由手接近和離開支承表面軌跡的初始段和終止段：時間由手接近和離開支承表面的速率決定；也是由關(guān)節(jié)電機特性決定的某個常數(shù)。的速率決定；也是由關(guān)節(jié)電機特性決定的某個常數(shù)。 (b) 軌跡的中間點或中間段：時間由各關(guān)節(jié)的最大速度和加軌跡的中間點或中間段：時間由各關(guān)節(jié)的最大速度和加速度決定，將使用這些時間中的一個最長時間速度決定，將使用這些時間中的一個最長時間(即用最低速即用最低速關(guān)節(jié)確定的最長時間來歸一化關(guān)節(jié)確定的最長時間來歸一化)。 在關(guān)節(jié)軌跡的典型約束條件之下，我們所要研究的是選擇在關(guān)節(jié)軌跡的典型約束條件之下，我們所要研究

26、的是選擇一種一種 n 次次(或小于或小于 n 次次)的多項式函數(shù)，使得在各結(jié)點的多項式函數(shù)，使得在各結(jié)點(初始點，初始點，提升點，下放點和終止點提升點，下放點和終止點)上滿足對位置、速度和加速度的要上滿足對位置、速度和加速度的要求，并使關(guān)節(jié)位置、速度和加速度在整個時間間隔求，并使關(guān)節(jié)位置、速度和加速度在整個時間間隔 t0, tf 中中保持連續(xù)。保持連續(xù)。16 1. 位置位置(給定給定) 2速度速度(給定，通常為零給定，通常為零) 3. 加速度加速度(給定，通常為零給定，通常為零) 4. 提升點位置提升點位置(給定給定) 5提升點位置（與前一段軌跡連續(xù)）提升點位置（與前一段軌跡連續(xù)） 6. 速度

27、（與前一段軌跡連續(xù)）速度（與前一段軌跡連續(xù)） 7加速度（與前一段軌跡連續(xù)）加速度（與前一段軌跡連續(xù)） 8. 下放點位置下放點位置(給定給定) 9下放點位置（與前一段軌跡連續(xù)）下放點位置（與前一段軌跡連續(xù)） 10. 速度（與前一段軌跡連續(xù)）速度（與前一段軌跡連續(xù)） 11. 加速度（與前一段軌跡連續(xù)）加速度（與前一段軌跡連續(xù)） 12. 位置位置(給定給定) 13. 速度速度(給定，通常為零給定，通常為零) 14. 加速度加速度(給定，通常為零給定，通常為零)終止位置終止位置中間位置中間位置初始位置初始位置 規(guī)劃關(guān)節(jié)插值軌跡的約束條件：規(guī)劃關(guān)節(jié)插值軌跡的約束條件：17一種方法是為每個關(guān)節(jié)規(guī)定一個七次

28、多項式函數(shù)一種方法是為每個關(guān)節(jié)規(guī)定一個七次多項式函數(shù)式中，未知系數(shù)式中，未知系數(shù) aj 可由已知的位置和連續(xù)條件確定。但用這種可由已知的位置和連續(xù)條件確定。但用這種高次多項式內(nèi)插給定的結(jié)點也許不能令人滿意，因為它的極值高次多項式內(nèi)插給定的結(jié)點也許不能令人滿意，因為它的極值難求，而且容易產(chǎn)生額外的運動。難求，而且容易產(chǎn)生額外的運動。 另一種辦法是將整個關(guān)節(jié)空間軌跡分割成幾段，在每段軌跡另一種辦法是將整個關(guān)節(jié)空間軌跡分割成幾段，在每段軌跡中用不同的低次多項式來插值。有幾種分割軌跡的方法，每種中用不同的低次多項式來插值。有幾種分割軌跡的方法，每種方法的特性各不相同。方法的特性各不相同。 434 軌跡

