自動控制原理第4章控制系統(tǒng)的根軌跡

1、 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論例題及習(xí)題第第4章章 控制系統(tǒng)的根軌跡控制系統(tǒng)的根軌跡 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論內(nèi)容概要內(nèi)容概要控制系統(tǒng)的根軌跡常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則零度根軌跡的繪制規(guī)則利用根軌跡進行性能分析，包括穩(wěn)定性分析，及動態(tài)性能的分析參數(shù)根軌跡和根軌跡族滯后系統(tǒng)根軌跡根軌跡的繪制根軌跡的應(yīng)用廣義根軌跡 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論 注意問題：注意問題： 1 注意開環(huán)傳遞函數(shù)要整理成零極點形式注意開環(huán)傳遞函數(shù)要整理成零極點形式 2 重點掌握常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則，注意步驟不能省略。重點掌握常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則，注意步驟不能省略。 3 開環(huán)零極點一定要區(qū)別標(biāo)出，開環(huán)零極點一定要區(qū)別標(biāo)出

2、， 開環(huán)零點用開環(huán)零點用o表示，開表示，開環(huán)極點用環(huán)極點用x表示；關(guān)于根軌跡分支數(shù)：等于閉環(huán)極點的表示；關(guān)于根軌跡分支數(shù)：等于閉環(huán)極點的個數(shù)，等于閉環(huán)特征方程的階次個數(shù)，等于閉環(huán)特征方程的階次 4 關(guān)于漸近線的數(shù)量關(guān)于漸近線的數(shù)量 5 關(guān)于實軸上的根軌跡關(guān)于實軸上的根軌跡 6 分離點的概念，分離角的問題分離點的概念，分離角的問題 7 如果漸近線與虛軸相交，則必有根軌跡分支與虛軸相如果漸近線與虛軸相交，則必有根軌跡分支與虛軸相交，因此必須要解與虛軸的交點交，因此必須要解與虛軸的交點3第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論 注意問題：注意問題： 8 如果存在復(fù)平面上的開環(huán)零極點，一

3、定要求出射角如果存在復(fù)平面上的開環(huán)零極點，一定要求出射角（極點）或入射角（零點）（極點）或入射角（零點） 9 關(guān)于分離點的判斷：關(guān)于分離點的判斷： 一般存在于實軸，但如果復(fù)平面上可能存在根軌跡相遇一般存在于實軸，但如果復(fù)平面上可能存在根軌跡相遇的情況，也不能排除。分離點在求取的時候涉及解高階的情況，也不能排除。分離點在求取的時候涉及解高階代數(shù)方程，注意試探的原則，從實軸上存在根軌跡的部代數(shù)方程，注意試探的原則，從實軸上存在根軌跡的部分，且一般是分別從兩個實極點出發(fā)的分支相遇的部分分，且一般是分別從兩個實極點出發(fā)的分支相遇的部分試探。試探。 如：某系統(tǒng)存在如：某系統(tǒng)存在4個極點，分別為個極點，分

4、別為0，-1，-3，-4，兩個，兩個開環(huán)零點，分別為開環(huán)零點，分別為-2，-6，試判斷可能存在幾個分離點？，試判斷可能存在幾個分離點？ 若有若有5個極點，分別為個極點，分別為0，-1，-3，-4，-5，兩個開環(huán)零，兩個開環(huán)零點，分別為點，分別為-2，-6，試判斷可能存在幾個分離點？，試判斷可能存在幾個分離點？4第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論B 4-9 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點分布如圖所示，試決定實軸上的根軌跡。-6-5-4-3-2-101-1.5-1-0.500.511.5Root LocusReal AxisImaginary Axis-3.5-3-2.5-2-1

5、.5-1-0.500.5-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2Root LocusReal AxisImaginary Axis-2.5-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5Root LocusReal AxisImaginary Axis-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5Root LocusReal AxisImaginary Axis5第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論B4-10(21)01, 2,akknm，mnzpnimjjia116第4章 例題及習(xí)題講解

6、 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-8-7-6-5-4-3-2-101-5-4-3-2-1012345Root LocusReal AxisImaginary AxisB4-11_1分離點：-1.427第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-3-2.5-2-1.5-1-0.50-8-6-4-202468Root LocusReal AxisImaginary AxisB4-11_2分離點：s=-2.46568第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-10-8-6-4-202-6-4-20246Root LocusReal AxisImaginary AxisB4-1

