非線性系統(tǒng)中混沌的控制與同步及其應(yīng)用前景_一_

1、V第 1 6 卷 第 1 期 物理學進展 o l. 16, N o. 11996 年3 月PRO GR E SS IN PH Y S IC SM ac rch , 1996非線性系統(tǒng)中混沌的控制與同步及其應(yīng)用前景 (一)方錦清( 中國原子能科學研究院, 北京 102413)提要全文系統(tǒng)地綜述了非線性科學中一個富有挑戰(zhàn)性及具有巨大應(yīng)用前景的重大課 題 非線性系統(tǒng)中混沌的控制與同步及其應(yīng)用的主要進展, 包括了作者關(guān)于超混 沌同步及其控制等方面的研究成果。 我們對現(xiàn)有的各種混沌的控制方法和混沌的同 步原理提出了分類和評述。 概述了實驗與應(yīng)用的現(xiàn)狀, 指出了發(fā)展前景, 全文分為 ( 一) ( 二) 兩

2、篇, 第 ( 一) 篇以混沌控制的機理和方法為主要論題展開廣泛的討論; 第 (二) 篇以混沌的同步、超混沌的同步及其控制為論題, 同時包括眾多的實驗應(yīng)用的研 究, 進行較詳盡的綜述和分析評論, 比較完整地概括了迄今國內(nèi)外該課題的發(fā)展現(xiàn)狀 和主要趨勢?？傉摶煦? 當今舉世矚目的前沿課題及學術(shù)熱點, 它揭示了自然界及人類社會中普遍存在的復(fù)雜性, 有序與無序的統(tǒng)一, 確定性與隨機性的統(tǒng)一, 大大拓廣了人們的視野, 加深了對 客觀世界的認識。它在自然科學及社會科學等領(lǐng)域中, 覆蓋面之大、跨學科之廣、綜合性之強, 發(fā)展前景及影響之深遠都是空前的。 國際上譽稱混沌的發(fā)現(xiàn), 乃是繼本世紀相對論與 量子力學問

3、世以來的第三次物理學大革命, 這場革命正在沖擊和改變著幾乎所有科學和 技術(shù)領(lǐng)域, 向我們提出了巨大的挑戰(zhàn)。混沌的發(fā)現(xiàn)已過而立之年。首要的問題是, 混沌究竟有什么應(yīng)用和發(fā)展前景? 這是擺 在人們面前的一個重大課題及普遍關(guān)注的問題。特別是, 在我國改革開放和振興經(jīng)濟的大潮面前, 這類提問和呼聲更為強烈, 這確實也是深入開展混沌研究的巨大推動力。 由于混沌的奇異特性, 特別是對初始條件極其微小變化的高度敏感性及不穩(wěn)定性, 所謂“差之毫厘失之千里”的緣故, 長期以來有些人總覺得混沌是不可控的、不可靠的, 因而 本課題是國家留學回國人員重大科技資助項目、國家核科學工業(yè)基金資助項目及 IA EA 科研合

4、同課題。 混 沌發(fā)現(xiàn)的重要性論述請參閱: 詹姆斯格萊克著,“混沌開創(chuàng)新科學”( 張淑譽譯, 郝柏林校) ,1990, 上海譯文出版社。物理學進展16 卷2是無法應(yīng)用的怪物, 在應(yīng)用及工程領(lǐng)域中總被回避和抵制。前二次物理學革命所經(jīng)歷的驚 人類似的歷史, 使我們對此并不感到奇怪。但是, 九十年代以來國際上混沌同步及混沌控制的突破性進展, 由此激發(fā)起來的理論 與實驗應(yīng)用研究的蓬勃開展, 使混沌的可能應(yīng)用出現(xiàn)了契機, 為人們展現(xiàn)了十分誘人的應(yīng) 用與發(fā)展的美好前景 16 。混沌同步原理及混沌控制方法, 在 1990 年先后提出, 前者是由美國海軍實驗室的學者 P eco ra 和 C a r ro ll

5、 4, 5 提出, 他們在電子線路上首先實現(xiàn)了混沌同步, 后者是由美國馬里 蘭大學的物理學家O t t、G rebo g i 和 Yo rk e 提出, 稱為 O GY 方法 6 。同年, 該校的D it to 等人利用該法首次在一個物理系統(tǒng)上, 即磁彈性體上實現(xiàn)了對周期一的穩(wěn)定控制 7 。 隨后,國際上混沌控制方法及其實驗的研究迅速發(fā)展, 混沌同步也獲得進一步拓廣, 大大推進了 應(yīng)用研究, 諸如在電子學、機密通訊、密碼學、激光、化學、生物、腦科學及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等眾多領(lǐng)域中, 其都有很大的應(yīng)用潛力。在自然界及實驗室里, 由于學科、領(lǐng)域和部門的不同, 非線性系統(tǒng)多種多樣, 混沌行為 千奇百怪,

6、相應(yīng)的混沌控制及其應(yīng)用也是多姿多彩。 從混沌的類型上, 大體可以分為四大 類: 第一類只產(chǎn)生時間混沌, 第二類只產(chǎn)生空間混沌, 第三類同時產(chǎn)生時間與空間混沌, 第四類產(chǎn)生功能混沌。 跟豐富多彩的混沌行為相比, 目前的混沌控制方法及其應(yīng)用的研究, 只不過剛剛開始, 目前較多地集中在第一類混沌的控制與應(yīng)用上, 時空混沌的控制問題也 引起了注意, 其它類型的混沌控制尚待展開, 因此, 這是一個大有作為的廣闊領(lǐng)域。迄今, 混沌控制的目標有兩種: 一種是基于在混沌奇怪吸引子內(nèi)存在無窮多的周期軌 道, 控制的目標是對其中某個不穩(wěn)定周期軌道進行有效的穩(wěn)定控制, 根據(jù)人們的意愿逐一 控制所需的周期軌道, 該控

