第3章連續(xù)系統(tǒng)按環(huán)節(jié)離散化的時(shí)域數(shù)字仿真

1、 前面我們介紹的連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真方法是建立在數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)上的數(shù)字仿真算法，這種方法是根據(jù)計(jì)算步長(zhǎng)，一點(diǎn)一點(diǎn)逐步完成各采樣點(diǎn)上數(shù)值計(jì)算的，相當(dāng)于是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了離散處理，將連續(xù)系統(tǒng)看成了離散系統(tǒng)，只不過(guò)是從數(shù)值積分的角度討論了數(shù)字仿真問(wèn)題，沒(méi)有涉及“離散”這一概念。 本章我們將從連續(xù)系統(tǒng)離散化的角度出發(fā)，用采樣控制系統(tǒng)的理論和方法建立連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域離散化模型，并介紹另一種常用的數(shù)字仿真方法，這種方法使連續(xù)系統(tǒng)在進(jìn)行（虛擬）離散化處理后仍保持和原系統(tǒng)相似，所以這種方法稱為離散相似法離散相似法。 設(shè)計(jì)思想設(shè)計(jì)思想是將系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)方程化為離散時(shí)間狀態(tài)方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，它的優(yōu)點(diǎn)是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可一次

2、求出，因而計(jì)算量較小。一、連續(xù)系統(tǒng)離散化模型)1 .1 .3( uuDCxyBAxx 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：現(xiàn)在假想在系統(tǒng)的輸入、輸出端分別加上采樣開(kāi)關(guān)，使輸入、輸出信號(hào)離散，此時(shí)系統(tǒng)模型為離散模型。為了使輸入信號(hào)u(t)離散后仍能保持原來(lái)的變化規(guī)律，在輸入采樣開(kāi)關(guān)后，設(shè)置一個(gè)保持器，使輸入信號(hào)在采樣間隔內(nèi)保持連續(xù)，其結(jié)構(gòu)圖如圖3.1所示。對(duì)狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行拉普拉斯變換，得：保持器 DuCxyBuAxx )(tu)(*tu)(*ty)(tyTT連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域離散化圖 3.1( )(0)( )( ) (3.1.2)( )( )( ) (3.1.3)sX sXAX sBU sY sCX s

3、DU s由式（3.1.2）可得：)()()0()()(,)()()()()0()()(1111sBUsXssXetAsILsBUAsIXAsIsXAt則有令dBuexetxdButxttxttAAtt)()0()()()()0()()(0)(0 即）（）（6 . 1 . 3)()0() 1(5 . 1 . 3)()0()()1(0)1()1(0)( dBuexeTkxdBuexekTxTkTkATkAkTkTAAkT對(duì)式（3.1.4）進(jìn)行拉普拉斯變換，并利用卷積積分卷積積分得：這就是控制理論中介紹的線性時(shí)不變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，(t)稱為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，描述了狀態(tài)變量x(t)由初始狀態(tài)t=0時(shí)

4、刻向任一時(shí)刻t轉(zhuǎn)移的特性。若將系統(tǒng)按圖3.1的方式進(jìn)行離散化處理，則在kT和(k+1)T兩個(gè)相鄰采樣時(shí)刻的狀態(tài)變量值為：）求得。（）和式（可由式、矩陣散狀態(tài)方程的離散系數(shù)已知，相應(yīng)的離數(shù)矩陣。若連續(xù)狀態(tài)方程的系上式稱為離散狀態(tài)方程）（變?yōu)椋簞t式）（令）（所以因?yàn)椋ǎ┳優(yōu)椋?，則式（保持常量，即：在相鄰兩個(gè)采樣點(diǎn)之間另外零階保持器的輸出。分變量無(wú)關(guān)，故可令為采樣周期序號(hào)，與積上式右端積分中10 11 8 10 3.1.7 . 1 . 39 . 1 . 3)()(,. 1 . 3)()()()() 1(). 1 . 3(. 1 . 3)(9 . 1 . 3)()(8 . 1 . 3)()() 1(