29、軌跡 每個關(guān)節(jié)有下面三段軌跡：第一段由初始點到提升點的軌每個關(guān)節(jié)有下面三段軌跡：第一段由初始點到提升點的軌跡用四次多項式表示。第二段跡用四次多項式表示。第二段(或中間段）由提升點到下放或中間段）由提升點到下放點的軌跡用三次多項式表示。最后一段由下放點到終止點的點的軌跡用三次多項式表示。最后一段由下放點到終止點的軌跡由四次多項式表示。軌跡由四次多項式表示。18 353 軌跡軌跡 與與434軌跡相同，但每段所用多項式次數(shù)與前種不同。軌跡相同，但每段所用多項式次數(shù)與前種不同。第一段用三次多項式，第二段用五次多項式，最后一段用三第一段用三次多項式，第二段用五次多項式，最后一段用三次多項式。次多項式。

30、(33333) 軌跡軌跡 對五段軌跡都使用三次多項式樣條函數(shù)。對五段軌跡都使用三次多項式樣條函數(shù)。 注意，上述討論對每個關(guān)節(jié)軌跡都是有效的，即每個關(guān)節(jié)注意，上述討論對每個關(guān)節(jié)軌跡都是有效的，即每個關(guān)節(jié)軌跡可分割成三段或五段。軌跡可分割成三段或五段。7.3.1 434 關(guān)節(jié)軌跡的計算關(guān)節(jié)軌跡的計算 對于對于N個關(guān)節(jié)個關(guān)節(jié), 在每段軌跡規(guī)劃中就要確定在每段軌跡規(guī)劃中就要確定 N 條關(guān)節(jié)軌跡，條關(guān)節(jié)軌跡，引用歸一化時間變量引用歸一化時間變量 是方便的，它使我們能用同樣的方是方便的，它使我們能用同樣的方法處理每個關(guān)節(jié)每段軌跡的方程。時間變化范圍均由法處理每個關(guān)節(jié)每段軌跡的方程。時間變化范圍均由 (各各

31、段軌跡的初始時間段軌跡的初始時間)變到變到 (各段軌跡的終止時間各段軌跡的終止時間)。0,1t0t 1t 19定義下列變量：定義下列變量： 軌跡是由多項式序列軌跡是由多項式序列hi(t)構(gòu)成的，這些多項式合起來形成關(guān)構(gòu)成的，這些多項式合起來形成關(guān)節(jié)節(jié) j 的軌跡。在每段軌跡中的軌跡。在每段軌跡中關(guān)節(jié)變量關(guān)節(jié)變量的多項式用歸一化時間表的多項式用歸一化時間表示為示為:20這些關(guān)節(jié)軌跡分段多項式所應滿足的邊界條件為這些關(guān)節(jié)軌跡分段多項式所應滿足的邊界條件為:21434關(guān)節(jié)軌跡的邊界條件如圖示。關(guān)節(jié)軌跡的邊界條件如圖示。22這些多項式對實際時間這些多項式對實際時間 t 的一階和二階導數(shù)?？蓪懗傻囊浑A和

32、二階導數(shù)?？蓪懗傻谝欢诬壽E的基本多項式是四次的第一段軌跡的基本多項式是四次的23對于對于t =0(這段軌跡的初始位置這段軌跡的初始位置)，要滿足此位置的邊界條件，則，要滿足此位置的邊界條件，則24用求出的這些未知量得到用求出的這些未知量得到對于對于t=1(這段軌跡的終點這段軌跡的終點)，在此位置，我們放寬插值多項式，在此位置，我們放寬插值多項式必須準確通過該點的要求，僅要求在此位置的速度和加速度必必須準確通過該點的要求，僅要求在此位置的速度和加速度必須和下一段軌跡起點的速度和加速度連續(xù)。此處的速度和加速須和下一段軌跡起點的速度和加速度連續(xù)。此處的速度和加速度為度為第二段軌跡的基本多項式是三次的