7、制的特點是并不改變系統(tǒng)中原有的周期軌道。另一種控制目標則不要求必須穩(wěn)定控制原系統(tǒng)中的周期軌道, 而只要通過可能的策略、方法及途徑, 達到 有效控制得到我們所需的周期軌道即可, 或抑制掉混沌行為, 即通過對系統(tǒng)的控制獲得人 們所需的新的動力學行為, 包括各種周期態(tài)及其它圖樣等。 以上兩種控制目標都各有妙 用。目前國內(nèi)外已經(jīng)提出了許多不同的混沌控制方法, 適于各種情形下的混沌控制, 從非線性系統(tǒng)的類型上說, 有些方法適于離散非線性系統(tǒng), 有些則適用于連續(xù)非線性系統(tǒng), 從 控制原理上可分為微擾反饋控制法及無反饋控制法。 前者反饋的對象可以分別為系統(tǒng)參 數(shù)、系統(tǒng)變量、外部參數(shù) (強度、相位等) , 等

8、等, 對不同對象的微擾反饋, 則產(chǎn)生不同的控制 方法, 它們的共同點都是利用與時間有關(guān)的連續(xù)小微擾作為控制信號, 當微擾趨于零或變 得很小時, 則將實現(xiàn)對特定所需的周期軌道或非周期軌道的穩(wěn)定控制, 也就是達到前面的第一種控制目標。 無反饋控制法用于實現(xiàn)第二種控制目標, 它與一些特定的所需軌道無 關(guān), 因而當系統(tǒng)達到控制時, 控制著的輸入信號并不趨于零, 并且受控后的動力學行為可 能與原系統(tǒng)的大不相同, 即產(chǎn)生了新的動力學行為?；煦缤? 從總體上說, 屬于混沌控制的范疇, 迄今已發(fā)現(xiàn)了幾種類型的混沌同步。第一種類型就是 P ceo ra 和 C a r ro ll 提出的同步方案 4 , 其中

9、存在驅(qū)動與被驅(qū)動 ( 響應(yīng)) 關(guān)系,他們把混沌系統(tǒng)分成穩(wěn)定部分和不穩(wěn)定部分, 把具有負的李雅普諾夫指數(shù)的穩(wěn)定部分復(fù) 制成一個響應(yīng)系統(tǒng), 然后把響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)用驅(qū)動系統(tǒng)中的驅(qū)動信號耦合起來, 由此1 期方錦清: 非線性系統(tǒng)中混沌的控制與同步及其應(yīng)用前景 (一)3可達到響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)同步。 近年來該類型同步已經(jīng)拓廣到非混沌同步 (即周期、準 周期同步等) 8, 9 及高階級聯(lián)同步 10 。第二種類型的混沌同步則是兩個不同混沌系統(tǒng)相互 耦 合, 由 Gapo no v2G rek ho v 及 其 合 作 者 在 研 究 流 體 湍 流 時 提 出 的 11 , 后 來 W infn l 和

10、 R ahm an 從理論上研究了在半導體激光陣列系統(tǒng)中的混沌同步的可能性 12 , 1994 年美國 R o y 和 T ho rnbu ry 及日本 S rgaw a ra、T ach ik aw a、T suk am o to 等人已分別獨立地從實驗 上觀察到兩個混沌的激光系統(tǒng)達到完全同步, 他們就是利用激光光強相互耦合的結(jié)果, 前 者用兩個 N d: YA G 混沌激光系統(tǒng) 13 , 后者用兩個 PQ S 混沌激光系統(tǒng) 14 , 達到異曲同工 之妙。L iu 和 L e ite 從數(shù)值上研究了兩個 CO 2 激光系統(tǒng)耦合, 也達到了混沌同步。 第三種 類型的混沌同步是通過與時間有關(guān)的小

11、微擾的連續(xù)反饋方法, 該法首先由 P y rugn s 提 出 15 , 他又與 T am a sev ic iu s 從實驗上驗證 16 , Y u 等人也用電子線路實現(xiàn) 17 。第四種類型 的混沌同步是由M a r itan 和 B anava r 發(fā)展的由噪聲感應(yīng)導致同步 88, 92 。 他們證明了兩個 混沌系統(tǒng)在相同的噪聲作用下, 只要噪聲強度足夠大, 則可能導致兩個系統(tǒng)實現(xiàn)混沌同 步, 混沌同步是混沌控制領(lǐng)域中一個極其誘人的課題, 由于具有巨大的應(yīng)用潛力, 引起了 國內(nèi)外的極大關(guān)注與興趣。我們知道, 表征非線性系統(tǒng)的混沌行為的主要特征量是所謂的李雅普諾夫指數(shù) , 它 刻劃了系統(tǒng)對初

