【精品】高考20組類型

1、高考20組類型1二次函數2復合函數3創(chuàng)新性函數4抽象函數5導函數（極值，單調區(qū)間）一不等式6函數在實際中的應用7函數與數列綜合8數列的概念和性質9Sn與an的關系10創(chuàng)新型數列11數列與不等式12數列與解析幾何13橢圓14雙曲線15拋物線16解析幾何中的參數范圍問題17解析幾何中的最值問題18解析幾何中的定值問題19解析幾何與向量20探究性問題1.二次函數L對于函數/（x） = /+g + g + %-2 （SO）,若存在實數使/（/。）=成立，則稱/為了 的 不動點.（1）當也=2力=-2時，求的不動點；（2）若對于任何實數人，函數/（）恒有兩個相異的不動點，求實數值的取值范圍；（3）在的條

2、件下，若y=/Q）的圖象上a，b兩點的橫坐標是函數/（公的不動點，且直線, 1y -kxA：2礦+1是線段的垂直平分線，求實數匕的取值范圍.分析彳本題考有二次函數的性質、直線等基礎知識，及綜合分析問題的能力 函數與方程思想解一. /（X）= a/+（匕 + 1）貢+ 0 2 （a 0）（）當二 二一2 時，f （x）= 2獷-X 4設匯為其不動點，即2/-"4 =工，則2/-21-4 = 0.所以占二-1/2=2,即/*）的不動點是一L2.（2）由 /*）- n得以之 +bx+b 2 = 0由已知，此方程有相異二實根，所以4q3-2）>0,即匕=4必+鼬>0對任意。

3、63;尺恒成立.* * 力 < 16a 32ci < 0/. 0 < < 2? , 1Y kjc +（3）設4（斗乂）曲,/）,直線 2/+1是線段AS的垂直平分線，攵=-1.5口b»# /xX, -f （x） xax + bx + 6 2 = 0,.二司 + x? = =記A8的中點設（工。，）,由（2）知 2a.a,1b b Iy KX H1/. =F ；M 在 2?！?+1 上， 2a 2a 2a +14q_旦,當已一彳時，等號成立.例2已知函數*）= "/+4%一2,若對任意t £R且玉才吃，都有（2 J 2（I）求實數。的取值范圍

4、；(II)對于給定的實數J有一個最小的負數M，使得一"M時，工4都成立,則當為何值時，m(g最小，并求出“(“)的最小值.解：(I) = a十6x1 + x22ax + bxA +c + ax + bx2 + c + c -= 一：(看一/y(0 ;餐工，>0 .，實數的取值范圍為(°，+8).f ( - ax2 + 4x - 2-a x + - j 2 r/n、_ n工=_2<0(II) VI a) J顯然"U產一'，對稱軸 &(1)當一2一工<一4,即0<a<2 時，M(")e儲°月，加卜-4.

5、-2 ± J4 2口7x 令次+4/ 2 = 4,解得Q,-/ -2 + 4-2a-2此時(")取較大的根，M. (a “ r 2 > 1' 7 J4-2q+242 > 4M (2)當 a ，即。之2時，令qj?+4濫-2 = 4 , 解得M=j-即&。4-2&+2 ,. 0<a<2 ,2小二，且/W(叨=42 士，4 + 6 aa , 此時MM取較小的根，6.4 + 6以+ 2 ,M (a)=> -3I之2, /.。4 + 6”2.當且僅當。=2時，取等號.二當"2時，M(&)取得最小值一3.2復合函

6、數r/ f (fog X)=(4-J)L已知函數門即滿足QT' 其中儀>0,且"1 0(1)對于函數"),當x«T,l)時，1-向+ ”1求實數m的取值范圍;（2）當工£（一叫2）時，一 4的取值范圍恰為（一叫0）,求。的取值范圍0反/（】og 口工）=（工1一|）僅>0 口門王”解：如T同1=1），幾仁1。任工小 /=士-廠）汽/）=號-）設 10g",貝 |JK =。， 一1， 成一1當QW（°，1）時，/T' 短），y = /（）在其定義域上Ta 0當.e（Uoo）時，：正工> ，優(yōu)T,.=,&

7、quot;）在其定義域上,，X/i0且都有 > 二/（龍）為其定義域上的增函數r）二（Q “ / ）二 一/&）門、又，/（工）為奇函數（1）v 當，£（-覃）時,fnf（i2）<0.,.一1一/）=/（加2-1）f-1 < 1 - m < 1J-l<m2l<I=>l</n< 2.1-m < m2 -1 當產w（一*2）時,< F*） = /（x）-4在（-肛2）上f ,且值域為（一°°，°）二=/（2） 4 = 0例2.函數“X）是“-10" + 1的反函數，8（到的圖

