機(jī)械控制工程基礎(chǔ)課后答案廉自生

1、.2-1 什么是線性系統(tǒng)？其最重要特性是什么？答：如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性的，這種系統(tǒng)就叫做線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)最重要的特性，是適用于疊加原理。疊加原理說明，兩個(gè)不同的作用函數(shù)（輸入），同時(shí)作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)（輸出） ，等于兩個(gè)作用函數(shù)單獨(dú)作用的響應(yīng)之和因此，線性系統(tǒng)對幾個(gè)輸入量同時(shí)作用而產(chǎn)生的響應(yīng)，可以一個(gè)一個(gè)地處理，然后對它們的響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行疊加。2-2 分別求出圖（題2-2）所示各系統(tǒng)的微分方程。y ( t )y ( t )kk1k2f( t )f ( t )mm(a)( b)kx i1c1x ixccimk1c 2k 2xoxokx o2( c)(d)(e)解： (a) my(t )k

2、y(t)f (t )(b) my(t)(k1k2 ) y(t )f (t)(c)( xix0 )c1mx0c2 x0(d ) X 0 (s)K1csXi ( s) c( K1K 2 ) s K1K 2(e)( xix0 ) K1( xix0 )cK 2 x02-3 求圖（題 2-3）所示的傳遞函數(shù)，并寫出兩系統(tǒng)的無阻尼固有頻率表達(dá)式。x ix oRkLmcuCin 及阻尼比的u o(a )(b);.解：圖 (a) 有： G( s)k mns2c skmmViLiRi1idtC圖 (b) 有：1V0idtCkCm2mk1G( s)LCs2 R s1LLCn1RCLC2L2-4 求圖（題 2-4）

3、所示機(jī)械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖中 M 為輸入轉(zhuǎn)矩， Cm 為圓周阻尼，J為轉(zhuǎn)動慣量。 （應(yīng)注意消去,及）xkcMmRJ , Cm題 2-4解：由已知可知輸入量M 與輸出量之間的關(guān)系為：JCmkM經(jīng)拉氏變換后為： Js2 (s)Cm s(s) kM (s)( s)11/ J2nG( s)Cms kCmk s22 nn 2M (s) Js2s2sJJ其中，nkCmJ2 Jk2-5 已知滑閥節(jié)流口流量方程式為Qc xv (2 p /) ，式中， Q 為通過節(jié)流閥流口的流量； p 為節(jié)流閥流口的前后油壓差；xv 為節(jié)流閥的位移量；c 為流量系數(shù)；為節(jié)流口;.面積梯度；為油密度。試以 Q 與 p 為變量（即

4、將 Q 作為 p 的函數(shù)）將節(jié)流閥量方程線性化。解：如果系統(tǒng)的平衡工作狀態(tài)相應(yīng)于p, Q ，那么方程 Q c xv ( 2 p /) 可以在 ( p,Q )點(diǎn)附近展開成 Taylor級數(shù)：Qf ( p)f ( p)f ( p p)12 2f ( p p)2p2!p式中df, d 2 f ,均在 pp 點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。 因?yàn)榧俣?p p 很小，我們可以忽略 p p 的dpdp 2高階項(xiàng)。因此，方程可以寫成Q Q k(P P ) 或 Q Q k( p p)式中Qf ( p)kdfppdp因此，方程Qc xv ( 2 p / ) 2c xv ( 2 p / ) / 2p ( p p)就是由方程Q c x

5、v ( 2 p / ) 定義的非線性系統(tǒng)的線性化數(shù)學(xué)模型。2-6 試分析當(dāng)反饋環(huán)節(jié)H ( s)1,前向通道傳遞函數(shù)G ( s) 分別為慣性環(huán)節(jié)，微分環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)時(shí)，輸入，輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)。G (s)解：GB ( s)H ( s)G (s)慣性環(huán)節(jié)： G1(s)kTs1 GB (s)k /(Ts1)kk /(Ts1)Ts 1 k1微分環(huán)節(jié)： G2 ( s)TsTs GB (s)Ts11積分環(huán)節(jié)： G3(s)Ts1 GB ( s)Ts12-7 證明圖（題 2-7）所示兩系統(tǒng)是相似系統(tǒng)（即證明兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有相同形式）。;.x iC1c1k 1R1R2cx2ou iuoC 2k2a(b)解：