33、第二段軌跡的基本多項式是三次的25對于對于t=0(提升點提升點)，此點的速度和加速度分別為，此點的速度和加速度分別為由于此點的速度相加速度必須分別和前一段軌跡終點的速度和由于此點的速度相加速度必須分別和前一段軌跡終點的速度和加速度連續(xù)，故可得加速度連續(xù)，故可得26或或或或 對于對于t=1(下放點下放點)，該點的速度相加速度必須與下一段軌跡，該點的速度相加速度必須與下一段軌跡起點處的速度和加速度連續(xù)?？煞謩e求得此位置的速度和加速起點處的速度和加速度連續(xù)?？煞謩e求得此位置的速度和加速度為度為27末段軌跡的基本多項式是四次的末段軌跡的基本多項式是四次的如果在上式中以如果在上式中以 代替代替 t ，我

34、們就把歸一化時間，我們就把歸一化時間 t 由由 移至移至 。1tt 0,1t1,0t 28可得可得對于對于 (這段軌跡的終點這段軌跡的終點)，要滿足軌跡終點的邊界條件，即，要滿足軌跡終點的邊界條件，即0t 對于對于 (這段軌跡的起點這段軌跡的起點)，要滿足軌跡起點的邊界條件，即，要滿足軌跡起點的邊界條件，即1t 29在此下放點的速度和加速度連續(xù)性條件是：在此下放點的速度和加速度連續(xù)性條件是：或或30可以求出相連軌跡段間關(guān)節(jié)角之差為可以求出相連軌跡段間關(guān)節(jié)角之差為 軌跡多項式其余七個未知系數(shù)可由以上的速度、加速度連續(xù)軌跡多項式其余七個未知系數(shù)可由以上的速度、加速度連續(xù)約束條件的聯(lián)立方程解出，用矩

35、陣矢量符號改寫這些方程，可約束條件的聯(lián)立方程解出，用矩陣矢量符號改寫這些方程，可得得其中其中31或或C 矩陣的結(jié)構(gòu)便于計算未知系數(shù)，若時間間隔矩陣的結(jié)構(gòu)便于計算未知系數(shù)，若時間間隔 ti 為正值，為正值， C 的逆矩陣總是存在的。則關(guān)節(jié)各段關(guān)節(jié)軌跡多項的逆矩陣總是存在的。則關(guān)節(jié)各段關(guān)節(jié)軌跡多項式系數(shù)即可全部求得。式系數(shù)即可全部求得。(1,2, )in32同樣，我們可用此方法可計算同樣，我們可用此方法可計算353 關(guān)節(jié)軌跡。關(guān)節(jié)軌跡。 對于末段軌跡，把歸一化時間對于末段軌跡，把歸一化時間 t 由由-1，0重新變回重新變回0, 1，可求出可求出 hn(t)334-3-4 關(guān)節(jié)軌跡多項式關(guān)節(jié)軌跡多項

36、式34353-5-3 關(guān)節(jié)軌跡多項式關(guān)節(jié)軌跡多項式367.3.2 三三次樣條軌跡（五段三次多項式）次樣條軌跡（五段三次多項式） 用一組三次多項式插補給定的函數(shù)并保證插補點處一階和二用一組三次多項式插補給定的函數(shù)并保證插補點處一階和二階導數(shù)連續(xù)的方法，稱為三次樣條函數(shù)法。所能達到的近似程階導數(shù)連續(xù)的方法，稱為三次樣條函數(shù)法。所能達到的近似程度和光滑程度是相當好的。度和光滑程度是相當好的。 一般來說，樣條曲線是在插值點具有一般來說，樣條曲線是在插值點具有 k-1 階導數(shù)連續(xù)性的階導數(shù)連續(xù)性的 k次多項式。對于三次樣條函數(shù)，一階導數(shù)代表速度的連續(xù)性，次多項式。對于三次樣條函數(shù)，一階導數(shù)代表速度的連續(xù)

