廣東省2016屆高三3月適應性考試數(shù)學理試題(解析版)

1、2016年適應性考試理科數(shù)學一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1已知集合，則（ ）A B C D【答案】B【解析】，2若為純虛數(shù)，其中R，則（ ）A B C D【答案】C【解析】為純虛數(shù)，3設為數(shù)列的前項的和，且，則（ ）A B C D【答案】C【解析】，經(jīng)代入選項檢驗，只有C符合4執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ）A B C D【答案】C【解析】5三角函數(shù)的振幅和最小正周期分別是（）ABCD【答案】B【解析】，故選B6一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A B C D【答案】D【解析】7設、是兩個

2、命題，若是真命題，那么（ ）A是真命題且是假命題 B是真命題且是真命題 C是假命題且是真命題 D是假命題且是假命題 【答案】D8從一個邊長為的等邊三角形的中心、各邊中點及三個頂點這個點中任取兩個點，則這兩點間的距離小于的概率是（ ）A B C D【答案】A【解析】兩點間的距離小于共有3種情況，分別為中心到三個中點的情況，故兩點間的距離小于的概率9已知平面向量、滿足，則（ ）A B C D 【答案】D【解析】，10的展開式中，常數(shù)項是（ ）A B C D【答案】D【解析】，令，解得常數(shù)項為11已知雙曲線的頂點為橢圓長軸的端點，且雙曲線的離心率與橢圓的離心率的乘積等于，則雙曲線的方程是（ ）A B

3、 C D【答案】D【解析】橢圓的端點為，離心率為，雙曲線的離心率為，依題意雙曲線的實半軸，故選D12如果定義在R上的函數(shù)滿足：對于任意，都有，則稱為“函數(shù)”給出下列函數(shù)：；，其中“函數(shù)”的個數(shù)是（ ）A B C D【答案】C【解析】，在上單調(diào)遞增， ，不符合條件；，符合條件；，符合條件；在單調(diào)遞減，不符合條件；綜上所述，其中“函數(shù)”是 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分13已知實數(shù)，滿足約束條件，若目標函數(shù)僅在點取得最小值，則的取值范圍是 【答案】【解析】不等式組表示的平面區(qū)域的角點坐標分別為,，解得14已知雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，則 【答案】【解析】，15已知數(shù)列的各

4、項均為正數(shù)，為其前項和，且對任意N，均有、成等差數(shù)列，則 【答案】【解析】，成等差數(shù)列，當時， 又 當時， 又，是等差數(shù)列，其公差為1，16已知函數(shù)的定義域R，直線和是曲線的對稱軸，且，則 【答案】2【解析】直線和是曲線的對稱軸，的周期三、解答題：解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟17（本小題滿分12分）已知頂點在單位圓上的中，角、的對邊分別為、，且（1）的值；（2）若，求的面積【解析】（1），（2）由，得，由，得，18（本小題滿分12分）某單位共有名員工，他們某年的收入如下表：員工編號12345678910年薪（萬元）335455565775850（1）求該單位員工當年年薪的平均值和中位

5、數(shù)；（2）從該單位中任取人，此人中年薪收入高于萬的人數(shù)記為，求的分布列和期望；（3）已知員工年薪收入與工作年限成正相關關系，某員工工作第一年至第四年的年薪分別為萬元、萬元、萬元、萬元，預測該員工第五年的年薪為多少？ 附：線性回歸方程中系數(shù)計算公式分別為： ，其中、為樣本均值【解析】（1）平均值為10萬元，中位數(shù)為6萬元（2）年薪高于5萬的有6人，低于或等于5萬的有4人；取值為0，1，2 ，的分布列為012（3）設分別表示工作年限及相應年薪，則，由線性回歸方程為可預測該員工年后的年薪收入為萬元19（本小題滿分12分）如圖，在直二面角中，四邊形是矩形，是以為直角頂點的等腰直角三角形，點是線段上的一

6、點，（1）證明：面；（2）求異面直線與所成角的余弦值【解析】（1）證明：以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，則，平面（2），記與夾角為，則 【方法2】（1）,， ， 平面平面，平面平面，平面，平面平面，平面（2）過作，分別交于，的補角為與所成的角連接，異面直線與所成的角的余弦值為20（本小題滿分12分）已知拋物線：，過其焦點作兩條相互垂直且不平行于軸的直線，分別交拋物線于點、和點、，線段、的中點分別為、（1）求面積的最小值；（2）求線段的中點滿足的方程【解析】（1）由題設條件得焦點坐標為，設直線的方程為，聯(lián)立，得（*） 設，則 設，則 類似地，設，則 ， ， 因此 ， 當且僅當，即時，取到最小

7、值4（2）設線段的中點，由（1）得 ，消去后得線段的中點滿足的方程為21（本小題滿分12分）設函數(shù)（）（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的零點個數(shù)；（3）證明：曲線沒有經(jīng)過原點的切線【解析】（1）的定義域為，令，得當，即時，在內(nèi)單調(diào)遞增當，即時，由解得，且，在區(qū)間及內(nèi),，在內(nèi)，在區(qū)間及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減（2）由（1）可知，當時，在內(nèi)單調(diào)遞增， 最多只有一個零點又，當且時，；當且時，故有且僅有一個零點當時，在及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，而，（），由此知，又當且時，故在內(nèi)有且僅有一個零點綜上所述，當時，有且僅有一個零點（3）假設曲線在點（）處的切線經(jīng)過原點，則有，即，化簡得：（）（*）記（），

8、則，令，解得當時，當時，是的最小值，即當時，由此說明方程（*）無解，曲線沒有經(jīng)過原點的切線請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分作答時請寫清楚題號22（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖所示，是半圓的直徑，垂足為，與、分別交于點、（1）證明：； （2）證明：【解析】（1）連接，點是的中點，是的直徑，（2）在與中，由（1）知，又，于是在與中，由于，23（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，過點的直線的傾斜角為以坐標原點為極點，軸正半軸為極坐標建立極坐標系，曲線的極坐標方程為,直線和曲線的交點為（1）求直線的參數(shù)方程；（2）求【解析】（1）直線過點，且傾斜角為直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），即直線的參數(shù)方