P14第十四章 空間插值

1、已知數據函數關系式未知數據012345678901234567890123456701234567012345678901234567（1）規(guī)則采樣（2）隨機采樣（4）成層隨機采樣（5）聚集采樣（3）斷面采樣（6）等值線采樣其數學表達式為： ievv 其中ev表示待估點變量值，iv表示 i點的變量值。 i點必須滿足如下條件： ),min(21eneeeidddd 其中 22jijiijyyxxd 表示點 i(xi, yi)與點 j(xj, yj)間的歐幾里德距離。 圖2-2 最近鄰插值的實現 坐標數據 變量值數據 插值： 尋求距待估點距離最近的點 插值區(qū)域或點坐標 選點方式 插值結果 其數學表

2、達式為： iievnv1 其中ev表示待估點變量值，iv 表示i 點的變量值。是給定的區(qū) 域，n 是給定區(qū)域內點的數目。 其 數 學 表 達 式 為 ： njjjevwv1 其 中 ve（ j=1, ,n） 是 點 （ xj, yj） 的 變 量 值 ， wj是 其 對 應 的 權 重 系 數 權 重 系 數 wj一 般 由 下 式 給 出 ： niejejjdfdfw1)( 其 中 n 是 已 知 點 數 ，ejdf 表 示 對 于 插 值 點 (xe, ye) 與 已 知 點 (xj, yj) 之 間 距 離ejd的 權 重 函 數 。 ejdf最常用的一種形式是： bejejddf1 b

3、 是合適的常數。當 b 取值為 1 或 2 時，對應的是距離倒數插值和距離倒數平方插值。b 也可以對不同的已知點選擇不同的值，即 bj。 nieiiedcv1mkeekkeyxav1),( ve為待估點（xe, ye）的變量值，ak為第k項系數，k(xe,ye)為依據坐標xe, ye的第k項，m是由擬和次數決定的多項式總項數。 次數第k項表達式k(x ,y)總數011112月3日x y324月6日x2 xy y2637月10日x3 x2y xy2 y310411月15日x4 x3y x2y2 xy3 y415516-20 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y520221ppP0b 平

4、面 ybxbb210 斜 平 面 25423210ybxybxbybxbb 二 次 曲 面 1pnQpUF同多元回歸分析一樣，可用F分布進行檢驗，其檢驗統計量為：njjjevwv1上式的插值誤差為： njjjeeevwvvv12varvar 圖 2-7 最優(yōu)插值實現 坐標數據 變量值數據 插值： 求權重系數 插值區(qū)域或點坐標 選點方 式 插值結 果 空間相關函數模型 克里金插值：認為任何在空間連續(xù)性變化的屬性是非常不規(guī)則的，不能用簡單平滑數學函數進行模擬，可以用隨機表面給予較恰當的描述。目的：提供確定權重系數最優(yōu)的方法和并能描述誤差信息理論假設：任何變量的空間變化表現為三個主要成分的和：A.與

5、恒定均值或趨勢有關的結構性成分；B.與空間變化有關的隨機變量，即區(qū)域性變量；C.與空間無關的隨機噪聲項或剩余誤差項。即差異的穩(wěn)定性和可變性，一旦結構性成分確定后，剩余的差異變化屬于同質變化，不同位置之間的差異僅是距離的函數。 公式1:u半方差：定量描述區(qū)域性變化的第一步，它為空間插值、優(yōu)化采樣方案提供了有益信息。同時為了得到半方差圖，必須先得到擬合半方差的理論模型: 球面模型、指數模型和線性模型等；半方差的估算公式: u半方差圖：“梁(Sill)、變程(Range)與核(Nugget)方差” 擬合后半方差圖的用途是確定局部內插需要的權重因i 其過程與加權移動插值類似，但不是按一種固定的函數 計

6、算i，而是按采樣點數據的半方差圖的統計分析原理 計算。r(h) = var Z(x) Z(x+h) = E Z(x) Z(x+h)2 2,1212)(1jiNEggNs74. 2)2830()3435()3833()2929()3532()3336()4037()3641()3633()3738()4137()3739()3330()3834()3737()3938()3939()3735()3835()3935()4042()3535()3536()4237()4243()3637()3738()4337()3538()3836()3735(311,121222222222222222222

7、22222222222222NEss如下：u計算搜索范圍內已知數據點的距離矩陣；u將所得數值代入球面模型，得到相應的半方差矩陣A、b;u計算得A-1，由公式A-1 b=( )得權重；u這些數據點與未知點之間的距離矩陣；u計算未知點插值后數值；u估計方差。 塊克里金插值：克服克里金點模型的缺點，估算方差結果小于點克里金插值，生成的平滑插值表面不會發(fā)生凹凸現象。 ESRICaveat: we are treating IDW like weighted mean, and the standard deviation like a weighted standard deviation. In r

8、eality, you shouldnt develop confidence intervals for data that is autocorrelatedPower = 2, search = 150Power = 2, search = 600Power = 4, search = 600Power = 2, search = 230 ESRI ESRI Paul Bolstad, GIS Fundamentals Paul Bolstad, GIS Fundamentals ESRIUniversalExponentialCircular ESRI, ArcView Help1d1

9、FeTstTgstNENE%6 .413 .32,12131,05.1,12131,05.bggNshjihh22)(121 N(h)1i2h) Z(xiZ(xi)2N(h)1Variogram models must be “positive definite” so that the covariance matrix based on it can be inverted (which occurs in the kriging process). Because of this, only certain models can be used.We can enter some num

10、bers in Mathcad and see how the variogram changes.Variogram with a lag size of 5m and a lag tolerance of 2.5m. Variogram with a lag size of 10m and a lag tolerance of 5m. ArcGIS Geostatistical AnalystPractical Geostatistics 2000Z(x) = m(x) + g(h) + ”3 components: structural (constant mean), random s

11、patially correlated component and residual error. Descriptive StatisticsN.W. CornerIDWVariogramKrigingMean36.34039.93741.2Limits30-4234-4534.7 - 4532-4237.6 - 44.6Range-12-11-10.3-10-7SplineIDWSoil_K Paul Bolstad, GIS FundamentalsThe Entire Process Can Now Be Performed Automatically,With Little to No Human Interaction1Clark and Harper Practical Geostatistics 2000. Ecosse North America, Llc1Clark and Harper Practical Geostatistics 2000. Ecosse North America, LlcWhat happens if our sample data is not Normal?Basically, make the data n