非齊次線性微分方程的幾種解法

1、摘要我在此論文中主要討論長(zhǎng)微分方程中的非齊次線性微分方程的幾種解法。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：線性相關(guān)，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯變換,線性無(wú)關(guān)，目 錄摘要摘要 .1引言引言 .31.1.n階線性齊次微分方程的一般理論階線性齊次微分方程的一般理論: :.32.2.n階線性非齊次微分方程的一般理論階線性非齊次微分方程的一般理論: :.62.1 常數(shù)變易法.72.2 待定系數(shù)法:.92.1.1 第一類型非齊次方程特解的待定系數(shù)解法.92.2.2 第二類型非齊次微分方程特解的待頂系數(shù)法.122.3 拉普拉斯變換法.13總結(jié)總結(jié) .15參考文選參考文選 .16致致 謝謝 .17引言非齊次線性微分方程是常

2、微分方程中的重要概念之一。非齊次線性微分方程的通解等于對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解與非齊次線性微分方程的一個(gè)特解的之和。這個(gè)畢業(yè)論文中關(guān)鍵的任務(wù)是求它的一個(gè)特解。下面我們主要介紹求特解的方法。1. 階線性齊次微分方程的一般理論:n ( )(1)11( )( )( )( )nnnnya x yax yax yf x（1） ( )(1)11( )( )( )0nnnnya x yax yax y（2）定理定理 1 1：設(shè)方程（2）有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，這個(gè)線性無(wú)關(guān)的解稱為方程nn的基本解組。定理定理 2 2：方程（2）的基本解組一定存在。方程（2）的基本解組的個(gè)數(shù)不能超過(guò)個(gè)。n定理定理 3 3：階線性非齊次

3、微分方程的通解等于它的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解與它n本身的一個(gè)特解之和。定理定理 4 4：齊次方程（2）的個(gè)解在其定義區(qū)間上線性無(wú)關(guān)的n12,nyyyI充要條件是在上存在點(diǎn)，使得它們的朗斯基行列式。I0 x0()0W x目前為止沒(méi)有求方程（2）線性無(wú)關(guān)解的一般方法。下面我們研究幾個(gè)例子。例：例：方程的兩個(gè)解是2)(1220 x yxyy121,ln121xxyxyx 它的通解為 121ln121xxyC xCx定理定理 5 5：設(shè)是方程（2）的任意個(gè)解。是它的朗斯基行12,nyyyn( )W x列式，則對(duì)區(qū)間上的任一有（3）上述關(guān)系式稱為劉維劉維I0 x10( )0( )()xxp t dtW xW

4、 x e爾爾(Liouvlle)公式。我們手上有了這個(gè)定理，以后如果我們有二階線性齊次微分方程的一個(gè)特解。我們求了它的另一個(gè)解。對(duì)于二階齊次線性方程( )( )0yp x yq x y如果已知它的一個(gè)非零特解，依劉維爾公式（3） ，可用積分的方法求出1y與線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)特解，從而可求出它的通解。1y設(shè)是已知二階齊次方程一個(gè)解，根據(jù)公式（3）有y( )11p x dsyyCeyy或( )11p x dxy yyyCe為了積分上面這個(gè)一階線性方程，用乘上式兩端，整理后可得211y( )211p x dxdyCedxyy由此可得( )1211p x dxyCedxCyy易見(jiàn) 是已知方程的一個(gè)解，即

5、 ( )1211p x dxyyedxy10,1CC 所對(duì)應(yīng)的解。此外，由于( )110p x dxyyCeyy所以，所求得的解是線性無(wú)罐解。從而，可得已知方程的通解1y。 ( )1121211p x dxyC yC yey（4） 其中和是任意常數(shù)。1CC例例 2:2:方程的一個(gè)解是 試求其通解。(1)0 xyxyy1,yx解：解：容易看出，已知方程有特解1, ( )1xyx p xx根據(jù)公式（4）立刻可求得通解( )1121211p x dxyC yC yedyy11221xdxxyC xC xedxx11221dxdxxyC xC xedxxln(1)1221xxC xC xeedxx12

6、2(1)xxC xC xe dxx12221xxeC xC xdxC xe dxxx1221xxeC xC xdxC x e dxx12211xxxeC xC xdxC xee dxxxx1222xxxeeC xC xdxC eC xdxxx12;xC xC e 通解為 12xyC xC e在這里我們不討論三階，四階，階變系數(shù)線性非齊次微分方程。n根據(jù)定理 3，我們的關(guān)鍵的要求試求線性非齊次微分方程的一個(gè)特解和對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)基本解組的問(wèn)題了。2. 階線性非齊次微分方程的一般理論:n定理定理 6:6:階線性非齊次方程（1）的通解等于它的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解與它n本身的一個(gè)特解之和。求對(duì)應(yīng)齊次方

