考研高等數(shù)學(xué)

1、1.(032)(0)aea例對應(yīng)于 從0到2 的一段弧與極軸圍成面積為_22012aSed41(1)4aea22222.(931)(x例2雙紐線+y ) =x -y 圍成面積為440024400.2cos2.4cos21.2cos2.(cos2 )2AdBdCdDd 410144cos22SSd A1.例 y=lnx與兩直線y=(e+1)-x及x軸圍成的平面圖形面積為_103(1)2ySeyedy 2(20113).1xx例2y=,x=2及x軸圍成的平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為_221Vy dx22214(1)3xdx13(201323).=xyyxDx練習(xí)為由y=x ,x=a及x軸圍成的平

2、面圖形,V ,V 分別為D繞 軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積V10V ,求a的值132153307232303:56()7axayVxdxaVaydya解=7yxV10V , a=7(031).(1)(2)DDxe例3過原點作y=lnx的切線,該切線與y=lnx及x軸圍成的平面圖形為D,求的面積繞直線旋轉(zhuǎn)一周的體積00000:(1)(,ln)1ln()xxyxxxx解切點為切線為0e代入(0,0)有x1yxe切線為1yxe切線為10()112ySeey dye面積為1220(2)()() yVeeyeedy元素法2(5123)6ee(20122).(1)(2)LDD例4過(0,1)作L:y=lnx的切

3、線切點為A,與x軸交點為B,L與AB及x軸圍成的平面圖形為D,求的面積繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積00000:(1)(,ln)1ln()xxyxxxx解切點為切線為20e代入(0,1)有x2211,(,0)yxBee切線為211yxe切線為2202(1)1ySeeydye面積為222221(2)12 ()ln3eVeexdx 元素法22(3)3e22.2Axyxyx練習(xí)設(shè)平面圖形 由及確定,求圖形A繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體的體積.12201202(11)(2)Vydyydy2()23(092).例5設(shè)非負(fù)函數(shù)y=y(x) (x0)滿足xy -y +2=0,當(dāng)y=y(x)過原點時其與x=1,y=0圍

4、成的面積為2,求該圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體的體積.212:122c xxc解 高階可降階y =p,變量分離y=212122c xxcy=2(0,0)0c 過原點得121101(2 )2,62c xx dxc又223yxx12VVV522015x dy 12VVV522015x dy 5220115 ( 1 31) 3176ydy ( )(20121).cos22xf tytLX例6設(shè)L:, (0t0(0t0)220(1 cos )cos:(1 cos )sin2( )( )xayalxyd解022 cos82ada (20102)0_re練習(xí)當(dāng)時，的弧長為2(1)e (032)( )2 1(

5、, ),22Q(1)( )(2)sin0, ,( )yf xyf xyxllyf x例4設(shè)位于第一象限內(nèi)的曲線過點其上任一點P(x,y)處的法線與y軸的交點為 ，且PQ被x軸平分。求的方程已知在上弧長為 試用 表示的弧長 (1)( , )1()x yXxy在處法線為Y-y=-(0,)xQyy0 xPQxyyy被 軸平分，有22112 1,(, )222yxc 變量分離有過2221xy22212()2yx 222001 cos21 coslxdxxdx22212()2yx cos, 022sin2xy22201sincos2Ld 220121 cos42dl 1, / ,/99 230m400N

6、50N2000N3m s20N s例1（）為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深抓斗自重纜繩每米重，抓斗抓起的污泥重，提升速度為在提升過程中，污泥以的速度從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問克服重力須作多少焦?fàn)柕墓Γ?23123:WWWWWWW解其中為克服抓斗自重做的功，為克服纜繩重力做的功，為提出污泥做的功。1400 3012000W 250(30)dWx dx302050(30)22500Wx dx302050(30)22500Wx dx ,t tdt在時間間隔內(nèi)33 200020t dtdW 30/310提升時間為秒10303(200020 )

7、57000Wt dt91500321 WWWW 2例例時時錘錘將將樁樁進(jìn)進(jìn)層層錘錘擊擊將將層層對對樁樁設(shè)設(shè)層層對對樁樁樁樁進(jìn)進(jìn)數(shù)數(shù)為為錘錘擊擊將將樁樁進(jìn)進(jìn)設(shè)設(shè)計計錘錘擊擊樁樁時時擊擊時時為為數(shù)數(shù)問問錘錘擊擊樁樁將將樁樁進(jìn)進(jìn)擊擊數(shù)數(shù)錘錘將將樁樁進(jìn)進(jìn)長長單單031 某031 某建建筑筑工工程程打打地地基基，需需用用汽汽打打土土.汽.汽每每次次打打，都都克克服服土土的的阻阻力力而而作作功功. 土. 土的的阻阻力力的的大大小小與與被被打打地地下下的的深深度度成成正正比比（比比例例系系k,k 0）k,k 0）.汽.汽第第一一次次打打打打地地下下a m.a m.根根據(jù)據(jù)方方案案，要要求求汽汽每每次次打打所

8、所作作的的功功與與前前一一次次打打所所作作的的功功之之比比常常r r0 r1 .1 汽0 r1 .1 汽打打3次3次后后，可可打打地地下下多多深深？2 若2 若打打次次不不限限，汽汽至至多多能能打打地地下下多多深深？（注注：m表m表示示度度位位米米.）.）nn.nn設(shè)第 次擊打后，樁被打進(jìn)地下x ，第 次擊打時，汽錘所作的功為Wx由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為 時，土層對樁的阻力的大小為kx，所以12211022xkkWkxdxxa2122222212()()22xxkkWkxdxxxxa21WrW由于2222raax 21WrW由于2222raax .)1(222arx .)1 (2)(22

9、232223332arxkxxkkxdxWxx 1223WrrWW 22223)1(ararx arrx231 arrx231 即汽錘擊打即汽錘擊打3 3次后，可將樁打進(jìn)地下次后，可將樁打進(jìn)地下amrr21 （2 2） 由歸納法，由歸納法，arrrxnn121 于是于是 arxnn 11lim1 022ABCD,AB5:4,hm()例例3 3某某閘閘門門的的形形狀狀如如圖圖，其其中中直直線線為為對對稱稱軸軸，閘閘門門的的上上部部為為矩矩形形下下部部由由二二次次拋拋物物線線與與線線段段圍圍成成，當(dāng)當(dāng)水水面面與與閘閘門門上上端端相相平平時時，欲欲使使閘閘門門的的矩矩形形部部分分承承受受的的水水壓壓力力與與閘閘門門下下部部承承受受的的壓壓力力之之比比為為閘閘門門矩矩形形部部分分的的高高 應(yīng)應(yīng)為為多