8、象與函數一的圖象關于直線y = K T成軸對稱圖形，記F（X）= / （%） + g（X）。（1）求尸（X）的解析式及其定義域；（2）試問/（X）的圖象上是否存在兩個不同的點A、B,使直線AB 恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，說明理由。y 11。' + 1 =10A = - - x = 1g- -f（x） = 1g-=（-1 < x < 1）解： ioy+i i + y i + y， i+x4-3xv g"）的圖象與二二丁的圖象關于宜線）' 二 xT成軸對稱圖形4-3x+1 = 3-，&a）+i的圖象與x-1x-i的圖象關于直線

9、對稱3 2，即：g（J + l是）丁1的反函數盯y=3-2工 (y + 2),= y + 3F(x) = f(x) + g(x) = lg + (-1 < x < 1)*? ilgF c（2）假設在2#）的圖象上存在不同的兩點A、B使得岫,J軸，即也m &使得方程1 +工x + 2有兩不等實根1-x12t - J 1-設- 1+/-N + 1,貝卜在（一1, 1）上（且，01 - tlf + 1+ 1x = = 1g 1 二 c，14-Z 5 X + 2 ，+ 3，丞,wR使得方程 "3 有兩不等正根2子，上、10（1） = （u 1）設咐）=1如），+3由函數圖

10、象可知：方程才+ 3僅有唯j正根，不存在點A、B符合題意口=1 _ x _ 1, g=;3.設。且為自然對數的底數，函數f （ x）2（1）求證：當之1時，/a）g（幻對 切非負實數x恒成立；（2）對于（0, 1）內的任意常數a,是否存在與a有關的正常數看,使得/"。）8（/）成立？如果存在，求出一個符合條件的工。；否則說明理由.分析：本題主要考查函數的單調性，導數的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題 的能力.分類討論，化歸（轉化）思想方法x 0時 J(n)工 (x) o 1 < x2 += h(x) - -x2jr L => hf(x) x(a 一 )解

11、：當2*,令-2" 一 'v a > l?x > 0，> 0,=>力(1)在0*o):單調遞增, > h(Q) = 1 n f (x) < g(x)/(乙)> g(/)=頻 +-< 02戶口(2)，,、a 2n+1 1f(N)= x + 1-1需求一個使成立，只要求出 2 屋 的最小值，滿足(')>-<°，4/ tf(x) = x(a -在(0In a) _t I在(Tn 研00)上 3胃3 + 代】口。+ 1)-1色In“ 1 + o(lnq +!)-1< 0在q e (0,1)只需證明2內

12、成立即可，d?1(pa = - In? 十(一Ino + 1) 1 =(pa) = 一 (In，)0 =(p(a)令 22=(p(a) < e(1) = 0 =In2 a + a(-lna +1) -1 < 0,為增函數2' Qa)mm <° ,故存在與a有關的正常數% =一山0(0<“<1)使(1)成立.3.創(chuàng)新型函數L在R上定義運算.：f Y(Pf)(i)+肱(為實常數)。記工=Q2"上(%) = 7-26, /wR 令/(%) = /(力軟4(I )如果函數0在力=1處有極值一丁，試確定X c的值工(11 )求曲線)' =

13、 /(/)上斜率為c的切線與該曲線的公共點；(III)記g(” = Y(切(一1工'工1)的最大值為M.若設上對任意的b、c恒成立，試示人的最大值。./(工)=/(芯)叼2(力=-；(尤2-30)(工-3%)+ 4兒=-卜+加+次+尻./，(同=/+2" + 04（I ）由在工=1處有極值3 ,可得廣=-1 + 28+ - 0i4/=+ b-c +be = -"33,解得b = l1或力二一1c = 3若o=i, c=_i,則r（#）=-«+21n2«o,此時/（工）沒有極值;若j = T, C = 3,則/=4 一 2尤+ 3 = -（五一 1

14、）（工+ 3） 口X（一8, 一 3）3，1）1（L + co）fM一04-0<小）單調遞減極小值 -12單調遞增極大值_43單調遞減當變化時，“）、廣（”的變化情況如下表:4六當/ 是，,（"）有極大值一,故匕=T，（ - 3即為所求.（II）設曲線在工=1處的切線的斜率為J二*/（"）= " +2fcx + c,.+24+（? = c ,即產一24二0 口 解得f = 0或f=2人口若£ =。,則，（°）=兒,得切點為（“從），切線方程為丁 =以十尻；f（2b） = b3 -3bc 2b.b' +3bcy = cxbc+-b3