7、2_1與虛軸交點增益30，坐標(biāo)6sj 9第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-5-4-3-2-101-4-3-2-101234Root LocusReal AxisImaginary AxisB4-12_2與虛軸交點增益 ，坐標(biāo)1 7989.sj 4 58 94.s 10第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論B4-13)parctgarctg 11(21)()01, 2,mnijijijjpkz pp pk，490p 11第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234Ro

8、ot LocusReal AxisImaginary Axis12第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論極點（-1,j）的出射角13第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論1(21)(04563.490 )9071.6 zk1180012909071 6.zarctgarctg 11(21)()ijij imnzz zp zjjk14第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.2-5-4-3-2-1012345Root LocusReal AxisImaginary Axis-0.5-0.

9、4-0.3-0.2-0.100.1-3-2-10123Root LocusReal AxisImaginary Axis-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.050.50.60.70.80.911.11.21.31.4Root LocusReal AxisImaginary Axis與虛軸交點增益6.670 8165.sj 15第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論12( )( )()()G s H ss ss 4-14等效開環(huán)傳函16第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-6-5-4-3-2-1012-4-3-

10、2-101234Root LocusReal AxisImaginary Axis17第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論B 4-15 圖B4-4給出若干系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點分布示意圖，試概略繪出對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡草圖。18第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-7-6-5-4-3-2-101-1.5-1-0.500.511.5Root LocusReal AxisImaginary Axis-2.5-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5Root LocusReal AxisImaginary Axis19第4章 例題及習(xí)題

11、講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5Root LocusReal AxisImaginary Axis-6-5-4-3-2-101-1.5-1-0.500.511.5Root LocusReal AxisImaginary Axis20第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-7-6-5-4-3-2-10123-5-4-3-2-1012345Root LocusReal AxisImaginary Axis-10-8-6-4-202-6-4-20246Root LocusReal AxisIm

12、aginary Axis21第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5-8-6-4-202468Root LocusReal AxisImaginary Axis-7-6-5-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345Root LocusReal AxisImaginary Axis22第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論23第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-12-10-8-6-4-2024-8-6-4-202468System: sysGain: 3.08Pole: -0.845

13、 - 1.97e-008iDamping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 0.845Root LocusReal AxisImaginary Axis4-162 2sj 分離點-0.845，與虛軸交點增益4824第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-10-8-6-4-20246810Root LocusReal AxisImaginary Axis4-16) 1.250() 15 . 0()()(2sssKsHsG25第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-12-1

14、0-8-6-4-20246-10-8-6-4-20246810Root LocusReal AxisImaginary Axis出射角-45與虛軸交點2 2sj 4-16（3）)84()()(2sssKsHsGg26第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234Root LocusReal AxisImaginary Axis4-17（1）=0分離點-0.42262sj 27第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論28第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-3-2.5-2-1.5-1-0.50-8-6

15、-4-202468Root LocusReal AxisImaginary Axis4-17（1）0，kg=4沒有分離點，不存在與虛軸相交問題。1132324*( )( )324324ssG s H sssssss29第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-2.5-2-1.5-1-0.500.5-8-6-4-202468Root LocusReal AxisImaginary Axis4-17（1）0，kg=81132328( )( )328328ssG s H sssssss30第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5

16、-8-6-4-202468Root LocusReal AxisImaginary Axis31第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論若給出傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的分子項num為負(fù)，則利用rlocus函數(shù)繪制的是系統(tǒng)的零度根軌跡。（正反饋系統(tǒng)或非最小相位系統(tǒng)）221(3)(3)3( )( )(1)(2)(1)(2)ggKsKsG s Hss sss ss31正反饋開環(huán)傳遞函數(shù)-10-8-6-4-20246810-1.5-1-0.500.511.5Root LocusReal AxisImaginary Axis32第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-40-30-2

17、0-1001020-30-20-1001020300.7070.707Root LocusReal AxisImaginary Axis與虛軸交點分離點2111002103242002 2143 dddddd9gK 0.94d33第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論Root LocusReal AxisImaginary Axis-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-10123450.080.170.280.380.50.640.80.940.080.170.280.380.50.640.80.941234512System: sysGain: 16.5Pole:

