線性變換思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、線性變換思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘要：本文首先給出了線性變換的定義以及中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的幾種特殊的線性變換，包括其表達(dá)式及特征等。然后介紹了這幾種線性變換在中學(xué)幾何中的意義, 它是普通線性變換的一個自然推廣,同時研究了線性變換在幾何中的應(yīng)用。最后,給出了具體實(shí)例說明了利用線性變換解決中學(xué)中平面幾何題的方法以及線性變換思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的影響。關(guān)鍵詞：線性變換 中學(xué)數(shù)學(xué) 幾何應(yīng)用隨著社會的進(jìn)步和時代的發(fā)展，針對我國中學(xué)數(shù)學(xué)課程現(xiàn)狀，制定和實(shí)施新的課程標(biāo)準(zhǔn)勢在必行。2003年頒布了普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗)(以下簡稱標(biāo)準(zhǔn))。由參考文獻(xiàn)1、2、3、4可知：標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的課程與以往的課程相比，內(nèi)容上發(fā)生很大

2、的變化，尤其在選修系列中，增加了矩陣與變換、數(shù)列與差分、初等數(shù)論初步、優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步、統(tǒng)籌法與圖論、風(fēng)險與決策、開關(guān)電路與布爾代數(shù)等內(nèi)容，矩陣與變換是選修系列4.2的內(nèi)容。矩陣是代數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，變換是幾何中的基本內(nèi)容之一。對于中學(xué)數(shù)學(xué)教材改革來說，認(rèn)真研究怎樣把應(yīng)用廣泛的矩陣內(nèi)容融入代數(shù)教材，以及如何進(jìn)一步用變換的觀念來處理幾何教材，最終用矩陣來表示線性變換可以更有效地學(xué)習(xí)和運(yùn)用這部分知識。中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣初步知識，主要是為表達(dá)數(shù)據(jù)提供新的工具。矩陣作為研究圖形（向量）變換的基本工具，有著廣泛的應(yīng)用，許多數(shù)學(xué)模型都可以用矩陣來表示。由矩陣建立的線性變換就是平面上的坐標(biāo)變換，其中，矩

3、陣起著“對應(yīng)法則”的作用，用二階矩陣確定的變換,就是構(gòu)造映射,使平面上的點(diǎn)(向量)變成(對應(yīng))點(diǎn)(向量)=,這個映射的對應(yīng)法則就是左乘，在這個線性變換中，矩陣稱之為變換矩陣，變換矩陣不同，得到的是不同的變換。線性變換在數(shù)學(xué)上是一個很有用的工具，在其它學(xué)科中也有著廣泛的應(yīng)用。線性變換在大學(xué)中作為“線性代數(shù)”的一個重要內(nèi)容，被系統(tǒng)地講授。近些年來，有些國家在中學(xué)也講授部分線性變換的知識。由于線性變換的重要性和它的應(yīng)用的廣泛性，在標(biāo)準(zhǔn)中，把“矩陣與變換”作為一門選修課。該課通過幾何圖形的變換，介紹線性變換的基礎(chǔ)知識和基本思想。開設(shè)這門選修課的目的是希望學(xué)生在基本思想上對線性變換有一個初步了解，對將來

4、進(jìn)一步學(xué)習(xí)和工作有所幫助。1 線性變換的概念1.1 大學(xué)教材中的線性變換一般地，把平面內(nèi)的一個點(diǎn)變成同一個平面內(nèi)的和它相應(yīng)的唯一的一點(diǎn)，不同的點(diǎn)所變成的點(diǎn)不相同，并且平面內(nèi)的每一點(diǎn)都是由某一個相應(yīng)的點(diǎn)變成的，這就是平面內(nèi)的點(diǎn)的一個變換。變換就是一個映射，而且是一個一一映射。換句話說，變換就是從平面內(nèi)的點(diǎn)的集合到同一個平面內(nèi)的點(diǎn)的集合的一個一一映射。把兩個變換復(fù)合起來就得到了一個新的變換。變換的復(fù)合一般不具有交換性。恒等變換是一個不動的變換，它把平面上的每個點(diǎn)都變成它自己。變換的復(fù)合看成變換的乘積，可得到變換的逆交換的概念。變換的逆交換就是這樣一種變換，無論它從左或從右復(fù)合，結(jié)果都得到恒等變換。