15、若f = 2%則'3,得切點為I 3 A切線方程為3-=x3 +bx2 +cx-bc-cx + bc x3 - 3bx2 - 0八 號1若3,解得占=%=0, x3b則此時切線y =B +兒與曲線y = /W的公共點為（°廄）,（3"4兒）；- - x2 bx2 + ex + be cx + bc-¥b3 = x3 -3bx2 +4b3 = 0若33y -CX A-be+解得石=%=2b,此時切線3與曲線y = 口的公共點為4 .2"一萬+ 3bc3綜合可知，當人。時，斜率為c的切線與曲線 > = /）有且只有一個公共點（°，&#

16、176;）；當五°,斜率為C的切線與曲線y = 有兩個不同的公共點，分別為(°，松)和(3"4秘)或)9口,汨(山)g(x) =/(x)| = |一(x 4+/+C當網>1時，函數丁=/“)的對稱軸x=b位于區(qū)間外，/在-w上的最值在兩端點處取 得，故w應是4一°和&中較大的一個。,.,2航 2 式i) + g(l)=H + 2"d + H 2b + d 之網>4,即.時 >2當生財'函數y = /'(X)得對稱軸位于區(qū)間T1之內此時 M =maxg(T),g(l),g(b)由廣一廣(一1) = 4&q

17、uot;有/ Q) /(±1)=3m廳20若一1 d 工 0,則 f' (1)<F (-1)< 亡(b), a g(-l) < maxg(-l), g)于是222若0工方工1,貝lj F JDM£U)W) , Ag(l)<maxg(-l)(fo)M =max夕(一師/怨。m + /(帥“廣)40 + 1二于是21Z2M之一綜上，對任意的b, c都有 2-1/211.1b = 0 c =g(x)= -x +M = 一而當， '2時，2在區(qū)間-1,1上的最大值2故M2 K對任意的b, c恒成立的k的最大值為a 0“ = =-y(1 >

18、;°)例2 .設函數五 %，其中燈表示不超過支的最大整數，如=2*0,網=1（1）求2的值;（II）若在區(qū)間23）上存在x,使得/ 人成立，求實數k的取值范圍;（III）求函數/（貢）的值域.解:因為任吁。,所以理1312=2,山=0(H)因為2"<3,所以 xf（JC） （-t -1）/（猶）=（1- ）廳 、'門則 3 j 求導得 3'當2.<3時，顯然有了0,2 W） 所以,在區(qū)間艮3）上遞增,即可得用力在區(qū)間倒上的值域為6'9 ,k>-在區(qū)間【2,3）上存在凡使得了女成立，所以一 6（III）由于（'的表達式關于x與

19、三對稱，且x>0,不妨設x>L當x=l肛LU/（1）4 ；當X>1吐設=n+.，諛N*, 0工比<1.則x= n,°所以/（天）=/（加+ =）=1月 + a + 一 一+n + 1.一設2（上#由劃在1,+8）上是增函數,又汽。+ 3。+ 1一+ fi +11 制十 n n+1=In (制 e N ,« > 211 1 m +1 +林+1n +15當）時亦（L4乜 故、e（Le）時，的值域為nui2U-UInU-"十一«n +1n2 +14h + 1)I Izi + 1 -I<b =' l +?0 網+1(n

20、 + 1)3n-2a4c,< an<">%" 一 % 一 "=l)( + 2),.當 n>2 口寸，觀=a3< 又 bn 單調遞減，b2> b3>bn/. a2, b2)= 12班 133 14 區(qū)罡 In3,L%，bJjL斗八=®4)=；,當L 4/L6 9 /；百uR與平斗. nUI2U UInU=IlUI2 =L 4? L6 9； |_6 4 人 綜上所述，,的值域為121E 4J例3我們用min%N凡)和max*,%,凡)分別表示實數口 % ,汽中的最小者和最大者.(1)設/(x)= minsinx,co

21、s/, g(x) = maxsinx> cosx ? xe0,24,函數的值域為 A,函數雙算)的值域為B,求同門8；(2 )提出下面的問題：設為, % ,，%為實數，xeR 5求函數/(X)= a | x I +q? | x-x2 十一 + 2"n N# I(*</<.<%£/;)的最小值或最大值.為了方便探究，遵循從特殊到一般的原則，先解決兩個 特例:求函數,(/)=1兀+ 2|+3|工+ 1|一次-1|和8(工)T#+11-4|n-l|+2|x-2|的最值。得出的結論是: "(切級=min/(2)J(l)J(l) ,且/無最大值；只初