18、-0.896 + 0.896iDamping: 0.707Overshoot (%): 4.32Frequency (rad/sec): 1.27Root LocusReal AxisImaginary Axis-15-10-50-10-8-6-4-202468100.120.260.40.520.660.80.90.970.120.260.40.520.660.80.90.972468101214System: sysGain: 16.5Pole: -0.895 + 0.896iDamping: 0.707Overshoot (%): 4.33Frequency (rad/sec): 1.2

19、716 510 20 8960 8960 8960 896.( )( )(. )(.)(.)G s H sssjsj 與虛軸交點2 5sj 4-1834第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論35第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論36第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論Root LocusReal AxisImaginary Axis-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10-10-8-6-4-202468100.080.170.280.380.50.640.80.940.080.170.280.380.50.640.80.94246810

20、246810System: sysGain: 8.31Pole: -1.34 + 1.34iDamping: 0.707Overshoot (%): 4.32Frequency (rad/sec): 1.898 3149 351 341 341 341 34.()( )( )(.)(.)(.)sG s H sssjsj 4-1937第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論38第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論-40-30-20-1001020-30-20-1001020300.7070.707Root LocusReal AxisImaginary Axis-

21、10-9-8-7-6-5-4-3-2-10-25-20-15-10-50510152025Root LocusReal AxisImaginary Axis39第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論注意1）出射角要大致計算一下2） 注意根軌跡關(guān)于實軸對稱3）注意分離角與出射角是不同的概念；分離點與漸近線的交點是兩個不同的概念40第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論41第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論42第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論43第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論利用根軌跡分析系統(tǒng)性能利用

22、根軌跡分析系統(tǒng)性能包括包括1 1分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，2 2系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的K K值，或持續(xù)振蕩的值，或持續(xù)振蕩的K K值值3 3系統(tǒng)呈現(xiàn)阻尼振蕩的系統(tǒng)呈現(xiàn)阻尼振蕩的K K范圍，范圍，4 4閉環(huán)極點出現(xiàn)重根時的閉環(huán)極點出現(xiàn)重根時的K K值，值，5 5對于二階系統(tǒng)求取欠阻尼，過阻尼，衰減對于二階系統(tǒng)求取欠阻尼，過阻尼，衰減振蕩等情況下的振蕩等情況下的K K值，值，6 6穩(wěn)態(tài)誤差滿足某一條件的閉環(huán)極點等。穩(wěn)態(tài)誤差滿足某一條件的閉環(huán)極點等。注意系統(tǒng)有右半平面的開環(huán)極點或零點，注意系統(tǒng)有右半平面的開環(huán)極點或零點，并不意味著系統(tǒng)不穩(wěn)定，可能有不穩(wěn)定的并不意味著系統(tǒng)不穩(wěn)定，可能有

23、不穩(wěn)定的K K值，也可能存在穩(wěn)定的值，也可能存在穩(wěn)定的K K值值44第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論引起系統(tǒng)振蕩響應(yīng)時，必有一對閉環(huán)極點位于復(fù)平面上，因此引起系統(tǒng)振蕩響應(yīng)時的K值應(yīng)為分離點的增益；發(fā)生連續(xù)振蕩或持續(xù)振蕩均指系統(tǒng)有一對閉環(huán)極點出現(xiàn)在虛軸上的情況；連續(xù) 振蕩時的頻率即為與虛軸交點的s值。注意有時題目要求的是開環(huán)增益，有時是根軌跡增益，這兩個增益要明確45第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論常見題型常見題型一、給傳遞函數(shù)，畫根軌跡，并根據(jù)根軌跡分析二、繪制參量根軌跡，并分析參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響三、利用相角條件證明某些點是否在根軌跡上，證明根

24、軌跡的形狀，等四、給根軌跡，寫傳遞函數(shù)，并根據(jù)根軌跡分析系統(tǒng)性能，這種情況一般要根據(jù)寫出的傳遞函數(shù)求分離點和與虛軸的交點第4章 例題及習(xí)題講解46 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論47第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論48第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論49第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論50第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論51第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論52第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論53第4章 例題及習(xí)題講解 北京信息科技大學(xué) 自動控制理論54第4章 例題及