37、性，二階導數(shù)代表加速度的連續(xù)性。二階導數(shù)代表加速度的連續(xù)性。 三次樣條函數(shù)有某些優(yōu)點。首先，它是使速度和加速度連續(xù)三次樣條函數(shù)有某些優(yōu)點。首先，它是使速度和加速度連續(xù)的最低次多項式函數(shù)。其次，低次多項式減少了計算量和數(shù)值的最低次多項式函數(shù)。其次，低次多項式減少了計算量和數(shù)值不穩(wěn)定的可能性。不穩(wěn)定的可能性。每段關(guān)節(jié)軌跡的五段三次多項式的通式為每段關(guān)節(jié)軌跡的五段三次多項式的通式為其中其中37 在在應用五段三次多項式插值時，需要有五段軌跡和六個插值應用五段三次多項式插值時，需要有五段軌跡和六個插值點。點。但是，在前面的討論中只有四個插值點，即初始點、提升但是，在前面的討論中只有四個插值點，即初始點、

38、提升點、下放點和終止點。所以，必須選擇另外兩個插值點，以便點、下放點和終止點。所以，必須選擇另外兩個插值點，以便有足夠多的邊界條件求解各多項式系數(shù)。可以在提升點和下放有足夠多的邊界條件求解各多項式系數(shù)?？梢栽谔嵘c和下放點之間選取這兩個額外的結(jié)點。點之間選取這兩個額外的結(jié)點。 沒有必要知道這兩個點的確切位置，只要知道時間間隔，以沒有必要知道這兩個點的確切位置，只要知道時間間隔，以及必須滿足這兩點速度和加速度的連續(xù)性條件。因此，這組關(guān)及必須滿足這兩點速度和加速度的連續(xù)性條件。因此，這組關(guān)節(jié)軌跡分段多項式必須滿足的邊界條件是：節(jié)軌跡分段多項式必須滿足的邊界條件是： (1) 在初始點、提升點、下放點

39、和終止點的位置約束；在初始點、提升點、下放點和終止點的位置約束； (2) 在所有插值點的速度和加速度的連續(xù)性。在所有插值點的速度和加速度的連續(xù)性。38 五段三次關(guān)節(jié)軌跡的邊界條件示于中。其中有下劃線的變量五段三次關(guān)節(jié)軌跡的邊界條件示于中。其中有下劃線的變量是在計算五段三次多項式之前的已知量。是在計算五段三次多項式之前的已知量。39這些多項式對實際時間的一階和二階導數(shù)為：這些多項式對實際時間的一階和二階導數(shù)為：式中，式中，tj 是通過第是通過第 j 段軌跡所需的實際時間。給定了初始點和段軌跡所需的實際時間。給定了初始點和終止點的位置、速度和加速度，第一段軌跡和末段軌跡的多項終止點的位置、速度和加

40、速度，第一段軌跡和末段軌跡的多項式式 h1 (t) 和和hn (t) 就完全確定了。就完全確定了。旦算出這兩個多項式，就可旦算出這兩個多項式，就可用位置約束和連續(xù)條件求出用位置約束和連續(xù)條件求出h2 (t)、 h3 (t) 和和 h4 (t) 。第一段軌跡，基本多項式為第一段軌跡，基本多項式為當當 t=0 時，由該位置的邊界條件，可得時，由該位置的邊界條件，可得(給定給定)40由此可得：由此可得：當當 t=1 時，由此位置的邊界條件，可得：時，由此位置的邊界條件，可得：可得可得其中，其中，i= i i-1 。第一段軌跡的多項式就完全確定了。第一段軌跡的多項式就完全確定了。(給定給定)41由上式

41、可求出由上式可求出 t1時的速度和加速度：時的速度和加速度：此速度相加速度必須與下一段軌跡起點的速度和加速度連續(xù)。此速度相加速度必須與下一段軌跡起點的速度和加速度連續(xù)。末段軌跡的多項式為（仍做類似代換末段軌跡的多項式為（仍做類似代換 ）(給定給定)(給定給定)1tt 當當t0 和和t1時（對應時（對應 和和 ），由邊界條件，有），由邊界條件，有1t 0t 42由上述方程解出未知系數(shù)，最后得到：由上述方程解出未知系數(shù)，最后得到： 給定初始點、提升點、下放點和終止點的位置以及通過每段給定初始點、提升點、下放點和終止點的位置以及通過每段軌跡所需要的時間軌跡所需要的時間 (tj ) 后，五段三次多項式