12、條件的高度敏感性, 通常低維混沌系統(tǒng)只有一個 大于零, 上述混沌同步和混沌控制一般即指這種情形。但是, 實際上在自然界及社會經(jīng)濟等領(lǐng)域中廣泛存在著高維非線性系統(tǒng), 諸如在受控聚變托克馬克裝置中等離子體的不穩(wěn)定性 混沌現(xiàn)象, 亦與 無窮維有關(guān), 由多路 (多元) 激光器所構(gòu)成的總體激光系統(tǒng), 國家經(jīng)濟領(lǐng)域中自由市場、股市等復(fù)雜系統(tǒng), 等等, 它們可能存在一個以上正的李雅普諾夫指數(shù) i ( i = 1, 2, ) 的混沌 行為, 人們稱之為超混沌 1920 。于是, 自然地提出二是個問題: 一是能否實現(xiàn)超混沌同步?二如何實現(xiàn)超混沌控制? 這是兩個令人感興趣的挑戰(zhàn)性課題。P ece ra 和 C a

13、 r ro ll 特別強調(diào) 指出 4, 5 : 只有當響應(yīng)系統(tǒng)的條件李雅普夫指數(shù)都是負值時, 才能實現(xiàn)響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)之間的同步, V ie ira 及其合作者更明確地指出 8 : 當出現(xiàn)超混沌運動時, 則從混沌同步 轉(zhuǎn)變到不同步或立即喪失同步, 這意味著超混沌同步是難以達到的。果真超混沌難以實現(xiàn)同步嗎? 混沌控制方法是否能拓廣于超混沌控制? 超混沌同步 及超混沌控制的應(yīng)用發(fā)展前景如何? 等等, 這些都是混沌控制及其應(yīng)用中的新課題。我們的最新研究表明: 2225 對于某些非線性系統(tǒng), 在一定條件和適當?shù)耐椒桨赶?可以達到超混沌同步。 我們已經(jīng)用幾種典型系統(tǒng)作為例子, 諸如: 復(fù)數(shù)L o r

14、enz2ltnk en 系 統(tǒng)、R o ssle r 系統(tǒng)、雙耦合D uff ing 振蕩器及雙耦合V ande r D o l 振蕩器等, 分別實現(xiàn)它們及其高階級聯(lián)系統(tǒng)的超混沌同步; 同時, 我們還把混沌同步的諸種類型拓廣到超混沌同步中去, 并且采用一些反饋控制方法實現(xiàn)了對超混沌系統(tǒng)及其高階級聯(lián)超混沌同步系統(tǒng)中的 超混沌的穩(wěn)定控制 22 25 , 為混沌控制的應(yīng)用打開了新天地, 但是也有許多問題尚待進一 步深入探討。為了統(tǒng)觀全局, 我們在圖 1 中對迄今主要的混沌控制及混沌 ( 包括超混沌) 同步的各 種方法類型進行了分類和圖解。 從圖可見混沌控制方法與同步的研究迅猛發(fā)展的勢頭?；煦缈刂萍盎?/p>

15、沌同步的理論與實驗研究正在與日俱增, 國際上學術(shù)交流極為活躍和 頻繁, 1991 及 1993 年已在美國分別開過兩次實驗混沌方面的國際會議, 每年在美國和歐1 期方錦清: 非線性系統(tǒng)中混沌的控制與同步及其應(yīng)用前景 (一)5洲分別召開的非線性動力學會議 (D y n am ics D ay s) , 以及很多非線性科學的學術(shù)討論會 等, 都把混沌控制作為熱門的論題。國際上這一研究熱潮, 也引起了國內(nèi)學者的關(guān)注, 且各 種研究正在開展之中。本文將分成四部分比較系統(tǒng)地綜述和評論混沌控制、混沌同步、超混沌同步及其控制 在國內(nèi)外的最新進展。第一部分描述各種混沌控制方法, 按圖 1 中的分類逐一評述。第

16、二部分綜述各種混沌同步的類型; 第三部分概述超混沌同步及其控制, 最后概述它們的應(yīng)用 及其發(fā)展前景, 由于篇幅較長, 我們把上述內(nèi)容分成上、下兩篇, 上篇以第一部分內(nèi)容為中 心論題, 下篇以同步及應(yīng)用為論題。第一部分混沌控制的原理及方法一、引言混沌現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)的共同屬性, 而非線性系統(tǒng)比比皆是, 不論是物理的、化學的、生物的、地理的、經(jīng)濟的、工程的, 醫(yī)學的以及社會的系統(tǒng), 概不例外。 迄今, 從理論和實驗 都證實, 即使是最簡單的非線性系統(tǒng)也能產(chǎn)生十分復(fù)雜的行為特性。一些典型的數(shù)學物理模型可以概括一大類非線性系統(tǒng)的演化特性。 例如, 對單擺運動規(guī)律的深入研究, 已經(jīng)發(fā) 現(xiàn)它囊括了從激光現(xiàn)

17、象到超導的約瑟夫森結(jié)的高科技領(lǐng)域, 并拓展到上述眾多學科領(lǐng)域, 諸如生理學、心臟動力學、精神病學、生態(tài)學及經(jīng)濟計量學、社會人口學, 等等?；煦绗F(xiàn)象包含極其豐富的信息, 諸如各種周期態(tài)與非周期態(tài), 圖樣豐富多彩, 巧奪天 工, 不是藝術(shù), 勝似藝術(shù), 引起了人們極其廣泛的濃厚興趣。 于是, 從應(yīng)用的角度人們不難 設(shè)想, 只用很簡單的非線性元器件, 就能產(chǎn)生復(fù)雜而有用的功能。例如, 我們可以利用混沌現(xiàn)象在時間上、空間上及功能上的多樣性作為特殊的信息源, 用于信息存儲及通訊等目 的, 也可作為特殊信號發(fā)生器產(chǎn)生有用的周期信號。 但是混沌奇怪吸引子內(nèi)的軌線 (或信 息) 是高度不穩(wěn)定的, 瞬息萬變,