6、根據(jù)圖(a) 的已知內(nèi)容可得：II C1I R1ViR1 IR1V0V0R2 i1idtC21iC1 dtR1 IR1C1由有： i RVi V01R1求導(dǎo)： V0R2 iiC2求導(dǎo)： ViR1i R1 V0i C1V0c1iC1(Vi V0 )C1ViV0(ViV0 )C1ii R1 iC1R1V0Vi V01ViV0(ViV0 )C1R2(Vi V0 )C1R1R1C2V0 ( s)C1C2 R1 R2 s R1C1 s R2 C2 s 1G( s)R2 C2 R1C1 )s 1Vi ( s) C1C2 R1 R2 s ( R1C2;.根據(jù)圖 b) 可得：C2 ( xix0 ) k( xi

7、x0 ) C1 ( xix0 )C1 ( x0x1 ) k1 x1X 0 ( s)C1C2 s2(C1k2C 2 k1 ) s k1 k2C1 C2 s2( C1C2 )s 1k1 k2k1k2G( s)(C1 k2 C 2 k1 C1k1 )s k1k2C1C2C1C 2C1Xi (s) C1C 2 s2s2)s 1k1k2(k2k2k12-8 若系統(tǒng)方框圖如圖（題2-8）所示，N ( s )X ( s )E ( s )Y ( s )X ( s )iG( s)G( s )o12B ( s )H ( s )題 2-8求：（ 1）以 R( s) 為輸入， 當(dāng) N (s)0時(shí)，分別以 C ( s)

8、 ,Y (s) , E( s) 為 輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)。（ 2）以 N (s) 為輸入， 當(dāng) R(s)0時(shí)，分別以 C ( s) ,Y (s) , E( s) 為 輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)。G (s)解：（1） 由已知得：GB (s)1G (s) H (s)以 C(s) 為輸出：C( s)G1G2GB ( s)1 G1G2HR( s)以 Y(s) 為輸出：Yo ( s)G1GB ( s)1G1G2HR( s)以 E (s) 為輸出：Eo (s)1GB ( s)1G1G2 HR(s)C ( s)G2G2（ 2）以 C(s) 為輸出： GB (s)1 G1G2HN ( s) 1 G2 ( H )G1以

9、Y(s) 為輸出：Yo (s)G2 HG1G1G2 HG B (s)N (s) 1 ( G1 G2 H ) 1 G1G2 H;.Eo (s)G 2 HG 2 H以 E ( s) 為輸出： G B (s)N ( s) 1 ( G1 G2 H ) 1 G1G 2 H2-9 求出圖（題2-9）所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)X o (s) / X i ( s) 。G4X ( s )X o ( s )iGGG123H2H1H3題 2-9X 0 ( s)Gc (s)G ( s)解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為1 GC (s)G (s)X i ( s)3-1 時(shí)間響應(yīng)由哪兩個(gè)部分組成？各部分的定義是什么？答：根據(jù)工作狀態(tài)的不同，把

10、系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分為瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，它的自由響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下其輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般就是指強(qiáng)迫響應(yīng)，即當(dāng)某一信號輸入時(shí)，系統(tǒng)在時(shí)間趨于無窮大時(shí)的輸出狀態(tài)。3-2 設(shè)溫度計(jì)能在1 分鐘內(nèi)指示出實(shí)際溫度值的98%，并且假設(shè)溫度計(jì)為一階系統(tǒng)，求時(shí)間常數(shù)。如果將溫度計(jì)放在澡盆內(nèi)，澡盆的溫度依10/min 的速度線性變化，求溫度計(jì)示值的誤差是多大？解 1：依題意可得已知條件為t分， C (t)0.98 而一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為1;.C (t )1R(t )Ts1即C( s)1( )Ts1R s在上述第一問中，要求溫度計(jì)在1 分鐘內(nèi)指