42、即可后，五段三次多項式即可唯一地唯一地確定，確定，滿足所有位置約束和連續(xù)條件。滿足所有位置約束和連續(xù)條件。算出以上個多項式，就可用位置約束和連續(xù)條件求出算出以上個多項式，就可用位置約束和連續(xù)條件求出h2 (t)、 h3 (t) 和和 h4 (t) 。43 對于較復雜的機器人系統(tǒng)，為了控制操作機完成作業(yè)而設(shè)對于較復雜的機器人系統(tǒng)，為了控制操作機完成作業(yè)而設(shè)計了編程語言。在這種系統(tǒng)中，作業(yè)通常是用操作機手部計了編程語言。在這種系統(tǒng)中，作業(yè)通常是用操作機手部(或或末端執(zhí)行器末端執(zhí)行器)必須通過的笛卡爾結(jié)點序列給定的。因此，描述必須通過的笛卡爾結(jié)點序列給定的。因此，描述操作機在作業(yè)中的運動時，我們就更

43、關(guān)心描述操作機手部要達操作機在作業(yè)中的運動時，我們就更關(guān)心描述操作機手部要達到的目標位置及通過的笛卡爾空間曲線到的目標位置及通過的笛卡爾空間曲線(或路徑或路徑)的形式。的形式。7.4 7.4 笛卡爾路徑軌跡規(guī)劃笛卡爾路徑軌跡規(guī)劃 一般，實現(xiàn)笛卡爾路徑規(guī)劃可采用下述兩個相連的步驟：一般，實現(xiàn)笛卡爾路徑規(guī)劃可采用下述兩個相連的步驟：(1)沿笛卡爾路徑，按照某種規(guī)則以笛卡爾坐標生成或選擇沿笛卡爾路徑，按照某種規(guī)則以笛卡爾坐標生成或選擇一組結(jié)點或插值點；一組結(jié)點或插值點；(2)規(guī)定一種函數(shù)，按某些準則連接這規(guī)定一種函數(shù)，按某些準則連接這些結(jié)點些結(jié)點(或逼近分段的路徑或逼近分段的路徑)。 對于第二步，所

44、選用的準則可以采用兩種控制算法，以保對于第二步，所選用的準則可以采用兩種控制算法，以保證跟蹤給定的路徑。證跟蹤給定的路徑。44 (1) 面向笛卡爾空間的方法。在此方法中，大部分計算和面向笛卡爾空間的方法。在此方法中，大部分計算和優(yōu)化是以笛卡爾坐標完成的，然后，在手部這一級上進行控優(yōu)化是以笛卡爾坐標完成的，然后，在手部這一級上進行控制。按固定的取樣間隔在預定路徑上選擇伺服取樣點，在控制。按固定的取樣間隔在預定路徑上選擇伺服取樣點，在控制操作機時實時地把它們轉(zhuǎn)換為與之相應的關(guān)節(jié)變量。所得制操作機時實時地把它們轉(zhuǎn)換為與之相應的關(guān)節(jié)變量。所得到的軌跡是分段直線。到的軌跡是分段直線。 (2) 面向關(guān)節(jié)空