5、)()()(00)(0)(TTBAkTuTkTxTTkxBdeTeTetBdekTukTxeTkxkTuukTukkmmTTAmATAtTTAAT）（得：乘式減之間的遞推關(guān)系，用式和為找出7 . 1 . 3)()() 1(. 1 . 3()6 . 1 . 3()() 1()1()1( 5)dBuekTxeTkxekTxTkxTkkTTkAATAT）（散化模型：用的零階保持器時(shí)的離這樣就得到連續(xù)系統(tǒng)采12. 1 . 3 ) 1() 1() 1()()()()() 1( nDunCxnynuTnxTnxm）（輸出為：得兩相鄰采樣點(diǎn)之間的）所示，可。根據(jù)圖（保持器（一階保持器）可采用三角形。為了提高

6、計(jì)算精度，的誤差為由圖可見(jiàn)，輸入函數(shù)常量，又稱矩形近似。持在兩個(gè)采樣時(shí)刻之間保因?yàn)榱汶A保持器的輸出變量的數(shù)值。出樣點(diǎn)上的狀態(tài)變量和輸遞推計(jì)算出系統(tǒng)不同采）（給定以后，可以利用式和當(dāng)初值13. 1 . 3)()()() 1()()()()()0( 3.23.1.12kTukTuTkTuTkukTukTuukTutux)(tuTkTTk) 1( tu0方法又稱狀態(tài)轉(zhuǎn)移法。算出系統(tǒng)的響應(yīng)，這種差分方程可以遞推地計(jì)離散化模型。利用這個(gè)離散化，建立了系統(tǒng)的經(jīng)過(guò)對(duì)連續(xù)系統(tǒng)模型的）（散化模型：離散狀態(tài)方程，寫成離這是采用一階保持器的）（則有：）（再令：）（）中得：）代入到式（將式（17. 1 . 3) 1(

7、) 1() 1()()()()()()() 1(16. 1 . 3)()()()()()() 1(15. 1 . 3)(14. 1 . 3)()()() 1(7 . 1 . 313. 1 . 30)(0)(0)( nDunCxnynuTnuTnxTnxkTuTkTuTkTxTTkxdBeTkTudBekTuBdekTxeTkxmmmmTTAmTTATTAAT系統(tǒng)的離散化模型。求用零階保持器采樣時(shí)空間表達(dá)式為：設(shè)有一控制系統(tǒng)的狀態(tài)例系統(tǒng)的離散化模型?，F(xiàn)舉例說(shuō)明如何求連續(xù)212121100111001 . 1 . 3xxyuxxxx TTATeessssLssLAsILeTBA10111) 1(1

8、01110)()(10. 1 . 39 . 1 . 301110011111 ）得：）和式（代入式（，將解：TTTTTTTmeTTdedeeBdTT11101101)()(0)(0)()(0 響應(yīng)。計(jì)算，求出系統(tǒng)的輸出利用上式即可進(jìn)行仿真于是得離散化模型： ) 1() 1()(1)()(101)2() 1(22121nxnynueTTnxnxeenxnxTTT3.3 3.3 非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真方法非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真方法 前面介紹的按典型環(huán)節(jié)離散化的仿真方法，可以很容易的推廣到具有典型非線性環(huán)節(jié)的非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真。這是因?yàn)榘喘h(huán)節(jié)離散化的數(shù)字仿真中，每增加一個(gè)步長(zhǎng)都要重新計(jì)算出所有環(huán)節(jié)的輸

9、出和輸入，這樣就可以在兩個(gè)線性環(huán)節(jié)之間插入非線性環(huán)節(jié)的仿真程序，由程序計(jì)算出非線性環(huán)節(jié)的輸出，再作為前一個(gè)或后一個(gè)環(huán)節(jié)的真正輸出或輸入量。 實(shí)際控制系統(tǒng)中的非線性特性各種各樣，一般較為常見(jiàn)的非線性環(huán)節(jié)有：飽和非線性環(huán)節(jié)、死區(qū)非線性環(huán)節(jié)和齒隙（滯環(huán)）非線性環(huán)節(jié)。一、飽和非線性特性一、飽和非線性特性scusru1C1C1C1C45飽和非線性特性圖 3.3.1) 1 . 3 . 3(11111CuCCuCCukuusrsrsrsrsc 這類特性在控制系統(tǒng)中較普遍，例如飽和放大器、調(diào)節(jié)器的飽和特性等。對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中k為斜率。當(dāng)k=1時(shí)，飽和特性如圖3.3.1所示。二、死區(qū)非線性特性二、死區(qū)非線性特性)2 . 3 . 3( C )CC )CC 0u11111scsrsrsrsrsruukuuku死區(qū)非線性特性圖 3.3.345scus