工程力學(xué)第十講

1、1西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖，剪力彎平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖，剪力彎矩方程、剪力彎矩圖，梁上同一截面處不矩方程、剪力彎矩圖，梁上同一截面處不同點(diǎn)的應(yīng)力同點(diǎn)的應(yīng)力工程力學(xué)工程力學(xué)2西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 10.1 10.1 平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖 10.2 10.2 剪力、彎矩剪力、彎矩 10.3 10.3 剪力、彎矩方程，剪力、彎矩圖剪力、彎矩方程，剪力、彎矩圖 10.4 10.4 同一截面不同位置的應(yīng)力同一截面不同位置的應(yīng)力3西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第一節(jié) 平面彎曲的概念及 梁的計(jì)算

2、簡(jiǎn)圖1. 彎曲彎曲: : 桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時(shí)桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時(shí), ,軸軸 線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2.梁：梁：以以彎曲變形為主的彎曲變形為主的 構(gòu)件通常稱為梁。構(gòu)件通常稱為梁。彎曲的概念彎曲的概念4西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第一節(jié) 平面彎曲的概念及 梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖3.工程實(shí)例：工程實(shí)例：5西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第一節(jié) 平面彎曲的概念及 梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖縱向?qū)v向?qū)ΨQ面稱面MP1P2q4. 橫截面對(duì)稱的桿件發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同橫截面對(duì)稱的桿件發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內(nèi)。一平面內(nèi)。以

3、對(duì)稱彎曲為主，討論梁的應(yīng)力和變形計(jì)算以對(duì)稱彎曲為主，討論梁的應(yīng)力和變形計(jì)算6西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第一節(jié) 平面彎曲的概念及 梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖 梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計(jì)算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，抽象出計(jì)算簡(jiǎn)圖。分析計(jì)算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，抽象出計(jì)算簡(jiǎn)圖。1. 構(gòu)件本身的簡(jiǎn)化構(gòu)件本身的簡(jiǎn)化 通常取梁的軸線來(lái)代替梁。通常取梁的軸線來(lái)代替梁。2. 載荷簡(jiǎn)化載荷簡(jiǎn)化 作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡(jiǎn)化為三種類型：作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡(jiǎn)化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。集中力、集中力偶

4、和分布載荷。7西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第一節(jié) 平面彎曲的概念及 梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖固定鉸支座固定鉸支座 2個(gè)約束，如：橋梁下的固定支座，個(gè)約束，如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。止推滾珠軸承等?？蓜?dòng)鉸支座可動(dòng)鉸支座 1個(gè)約束，如：橋梁下的輥軸支座，個(gè)約束，如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。滾珠軸承等。3. 支座簡(jiǎn)化支座簡(jiǎn)化8西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第一節(jié) 平面彎曲的概念及 梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖固定端固定端 3個(gè)約束，如：游泳池個(gè)約束，如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的跳水板支座，木樁下端的支座等。的支座等。XAYAMA9西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第一節(jié) 平面彎曲的概念及 梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖4. 梁的

5、三種基本形式梁的三種基本形式簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力懸臂梁懸臂梁外伸梁外伸梁 集中力集中力Pq 均布力均布力10西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第二節(jié) 梁的剪力與彎矩確定梁的彎曲內(nèi)力確定梁的彎曲內(nèi)力如圖，如圖，F(xiàn)，a，l。求：距。求：距A端端x處截面上內(nèi)力。處截面上內(nèi)力。FamABmxl11西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第二節(jié) 梁的剪力與彎矩解：解：求外力求外力0 , 00 , ()0 , xAxAByAyFFFaMFlP laFFlABPFAyFAxFBmmx12西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第二節(jié) 梁的剪力與彎矩求內(nèi)力求內(nèi)力截面法截面法 彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力彎矩1. 彎矩

6、：M 構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用面垂直于截面的內(nèi)力偶矩。AFAyQMCFBFMQCABFFAyFAxFBmmx()0 , 0 , yAyCAyF laFQFlMMFx13西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第二節(jié) 梁的剪力與彎矩2. 剪力：剪力：Q,構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用線平行于截面的內(nèi)力。構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用線平行于截面的內(nèi)力。3. .內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定: :剪力剪力Q: :繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正剪力；反之為負(fù)繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正剪力；反之為負(fù)彎矩彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負(fù)彎矩。：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負(fù)彎矩。Q(+)Q()Q()Q(+