45、間的方法。這種方法用關(guān)節(jié)變量空間中的面向關(guān)節(jié)空間的方法。這種方法用關(guān)節(jié)變量空間中的低次多項式函數(shù)迫近直線路徑上的兩相鄰結(jié)點間的一段路徑，低次多項式函數(shù)迫近直線路徑上的兩相鄰結(jié)點間的一段路徑，而控制是在關(guān)節(jié)這一級上進行的。所得到的笛卡爾路徑是不而控制是在關(guān)節(jié)這一級上進行的。所得到的笛卡爾路徑是不分段的直線。分段的直線。 Paul 敘述了用一系列直線段構(gòu)成操作機手部笛卡爾路徑敘述了用一系列直線段構(gòu)成操作機手部笛卡爾路徑的設(shè)計方法。把手部在這些直線段中的速度和加速度轉(zhuǎn)換的設(shè)計方法。把手部在這些直線段中的速度和加速度轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)坐標，并用二次插值進行平滑連接，從而實現(xiàn)了手到關(guān)節(jié)坐標，并用二次插值進行平滑

46、連接，從而實現(xiàn)了手部的規(guī)劃運動控制。我們將學習如何用該方法設(shè)計笛卡爾部的規(guī)劃運動控制。我們將學習如何用該方法設(shè)計笛卡爾直線路徑。直線路徑。45對于笛卡爾路徑控制，軌跡設(shè)定點算法為：對于笛卡爾路徑控制，軌跡設(shè)定點算法為：0tt循環(huán)：等待下一個控制間隔；循環(huán)：等待下一個控制間隔； 時刻操作機末端所處的位置；時刻操作機末端所處的位置； 相應于相應于 的關(guān)節(jié)變量解；的關(guān)節(jié)變量解； 若若 ，則退出循環(huán)；，則退出循環(huán)； 轉(zhuǎn)向循環(huán)。轉(zhuǎn)向循環(huán)。ttt ( )H ttftt( )Q H t( )H t 這里，除了需要計算每一控制間隔中操作機手部軌跡函數(shù)這里，除了需要計算每一控制間隔中操作機手部軌跡函數(shù) 外，還需

47、把笛卡爾位置變換為相應的關(guān)節(jié)變量外，還需把笛卡爾位置變換為相應的關(guān)節(jié)變量 。矩陣函數(shù)矩陣函數(shù) 表示操作機手部在表示操作機手部在 時刻的預定位置。可用時刻的預定位置?？捎?4齊次變換矩陣表示。齊次變換矩陣表示。( )H t( )Q H t( )H tt46 在可編程機器人系統(tǒng)中，預定的運動可用笛卡爾結(jié)點序列給在可編程機器人系統(tǒng)中，預定的運動可用笛卡爾結(jié)點序列給定，每個結(jié)點可用聯(lián)系操作機手部坐標系和工作空間坐標系的定，每個結(jié)點可用聯(lián)系操作機手部坐標系和工作空間坐標系的齊次變換來描述。相應于這些笛卡爾結(jié)點的關(guān)節(jié)坐標可用運動齊次變換來描述。相應于這些笛卡爾結(jié)點的關(guān)節(jié)坐標可用運動學逆問題求解程序算出，并

48、用二次多項式平滑關(guān)節(jié)坐標中兩個學逆問題求解程序算出，并用二次多項式平滑關(guān)節(jié)坐標中兩個相鄰的關(guān)節(jié)結(jié)點，以利于控制，從而，控制操作機手部沿連接相鄰的關(guān)節(jié)結(jié)點，以利于控制，從而，控制操作機手部沿連接這些結(jié)點的直線運動。這種方法的優(yōu)點是，它使我們能控制操這些結(jié)點的直線運動。這種方法的優(yōu)點是，它使我們能控制操作機手部跟蹤運動的物體。雖然目標位置是用變換描述的，但作機手部跟蹤運動的物體。雖然目標位置是用變換描述的，但它們并不規(guī)定操作機手部怎樣由一個變換運動到另一個變換。它們并不規(guī)定操作機手部怎樣由一個變換運動到另一個變換。 Paul 用一個用一個直線平移直線平移和和兩個轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)動來完成兩相鄰笛卡爾結(jié)點來