18、難以捕捉, 因此即使信息存儲下來, 也很快會改變, 往往難 以重復(fù)識別, 如不加以控制, 根本無法應(yīng)用。 因此, 長期以來在國際電子工業(yè)中, 盡量回避 混沌行為, 設(shè)法抑制混沌的出現(xiàn), 其它領(lǐng)域中對混沌也取類似的態(tài)度。 隨著研究的深入及應(yīng)用呼聲的高漲, 人們不得不考慮, 在深入認識混沌現(xiàn)象的同時, 能否采用人工方法對它 進行有效的控制。 最先想到的是, 通過適當?shù)貜耐獠靠刂普{(diào)節(jié)實際系統(tǒng)的某些參數(shù)條件, 以改善和提高系統(tǒng)工作性能, 如各種電子儀器設(shè)備、物理裝置 (包括粒子加速器、原子反應(yīng) 堆、熱核聚變裝置及激光系統(tǒng)等)。 人們力圖通過混沌控制, 使之成為當今研制新器件、新 裝置及高新技術(shù)的有力手

19、段的途徑。因此, 非線性系統(tǒng)中的混沌控制的主要任務(wù), 我們可以歸結(jié)為: 根據(jù)不同學科及領(lǐng)域 中人們的實際需要, 從理論和實驗兩方面, 研究如何從多種多樣的非線性系統(tǒng)所產(chǎn)生的混 沌奇怪吸引子中, 按照人們的意愿, 獲取所需的各種周期態(tài) ( 或各種信息等) 或非周期態(tài), 并能實現(xiàn)其穩(wěn)定的有效的控制。 或者說, 利用非線性系統(tǒng), 通過某種策略、方法及途徑, 獲 得人們所需的新的動力學行為。 從而為眾多領(lǐng)域提供應(yīng)用的原理、方法和技術(shù)基礎(chǔ)。迄今, 國內(nèi)外已經(jīng)提出各種混沌控制方法, 本部分將概述其中一些主要混沌控制方法 及其有關(guān)的實驗進展。物理學進展16 卷6二、參數(shù)微擾法O GY 方法1990 年, 美

20、國馬里蘭大學的物理學家奧特 (o t t)、格里博古 (G rebo g i) 及約克 (Yo rk e)三人首先從理論上提出控制混沌的方法 6 , 后來簡稱為 O GY 方法。 同年, 該校的迪托(D it to )、勞西 (R o u seo ) 及斯帕內(nèi) (Sp ano ) 三人從實驗上驗證了 O GY 方法的有效性 7 。 他 們選擇了帶狀磁彈體在磁場作用下的微擾實驗, 觀察其剛性變化。 實驗表明, 當磁場強度較弱時, 磁彈體直立著 (剛性較強) ; 當磁場強度逐漸增強時, 剛性減小, 彈性增大, 帶狀磁 彈體開始軟縮; 磁場繼續(xù)加大時, 磁彈體便進入混沌起舞狀態(tài)。 如何使這條磁彈帶進

21、行規(guī) 則的周期振動? 他們選擇了一條特定的周期軌道, 當這條磁彈帶的振動接近該軌道時, 就 給磁場一個小的擾動, 并適當?shù)卣{(diào)節(jié)這個微擾量, 則可看到磁彈帶馴服地進入所需的周期 態(tài)下振動; 一旦微擾撤消, 混沌再次產(chǎn)生。O GY 方法是基于混沌奇怪吸子有著極其稠密的不穩(wěn)定周期軌道?；煦缈刂频氖滓?務(wù)就是設(shè)法把其中任一條所需的周期軌道挑選出來, 并加以穩(wěn)定的控制。 為此, 他們選擇非線性系統(tǒng)中實際上易于測得和可調(diào)節(jié)的一個參數(shù), 并認為所有的周期軌道都是該參數(shù) 的函數(shù), 而與其它的參數(shù)無關(guān)。為了實現(xiàn)對某個特定的周期軌道 (也稱為不動點) 的穩(wěn)定控 制, 必須在系統(tǒng)靠近不動點時, 對參數(shù)值進行微擾,

22、 隨時間適當調(diào)整微擾量, 迫使所選的軌 道向不動點移動, 利用對參數(shù)所允許的最大擾動量, 經(jīng)過多次反復(fù)調(diào)整, 最終使所需的周期軌道穩(wěn)定住。如同上述對磁彈體的振動周期所作的控制那樣, 此法在實驗上是適用的有 效的。為了闡明上述基本思想及做法, 我們舉一個二維離散映象來討論, 即考慮:i+ 1 = F (i , P )(1)i R 2 , P (P o - oP m ax , P o + oP m ax )其中 P 為一個系統(tǒng)可得的參數(shù), oP m ax 為最大微擾量, 假設(shè) P = P o 時系統(tǒng)處于一種混沌吸 引子狀態(tài), 令 F = F (F , P o ) 為該混沌吸引子上要被穩(wěn)定控制的不穩(wěn)

23、定不動點。O GY 方法的控制策略就是, 從實驗上探測該系統(tǒng), 等待著, 一旦軌線靠近所期望的那個不動點時, 則開始對 P o 參數(shù)進行小微擾 oP , 使得 oP 1 oP m ax 1 , 經(jīng)過若干次迭代微擾后, 逼得下一個 狀態(tài)落入該不動點的穩(wěn)定方向上, 如此反復(fù)直到最后穩(wěn)定在該不動點上, 圖 2 示出了圖 2O GY 方法對鞍型不動點的控制圖象1 期方錦清: 非線性系統(tǒng)中混沌的控制與同步及其應(yīng)用前景 (一)7O GY 方法實現(xiàn)對鞍型不動點控制的物理圖象。其中 (a ) 為第 n 次迭代的 n 落在不動點 F 附近; (b ) 為經(jīng)對 P o 微擾后接近不動點; (c) 使下一步迭代到達