11、示出響應(yīng)值的98%，這相當(dāng)于對溫度計(jì)輸入一個(gè)單位階躍。亦即r (t)1(t)則R( s)1sC(s)111TTs 1ssTs1即c(t)L 1 C (t)L 11TsTs1L 11 L 11t 1 e Tss1T將 t1分及 C (t ) 0.98 代入上式可得10.981e T1即e T10.980.02將上式兩端取自然對數(shù)化簡后得T110.256分15.36秒3.92.3lg 0.02解2：在第二問中已知澡盆溫度以10 / 分 線性變化，說明輸入函數(shù) r (t)At 10t ，為斜坡函數(shù)，此時(shí)溫度計(jì)的誤差為e(t )r (t )c(t ) At c(t )而當(dāng)r (t )At 時(shí)R( s)

12、As2即11C (s)R(s)Ts 1Ts則C (t ) L 1C (s) A L 1 1s2AA1TT21 s2s2sTs1L 1 TL 1T2sTs1;.AL11TL11TL 11t1A(t T Te T )s2ssTtt即()At A(tT TeT )AT(1eT )e t將已知和已求得之值數(shù)t1分、 t0.256 分、 A10代入上式即可求得溫度計(jì)的誤差為e(t )10 0.256 0.982.53 (上式為近似計(jì)算 ) 。3-3 已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為x0 (t ) 10.2e t1.2e 10t ，試求：（ 1）該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（ 2）系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼固有頻率n 。解：

13、（ 1）求解閉環(huán)傳遞函數(shù)( s)由已知條件，當(dāng)輸入為單位階躍信號時(shí)1x0( )10.260t1.210tX0 (s)(s)tees10.211.21s6010ss則( s)sX 0 ( s)0.2s1.2s(s60)(s10)0.2s( s10)1.2s(s60)160s10( s 60)( s 10)ss270s6000.2s22s 1.2s272s600s270s 600s270s600（ 2）求解阻尼比和無阻尼固有頻率n將閉環(huán)傳遞函數(shù)化為二階振蕩環(huán)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)形式6002( s)s2n270s 600s22n sn2600根據(jù)對應(yīng)關(guān)系可得n2 n70解得n 24.5rad / s ，1.43

14、 。3-4圖（題3-4（ a）是一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)，當(dāng)有20 N 的力作用于該系統(tǒng)時(shí)，其質(zhì)塊m 作如圖（題3-4（ b）所示的振動，試根據(jù)曲線上的x0 (tp )x0 ()0.0095m, tp2s ，確定m , c 和 k 。;.kxo ( t ) / m20N0.0095m0.1x o ( t )012345t/st p(a)(b)圖題3-4解：由圖 ( a) 可知， xi(t) 是階躍力輸入， xi (t)20N ， x0 (t ) 是輸出位移。由圖 (b) 可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出x0 ( )0.1m ， x0 (t p )x0 ( )0.0095m, t p 2s ，此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)顯然為：X

15、0 ( s)1，G (s)ms2csXi ( s)k式中，X i ( s)20N。s（ 1）求 kX0()而X0()（ 2）求 mM plim x0 (t)lim s X 0(s) lim s2120N20N 。ts 0s 0mscs ksk0.1m ，因此 k200N / m 。e 1100%0.0095100%9.5%20.1求得0.06 。將 t p 2s,0.6 代入 t p中，得n 1.96s 1 。12n再由 k / m2n，求得 m77.3kg 。（ 3）求 c由 2 n c/ m ，求得 c181.8Ns / m 。3-5 試求下面系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)r (t)t (t 0)輸入

16、下的響應(yīng)， 并求出單位斜坡函數(shù);.輸入時(shí)的誤差函數(shù)。1的系統(tǒng)；(1) G(s)Ts12(2) G(s)n22 n s2sn的系統(tǒng) (01) 。解：（1）由題意知 r (t)t ，其拉氏變換 R(s)1/ s2，得穩(wěn)態(tài)誤差為ess lim s Ts1 1Ts1s 0Ts2 s2s(Ts2)（2）由題意知 r (t)t ，其拉氏變換 R(s)1/ s2 ，得穩(wěn)態(tài)誤差為212ess lim snn2 n s 2 n 2 s2s( s22 n s 2 n2 )s 0 s23-6 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)GK ( s)K，1Ts（ 1） K 20， T 0.2；（ 2） K 1.6， T0.1；（