49、完成兩相鄰笛卡爾結(jié)點間的運動。第一個轉(zhuǎn)動是繞單位矢量間的運動。第一個轉(zhuǎn)動是繞單位矢量 k 進行的，把工具或末端進行的，把工具或末端執(zhí)行器的軸線調(diào)整到預定的接近方向；而第二個轉(zhuǎn)動則繞工具執(zhí)行器的軸線調(diào)整到預定的接近方向；而第二個轉(zhuǎn)動則繞工具軸調(diào)整工具的方向。軸調(diào)整工具的方向。7.4.1 齊次變換矩陣法齊次變換矩陣法47 一般來說，操作機的目標位置可用如下基本矩陣方程表示：一般來說，操作機的目標位置可用如下基本矩陣方程表示：060base6toolbaseobjTT= C(t)P其中，其中，0T6 為描述操作機手部相對于機座為描述操作機手部相對于機座坐標系位姿的齊次變換矩陣；坐標系位姿的齊次變換矩

50、陣； 6Ttool 為描為描述工具相對于手部坐標系位姿的齊次變述工具相對于手部坐標系位姿的齊次變換矩陣，它描述了受控制的工具端點；換矩陣，它描述了受控制的工具端點； 0Cbase(t) 為描述物體位姿的工作坐標系為描述物體位姿的工作坐標系相對于機座坐標系的齊次變換矩陣；相對于機座坐標系的齊次變換矩陣； basePobj 為描述末端執(zhí)行器相對于工作坐為描述末端執(zhí)行器相對于工作坐標系預定抓取物體的位姿的齊次變換矩標系預定抓取物體的位姿的齊次變換矩陣。陣。 左邊的矩陣描述操作機抓取位姿，而右邊的矩陣描述了我左邊的矩陣描述操作機抓取位姿，而右邊的矩陣描述了我們要讓操作機工具抓握物體特征部位的位姿。們要

51、讓操作機工具抓握物體特征部位的位姿。0Cbase(t)B06 0b a s e6t o o l b a s eo b jT T= C( t )P06 0 b a s e6t o o l b a s e o b jT T= C( t )T06 0 b a s e6t o o l b a s e o b jT T = C ( t )Tobjtool48 我們可以解出我們可以解出0T6 ，它描述了以正確和預定的方式抓取物體，它描述了以正確和預定的方式抓取物體時操作機應有的形態(tài)。時操作機應有的形態(tài)。100base66baseobjtoolT = C(t)PT 如果計算如果計算0T6 的速度足夠高，并轉(zhuǎn)

52、換成相應的關(guān)節(jié)角，那么的速度足夠高，并轉(zhuǎn)換成相應的關(guān)節(jié)角，那么就可控制操作機沿預定的軌跡運動就可控制操作機沿預定的軌跡運動 利用前式，確定一項作業(yè)的利用前式，確定一項作業(yè)的 N個個 目標位置的序列可表示為目標位置的序列可表示為49由由Ci(t) Pi確定的位置，可求得相鄰點之間的距離。若進一步確定的位置，可求得相鄰點之間的距離。若進一步給定線速度和角速度，即可求得由位置給定線速度和角速度，即可求得由位置i 到到 i+1所需的時間。所需的時間。 以上位置的工具和運動坐標系都是相對于機座坐標系給定以上位置的工具和運動坐標系都是相對于機座坐標系給定的。從一個位置移向下一個位置最好是相對于目標坐標系給

53、的。從一個位置移向下一個位置最好是相對于目標坐標系給定位置和工具。這樣，從運動坐標系觀察，工具是靜止的。定位置和工具。這樣，從運動坐標系觀察，工具是靜止的。為了做到這一點，需要相對于后續(xù)的坐標系重新定義當前的為了做到這一點，需要相對于后續(xù)的坐標系重新定義當前的位置和工具。利用雙下標符號位置和工具。利用雙下標符號 Pij 重新定義重新定義Pi變換，就不難做變換，就不難做到這一點。到這一點。 Pij是在第是在第 j 個工作坐標系中表示的位置個工作坐標系中表示的位置Pi。則在位置。則在位置1，將它在目標坐標系中表示，可得將它在目標坐標系中表示，可得1111tool6TT = C (t)P2212to