24、 F (P o ) 的穩(wěn)定流型上去, 一 旦達到之后便撤消微擾。該法的關(guān)鍵點是, 利用 (1) 式在不動點 F 及參數(shù) P o 附近的一階線性近似, 即i+ 1 = F (i , P i ) F + A (i - F ) + w (P i - P o )(2)或者i+ 1 A i + w 1 i (3)其 中, i+ 1 = i+ 1 - i 及 P i = P i - P o , 而 A = D F ( F , P o ) 是一個 n 2 的矩陣, w = ( 5F /5P ) (F , P o ) 是一個二維矢量。 由于不穩(wěn)定不動點 F 被嵌套在一個混沌吸引子內(nèi), 所以 A 的線性化將具有

25、一個特征值1 s 1 1 ( 相應(yīng)特 征矢量為 eu ) , es 及 eu 分別表示不動點的局域穩(wěn)定流形的方向和不穩(wěn)定流形的方向。令 f s 及 f u 是互為正交的基矢, 即有 f s eu = f u es = 0 及 f s es = f u eu = 1, 故 A = u eu f u + sesf s。 于是, 使 i+ 1 落到不動點 F 的局域穩(wěn)定方向上的條件為f u i+ 1 = 0(4)只要 i+ 1 接近 F , 則線性化 ( 3) 式成立, 且可應(yīng)用 ( 4) 控制條件, 不能導出 O GY 方法在 P i= P o + P i 時的線性控制定律u u P i = -f

26、 w f u i (5)只有當 P i 1 P m ax 1 時, 控制才起作用, 否則要令 P i = 0。 通常假設(shè) (5) 式中的分母不為零。 當 i+ 1 已經(jīng)落入局域穩(wěn)定流形方向之后, 雖然可置微擾 P i = 0, 但是由于線性化所產(chǎn) 生的誤差、系統(tǒng)測量的誤差及小噪聲諸因素的影響, 系統(tǒng)一般還會再次跑出穩(wěn)定流形方向, 于是, 在每次迭代中控制律 ( 5) 都在起作用, 以使逐次迭代點 i+ 1 都在不動點附近, 直 止最終落在不動點上, 即獲得對周期態(tài)的穩(wěn)定有效控制。上述導出的 O GY 方法的控制律 ( 5) 式與文獻 5 中所導的公式似乎略有不同, 實質(zhì) 上是等價的, 在文獻

27、5 中采用下列線性近似:F (P ) = F (P o + P ) F (P o ) + g P (6)可以證明: w 與 g 有下列關(guān)系:g = 1- D F (F , P o ) - 1w (7)以上方法可以拓廣到 n 維非線性映象, 或可以由龐加萊映象描述的連續(xù)非線性系統(tǒng)。 該法無須知道系統(tǒng)全局的動力學模型, 非線性映象可以利用時間延遲座標法, 從實驗測得的時間序列中構(gòu)造出來, 然后通過考察所期望軌道附近的映象迭代, 由該映象在所需的周 期軌道附近的線性控制律來達到穩(wěn)定控制?；煦缈刂浦杏袃蓚€問題值得討論。一是關(guān)于實現(xiàn)所需周期態(tài)的控制時間, 即達到所需周期態(tài)所花的平均壽命T。顯然, 從實用

28、角度看, 實現(xiàn)對混沌的穩(wěn)定控制所花的時間不能 無限長, 只能是有限長才是有意義的。 由于混沌轉(zhuǎn)變敏感地依賴于初始條件, 對于隨機選擇的初始條件, 存在一個指數(shù)型的概率分布, 對于大 T 情形, 則有概率:P (T) exp - (T/T) (8)控制所需的平均壽命T將隨 P m ax 的減少而增加, 并且對于 P m ax 小值情形,T遵循幕律物理學進展16 卷8關(guān)系:T (P m ax ) - 。O GY 方法已經(jīng)導出指數(shù) 的表達式:= 1+ 1 ln 1 u 1 /ln 1 s 1 - 1 (9)2顯然, 隨機選擇一批初始條件可以算出T與 P m ax 之間的關(guān)系, 計算結(jié)果表明: 隨著

29、P m ax增加, 平均壽命T成線性減少, 這就是說, 增加微擾限制量, 有利于減少控制所需的時間,另一個關(guān)注的問題是噪聲的影響, 研究噪聲影響只需在線性化方程 ( 2) 或 ( 3) 的右邊 加上一個隨機項 i , 然后求解朗之萬方程。這里 i 為隨機變量, 為噪聲強度。i 具有下列特性:i = 0 及i j = 0 當 ij 時, 并且具有與 i 無關(guān)的概率密度, 從局域穩(wěn)定性條件 (4) 可知, 噪聲與 f u 的點積將包括在 i+ 1 中, 故得 u1 = u , 這里 u = f u i。 于是, 倘i+ i ii若噪聲是有界的, 即1 u 1 m ax , 則受控的不動點的穩(wěn)定性將