22、儂乂 = maxg(I)送*(2),且對父)無最 小值.請選擇兩個學生得出的結論中的個，說明其成立的理由；(3)試對老師提出的問題進行研究，寫出你所得到的結論并加以證明(如果結論是分類的，請選擇 種情況加以證明).,1行口行J s 口 百行A = "1? B = - "=" ,1A 1 8 二7727解：(1) L ， L ，7. L .(2)若選擇學生甲的結論，則說明如下， - 3x 6, x 2n 2, 2 < n K 1 /(x)=.5丈 + 4, -1<x<13n + 6,于是/(王)在區(qū)間(一叫一2上是減函數，在上是減函數，在-1J上是

23、增函數，在工+8)上是增函數，所以函數外用的最小值是min-2)J(-l)J(l),且函數”工)沒有最大值.若選擇學生乙的結論，則說明如下,X 1 ?X 13x + 1 5< x < 1-5x + 9, l<x<2工+ 1,X>2,于是g。)在區(qū)間(-8-1上是增函數,在7J上是增函數,在1,2上是減函數，在2，田)上是減函數.所以函數以用的最大值是maxg(-l)遙3(2),且函數gG)沒有最小值.(3)結論：若/ + 4 + % >0 ,則“切由加=min/®)J®)，"(%)；若%+4+ + % >0,則"

24、(皿w=max/(IJJ(%)，,、/(5)；若/ + %+ % = 0,則/口)哂=min"($)J"?)',/(%),/(2=max /($),/(%”，/(%);以第一個結論為例證明如下:/(幻=一( +a2 +%)+ (%再+a2x2 +見尾)，是減函數，當/£瑞,+00)時，/(工)=(%+在+ %)一(%匹+與占+十即/)，是增函數當即時,函數“外的圖像是以點("()，5J6),，(芍JOO)為端點的一系列互相 連接的折線所組成，所以有"(%XU =min/a ),“£), ,/(%).4.抽象函數1.設f(x)是

25、定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=l對稱，對任意xl、x2e 0,5，都有 f (xHx2)=f (xl) f (x2) ,且 f (1)=a>0.1 1 1 人 、 lim (lniYN).求f (2), f (4)；證明f (x)是周期函數；記an=f (n+2"),求- . /(- + -)- /(-)解：(1)因為對 xl, x2£ 0, 2 ,都有 f (xi+x2)=f (xl) (x2),所以 f (x)= 2 22 20, x£0, 1又因為 f 寸(2+2)=f(2) f(2” f(2) 2, f(2)=f(4 + 4)=f(4) .f

26、(4)= f ( 4 ) 2_ 上 _1又 f (l)=a>OAf (2 )=a3J f ( 4 )=a證明：依題意設尸f(x)關于直線x=l對稱，故f(x)=f(l+lx),即f(x)=f(2-x),xeR.又由 f(X)是偶函數知 f (-x) =f(X), x£R，f (一X)=f(2 X), xER.將上式中一x以x代換得f (x)=f(x+2),這表明f(x)是R上的周期函數，112是它的一個周期.解:由知f(x)20,x£ 0, 1工 JL X XXV f ( 2 ) =f (n * 2也)=f ( 2n + (n- 1) 2n ) =f ( 2n ) *

27、 f (n 1) *)1±±±i±±二二(2孔)> f ( 2m )f ( 2/i )：= f ()=a* ,.*.f (2門)=a2tl.又f(x)的一個周期是21,lim (Ina ) = lim (hi?) = 0.f (2n+ 2打)二f ( 2鞭)，因此 an=a2fl，.:打50- 2并例2.定義在R上的函數f(x)滿足：對任意實數叫n,總有/物+幻=/(掰),/，且當x0忖,0<f (x)<lo(1)判斷f(x)的單調性；設=缶川I/(#),>')>川),B = 3力五)二1，若AuB為空集，

28、試確定a的取值范圍口解：(1)在切二(制)/理)中，令那=L閥=。，得(D = /(D J(0),因為/m °,所以丁二1 0在了3+切=/(掰)/(福)中，令隨=不n=-x因為當x>口時，0 </(x) <1?所以當工<口時一工>0, ° </(一刈<1, 1、一 、-T /U) = > 1 > 0而/0) (-力=/(0) = 1,所以 ，(f)又當x=o時，0) = 1>0,所以，綜上可知，對于任意天WR,均有了。)>°口設一00<勺 < 心 <4w ,貝q心一看>0,