17、 3） K2.5， T1 三種情況時(shí)的單位階躍響應(yīng)，并分析開環(huán)增益K 與時(shí)間常數(shù) T 對系統(tǒng)性能的影響。解：由已知開環(huán)傳遞函數(shù)為GK (s)K，且是單位負(fù)反饋，Ts 1則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為G (s)GK (s)K1 GK ( s)TsK1（ 1）當(dāng)單位階躍信號輸入時(shí)，xi (t)1(t),X i ( s)1/ s ，則系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出的拉氏變換為X o (s) G (s) X i(s)2020/2120/2121)ss 105s(0.2s將上式進(jìn)行拉氏反變換，得出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為xo (t )L 1X o ( s)(20/ 21)(20 / 21)e 105 t（ 2）當(dāng)單位

18、階躍信號輸入時(shí)，xi (t)1(t),X i ( s)1/ s ，則系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出的拉氏變換為X o (s) G (s) X i ( s)1.68 /138 /132.6)ss 26s(0.1s將上式進(jìn)行拉氏反變換，得出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為xo (t )L 1 Xo (s)(8/13)(8 /13)e 26t;.（ 3）當(dāng)單位階躍信號輸入時(shí)，xi (t)1(t), X i ( s)1/ s ，則系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出的拉氏變換為X o ( s) G ( s) X i (s)2.55 / 75 / 7s( s 3.5)ss 3.5將上式進(jìn)行拉氏反變換，得出系統(tǒng)的單位階躍響

19、應(yīng)為xo (t) L 1 X o (s)(5 / 7) (5/ 7)e 3.5 t時(shí)間常數(shù) T 越小，開環(huán)增益 K 越大 ，xo (t ) 上升速度越快， 達(dá)到穩(wěn)態(tài)所用的時(shí)間越短，也就是系統(tǒng)慣性越小，反之，T 越大， K 越小，系統(tǒng)對信號的響應(yīng)越緩慢，慣性越大。3-7 試分別畫出二階系統(tǒng)在下列不同阻尼比取值范圍內(nèi)，系統(tǒng)特征根在s 平面上的分布及單位階躍響應(yīng)曲線。（1） 01 （2）1 （3）1（4） 10 （5）1解：（1） 01在欠阻尼狀態(tài)下， 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程的根是一對共軛復(fù)根，即系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。2.0)0.20.4t(o0. 6x0.81.00t p51015t（2）

20、1在臨界阻尼狀態(tài)下， 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程的根是兩重負(fù)實(shí)根， 即系統(tǒng)具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，x ( t )o1Ot;.（ 3）在過阻尼狀態(tài)下，二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程的根是兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，即系統(tǒng)具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，s121， s221 。nnnnx(t )o1O（4） 10和（ 5）1時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。x(t )o1O3-8 要使圖（題3-8）所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量等于25，峰值時(shí)間t p為 2s，試確定 K 和 K f 的值。XisE(s)1X0sKs21Kf s圖題 3-8解：（1）先求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Ks2K2( s)Kns2KK f s Ks22 n

21、s n21(1K f s)s2根據(jù)對應(yīng)關(guān)系可得2Kn2nKK f;.nK解得KK f2K（ 2）由 M p e 12100% 25% ，求得0.404 。再由 tp2s ，求得n6.871。n 12綜上，得到 K47.205 ， K f0.118 。13-9 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為GK (s)，試求該系統(tǒng)單位s(s1)階躍響應(yīng)時(shí)的上升時(shí)間，峰值時(shí)間，超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。解：由題知為單位反饋即H (s) 1則其閉環(huán)傳遞函數(shù)為1G (s)s(s1)12(s)s2n21 G ( s)1s 1 s22n sn11)s( s根據(jù)對應(yīng)關(guān)系可解得n 1rad / s，0.5相位移arctan 12

22、arctan 33在此基礎(chǔ)上可求出各參數(shù)上升時(shí)間tr12n峰值時(shí)間t p12n2s4s 2.42s330.7533.63s最大超調(diào)量M p e 12100% e 3 100% 16.4%調(diào)整時(shí)間;.當(dāng)允差范圍為2%時(shí)tsln4 s 8s( 取 0.02) 。n 0.5當(dāng)允差范圍為5%時(shí)tsln3 s 6s( 取 0.05) 。n 0.53-10 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)如下，試求這些系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。（ 1） (t) 0.125e 1.25t（ 2）(t)5t 10 sin(4t)4（ 3） (t )0.1(1 e t/3 )（ 4）(t)0.01t解：（1）(t)0.125e 1.25tG(s