30、不受影響。只要這個有界足夠 的小即可, 使得 m ax m ax 倘若該條件不被滿足, 則噪聲可以把一條軌道撞出不動點附近 的平行四邊形以外, 在概率密度分布的尾部, 低概率所引起的越軌現(xiàn)象尤其令人關(guān)注。 不 過, 這種越軌現(xiàn)象通常很少發(fā)生。 要是經(jīng)常發(fā)生那 O GY 方法就不靈了, 事實證明, O GY 方法對混沌的控制是有效的, 基本上不受噪聲的影響。 因此, 該法已廣泛應(yīng)用于各種非線 性動力學系統(tǒng), 包括力學、光學、化學、生物、環(huán)境等學科領(lǐng)域中。O GY 方法的主要優(yōu)點是: 一, 無須預(yù)先知道所研究系統(tǒng)的動力學模型, 龐加萊映象可 由實驗測量的時間序列用延遲座標法來獲得, 二, 是每次映

31、象迭代所需的計算量最少, 三,所需的參數(shù)變化很少。四, 必須估算所需的不穩(wěn)定不動點的某些性質(zhì), 但是可以粗估即可。在特征值及特征矢量測量不精確的情況下也可以實現(xiàn)混沌控制。五, 在延遲座標下達到控 制后嵌套在混沌吸引子中的不穩(wěn)定軌道只有微小變化, 基本上不變。 六, 該法不限于有周 期外力驅(qū)動的力學系統(tǒng), 可以拓廣到由非線性映象表征的任何系統(tǒng)。 也就是說, 它只適用 于離散動力學系統(tǒng)及可用龐加萊映象表征的連續(xù)動力學系統(tǒng), 通常只能控制低周期的軌道。 針對 O GY 方法的不足之處, 已經(jīng)提出了一些改進的 O GY 方法, 下面將分別介紹。三、O GY 方法的改進在實驗中發(fā)現(xiàn) O GY 方法存在一

32、個主要問題是: 在控制過程中我們要在 ti 時刻開始, 把參數(shù)從 P i- 1 變化到 P i , 這里 ti 為軌線第 i 次貫穿龐加萊截面的時間。倘若應(yīng)用時間延遲 座標法, 則可證明: 由實驗截面所得到的映象 F , 不僅取決于新的參數(shù) P i (O GY 方法隱含 了 該 假 設(shè)) , 而 且 還 依 賴 于 前 面 的 參 數(shù) P i- 1。 因 此, 為 了 更 好 地 實 現(xiàn) 控 制, N it sch e 及 D re ssle r 對 O GY 方法的控制律進行了改進 26 。我們?nèi)杂懻撋胁恢老到y(tǒng)的動力學方程, 假設(shè)系統(tǒng)的唯一信息來自實驗測量的時間 序列。 測量結(jié)果從數(shù)學上用

33、態(tài)空間M 上某個標量函數(shù) Z 來表示, 即 Z M /IR 。若 y ( t)M 為 t 時刻系統(tǒng)的某個態(tài), 則實驗所得的時間序列 z ( t) = Z (y ( t) )。再假設(shè)已產(chǎn)生的吸引子就在某個流形M M 上。利用具有延遲 T 的時間座標及嵌套維數(shù) d , 則構(gòu)成 d - 維延 遲座標矢量 x ( t) = (z ( t) , z ( t- T) , , z ( t- (d - 1) T) ) I /IR d , 適當選擇 d 和 T, 則存在一個從流形M 到子流形M x (d- 1) T。i我們之所以希望能通過考察 x ( t) 來控制原來系統(tǒng)的 y ( t) , 原因是所引入的嵌套

34、 c 給 出 x ( t) 與 y ( t) 之間的雙向單射關(guān)系, 映象 c 與系統(tǒng)的動力學方程有密切關(guān)系, 并且一般 依賴于參數(shù) P i 的實際值?；谠撌聦? 用 c P 取代 c , 則 i 在 ti 時刻在截面內(nèi)與原狀態(tài)的關(guān)系為:P i- 1 (y ( ti ) = c - 1= c - 1c, z( ti - T) , , z( ti -(d - 1) T)P i- 1 x ( ti )(11)此處已利用了 (d - 1) T (d - 1) T 的條件被破壞, 例如只有2 ( ti - ti- 1 ) (d - 1) T, 則 (15) 式直截了當?shù)乇煌茝V為:i+ 1 = F (i

35、 , P i- 2 , P i- 1 , P i )(16)即這時還必須考慮進前面一個參數(shù)值 P i- 2 的依賴性, 自然可以按此類推。不過, 我們的討 論限于對于所有 i 存在 ( ti - ti- 1 ) (d - 1) Tm 情形。從 (15) 式出發(fā), 我們可對 O GY 方法的算法進行修正, 這時有下列線性近似:i+ 1 A i + v P i- 1 + u P i(17)其中, A = D i F (F , P o , P o ) , v= (5F /5P i- 1 ) (F , P o , P o ) 及 u = (5F /5P i ) (F , P o , P o )。 由于

36、穩(wěn)定控制要求 f ui+ 1 = 0, 則導出新的控制律:P i = - u f u f ui -f uvuf u P i- 1 (18)當不考慮前次參數(shù)微擾 P i- 1 對映象的影響時, 即 v= 0, 則上式退化為 O GY 方法的線性控制律 (5)。物理學進展16 卷10改進的 O GY 方法的控制律 ( 18) , 從原理上說, 應(yīng)該再次適用于沒有測量誤差或噪聲 的所有情形, 在控制起作用的時候, P i 0, 控制要求的 f ui+ 1 = 0并不確保 i+ 2 也將落 入該穩(wěn)定流形, 其原因是 F 是 F (, P o , P o ) 的不動點, 但不是 F (, P o + P