29、 0 <f(x2 - %i) <1所以)(內)=/% + (4- /) =/(小一勺)<八網)所以y =/C0在R上為減函數。(2)由于函數y=f(x)在R上為減函數，所以八=/(/+/)>51)即有一+丁1,又+庶)=1 =八0),根據函數的單調性，有數-y+瓶=。上之1由AuB = °,所以直線始一尸+a=0與圓面爐+式<1無公共點。因此有忑為，解得5.導函數不等式1,已知函數/*）二1一屆xeR（1 ）若k二?，試確定函數/GO的單調區(qū)間；（11）若上。，且對于任意xeR, “國）°恒成立，試確定實數女的取值范圍；n（U1）設函數尸=/（

30、兀）+ /（f）,求證：WDR2）FS）（e"、2尸SeN）.分析：本小題主要考查函數的單調性、極值、導數、不等式等基本知識，考杳運用導數研究函數性質 的方法，考查分類討論、化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力。解：（）由女=6得/（1）=一巴 所以尸（猶）=1_七.由尸"）°得才1,故外的單調遞增區(qū)間是（L + 00）,由尸0得了1,故的單調遞減區(qū)間是（-知1）.（n）由7 =用給可知是偶函數.于是/（N） 0對任意E R成立等價于/ 0對任意X 2 o成立，由廣=- A=0得X = Ink .當左w（0,1時，廣二爐左1-00（%0）*

31、此時/*）在。，+ 8）上單調遞增.故（x）20） = l0,符合題意.當左w（l, + 8）時，In女0.當一變化時廣（辦工）的變化情況如下表:X（0,1口女）Ink（1口匕+ 00）f'(x)一0+fU)單調遞減極小值單調遞增由此可得，在曲+上，/&）三/（訪）二女一左】口仙依題意，k一八口0,又綜合，得，實數&的取值范圍是°女“（HI） ,: F（n）= /+/（r） = e* + e，F（x）F（x2） = +e-S+巧）+ e由一的 +產與 9+巧 +°-出+超）+ 2 爐+電 +2 ,，F（l*5）e'申+2尸(2)尸(打一1)&

32、gt;/討+2F(n)F()>en+i +2.由此得，尸(DF F(n)當f0時，由九'(1)=。，得X=/，當(爐，+ °°)時，/工)0, I所以用*)在(0,+ 00)內的最小值是恤3)=0故當工>°時，人工)2%。)對任意正實數成立. 方法二： = E1)F ”(2)尸 5 -1)F(n)F(l)>(en+1 + 2)”故F產(2)/伽)> e* + 2)" 71 G Nx-22 - h(t) = gAx) t3x t(t > 0)=3 (x-P)對任意固定的x>°,令3 ，則 3 由川=0,

33、得/ = 丁,當0<)<,3時,獷(。>0；當£>/時,以。<。 /1(/)=所以當二/時，內取得最大值3 .因此當N>°時，/(用三網五)對任意正實數才成立. (ii)方法一； ”2) § '(2).由(D得，當、當(2)對任意正實數，成立.a 2/Cr)-2,設 3 ,對任意實數，記3(I )求函數3=幻一攪("的單調區(qū)間；(H)求證：(i )當/>0時,制上崗對任意正實數工 成山(ii )有且僅有一個正實數/，使得心(/)之乩(的)對于任意正實數，成立.分析，本題主要考查函數的基本性質，導數的應用及

34、不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知 識分析和解決問題的能力.分類討論、化歸(轉化)思想方法%3 八 16V -4K d(I)解:33 .由y=V-4 = °,得工= ±2.因為當工£(一8-2)時，y>05當工£(2,2)時，了<0,當工 £(2,+ 8)時，y',0.故所求函數的單調遞增區(qū)間是(一如2), (2,+ 8),單調遞減區(qū)間是(-20 .(II)證明：(i)方法一：22h(x)f(x)-gr(x) -t3x + -t(x>0),2 3令33,則1旬一4一 t ,即存在正實數/ = 2 ,使得心2 &

35、amp;對任意正實數t成立.下面證明寺的唯一性：乩(%) = 4%-3當"2,必叫一時，八。) 3 ,%°7。 3 ,由得，爭與告，再取金;，得=6)后，所以g,(%) -4/ -丁<丁 一 g堞”)，即易工2時，不滿足)三.(見)對任意f > 0都成立.故有目僅有一個正實數/=2,使得&(%)°'&(/)對任意正實數£成立.，、八16-» 丈 >0 SAxo) = 4o 萬法二；對任意不>“，3因為因(%)關于才的最大值是七 ,所以要使孔(及)三瓦(人)對任意止:實數成立的充分必要條件是:d _