23、) X 0 ( s) 0.125e 1.25t （ 2）(t)5t10 sin(4t)4G (s)X 0 ( s)5t10 sin(4t5 2s3(520 2)s216s2 ( s216)（ 3）(t)0.1(1 et / 3 )18s1520252s4)s216s2G (s)X 0 ( s)0.1(1e t / 3 )131)11)10s10(3s10s(3s（ 4）(t) 0.01tG(s)X 0 (s)0.01t 1100s23-11 對圖（題3-11）所示的系統(tǒng)，試求：（ 1） K h 是多少時(shí) ,0.5（ 2）單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間（ 3）比較 K h0 與 K h0 時(shí)系統(tǒng)

24、的性能。;.Xis10X 0 s1Kh ss(s+2)圖題 3-11解：（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G ( s)10(1K h s)s2(10K h2)s 10已知0.5，21010 3.162由nn2 n10 K h 2K h0.116（2）最大超調(diào)量M p e 12100% 16.3%調(diào)整時(shí)間當(dāng)允差范圍為2%時(shí)t sln4s 2.53s( 取 0.02)n1.58當(dāng)允差范圍為5%時(shí)tsln3 s1.9s( 取 0.05)n1.583-12 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為X 0 (s)81.6Xi (s)(s2.74)( s0.2j0.3)( s0.2j0.3)（ 1）求單位階躍響應(yīng)曲線；（ 2）取閉環(huán)主導(dǎo)

25、極點(diǎn)后，再求單位階躍響應(yīng)曲線；3-13 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為K，其斜坡函數(shù)輸入時(shí)，GK (s)s( s 1)( s5)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的 ess0.01 ，試確定系統(tǒng)的K 值。解：單位斜坡輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess110.01K vK所以 K100。;.3-14 已知單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G ( s)an 1san求斜坡a1 sn 1an 1 s ansn函數(shù)輸入和拋物線函數(shù)輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：將閉環(huán)傳遞函數(shù)化為單位反饋形式an 1san(s)an 1s ansna1sn 1an 2s2G ( s)a1sn 1an 1s anan 1 s ansn11 G( s)sna1sn

26、1an 2 s2所以開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)an 1sanan 1 sa1sn 1an 2s2s2 ( sn 2a1sn 3an 2 )sn則其靜態(tài)誤差系數(shù)為：靜態(tài)位置誤差系數(shù)K plim G( s) H (s)s 0靜態(tài)誤差1ess01K p靜態(tài)速度誤差系數(shù)KVlim SG(s)H ( s)s0靜態(tài)誤差ess10靜態(tài)加速度誤差系數(shù)靜態(tài)誤差KVK aesslim S2G( s) H (s)ans0an 21an 2K aan故當(dāng)斜坡輸入時(shí)，系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)為無窮大，其靜態(tài)誤差為零。4-1某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為5，試求下列輸入時(shí)， 輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)G(s)s 1表達(dá)式。(1)xi (t )

27、sin( t 30 )(2)xi (t ) 3cos(2t60 );.解：上述控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為X 0 (s)G ( s)55(s)Xi (s)1G(s)s15s6其頻率特性為則當(dāng)輸入信號為可令即此時(shí)則即將變量 t '換成 t( j)X 0 ( j)5X i ( j)j6| ( j) |55622362( j)tg16x (t )sin(t30) 時(shí)it't30xi (t ' )sin t '1|( j) |5550.822361376.08( j)tg 1 1tg 1 0.1679.469 28'6xi (t ' )|( j) | sin(t'9.46 )xi (t) |( j) | sin(t309.46 )0.822 sin(t20.54 )0.822sin(t20 32' )當(dāng)輸入信號為xi (t ) 3cos(2t60 )時(shí)可令t't30即xi(')3 cos2 '3sin(902t' )tt此時(shí)2R3則|( j) |5550.7913622406.32;.( j)tg 12tg 1 0.33318.4318 26'6即xi (t' )R |( j) | sin( 90 2t