37、 i , P i+ 1 ) 的不動 點。倘若不加進一步微擾 P i+ 1 , 則 F (, P o + P i , P o ) 就確定了 i+ 2。倘若根據(jù)改進的控制 律 (18) 來選擇微擾 P i+ 2 , 則 i+ 2 就將只呆在 F 的局域穩(wěn)定流形 ( 即 f ui+ 2 ) = 0) 上, 這 點利用 (17) 式則易于驗證。他們已經(jīng)將這種改進的 O GY 方法的控制律應(yīng)用于杜芬振蕩器中的混沌控制, 糾正 了原先 O GY 方法無法控制的情形。但是, 它并非對所有情形都是充分有效的。當考慮1 (f uv) /(f uu ) 1 1 情形時亦如此。若把偏差零的 i 的差值視為隨機的,

38、則 ( 18) 式等價于一個非穩(wěn)的自回歸序數(shù)1的過程 27 , 即 (P i ) 2 的期望值將隨 i 的增長一直發(fā)散到某個 i,1 i 將超過所允許的最大微擾 P m ax , 因而控制范圍也失去了。為了避免 P i 增長所致的 不穩(wěn)定性, 文獻 25 提出了一種變通的辦法, 即試圖尋求 P i 的一種控制律使得 P i+ 1 將自動地變?yōu)榱?。為? 要求系統(tǒng)只穩(wěn)定下一個 i+ 2, 但 要一步到位, 且使得 P i+ 1 = 0, 即要 求:f ui+ 2 = 0及 P i+ 1 = 0(19)只要利用兩次 (17) 式, 則由 (19) 要求導出了新的控制律為:u 2P i = -f u

39、 + f vf ui -u f uvP i- 1 (20)其中分母不為零:u uuu f uu + f uv新的 O GY 方法的控制律要求可以達到控制過程自洽, 由于假設(shè)了理想的線性化, 原 則上在無噪聲及測量誤差時, 可以在 i+ 3 迭代時停止微擾, 即 i+ 3 迭代會自動落入穩(wěn)定流 形。但是, 由于對 (17) 應(yīng)用了二次線性化所導致的誤差, 實際上不象那么理想, 這就總要幾 經(jīng)微擾使控制律在每 i 次迭代都發(fā)揮作用才好。四、O GY 方法的進一步改進如何實現(xiàn)對混沌奇怪吸引子中的高周期態(tài)及高維動力學系統(tǒng)的混沌控制, 是O GY 方法進一步改進的主要方向, 混沌控制的物理實質(zhì)就在于把具

40、有正值的李雅普諾夫指數(shù) 如何變成負值, 從而把不穩(wěn)定軌道穩(wěn)定住, 根據(jù)這種分析, O t t、G rebo g i 又與 R om e ira s、 D ayw an sa 合作, 采用系統(tǒng)控制中的所謂“極點移動技術(shù)”, 對 O GY 方法進行了進一步的 改進 28 。讓我們來討論離散動力學系統(tǒng)i+ 1 = F (i , P )(21)其中 i 1 /IR n , P 1 /IR , F 映象對兩個變量都是充分光滑的, P 為外部可調(diào)的實參數(shù), 在 某個時間內(nèi)要求:1 P - P o 1 (22)P o 為額定值 (n om in a l v a lu e) , 假設(shè)在 P = P o 下系統(tǒng)

41、有一個混沌吸引子, 現(xiàn)在的目標是: 以 這樣一種方式隨時間 i 改變參數(shù) P 使得混沌吸引子的流域中涉及幾乎所有的初始條件,1 期方錦清: 非線性系統(tǒng)中混沌的控制與同步及其應(yīng)用前景 (一)11從而系統(tǒng)的動力學都收斂到該吸引子中所期望的時間周期軌道上。如O GY 方法已述, 由 于混沌動力學的遍歷特性可以確保態(tài)軌線最終能進入所要穩(wěn)定的U PO 的鄰近, 一旦進 入, 我們即加上穩(wěn)定反饋控制律, 以控制軌線朝所期望的U PO 運動, 并穩(wěn)定住。令 F (P ) 表示該混沌吸引子上的一個不穩(wěn)定不動點, 對于 P 接近于 P o 及在不動點 F(P o ) 附近情形, 可用下列線性映象近似映象 (21

42、) :i+ 1 - F (P o) = A i - F (P o ) + B (P - P o )(23)這里 A 為雅可比矩陣 (n n ) , B 為 n 維列矢量, 即A = D F (, P ) 及 B = D P F (, P )且在 - F (P o ) 及 P = P o 處計算這些偏導數(shù), 并假設(shè)參數(shù) P 對時間的依賴性是變量 i 的 如下線性函數(shù)形式P - P o = - K T i - F (P o ) (24)這里 KT 是一個1n 矩陣, 主要的問題是想法確定 K T 使得不動點 F (P o ) 變成穩(wěn)定的。把(24) 代入 (23) , 得i+ 1 - F (P o

43、 ) = (A - B K T ) i - F (P o ) (25)此式表明: 只要矩陣 A - B KT 是漸近穩(wěn)定的, 即矩陣的所有特征值的模小于1, 則不動點將 是穩(wěn)定的。實際上, 如何確定 K T 使得矩陣A - B KT 具有特定值的問題是系統(tǒng)控制論中所熟知的 “極點移動技術(shù)”, 我們下面對此項技術(shù)給予簡介。矩陣 A - B KT 的特征值稱為“調(diào)節(jié)器極點”( reg u la tor P oles)。把這些極點通過選擇具 有給定的 A 和 B 的 KT 置于所期望的位置上的問題就是“極點移動問題”。4. 1極點移動問題。以 這樣的一種方式來確定矩陣 K T 使得矩陣 A - B

