上海高一數(shù)學(xué)(上海教育出版社)講義45反函數(shù)

1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，值域?yàn)?，值域?yàn)锳. 由由y=f(x) 解得解得x= (y)，若對(duì)任意若對(duì)任意y A，在在D中都中都有唯一確定的有唯一確定的x值與它對(duì)應(yīng)值與它對(duì)應(yīng)，則稱，則稱x= (y)為為函函數(shù)數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的反函數(shù)，記作，記作x=f -1(y) . 在習(xí)慣上，自變量常用在習(xí)慣上，自變量常用x表示，而函數(shù)用表示，而函數(shù)用y表示，表示， 這樣把這樣把y=f(x)的反函數(shù)改寫為的反函數(shù)改寫為y=f -1(x) （x A） .一、反函數(shù)的概念一、反函數(shù)的概念思考：思考：y=f( (x) )，x=f -1-1( (y) )和和y=f 11( (x) ) 三者的

2、區(qū)別是什么三者的區(qū)別是什么 ？f D A A Df- -1值值 域域定義域定義域原來函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則是原來函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則是f，反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則是反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則是f - -1。（一般情況下，對(duì)應(yīng)法則一般情況下，對(duì)應(yīng)法則是不同的）是不同的）)(xfyy= f 1(x) bafabf11.1.函數(shù)的定函數(shù)的定義域，值域義域，值域分別是它的分別是它的反函數(shù)的值反函數(shù)的值域、定義域域、定義域2.函數(shù)函數(shù) y= f(x)與與y= f 1 (x)互為反函數(shù)互為反函數(shù)2221.(1) ( ) ( 0 ) (2) ( )2 ( 0)2(3) ( )2 (3) (4) ( )1 (0)3(5) ( )24(10)

3、 (6) ( )(1)f xxxf xxxf xxxf xxxf xxxf xxx x 例例 求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的反反函函數(shù)數(shù)：yx x(0) 2(2) (2)yxx 36(4)2xyx 1 (1)yxx 24(04)2xyx 1141( )(0)2xfxx 反函數(shù)的求法反函數(shù)的求法 反解：反解：把解析式把解析式y(tǒng)=f( (x) )看作看作x的方程，的方程， 解出解出x=f11( (y) )，即把，即把x用用y表示；表示； 改寫：改寫：將將x=f11( (y) )改寫成改寫成y=f11( (x) )， 即對(duì)調(diào)即對(duì)調(diào)x=f1(y)中的中的x、y ； 互換：互換：即求出所給函數(shù)的值域并把即求出

4、所給函數(shù)的值域并把 它改換為反函數(shù)的定義域。它改換為反函數(shù)的定義域。 312.( )(2)2xf xxx 例例 求求的的反反函函數(shù)數(shù). .請同學(xué)們研究如下問題請同學(xué)們研究如下問題: (1) 如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù),是否一定存是否一定存在反函數(shù)在反函數(shù)?(2) 如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)是否一定沒有如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)是否一定沒有反函數(shù)反函數(shù)?(3) 如果一個(gè)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)是單調(diào)函數(shù),是否一定有是否一定有反函數(shù)反函數(shù)?(4) 如果一個(gè)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),是否一定是否一定沒有反函數(shù)沒有反函數(shù)?怎樣的函數(shù)有反函數(shù)？怎樣的函數(shù)有反函數(shù)？ 1.1.對(duì)于任意函

5、數(shù)值對(duì)于任意函數(shù)值y, ,在定義域中總在定義域中總有唯一確定的有唯一確定的x值與它對(duì)應(yīng)。值與它對(duì)應(yīng)。 2.2.從圖像上看，若直線從圖像上看，若直線 與與的圖像相交，總有唯一的的圖像相交，總有唯一的一個(gè)交點(diǎn)，則這個(gè)函數(shù)有反函數(shù)。一個(gè)交點(diǎn)，則這個(gè)函數(shù)有反函數(shù)。()y a aA yf x( ) 3 3.若函數(shù)若函數(shù) 是單調(diào)函數(shù)，則是單調(diào)函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)有反函數(shù)。這個(gè)函數(shù)有反函數(shù)。yf x( ) 2(0)1( )(0)1xxf xxx 5. 求函數(shù)求函數(shù)的反函數(shù)的反函數(shù).311. ( )(2)2xf xxx 練練習(xí)習(xí)：求求的的反反函函數(shù)數(shù). .43. ( )(3)f xxxx 求求的的反反函函數(shù)數(shù).