5、每一個變換都有逆變換。1.2 中學(xué)教材中的線性變換 在平面直角坐標(biāo)系中，把形如（其中，為常數(shù)）的幾何變換叫做線性變換。51.3 中學(xué)與大學(xué)對矩陣概念的區(qū)別 在大學(xué)里學(xué)習(xí)的線性變換與中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)里要求的線性變換是有區(qū)別的。從研究的角度來看，大學(xué)的線性變換是把它作為代數(shù)的運(yùn)算法則，對線性方程組與線性空間的運(yùn)算，而中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把線性變換看作是幾何變換的表示方法；從研究的內(nèi)容來看，大學(xué)研究的是代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，概念理論較為抽象，運(yùn)算量大，容量較多，而中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究的是線性變換的幾何作用，通過大量的實(shí)例來討論線性變換的性質(zhì)和作用，只限于討論平面內(nèi)的變換，從直觀上認(rèn)識線性變換的意義。矩陣與變換(選修系

6、列4.2)這部分內(nèi)容在大學(xué)的代數(shù)課程中會系統(tǒng)地講授。而中學(xué)開設(shè)這門選修課的目的，是要求學(xué)生了解其基本的思想、概念(當(dāng)然，這里不是只講故事也不是讀科普讀物，應(yīng)要求學(xué)生做習(xí)題，要有所練習(xí)，有所收獲)。不是把大學(xué)教材簡單下放，更不是去做一些難題，怪題(作為選修系列4的課程，有更多的開放性，給學(xué)生更多的思索空間，但其思索的問題不是大學(xué)中更艱深的內(nèi)容或難題、怪題)。在中學(xué)不是訓(xùn)練數(shù)學(xué)上的一些細(xì)致的技巧和方法，而是希望學(xué)生對線性變換等有一個初步了解，對將來進(jìn)一步學(xué)習(xí)和工作有所幫助。特別是學(xué)理工科的學(xué)生，到大學(xué)還將系統(tǒng)地學(xué)習(xí)這方面的知識，中學(xué)的內(nèi)容盡管是重要的，但還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。2 中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的幾種線

7、性變換2.1 中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的幾種線性變換式及其二階矩陣2.1.1 對稱變換(1)關(guān)于軸對稱的變換坐標(biāo)公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為； (2)關(guān)于軸對稱的變換坐標(biāo)公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為； (3)關(guān)于對稱的變換坐標(biāo)公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為.2.1.2 伸縮變換 坐標(biāo)公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為.2.1.3 投影變換 (1)投影在軸上的變換坐標(biāo)公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為； (2)投影在軸上的變換坐標(biāo)公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為2.1.4 旋轉(zhuǎn)變換坐標(biāo)公式為，變換對應(yīng)的矩陣為2.1.5 切變變換 (1)平行于軸的切變變換坐標(biāo)公式為，其對應(yīng)的二階矩陣為； (2)平行于軸的切變變換坐標(biāo)公式為，其對應(yīng)的二

8、階矩陣為.2.2 中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的幾種線性變換的特征2.2.1 對稱變換 （1）關(guān)于軸對稱的對稱變換：變換矩陣將點(diǎn)變換為，而與關(guān)于軸對稱。 （2）關(guān)于軸對稱的對稱變換：變換矩陣將點(diǎn)變換為，而與關(guān)于軸對稱。 （3）關(guān)于對稱的對稱變換：變換矩陣將點(diǎn)變換為，而與關(guān)于對稱。2.2.2 伸縮變換 （1）沿軸方向的伸縮變換：變換矩陣將點(diǎn)變換為點(diǎn)，即點(diǎn)沿軸方向移動個單位。如果,則為拉伸變換；如果，則為壓縮變換。軸上的點(diǎn)不移動，距離軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)收縮越大，距離軸越近的點(diǎn)收縮越小，上的點(diǎn)沿軸方向不發(fā)生伸縮變換。 （2）沿軸方向的伸縮變換：變換矩陣將點(diǎn)變換為點(diǎn)，即點(diǎn)沿軸方向移動個單位。如果,則為拉伸變換；如果，則為