36、竺>!%-與予,即(與-2)1/ + 4)W0,又因為%>°,不等式成立的充分必要條件是 =2,所以有且僅有一個正實數，。=2,使得心(/)2&(/)對任意正實數，成立.3, 定義函數 f n( x ) = (l+x)n1,x>2, n£N*(1)求證：f n ( x ) N nx；是否存在區(qū)間a, 0 (a<0),使函數h(叉)=f 3( x )f 2( x )在區(qū)間a, 0上的值域為：ka, 0?若存在，求出最小實數k的值及相應的區(qū)間a, 0,若不存在，說明理由.分析，本題主要考查函數的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜

37、合運用所學知 識分析和解決問題的能力.分類討論，數形結合思想方法解：(1)證明：f n( x )nx= (l + x)nlnx,令且(x ) = (l+x)nlnx ,貝1J g' ( x ) =n(l+x)n1 1.當天 £ ( 2, 0)時，g ( x ) VO,當 (0, +°° )時，g ( x ) >0,Ag( x )在x = 0處取得極小值g( 0 )=0,同時g( x )是單峰函數，則4(0 )也是最小值.，g( x )20,即f 口 ( x )2nx (當且僅當x=0時取等號).注：亦可用數學歸納法證明.(2) */ h ( x )=

38、f 3 ( x ) f 2 ( x ) =x( 1 + x ) 2 ；.h' ( x ) = (1 + x) 2 + x *2(1 +x) = (1+x) (1 + 3x)令 h' (x) =0,得 x = 1 或 x=-，上當 xR ( 2, 1) ? hJ (x) >0；當 x£ ( 1, 1)時，h1 (x) 當 XE(：,+8)時，hT(X)>0.故作出h(x)的草圖如圖所示，討論如下:14當一三石&<0時，h(x)最小值 h(a) =ka .=k= (1+a)2 oy4114414當一鼻這aW,時 h(x)最小值h(a) =h(一.

39、)=而=kaOOOZj £ if cL<7414當a=一1時h( x )最小值h( a ) =a(l+a)2=ka k= (l+a)2J a=1時取等號. oyo_i4綜上討論E知k的最小值為g,此時a, 0 =0.y3/(n) = M-(X E R)1例4,已知 / +2在區(qū)間TJ上是增函數。(1)求實數。的值組成的集合A；=(2)設關于i的方程1的兩個非零實根為修、/口試問：是否引也夫，使得不等式加+加+ 1引玉-馬|對V靠&A及£-1恒成立？若存在,求1的取值范圍；若不存在，請說明理由。 分析：本題主要考查函數的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知

40、識，以及綜合運用所學知 識分析和解決問題的能力.函數方程思想、化歸(轉化)思想方法2x a、一牛彳eR)解:(1) */ /()=1+2t2(獷 + 2) (2工1)* 2x2(1" ctx - 2).f(X)= =一(/ +2)22(-依-2)、八=-> u/*)在TJ上T, r(x) (/+2產一對,一口恒成立即UxeT，1,恒有-以-2 M0成立Jg(-l) = Q-lW0設9(4)=-"-2< g(l) - -a-l<0 A -1,1、 2x - a 1(2)x2 + 2 x x2 - ox - 2 = 0V A = /+8,0 /,用，兀工是方程

41、/一辦-2 = 0的兩不等實根，且修+% = J兩% =-2.x x2 |=+ 苴2)2 4x,x2 = a2 + g w 2a/253* / +tm + >| Xj| 對 Tq w A 及，w 一里恒成立 :.川+加+ 1之3對Vf w -1,1恒成立設 h(t) - m t + (m2 - 2) t e - 1,1；*砥理°對V0T恒成立/(-1) - m2 -m - 2 > 0m < - 1或旭 > 2Y= <./i(l) - m1 + m-2>Qm W-2或m 之 1A立1£(咫2=2+8)滿足題意5,已知函數/3 =皿/+。)僅

42、>°)。(1)求函數y = f的反函數 > =>(%)和f(x)的導函數r(x)；(2)假設對Vxw】n(3o),ln(4o),不等式|加-尸3 |+人(/(尢)< 0成立，求實數超的取值范圍。分析：本題主要考杳反函數的概念及基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運 用所學知識分析和解決問題的能力.化歸(轉化)思想方法解：(1) y=】n("+")ex + a = ey ex =ey - a:,尸 ") = ln(短一 a)., y=ln(*+Q) 二.，-色” +q(2) V Vxwln(3Q)1n(4Q), |