7、)M(+)M(+)M()M()14西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第二節(jié) 梁的剪力與彎矩練習(xí)：練習(xí)：求圖求圖所所示梁示梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。截面處的內(nèi)力。qqLab1122x1x215西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第二節(jié) 梁的剪力與彎矩110 yFqLQQqL 解：解：截面法求內(nèi)力。截面法求內(nèi)力。 1 1-1 1截面處截取的分離截面處截取的分離 如圖（如圖（b b）示。）示。qLQ1AM1圖（b）x11111( )+0 AiMFqLxMMqLx 16西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)qLQ2BM2x2圖（c）q第二節(jié) 梁的剪力與彎矩2222()0(yFqLQq xa Qq aLx ) 2-2截面處

8、截取的分離體如圖（截面處截取的分離體如圖（c）22222222( )0 ,1()021()2BiMFqLxMq xa Mq xaqLx 17西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第二節(jié) 梁的剪力與彎矩練習(xí)：簡(jiǎn)支梁受載荷作用如圖所示。已知集中力練習(xí)：簡(jiǎn)支梁受載荷作用如圖所示。已知集中力P=1000NP=1000N，集中，集中力偶力偶m=4000kNmm=4000kNm，均布載荷，均布載荷q=10N/mq=10N/m，試求，試求1-11-1和和2-22-2截面的截面的剪力和彎矩。剪力和彎矩。18西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第二節(jié) 梁的剪力與彎矩解解: (1) 求支座反力求支座反力以整梁為研究對(duì)象，受力以整梁

9、為研究對(duì)象，受力圖如圖所示，由平衡方圖如圖所示，由平衡方程求解支座反力程求解支座反力 MF0 P 750 F1000 m q 500 2500F(P 750 m q 500 250)/10002000NFy0 FP 500q F05008000BAAABBAFPqFN ，19西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第二節(jié) 梁的剪力與彎矩1QF2000NA 1200400AMFkN m 24004000BQqFN (2) 計(jì)算計(jì)算1-1截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力利用計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律，由利用計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律，由1-1截面左側(cè)外力計(jì)算截面左側(cè)外力計(jì)算(3) 計(jì)算計(jì)算2-2截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力 利用計(jì)算剪力和彎

10、矩的規(guī)律，由利用計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律，由2-2截面的右側(cè)外力計(jì)算截面的右側(cè)外力計(jì)算2M400400 2002400BFqkN m 20西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)2CFkN10mDMkNm4m4m4m3m/kNq1ACDBE2EFkN222m2m11第二節(jié) 梁的剪力與彎矩練習(xí)：練習(xí)：試求試求1-1,2-2截面上的剪力、彎矩截面上的剪力、彎矩值。值。21西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)m4m4m4m3kNP21kNP22kNmMD10m/kNq 1ACDBE第二節(jié) 梁的剪力與彎矩解：解：以整梁（以整梁（AE）為研究對(duì)象，求出）為研究對(duì)象，求出A、B點(diǎn)約束反力。點(diǎn)約束反力。FA=7kN,FB=5kN;

11、以以1-1截面左側(cè)為研究對(duì)象，求出該截面的剪力及彎矩。截面左側(cè)為研究對(duì)象，求出該截面的剪力及彎矩。Q1=-1kN,M1=20kNm;以以2-2截面左側(cè)為研究對(duì)象，求出該截面的剪力及彎矩。截面左側(cè)為研究對(duì)象，求出該截面的剪力及彎矩。Q2=-3kN,M2=0kNm;22西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖1. 1. 內(nèi)力方程：內(nèi)力與截面位置坐標(biāo)（內(nèi)力方程：內(nèi)力與截面位置坐標(biāo)（x）間的函數(shù)關(guān)系式。）間的函數(shù)關(guān)系式。2. 2. 剪力圖和彎矩圖：剪力圖和彎矩圖：)(xQQ 剪力方程剪力方程)(xMM 彎矩方程彎矩方程)(xQQ 剪力圖剪力圖的圖線表示的圖線表示)(xM