54、ol6TT = C (t)P將它用位置將它用位置2時的坐標系表示，則有時的坐標系表示，則有50由以上兩個方程即可求得由以上兩個方程即可求得1112211112()tooltoolP= C(t)C (t)PTT 上述方程的目的是耍在已知上述方程的目的是耍在已知 P11時時 求得求得P12 。因此，在任。因此，在任意二相鄰位置意二相鄰位置 I 和和 i+1 之間的運動有之間的運動有111,11,11( )( )()tooltooliiiii iiiPCt C t PTT其中其中Pi,i+11 和和Pi+1,i+1 為上面所討論過的變換。為上面所討論過的變換。 Paul 使用了一種簡單的方法，以控制

55、操作機手部從一個使用了一種簡單的方法，以控制操作機手部從一個變換運動到另一個變換。此法包括一個平移運動和一個繞空變換運動到另一個變換。此法包括一個平移運動和一個繞空間某定軸的轉(zhuǎn)動以及另一個繞工具軸的轉(zhuǎn)動，以便形成操作間某定軸的轉(zhuǎn)動以及另一個繞工具軸的轉(zhuǎn)動，以便形成操作機受控的線速度和角速度運動。第一個轉(zhuǎn)動使工具軸與預定機受控的線速度和角速度運動。第一個轉(zhuǎn)動使工具軸與預定的接近方向?qū)剩诙€轉(zhuǎn)動使工具軸與方向矢量對準。的接近方向?qū)?，第二個轉(zhuǎn)動使工具軸與方向矢量對準。51 由位置由位置 i 到到 i+1的運動可用的運動可用“驅(qū)動驅(qū)動”變換變換D()表示，它是歸表示，它是歸一化時間一化時間 的函

56、數(shù)的函數(shù)161,11( )( )( )()toolii iiTCPDT其中，其中，1,1,1(1)iii iPPD1,11,1(1)()i iiiDPP 可得可得 于是有于是有52用位置用位置 i 和和 i+1各自的齊次變換矩陣表示它們，可得各自的齊次變換矩陣表示它們，可得利用前式，求利用前式，求 Pi,i+1的逆并乘以的逆并乘以Pi+1,i+1 ，得到，得到53 若驅(qū)動函數(shù)由一個平移運動和兩個旋轉(zhuǎn)運動構(gòu)成，那么這些若驅(qū)動函數(shù)由一個平移運動和兩個旋轉(zhuǎn)運動構(gòu)成，那么這些平移和轉(zhuǎn)動量將直接同平移和轉(zhuǎn)動量將直接同成正比。若成正比。若隨時間線性地變化，則隨時間線性地變化，則 D() 所代表的合成運動將

57、相應于一個不變的線速度和兩個角速所代表的合成運動將相應于一個不變的線速度和兩個角速度。度。 平移運動可由齊次變換矩陣平移運動可由齊次變換矩陣L()表示；第一個轉(zhuǎn)動可用齊次表示；第一個轉(zhuǎn)動可用齊次變換矩陣變換矩陣RA()表示，它的作用是把表示，它的作用是把Pi位置的接近矢量轉(zhuǎn)向位置的接近矢量轉(zhuǎn)向Pi+1位置的接近矢量；第二個轉(zhuǎn)動可用位置的接近矢量；第二個轉(zhuǎn)動可用RB()表示，它的作用是把表示，它的作用是把Pi 位置的方向矢量繞工具軸轉(zhuǎn)向位置的方向矢量繞工具軸轉(zhuǎn)向Pi+1位置的方向矢量。因此，驅(qū)位置的方向矢量。因此，驅(qū)動函數(shù)可表示為動函數(shù)可表示為 54其中，其中， 旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣RA() 表示繞表示繞 Pi 的接近矢量（的接近矢量（zi 軸軸）