9、壓縮變換。軸上的點(diǎn)不移動，距離軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)收縮越大，距離軸越近的點(diǎn)收縮越小， 上的點(diǎn)沿軸方向不發(fā)生伸縮變換。2.2.3 投影變換 沿軸方向的投影變換：變換矩陣將點(diǎn)變換為點(diǎn)，即點(diǎn)沿軸方向落在軸上，沿軸方向沒有發(fā)生移動；沿方向的投影變換：變換矩陣將點(diǎn)變換為點(diǎn)，即點(diǎn)沿軸方向落在軸上，沿軸方向沒有發(fā)生移動。2.2.4 旋轉(zhuǎn)變換 變換矩陣將點(diǎn)變換為點(diǎn)，即點(diǎn)以原點(diǎn)為中心向逆時針方向旋轉(zhuǎn)個單位。2.2.5 切變變換 （1）沿軸方向的切變變換：變換矩陣將點(diǎn)變換為點(diǎn)，即點(diǎn)沿軸方向移動個單位。軸上的點(diǎn)不發(fā)生移動，距離軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)收縮越大，距離軸越近的點(diǎn)收縮越小， 上的點(diǎn)沿軸方向不發(fā)生伸縮變換。 （2）沿軸方向的切變變

10、換：變換矩陣將點(diǎn)變換為點(diǎn)，即點(diǎn)沿軸方向移動個單位。軸上的點(diǎn)不發(fā)生移動，距離軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)收縮越大，距離軸越近的點(diǎn)收縮越小，上的點(diǎn)沿軸方向不發(fā)生伸縮變換。2.3 中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的幾種線性變換的示例 用直線段將點(diǎn)依次鏈接，得到一個三角形圖形，如圖所示：利用這個三角形的變換可觀察不同線性變換作用的結(jié)果。2.3.1 對稱變換 (1)關(guān)于軸對稱的對稱變換的圖例：原點(diǎn)集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示： （2）關(guān)于軸對稱的對稱變換的圖例：原點(diǎn)集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示： （3）關(guān)于對稱的對稱變換的圖例：原點(diǎn)集矩陣為，變換后的矩陣為=.變換后的三角形如下圖所示： 2

11、.3.2 伸縮變換(取2或1/2) （1）沿軸方向的伸縮變換：原點(diǎn)集矩陣為，變換后的矩陣為= 或= .變換后的三角形如下圖所示：或 （2）沿軸方向的伸縮變換：原點(diǎn)集矩陣為，變換后的矩陣為= 或= .變換后的三角形如下圖所示：或2.3.3 投影變換 （1）沿軸方向的投影變換：原點(diǎn)集矩陣為，變換后的矩陣為= .變換后的三角形如下圖所示： (2)沿軸方向的投影變換:原點(diǎn)集矩陣為，變換后的矩陣為= .變換后的三角形如下圖所示：2.3.4 旋轉(zhuǎn)變換（?。?原點(diǎn)集矩陣為，變換后的矩陣為×= .變換后的三角形如下圖所示：2.3.5 切變變換（?。?1)沿軸方向的切變變換：原點(diǎn)集矩陣為，變換后的矩陣

12、為= .變換后的三角形如下圖所示：(2)沿軸方向的切變變換:原點(diǎn)集矩陣為，變換后的矩陣為= .變換后的三角形如下圖所示：3 中學(xué)數(shù)學(xué)中線性變換在解題中的應(yīng)用3.1 對稱變換在幾何極小值問題中的應(yīng)用對稱變換又稱軸反射，在解答線段和的最小值問題時，起著一錘定音的作用?，F(xiàn)舉例說明如下: 例1 是正方形的邊上一點(diǎn)，且,，是對角線上一動點(diǎn)，求的最小值。 分析 利用兩點(diǎn)之間線段最短，把轉(zhuǎn)化成一條線段去考慮。過作交于，連接交于，則即為所求。 解 過作交于.由為的角平分線， 得到、關(guān)于對稱，即 (中垂線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等),于是.在上任取一點(diǎn),連結(jié)、,則.故為的最小值，此時，在三角形中有例2 正三角形的

