線性代數(shù)第五章特征值

1、孫孫 志志 人人南京師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院南京師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院二二一二年十二月十二日一二年十二月十二日 線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 規(guī)范正交基規(guī)范正交基. ,)( , 3212121 的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基是是則則稱(chēng)稱(chēng)向向量量?jī)蓛蓛蓛烧唤磺仪叶级际鞘菃螁挝晃蝗缛绻牡囊灰粋€(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間維維向向量量設(shè)設(shè)定定義義VeeeeeeRVVeeenrrnr .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1,. 4 , 3 , 2 , 1,

2、 0,jijieejijieejiji且且且且由由于于.,44321的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基也為也為R規(guī)范正交基的作用規(guī)范正交基的作用向量在規(guī)范正交基下的坐標(biāo)方便求出向量在規(guī)范正交基下的坐標(biāo)方便求出1 12 2nnaeeelll=+L設(shè)設(shè)則則 , Tiiie ae al=（1）正交化正交化，取，取 ，11ab ,1112122bbbabab ,21的一個(gè)基的一個(gè)基為向量空間為向量空間若若Vaaar 規(guī)范正交基的求法規(guī)范正交基的求法稱(chēng)稱(chēng)為為這這樣樣一一個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題價(jià)

3、價(jià)等等與與使使位位向向量量的的單單就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的一一個(gè)個(gè)規(guī)規(guī)范范正正交交基基要要求求的的一一個(gè)個(gè)基基是是向向量量空空間間設(shè)設(shè),21212121rrrreeeeeeVV ., 21范范正正交交化化這這個(gè)個(gè)基基規(guī)規(guī)把把r 111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等等價(jià)價(jià)與與且且兩兩兩兩正正交交那那么么rrraabbbb（2）單位化單位化，取，取,222111rrrbbebbebbe .,21的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基為為那么那么Veeer222321113133,bbbabbbbabab 例例 用施密特正交化方法

4、，將向量組用施密特正交化方法，將向量組)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交規(guī)范化正交規(guī)范化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 稱(chēng)稱(chēng)為為的的過(guò)過(guò)程程向向量量組組構(gòu)構(gòu)造造出出正正交交上上述述由由線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量組組rrbbaa施密特正交化過(guò)程施密特正交化過(guò)程222321113133,bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1

5、 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再單位化單位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得規(guī)范正交向量組如下得規(guī)范正交向量組如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe例例.,014,131,121 321量量規(guī)規(guī)范范正正交交化化特特正正交交化化過(guò)過(guò)程程把把這這組組向向試試用用施施密密設(shè)設(shè) aaa解解;11ab 取取bbbaab1212221, 12164131;11135 bbbabbbaab222312133321, 1113512131

6、014.1012 再把它們單位化，取再把它們單位化，取bbe111 ,12161 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即合所求即合所求eeea1a3a2幾何解釋幾何解釋b1;11ab ,12121111221221bbbabbbbacbac 即即上的投影向量上的投影向量在在為為;222cab c2b2,2133平面上的投影向量平面上的投影向量的的在平行于在平行于為為bbacc3,2223121332313323121332121bbbabbbacccccbbacbb 即即之之和和及及向向量量上上的的投投影影分分別別在在等等于于故故由由于于c31c32.333cab

7、 b3例例.,111 321321兩兩兩兩正正交交使使求求一一組組非非零零向向量量已已知知aaaaaa 解解.0,0,321132 xxxxaaaT 即即應(yīng)應(yīng)滿滿足足方方程程.110,10121 它的基礎(chǔ)解系為它的基礎(chǔ)解系為把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于于是是得得其其中中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a證明證明EAAT E 定義定義4 4 . , 1正正交交矩矩陣陣為為稱(chēng)稱(chēng)則則即即滿滿足足階階方方陣陣若若AAAEAAAnTT 定理定理 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa

8、aaaaaa212221212111212222111211 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 的行（列）的行（列）向量都是單位向量且兩兩正交向量都是單位向量且兩兩正交AA ETnTTn ,2121ETnnTnTnTnTTTnTT 212221212111 njijijiijTji, 2 , 1, 0;, 1 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)（1）若）若A為正交矩陣，則其逆矩陣、為正交矩陣，則其逆矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣都是正交變換；轉(zhuǎn)置矩陣都是正交變換；（2）正交矩陣的行列式等于）正交矩陣的行列式等于1或或-1；（3）正交矩陣的積仍為正交矩陣。）正交矩陣的積仍為正交矩陣。性質(zhì)性質(zhì) 正