43、 加-尸(行+加(廣)<0成立ex ex +a| m ln(2猶一5)|< -In =In-.二ex + a ex* - In(陵 + a) x < m ln(，-«) < In(屋 +，)一工設 g(x) = 1口("-a)-ln(ex + o) + n , h(x) = ln(eA 0) + In(/ + a)-x xe ln(3a),ln(4«):.Vx g ln(3o)n(4。)恒有 g(x)< m < h(x)成立 g'a)=Mr七+1>1 0<<10<ex - a < ex &l

44、t;ex aex-a , ex a g«) > 0, g(±)在ln(3a)sln(4<z)上 t,g(N)M = g(ln(4。)加即 ln(3a) - ln(5a) + ln(4a) < mhf(x) = + 1>0e-Q 夕i + &:,力(1)在ln(3,1口(4口)上 T, /孔 < 力(方巾山=h(ln(3a)i /r 、1 /A x 】r % m < ln(-a)m < ln(2a) + ln(4s) - 】n(3。)3 '用的取值范圍是)，%)6.設函數(n e N,旦內 A 1/ £ N)

45、（I ）當x=6時求1 +1n的展開苴中二項式系數最大的項;/(2x) + 2)（II）對任意的實數&證明尸（元）（尸（工）局（用的導函數）;（皿）是否存在N,使得 若不存在,請說明理由.伍+ 1加恒成立?若存在，試證明你的結論并求出的值;C /（I ）解：展開式中二項式系數最大的項是第4項，這項是620= 2/(,)證法二:>2 1 + ；4"(2)="Mg 1 + ；2f(x = 2l + -故只需對14n進行比較。yg(x) = x-lnx(x> 1)右)(工)二 1 一；=小 J =。子旦 M-1令君 V ，有x 天，由工，得x 1因為當。<

46、;工<1時，g(H<0, 且(”單調遞減；當1工<+e時，g(i)>。，式1)單調遞增，所以在=1處g(月有極小值1故當丈1時，且(才)且6 = 1,從而有尤,亦即尤>ln尤+故有(1 +力 >必1? +力恒成立。所以2x) + /(2)32f(x),原不等式成立。(III)對meN ,且用1加！ I m) I m2 +1 1 1 1-1-，*+ ' + * ，|-2! 3!m!2 + - +2x111_ +3x21 1-. * + k(k-l) m(m-l)。1 、二3 一一 3 mc4 >0(氏=234/、m)2<fl+1 <3

47、又因,故 l丹32<fl + 'I <3<3nV I "3,從而有 北式 k) 成立，2n < vf 1 + 1 < 3n即存在 =2,使得kJ恒成立。6 .函數在實際中的應用1-兩縣城A和B相距20km,現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理 廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影 響度之和，記C點到城A的距離為x km,建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計 調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與

48、所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k，當垃圾處理廠建在的中點時, 對城A和城B的總影響度為0. 065.（1）將y表小成x的函數； （11）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧義鳥上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和 城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離;若不存在，說明理由。47 7 y +解:(1)如圖，由題意知 AC_LBC, BC =4007 , x2其中當n = 1。®時，y=0. 065,所以k=9400-x2(0<x<20)4y =-y +所以y表示成X的函數為廠設 m x2 = 400 x2 因為 1600血成<400,所

49、以 4(4°°一網)(4°°一牡)<4X240X240, 9 mlni2>9X 160X 16049,49 .m-n1An9m. 11小y l () =13 + (1) 2 (13 + 12)mfimri 400400mn4004n 9m16當且僅當m n即n = 240巾=160時取»49y +下面證明函數 瓜400-m在（0, 160）上為減函數，在（160, 400）上為增函數.% 一 % = 十 -TT設 0<nil<in2<160)則網 400-g(且十)400 -m29的-m2)400 - m 400

50、- m2里舊工一網)mym2 (400 - )(400 - m2)mxm2 (400 - m1 )(400 -m2)加4(4。-)(40。-%)一啊嗎Jmm2 (400 m )(400因為 0mlm2<160,所以 4d°°一呵）（40°嗎）>4X240X2404(400-町)(400嗎)-9叫叫09 mlm2<9X 160X160 所以 %(400-叫)(400-恤)（啊一班） 所以4(400-m1 )(400-m2)-9m)n4r t Jv - 町牡(400-g)(400%)即 >為函數 相400-m在（0, 160）上為減函數.同理，