44、KT 的特征值具有特定 ( 復(fù)數(shù)) 值p., , pn 。我們給出存在極點移動問題的唯一解的必要和充分條件, 并介紹一種求解的方法(A ck e rm a n n s 方法) 29 。(1) 極點移動問題具有一個唯一解, 如果且僅僅如果 n n 矩陣C = (B AB A 2B A n - 1B ) ,的秩為 n , C 稱為可控制矩陣。(2) 極點移動問題的解由下式給出k T = (n - a n 1 - a 1 ) T - 1這里 T = CW 以及W =a n- 1 a n- 2 a 1 1a n- 2 a n- 3 10a 1 1001000這里a 1 , , a n 是 A 的特征多

45、項式的系數(shù),物理學進展16 卷121S I -A 1 = sn + a 1 sn- 1 + + a n及1 , , n 是 A -B K T 所期望的特征多項式的系數(shù)。n7j = 1(s- pj ) = sn + 1 sn- 1 + + n4. 2關(guān)于控制參數(shù)迄 今我們的討論都是建立在線性方程 ( 25) 之上, 因而只應(yīng)用于在 F ( P o ) 的局部區(qū) 域。另一方面, 參數(shù)微擾大小的限制由 (22) 給出, 當與 (24) 合并時, 得出1 K T i - F (P o ) 1 (26)此式定義了寬度為2/1 K T 1 的條域, 我們只有在這個條域內(nèi)根據(jù) (24) 來選擇 i 才能起控

46、 制作用。當 i 在這個條域外面時, 我們選擇使控制參數(shù)留在它的額定值即 P = P o 上。也有其它選擇的可能。總之, 對于任意的 i 不必接近 F (P o ) , 由下式確定控制P - P o = - K T i - F (P o ) - u (- 1 K T i - F (P o ) 1 )(27)這里 u 是單位階躍函數(shù) (u n it s tep f u n c t ion ) , 其定義為0, 0應(yīng)當指出: KT 可以有許多不同方式來選擇, 原則上, 只要選擇在單位園內(nèi)調(diào)節(jié)極點都滿足控制目的即可。4. 3達到控制的時間只有當 i 落下狹窄的條域 (26) 之內(nèi), 控制才起作用 (

47、即 P P o )。這樣, 對于小 , 一條 典型的初始條件將產(chǎn)生一條混沌軌線, 只要無控情形不變, 軌線就會直到 i 落入這個條 域, 即使如此, 因為非線性并不包括在線性方程 ( 25) 中, 該控制可能不會把軌線驅(qū)入不動 點。在此情形下軌線將離開條域, 繼續(xù)作混沌地游蕩, 就象軌線不受控制一樣, 由于在無控 混沌吸引子上的軌線是遍歷的, 所以在某時刻軌線最終會滿足 (26) 式, 且充分地接近所期 望的不動點, 而起控制穩(wěn)定作用。如在最前面討論 O GY 方法時已提到的那樣, 在實現(xiàn)這種穩(wěn)定控制過程中, 這種混沌 轉(zhuǎn)變的平均壽命T敏感地取決于特殊軌線的初始條件。對于在吸引子流域中隨機地選

48、擇的初始條件混沌轉(zhuǎn)變壽命的分布是指數(shù)型的 2829 :(T) 1 exp -T(28)TT對于大 T,T是混沌轉(zhuǎn)變的特征壽命, 現(xiàn)在的情況下稱為達到控制的平均時間 ( 或平均壽命)。對于小 情形, 可以對T隨 的變化標度進行估算 28 。4. 4高周期的控制上述對 O GY 方法的進一步完善的討論, 目的是推廣到對混沌吸引子中的高周期軌 線的控制。假設(shè)我們要穩(wěn)定的周期軌道的周期為 T , 最直接拓廣用法是取所研究映象 T 次迭代, 因為 T 次迭代映象, 所以在周期軌線上的任何點都是一個不動點, 這樣我們就可1 期方錦清: 非線性系統(tǒng)中混沌的控制與同步及其應(yīng)用前景 (一)13以應(yīng)用上述控制方法

49、。不過, 此法對噪聲過度敏感, 特別是對所期望的周期軌線的周期較 長的情形。討論此法之后, 我們將指出已有更好的另一種做法。假設(shè)周期軌線用 iF (P ) 表示, 這里 ( i+ T ) F (P ) = iF (P )。同時引進具有 n n 的 T 矩陣A i 的集及 T 列矢量 B i 的集 (維數(shù)為 n ) , 這里A i = A i+ T = D F (, P )B i = B i+ T = D P F (, P )且在 = iF (P ) 上計算偏導數(shù), 下標 F 表示不動點, 下同。 如同 (23) 那樣進行線性化, 我們有i+ 1 - ( i+ 1) F (P o ) = A i i - iF (P o ) + B i (P i - P o )(29)假設(shè)周期軌線具有 u 個不穩(wěn)定特征值 ( 即具有量級大于1的 u 特征值) 及 s 個穩(wěn)定特 征值, 且 u + s= n。在 P = P o 周期軌線上的每一點 iF (P o ) 確定了矢量 (vi, 1 , vv, 2 , , vi, s ) ,