9、交變換保持向量的長(zhǎng)度不變正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變證明證明,為為正正交交變變換換設(shè)設(shè)Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 則則有有例例 判別下列矩陣是否為正交陣判別下列矩陣是否為正交陣 ,1213121121312111 .9794949491989498912 定義定義5 5 若若 為正交陣，則線性變換為正交陣，則線性變換 稱(chēng)為正稱(chēng)為正交變換交變換Pxy P解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩陣所以它不是正交矩陣考察矩陣的第一列和第二列，考察矩陣的第一列和第二列，由于由于 979494949198949891 97949494919894989

10、1T所以它是正交矩陣所以它是正交矩陣 100010001由于由于 9794949491989498912例例.2121000021212121212121212121是正交矩陣是正交矩陣驗(yàn)證矩陣驗(yàn)證矩陣 P解解., 是是正正交交矩矩陣陣所所以以且且兩兩兩兩正正交交向向量量的的每每個(gè)個(gè)列列向向量量都都是是單單位位PP1 1將一組基規(guī)范正交化的方法：將一組基規(guī)范正交化的方法： 先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將其單位化其單位化 ;11TAA ;2EAAT ;3單單位位向向量量的的列列向向量量是是兩兩兩兩正正交交的的A .4單單位位向向量量的的行行向向量

11、量是是兩兩兩兩正正交交的的A2 2 為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：A求一單位向量，使它與求一單位向量，使它與 ,1 , 1, 1 , 11 ,1 , 1, 1, 12 3 , 1 , 1 , 23 正交正交:),( 則由題意可得則由題意可得設(shè)所求向量為設(shè)所求向量為dcbax 解解 . 032, 0, 0, 1 2222dcbadcbadcbadcba)263,261, 0 ,1322(: x解解之之可可得得).263,261, 0 ,1322( x或或說(shuō)明說(shuō)明., 0. 1言言的的特特征征值值問(wèn)問(wèn)題題是是對(duì)對(duì)方方陣陣而而特特征征向向量量 x .

12、0,0,. 2 的的特特征征值值都都是是矩矩陣陣的的即即滿滿足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齊齊次次線線性性方方程程組組的的特特征征值值階階方方陣陣AEAxEAAn ., , 1的的特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值稱(chēng)稱(chēng)為為量量非非零零向向的的特特征征值值稱(chēng)稱(chēng)為為方方陣陣這這樣樣的的數(shù)數(shù)那那末末成成立立使使關(guān)關(guān)系系式式維維非非零零列列向向量量和和如如果果數(shù)數(shù)階階矩矩陣陣是是設(shè)設(shè)定定義義 AxAxAxxnnA 0. 3 EA 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa次方程次方程為未知數(shù)的一元為未知數(shù)的一元稱(chēng)以稱(chēng)以n 0 EA . 的的為為A特征方程特征

13、方程,次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式的的它是它是n 記記 EAf 稱(chēng)其稱(chēng)其. 的的為為方方陣陣A特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式 則則有有的的特特征征值值為為階階方方陣陣設(shè)設(shè),. 4 21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An 解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為A 31131)3(2 )2)(4(682 . 4, 221 的的特特征征值值為為所所以以A,00231123,2211 xx對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) . 0, 02121xxxx 即即,21xx 解得解得 11.1p 所所以以對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的一一個(gè)個(gè)特

14、特征征向向量量可可取取為為,001111,00431143,421212 xxxx即即由由時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 122,1.1xxp 解解得得所所以以對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的一一個(gè)個(gè)特特征征向向量量可可取取為為例例 .201034011的的特特征征值值和和特特征征向向量量求求矩矩陣陣 A解解,)1( )2(201034011 2 EAA的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為. 1, 2321 的的特特征征值值為為所所以以A由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0)2(,21 xEA ,0000100010010140132 EA,1001 p 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系11(0)2.kkp 所所以以是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于的的全全部部特特征征向向量量