7、程的通解的方法我們不能加強(qiáng)討論。我們加強(qiáng)討論的是它本身的一個(gè)特解。求特解的方法有下面的三種：（1）常數(shù)變易法；（2）待定系數(shù)法；（3）拉普拉斯法;下面我們介紹一下常數(shù)變易法。2.12.1 常數(shù)變易法常數(shù)變易法設(shè)為方程（2）的基本解組,12( ),( ),( )nx tx tx t則方程（2）的通解為：1 122( )( )( )( )nny tC x tC x tC x t現(xiàn)在設(shè)一組函數(shù) ，12( ),( ),( )nC x CxCx使 1122( )( )( )( )( )( )( )nny tC t x tC t x tC t x t為（1）的一個(gè)特解。式中 是待定系數(shù)。( )iC t(1

8、,2, )in 滿足以下代數(shù)方程組。( )(1,2, )iC tin1122112222211221111122( )( )( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnnnnCt x tCt x tCt x tCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtf t 這個(gè)方程組的系數(shù)行列式是基本解組的朗斯基行列式，( ) (1,2, )ix tin所以由以上方程組唯一確定，通過(guò)求積分可得求( ) (1,2, )iC tin的表達(dá)式，這

9、種求解線性非齊次方程解的方法稱為常數(shù)變易( ) (1,2, )iC tin法。 , ( )( )iiC xx( )( )iiC xx dx例：例：求非齊次方程的通解。1cosyyx解：解：知道對(duì)應(yīng)齊次方程的基本解組 ，1cosyx2sinyx對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 12cossinycxcx設(shè)方程的特解為 12( )cos( )sinyc xxc xx 由關(guān)系式（5）滿足方程組12( ),( )C xCx1212( )cos( )sin01( )sin( )coscosCxxCxxCxxCxxx解上述方程組，得 , 1sin( )cosxCxxa2( )1Cx積分 ， 1( )ln cosC x

10、x2( )Cxxcos ln cossinyxxxx 通解為12cossincos ln cossinyCxCxxxxx常數(shù)變易法是求非齊次線性微分方程特解的一般方法。但計(jì)算比較麻煩。例：例：求方程的解 。2(1)xyyex解：解：知道對(duì)應(yīng)齊次方程基本解組是，1xye2xye對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 12xxyC eC e設(shè)方程的特解為 12( )( )xxyC x eCx e由關(guān)系式（5），1( )Cx2( )Cx滿足方程組12212( )( )0( )( )1xxxxxCx eCx eCx eCx eex解上述方程組，得2xxxxeeee 22122220(1)1( )(1)220(1)1(

11、)(1)22xxxxxxxeexeCxxeeexCxex 求求: :比較麻煩。12( ),( )C xCx所以下面我們介紹一下待定系數(shù)法。其計(jì)算較為簡(jiǎn)便。但是主要使用于非齊次項(xiàng)的某些情形。2.22.2 待定系數(shù)法待定系數(shù)法: :這里，我們考慮如下幾種類型的非齊次項(xiàng)。(1)(2)( )( )( )( )cos( )sinxmxmmf xpx ef xepxxpxx其中 是多項(xiàng)式，是常數(shù)，首先求對(duì)應(yīng)齊次微分方程(1)(2)( ),( ),( )mmmpxpxpx, 的特征根，求特征根的方法我們不能加強(qiáng)討論。2.1.1 第一類型非齊次方程特解的待定系數(shù)解法:現(xiàn)在，考慮時(shí)，非齊次方程（1）的特解的求法

12、。( )( )xmf xpx e先從最簡(jiǎn)單的二階方程 （6）xypyqye開(kāi)始。因?yàn)榻?jīng)過(guò)求任意階導(dǎo)數(shù)再與常數(shù)線性組合后，仍是原類型函數(shù)，所以，xe自然猜想到（6）有形如 xyAe（7）的特解，其中為待定常數(shù)。將（7）代入（6）得到A2xxApq ee則 21Apq（8）這樣，當(dāng)不是特征方程 20pq（9）的根時(shí)，則用（8）所確定的代入（7）便得到（6）的特解。A當(dāng)是（9）的單根時(shí)，即，這時(shí)（8）無(wú)法確定。此時(shí)，20pqA可設(shè)特解為 xyAxe（10）并將它作為形式解代入(6)式，得22xxxApq xeAp ee因是當(dāng)特征根，故可解出 1112Ap這時(shí)（6）便有形如（10）的特解，其中由（11