6、.34. ( )2()xf xxR 求求的的反反函函數(shù)數(shù). .22. ( )1(1)f xxxx 求求的的反反函函數(shù)數(shù). .互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系 例例3 3：求下列函數(shù)的反函數(shù)，并在同一坐標(biāo)系：求下列函數(shù)的反函數(shù)，并在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出該函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象內(nèi)畫出該函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象 1(1)12yx 121(2)()4yxx定理：定理：函數(shù)函數(shù)y= f( (x) )的圖象與它的反函的圖象與它的反函數(shù)數(shù)y= f 11( (x) )的圖象是以直線的圖象是以直線y=x為對(duì)為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形。稱軸的軸對(duì)稱圖形。 注意：注意：函數(shù)函數(shù)y= f( (x) )與與

7、y= f 11( (x) )的圖象的圖象關(guān)于直線關(guān)于直線y=x對(duì)稱，而函數(shù)對(duì)稱，而函數(shù)y= f( (x) )和函和函數(shù)數(shù)x= f 11( (y) )圖象是同一個(gè)圖象。圖象是同一個(gè)圖象。 推論：推論：函數(shù)函數(shù)y= f( (x) )的圖象上任意一點(diǎn)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于直線關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)，都在它的反函的對(duì)稱點(diǎn)，都在它的反函數(shù)數(shù)y= f 11( (x) )的圖象上。反之亦然。的圖象上。反之亦然。 思考：思考：函數(shù)函數(shù)y=f( (x) )與它的反函數(shù)與它的反函數(shù)y=f11( (x) )的單調(diào)性有關(guān)系嗎？的單調(diào)性有關(guān)系嗎？（1）若）若 有反函數(shù)且它的反有反函數(shù)且它的反 函數(shù)就是本身，求函數(shù)就是本身

8、，求a，b應(yīng)滿足的條件應(yīng)滿足的條件.（2）當(dāng)）當(dāng) 滿足什么條件時(shí)，滿足什么條件時(shí)， 函數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)是的反函數(shù)是 它本身？它本身？(0)yaxb a a b c d，( )(0 )ax bdf xcxcx dc ，(3) 試找出充分多的函數(shù)試找出充分多的函數(shù)y = f ( x )，使得，使得 y = f ( x )的反函數(shù)是它本身的反函數(shù)是它本身.練習(xí)練習(xí)11111.(1 2)( ) ( ).12.( )( ).233.( ) 2( )2 ( )2 ( )24.( ) 2 ( )2145.( )()455f xaxbf xxf xfxxf xxxf xfxfxxf xafaxaxf xayx

9、 例例題題：如如果果點(diǎn)點(diǎn) ， 既既在在函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像上上，又又在在其其反反函函數(shù)數(shù)圖圖像像上上， 求求已已知知，求求的的值值設(shè)設(shè)， 求求滿滿足足下下列列條條件件的的 的的值值或或范范圍圍. .設(shè)設(shè)， 若若， 求求的的取取值值范范圍圍. .若若的的圖圖像像關(guān)關(guān)于于 .xa對(duì)對(duì)稱稱， 求求求反函數(shù)值求反函數(shù)值已知原函數(shù)的函數(shù)值，求原函數(shù)的自變量已知原函數(shù)的函數(shù)值，求原函數(shù)的自變量解反函數(shù)方程解反函數(shù)方程已知原函數(shù)的自變量，求原函數(shù)的函數(shù)值已知原函數(shù)的自變量，求原函數(shù)的函數(shù)值解反函數(shù)不等式解反函數(shù)不等式已知原函數(shù)的已知原函數(shù)的“定義域定義域”，求原函數(shù)的值，求原函數(shù)的值域域求反函數(shù)值的范圍求反函數(shù)值的范圍已知原函數(shù)的函數(shù)值的范圍，求原函數(shù)的已知原函數(shù)的函數(shù)值的范圍，求原函數(shù)的自變量的范圍，即解原函數(shù)不等式自變量的范圍，即解原函數(shù)不等式.函數(shù)圖像關(guān)于直線函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱對(duì)稱原函數(shù)和其反函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)原函數(shù)和其反函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)作業(yè)作業(yè): : 13(1)( )2(2)f xxf 已已知知，求求的的值值。2(4)( )( )1(1)( )yg xf xxx xyx g x 若若函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像與與函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像關(guān)關(guān)于于直直線線對(duì)對(duì)稱稱， 求求的的表表達(dá)達(dá)式式。1(5)(2 )2