15、由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA,1212 p 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系232(0)1.kkp 所所以以是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于的的全全部部特特征征向向量量例例 設(shè)設(shè),314020112 A求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 . 2, 1321 的的特特征征值值為為得得A 由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系的的全全體體特特征征向向量量為為故故對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于11 ).0( 1 kpk 由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

16、. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基礎(chǔ)解系為：得基礎(chǔ)解系為：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量為為所所以以對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于 ).0,(323322不不同同時(shí)時(shí)為為kk pkpk 例例 證明：若證明：若 是矩陣是矩陣A的特征值，的特征值， 是是A的屬于的屬于的特征向量，則的特征向量，則 x .)1(是是任任意意常常數(shù)數(shù)的的特特征征值值是是mAmm .,)2(11的的特特征征值值是是可可逆逆時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) AA 證明證明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得次，就得2 mxxAmm .,

17、征征向向量量的的特特對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故mmmmAxA 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng)A., 1111的的特特征征向向量量對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AxA結(jié)論：結(jié)論：若若 是是A的特征值，則的特征值，則 是是 的特征值，這里，的特征值，這里， 是是 的多項(xiàng)的多項(xiàng)式。式。l( )j l( )Aj( )j ll例題例題 設(shè)設(shè)3階矩陣階矩陣A的特征值為的特征值為1,-1,2，求求 的特征值。的特征值。 P120例例9 *32AAE+-提示：提示：*132232AAEAAE-+-= -+-例

18、例 設(shè)設(shè)A是是 階方陣，階方陣，n.的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式求求AT方陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣AT具有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征方程與特征值！.,., 121212121線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)則則各不相等各不相等如果如果向量向量依次是與之對(duì)應(yīng)的特征依次是與之對(duì)應(yīng)的特征個(gè)特征值個(gè)特征值的的是方陣是方陣設(shè)設(shè)定理定理mmmmppppppmA 證明證明使使設(shè)有常數(shù)設(shè)有常數(shù)mxxx,21. 02211 mmpxpxpx則則 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 類(lèi)推之，有類(lèi)推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk把上列各式合寫(xiě)成矩陣形

19、式，得把上列各式合寫(xiě)成矩陣形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆從從而而該該矩矩陣陣該該行行列列式式不不等等于于不不相相等等時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)各各式式列列陣陣的的行行列列式式為為范范德德蒙蒙行行上上式式等等號(hào)號(hào)左左端端第第二二個(gè)個(gè)矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)所所以以向向量量組組mppp參見(jiàn)參見(jiàn)P121數(shù)學(xué)歸納法證明！數(shù)學(xué)歸納法證明！注意注意.屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)屬于不同特征值的

20、特征向量是線性無(wú)關(guān)的的.屬于同一特征值的特征向量的非零線性屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量.一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值 即有即有的特征向量的特征向量的的的屬于特征值的屬于特征值同時(shí)是同時(shí)是如果設(shè)如果設(shè)因?yàn)橐驗(yàn)?2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由由于于, 0 x則則.與與定定義義矛矛盾盾或利用屬于不同特

21、征值的特征向量線性無(wú)關(guān)或利用屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).例題例題 設(shè)設(shè) 和和 是矩陣是矩陣A的兩的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為量依次為 和和 ，證明：，證明： 不是不是A的特征向量。的特征向量。 P121例例10 2l1l1p2p12pp+求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟： ;det . 1EAA 的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式計(jì)算計(jì)算 ;,0det . 2 21的全部特征值的全部特征值就是就是的全部根的全部根求特征方程求特征方程AEAn .,0 , . 3 的的特特征征向向量量就就是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于的的非非零零解解求求齊齊次次方方

22、程程組組對(duì)對(duì)于于特特征征值值iiixEA ., 0det,2, 0A3Edet :4 的的一一個(gè)個(gè)特特征征值值求求滿滿足足條條件件階階方方陣陣設(shè)設(shè) AAEAAAT知知由由可可逆逆故故因因?yàn)闉?)3det( ., 0det EAAA解解,3的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值是是A .31 1值值的的一一個(gè)個(gè)特特征征是是從從而而A 即即得得又又由由,16)2det()det( 2 EAAEAATT, 4det, 0det, 4det,16)(det2 AAAA因因此此但但于于是是.34有有一一個(gè)個(gè)特特征征值值為為故故A 從而，A*=-4A-1.,., , 111的相似變換矩陣的相似變換矩陣變成變成稱(chēng)為把稱(chēng)為