12、M 彎矩圖彎矩圖的圖線表示的圖線表示為了形象地表示剪力和彎矩沿梁軸的變化規(guī)律，把剪力方程和彎為了形象地表示剪力和彎矩沿梁軸的變化規(guī)律，把剪力方程和彎矩方程用其圖像表示，稱為剪力圖和彎矩圖矩方程用其圖像表示，稱為剪力圖和彎矩圖23西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖l 剪力圖和彎矩圖的畫(huà)法與軸力圖、扭矩圖很相似，剪力圖和彎矩圖的畫(huà)法與軸力圖、扭矩圖很相似，用平行于梁軸的橫坐標(biāo)用平行于梁軸的橫坐標(biāo)x表示梁橫截面的位置，表示梁橫截面的位置，用垂直于梁軸的縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面的剪力和彎用垂直于梁軸的縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面的剪力和彎矩。矩。l 在土建工程中，習(xí)慣上將正剪力畫(huà)

13、在在土建工程中，習(xí)慣上將正剪力畫(huà)在x軸上方，軸上方，負(fù)剪力畫(huà)在負(fù)剪力畫(huà)在x軸的下方；正彎矩畫(huà)在軸的下方；正彎矩畫(huà)在x軸下方，負(fù)軸下方，負(fù)彎矩畫(huà)在彎矩畫(huà)在x軸的上方，即把彎矩圖畫(huà)在梁受拉的軸的上方，即把彎矩圖畫(huà)在梁受拉的一側(cè)。一側(cè)。剪力圖和彎矩圖的畫(huà)法剪力圖和彎矩圖的畫(huà)法24西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖其作圖步驟如下其作圖步驟如下 以梁整體為研究對(duì)象，根據(jù)梁上的荷載和支座情況，以梁整體為研究對(duì)象，根據(jù)梁上的荷載和支座情況，由靜力平衡方程求出支座反力；由靜力平衡方程求出支座反力； 梁的分段原則：梁的分段原則：分段原則與列剪力方程和彎矩方程的分段分段原則與

14、列剪力方程和彎矩方程的分段相同，即以集中力和集中力偶作用處、分布荷載的起止處、相同，即以集中力和集中力偶作用處、分布荷載的起止處、梁的支承處以及梁的端面為界點(diǎn)，將梁進(jìn)行分段。梁的支承處以及梁的端面為界點(diǎn)，將梁進(jìn)行分段。 分截面原則分截面原則：對(duì)于剪力圖，在集中力作用的截面上發(fā)生：對(duì)于剪力圖，在集中力作用的截面上發(fā)生突變，需將集中力作用的截面分出來(lái)；對(duì)于彎矩圖，在突變，需將集中力作用的截面分出來(lái)；對(duì)于彎矩圖，在集中力偶作用的截面上發(fā)生突變，需將集中力偶作用的集中力偶作用的截面上發(fā)生突變，需將集中力偶作用的截面分出來(lái)。截面分出來(lái)。2、梁的分段和分截面、梁的分段和分截面1、求支座反力、求支座反力25

15、西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖3、畫(huà)剪力圖和彎矩圖、畫(huà)剪力圖和彎矩圖 按照作圖方向截面和分段出現(xiàn)的先后順序，利用剪力圖按照作圖方向截面和分段出現(xiàn)的先后順序，利用剪力圖和彎矩圖的規(guī)律，再結(jié)合剪力和彎矩的規(guī)律計(jì)算各控制和彎矩圖的規(guī)律，再結(jié)合剪力和彎矩的規(guī)律計(jì)算各控制截面上的剪力值和彎矩值，依次就可以簡(jiǎn)捷地畫(huà)出剪力截面上的剪力值和彎矩值，依次就可以簡(jiǎn)捷地畫(huà)出剪力圖和彎矩圖；圖和彎矩圖；26西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖練習(xí)：求下列各圖示梁的內(nèi)力方程并畫(huà)出內(nèi)力圖。練習(xí)：求下列各圖示梁的內(nèi)力方程并畫(huà)出內(nèi)力圖。PLFOMO