51、函49y = j-H數 , m 400在(160,400)上為增函數，設 160<ml<m2<4007 則400 -m24(400 - ms )(400 一機會)- 9 加1m )(林？犯)用M式400犯)(400啊)4(400- /;?! )(400 - ) - 9m1m2 所以 gm式400 網)(400 m2),4(400 - m. )(400 - mJ -八49(m2 一 抓)! < 0y =: 所以町/(400)(400 -/)即<當函數, m 400-m在(160, 400)上為增函數.所以當川二160即，=4加時取蔡:"函數y有最小值, 所

52、以弧4E上存在一點，當工=4而時使建在此處的垃圾處理廠對城人和城b的總影響度最小.7.函數與數列綜合1,已知函數/與函數y=而刁(">°)的圖像關于宜線二/對稱.(1)試用含。的代數式表率函數/(,)的解析式，并指出它的定義域;(2)數列中，%=1,當月之2時，數列也/中，4=2,踵=優(yōu)點"3 )在函數工)的圖像上，求儀的值;(3)在(2)的條件下，過點P”作傾斜角為W的直線乙，則'"在y軸上的截距為3(" + ” = L23), 求數列1%的通項公式.分析：本小題主要考查反函數的概念、性質、直線、數列等基本知識，考查運用數學歸納

53、法證明問題 的方法，考查分析問題和解決問題的能力。轉化(化歸)思想，解：(1)由題可知：/(”與函數尸擊(1) (口>°)互為反函數，所以， 市)=亍 + 1, (>0)p« %1 (桂=1,2,3,)S料 % + (2)因為點J '''在函數/的圖像上，所以，打一。 ("123,)2S = 一1 +1在上式中令a=1可得：'-a，又因為，% T,M=A=2,代入可解得.所以，/G) = Y+l,口網Q 2 + (*)式可化為:« 一% = 123,)鼠二一(3)直線乙的方程為：'X *,伍= 121)

54、,y -一樂j_(4+1)在其中令比=0,得,，又因為乙在y軸上的截距為3 所以，明=5伍"+1),結合式可得：3%+2由可知:當自然數心2時,S"叫s,i=(%+此-1,兩式作差得：九3+1.結合式得；(孔一 3瓦一+3% =伍一1瓦_+1 (之2/三N)在中，令網=2,結合為 =1,可解得：4=1或2,又因為：當心2口寸，%>田，所以，舍去映=1，得的=2.同上，在中，依次令丹=3/ = 4,可解得：% =3, % =4猜想：="伍£可).下用數學歸納法證明.(1)加=123時，由已知條件及上述求解過程知顯然成立.(2)假設典二上時命題成立，即

55、知二女化三根且女之3),則由式可得；/23/+34用=MJ+i女2一女十1£1 二或上+1把4 =化代入上式并解方程得：k-2k2k+l /左一1) + 1 nk? k+i=- < 0即 =由于人23,所以，k-22-k,所以，女2符合題意，應舍去，故只有4川=女+ 1.所以，丹=女+ 1時命題也成立.綜上可知；數列L的通項公式為="2、已知函數"""E點乙昆，乃)是函數/(x)圖像上的兩個點，且線段4P2的中點尸的橫坐標為5.求證：點尸的縱坐標是定值；若數列也"的通項公式為',求數列向/的前川項的和鼠;若優(yōu)mN時，不等

56、式心 力川恒成立，求實數的取值范圍.解：由題可知：X2=,所以，”百啟）+/（©=*+7r6洋事4 ' +4A- +44X| +412 + 41期工期 1= 了丁 : 丁一、丁1 -T J 2 A"*2（4）+4 - 2（4*+* +4）- 2點尸的縱坐標"=-T = i是定值，問題得證.由可知：對任意自然數犯又加1 2恒成立.%=廬+廬+膽斗由于 I陽J I掰1 I小，故可考慮利用倒寫求和的方法.即由于:g” =：(m-1)+2/=幺3*1)所以，26公力=（3樹-1）.兒+1=*（3加+ 2）E 用 rM + l/ I<I2af>l（-1<0J 5陽Sm+等價于 13機-1 3楙+ 2J依題意，式應對任意用mN恒成立.顯然Q>0,因為屋>° （mwN ）,所以，需且只需藐二？一藐用< 對任意加£N恒成立.即：心藐三 對用6及恒成立./、4- 2/- / 3/M + 5 3wi + 29.e(ni - -_:&