13、邊長為，是上的中點(diǎn),是邊上的動點(diǎn)，連結(jié)和得到,求:(l)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到中點(diǎn)時，的周長；(2) 的周長最小值。分析 欲使的周長最小，只須使最小。作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連交于，則即為所求的最小值動點(diǎn)。解 (l)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到中點(diǎn)時,，所以,.即PBD的周長為. (2)作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連交于，過作交的延長線于，連.則，.于是.在中.不難證明為的周長最小值，且.3.2 利用伸縮變換巧解橢圓最值問題伸縮變換是中學(xué)幾何中常見的一種線性變換。對橢圓做伸縮變換 , ,橢圓就變成圓.在此變換下任何一對對應(yīng)多邊形的形狀雖然發(fā)生了改變,但是對應(yīng)多邊形的面積比是一個定值,即變換之前的多邊形面積是S,變換后對應(yīng)的多邊形面積為,則有

14、.利用伸縮變換對應(yīng)多邊形的面積比是一個定值的不變性,就可以借助于圓的平面幾何性質(zhì)巧妙地解與橢圓有關(guān)的面積最值問題。7例3 若、是橢圓上的三點(diǎn),求面積的最大值。解 對橢圓做伸縮變換 , ,橢圓就變成圓.此時橢圓的內(nèi)接就變成圓的內(nèi)接,而圓的內(nèi)接三角形以內(nèi)接正三角形面積為最大，從而面積的最大值是,還原到橢圓中,由伸縮變換對應(yīng)多邊形面積比的不變性可知：面積的最大值是例4已知橢圓,則面積為的橢圓內(nèi)接四邊形有多少個? 解 對橢圓做伸縮變換,橢圓就變成圓,此時相應(yīng)的橢圓內(nèi)接四邊形就變成圓的內(nèi)接四邊形,當(dāng)橢圓的內(nèi)接四邊形的面積是時,其對應(yīng)的圓內(nèi)接四邊形的面積就是,由平面幾何知識知圓的內(nèi)接正方形的面積為2,而這

15、樣的內(nèi)接正方形有無數(shù)個,還原到橢圓可知對應(yīng)的橢圓內(nèi)接四邊形也有無數(shù)個。3.3 旋轉(zhuǎn)變換在初中幾何中的應(yīng)用 旋轉(zhuǎn)變換是將平面圖形繞平面內(nèi)一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個定角,得到一個與原來圖形的形狀與大小都一樣的圖形。點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心, 叫做旋轉(zhuǎn)角。特別地當(dāng)時,稱為中心對稱變換,所以中心對稱變換是一種特殊的旋轉(zhuǎn)變換。旋轉(zhuǎn)變換的主要性質(zhì)有: (1)在旋轉(zhuǎn)變換下,兩點(diǎn)之間的距離不變； (2)在旋轉(zhuǎn)變換下的兩直線的夾角不變,且對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角8。例58(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)在中,為的中點(diǎn),分別延長、到點(diǎn)、,使得，過、分別作、的垂線,相交于點(diǎn)求證: . 證法1 如圖 延長到,使,連結(jié)、.由,，可得,所以,.又因為,

16、所以、四點(diǎn)共圓，且.又由,可知,且，從而有 （1）又由于,可知為直角三角形, 且，所以 （2） 由（1）、（2）得，且，所以，故 證法2 如圖分別延長、到點(diǎn)、,使,連結(jié)、. 因為是的中點(diǎn)且,所以.又,且、分別是、的中點(diǎn),可知,，且，即，從而.又因為和均為等腰三角形，所以.例68如圖,等邊三角形的邊長,點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),且.若,求、的長.(第12屆“希望杯”初二數(shù)學(xué)邀請賽試題) 導(dǎo)析 設(shè)、的面積分別為、,線段、的長分別是、.把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn),得連結(jié),可證為等邊三角形, 為直角三角形。所以 （1）同理, 繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn),繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn),可分別得: （2） （3）由（1）+（2）+（3）,得.又因為,所以，即，又由于 及a=,可解得x=3、y=4或x=4、y=3.說明 利用旋轉(zhuǎn)將分散的條件進(jìn)行集中,另外,將三個三角形分別旋轉(zhuǎn)得到三個對稱的關(guān)系式,然后再進(jìn)行整理處理。附錄:1 桂文通旋轉(zhuǎn)變換及其應(yīng)用J中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2003年第6期2 姚旗，李德忠對稱變換在幾何極小值問題中的應(yīng)用J考試(中考版)，編輯部郵箱 ， 2006年第11期3 竇詠梅利用伸縮變換巧解橢圓