13、）確定。A 如果是（9）的重根，則，這時(shí)（10）的形式已不可用。此時(shí)，可2p 設(shè)特解為2xyAx e將它作為形式解，代入得到 622222xxxxApq x eAp xeAee由于是二重根，故上式左端前兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)為零，由此得到12A 綜上所述，可以得到如下結(jié)論： 設(shè)是次實(shí)或復(fù)系數(shù)的多項(xiàng)式。()( )mpxm1011( )( ),1xxmmmmmf xepxep xp xpxpm（1）當(dāng)不是特征根時(shí)， （10 有形如。的特解，其中1( )( )xmy xQx e1011( )mmmmmQxq xq xqxq（2）當(dāng)是重特征根時(shí)， （1）有形如：的特解。1k 1( )( )kxmy xx Qx

14、 e其中也是形如上述的次多項(xiàng)式。( )mQxm上面考慮常數(shù)變易法不能解決的問(wèn)題，下面討論用待定系數(shù)法來(lái)解決。例：例：求方程 21xyyex解：解：先求齊次通解，特征方程為 特征根為 故210 121,1 齊次方程的通解為由于是特征根。故已知方程有形如12xxyC eC e1的解。將它代入原方程，得到 2012xye x B xB xB 32200112232xxxxxxyB e xB e xBe xBe xB e xB e 32220000111122336222xxxxxxxxxxyB e xB e xB e xB e xBe xBe xBe xBeB xeB e 所以代入原方程得01211

15、1,642BBB 12xxxyC eC ee212111642xxxyC eC ee xxx2.2.2 第二類型非齊次微分方程特解的待頂系數(shù)法： ( )( )cos( )sinxf xep xxxx時(shí)非齊次微分方程（1）的特解的求法。其中中有一個(gè)是次多項(xiàng)式。另外一個(gè)是次數(shù)不超過(guò)次的多項(xiàng)式。( ), ( )p xxmm 11( )cos( )sinnnxnya ya yep xxxx()()()()()()cossin,cossin( )( )( )( )( )22( )( )ixxixxixixixixsseexixeexxp xixp xixf xeeR x eT x e其中 是次多項(xiàng)式。(

16、 ),( )ssR x T xm1不是特征根，有特解。i( )cos( )sinxyep xxxx2是重特征根時(shí)，有特解。i1k ( )cos( )sinkxyx ep xxxx其中 都均是次多項(xiàng)式。( ),( )p xxm例：例：求方程的通解。2cos7sinxyyyexx解：解：先求解對(duì)應(yīng)的齊次方程;20yyy我們有 得220121 ,2 212xxyC eC e因?yàn)閿?shù) 不是特征根，故原方程具有形如1ii 的特解1cossinxyeAxBx將上式代入原故方程，由于1cossinxyeAxBx1cossinxyeABxBAx12 cos2 sinxyeBxAx故代入原方程，可得 2 ,1AB

17、2cossinxyexx2122cossinxxxYexxC eC e我們已經(jīng)介紹了階常系數(shù)線性方程n （12） 111( )nnnnya yaya yf x的通解結(jié)構(gòu)和求解方法，但是在世界問(wèn)題中往往還要求（12）初值條件 （13）11000000(),()()nny xyy xyyxy的解。為此，當(dāng)然可以先求（12）的通解，然后再由初值條件（13）來(lái)確定其中的任意常數(shù)。下面我們介紹一下另外一種求解初值問(wèn)題的方法。幾拉普拉斯變換法。因?yàn)樗麩o(wú)需要先求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解來(lái)，因而在運(yùn)算上得到很大簡(jiǎn)化。2.32.3 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法: :求常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解

18、。求方程（1）滿足（2）的特解。其中 ia(12)in解法步驟：令首先給方程（1）的兩端施行拉普拉斯變換，然后( )( )y tX s利用拉普拉斯變換原函數(shù)的微分性質(zhì)及初始條件，將方程整理為以下形式( )( )( )( )F sB sY sA s其中： 11111231101200( ( )( ), ( )( )()()nnnnnnnnnnnnf tF sA ssa sasaB ssa saysa sayy最后對(duì)施行拉普拉斯逆變換則得到方程滿足給定初始條件的( )( )( )( )F sB sY sA s特解為。11( )( )( )( )( )F sB sY tY sA s 例：例：，2sinxa xbat00(0), (0)xx xx解：解：20022( )( )abs x ssxxax ssa002222221( )absx sxxsasasa右邊的第一個(gè)項(xiàng)分解為部分分式 22222222221()2()abbsasaa sasa220022222222211( )2()basasax sxxa saasasaa sa作逆變換L。002( )(sincos)cossin2xbx tatatatxatataa總結(jié)總結(jié)本論文中利用實(shí)際問(wèn)題研究了常微分方程中的