16、27西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖 ; OOFP MPL解：解：求支反力求支反力寫(xiě)出內(nèi)力方程寫(xiě)出內(nèi)力方程根據(jù)方程畫(huà)內(nèi)力圖根據(jù)方程畫(huà)內(nèi)力圖( )( ) ()OOOQ xFPM xF xMP xLPLQ(x)xPM(x)xPLFOMOM(x)xQ(x)FOMO- 28西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖練習(xí)練習(xí): : 求下列各梁的剪力彎矩圖。求下列各梁的剪力彎矩圖。q2aaABCFAFB29西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖222454ABAqaqaFaqaFqaF 解：解：(1)支

17、反力支反力(2)剪力方程、彎矩方程剪力方程、彎矩方程 右端）段彎矩段彎矩：右端為原點(diǎn)）段剪力段剪力：(2:;4qa;( :;42qxMABxMABqxQBCqaQABxxq2aaABCFAFBQqa4qa(3)畫(huà)出剪力圖、彎矩圖畫(huà)出剪力圖、彎矩圖M22qa30西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖練習(xí)：如圖所示的外伸梁，試畫(huà)出該梁的剪力圖和練習(xí)：如圖所示的外伸梁，試畫(huà)出該梁的剪力圖和彎矩圖。彎矩圖。31西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖解：解：1) 求支座反力求支座反力以整梁為研究對(duì)象，由平衡方程得以整梁為研究對(duì)象，由平衡

18、方程得( )0,4542034( )0,424094ABBBAAMFFaqaaqaaFqaMFqaaqaaFaFqa 32西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖 2) 求剪力方程、彎矩方程求剪力方程、彎矩方程 xx9a;4:qx 9=;22ABqxBCqaaABxBC 段剪力：Q段剪力 Q段彎矩：M段彎矩:M=qax(右端點(diǎn)）注注:如果不用右端如果不用右端點(diǎn)而用點(diǎn)而用B，則要，則要考慮考慮Fa與與q和和Fb。要考慮要考慮Fa與與q和和Fb。33西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖（3）剪力圖為）剪力圖為281q32a34西南

19、財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖PQMqQ M 35西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第三節(jié) 梁的剪力與彎矩方程 梁的剪力與彎矩圖mQMMQq36西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第四節(jié) 同一截面上不同位置的應(yīng)力純彎曲：梁受力彎曲后，如其橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力，這種彎曲稱為純彎曲。 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力aFACaFBDFFFa37西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第四節(jié) 同一截面上不同位置的應(yīng)力實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：1 1、變形前互相平行的縱向直線、變形前互相平行的縱向直線、變形后變成弧線，且凹邊纖維縮變形后變成弧線，且凹邊纖維縮短、凸邊纖維伸長(zhǎng)。短、凸

20、邊纖維伸長(zhǎng)。2 2、變形前垂直于縱向線的橫向、變形前垂直于縱向線的橫向線線, ,變形后仍為直線，且仍與彎曲變形后仍為直線，且仍與彎曲了的縱向線正交，但兩條橫向線了的縱向線正交，但兩條橫向線間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。中性軸：中性軸： 中性層與橫截面的交線稱中性層與橫截面的交線稱為中性軸。為中性軸。平面假設(shè)：平面假設(shè)： 變形前桿件的橫截面變形后仍變形前桿件的橫截面變形后仍為平面。為平面。mmnnFF38西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第四節(jié) 同一截面上不同位置的應(yīng)力dxmmnnozyoddxmmnnFFydddyyEEyMM中性軸yzdAAdA NFAdAz yMAdAy zMAydAE 0AzydAE 0AdAyE2 ZEIZZEIM 1zzIyM39西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第四節(jié) 同一截面上不同位置的應(yīng)力MMZ Z: :橫截面上的彎矩橫截面上的彎矩y y: :到中性軸的距離到中性軸的距離I IZ Z: :截面對(duì)中性軸的慣性矩截面對(duì)中性軸的慣性矩dxmmnnozyoMM中性軸yzdAzzIyM40西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院工程力學(xué)第四節(jié) 同一截面上不同位置的應(yīng)