23、把可逆矩陣可逆矩陣進(jìn)行相似變換進(jìn)行相似變換稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)為對(duì)行運(yùn)算行運(yùn)算進(jìn)進(jìn)對(duì)對(duì)相似相似與與或說(shuō)矩陣或說(shuō)矩陣的相似矩陣的相似矩陣是是則稱(chēng)則稱(chēng)使使若有可逆矩陣若有可逆矩陣階矩陣階矩陣都是都是設(shè)設(shè)定義定義BAPAAPPABAABBAPPPnBA 1. 等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系 . 22111211PAPPAPPAAP ., . 3為為正正整整數(shù)數(shù)相相似似與與則則相相似似與與若若mBABAmm.本本身身相相似似與與AA.,相相似似與與則則相相似似與與若若ABBA.,相似相似與與則則相似相似與與相似相似與與若若CACBBA反反身身性性)1()2(對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性傳遞性傳遞性)3(證明證明相相似似與與BA PEPAPPE

24、B 11 PEAP 1PEAP 1.EA PAPkPAPkPAkAkP21211122111. 4 .,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkBAPPP 1,使得使得可逆陣可逆陣., 1的特征值亦相同的特征值亦相同與與從而從而式相同式相同的特征多項(xiàng)的特征多項(xiàng)與與則則相似相似與與階矩陣階矩陣若若定理定理BABABAn.AB即即 與與 的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式相相同同推論推論 若若 階方陣階方陣A A與對(duì)角陣與對(duì)角陣n n 21.,21個(gè)特征值個(gè)特征值的的即是即是則則相似相似nAn 例題例題 已知已知 與與 相似，求相似，求a , b .11111aAabb 000010002B 提示：利用相同特征

25、多項(xiàng)式提示：利用相同特征多項(xiàng)式. 即即32222323(2)()32abab 所以，所以， 0.ab利用對(duì)角矩陣計(jì)算矩陣多項(xiàng)式利用對(duì)角矩陣計(jì)算矩陣多項(xiàng)式,1PPBA 若若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110 Ak的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式AEaAaAaAaAnnnn 1110)( .)(1PBP .1PBPk 則則PEaBaBaBaPnnnn11110)( PPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k個(gè)個(gè),1為為對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣使使若若可可逆逆矩矩陣陣特特別別地地 APPP, 1PPAkk 則則.)()(1PPA 有有對(duì)于對(duì)角矩陣對(duì)于對(duì)角矩陣, ,21 knkkk,)()()()(11

26、1 利用上利用上述結(jié)論可以述結(jié)論可以很方便地計(jì)很方便地計(jì)算矩陣算矩陣A 的的多項(xiàng)式多項(xiàng)式 .)(A .)(,)(OAfAf 則則的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式是是矩矩陣陣設(shè)設(shè) 定理定理證明證明.與對(duì)角矩陣相似的情形與對(duì)角矩陣相似的情形只證明只證明A使使則有可逆矩陣則有可逆矩陣與對(duì)角矩陣相似與對(duì)角矩陣相似若若,PAdiagdiag11(,),nAPP . 0)(, iifA的特征值的特征值為為其中其中有有由由,1PPA )(Af.1OPPO PPf1)( PffPn11)()( ., 1對(duì)角化對(duì)角化這就稱(chēng)為把方陣這就稱(chēng)為把方陣為對(duì)角陣為對(duì)角陣使使若可找到可逆矩陣若可找到可逆矩陣階方陣階方陣對(duì)對(duì)AAPP

27、PAn 證明證明,1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使假假設(shè)設(shè)存存在在可可逆逆陣陣 APPP .,21npppPP 用用其其列列向向量量表表示示為為把把.)( 2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量有有的充分必要條件是的充分必要條件是能對(duì)角化能對(duì)角化即即與對(duì)角矩陣相似與對(duì)角矩陣相似階矩陣階矩陣定理定理nAAAn nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp 1212,nnA pppAp ApAp 又又 ., 2 , 1nipApiii 于是有于是有,1 PAPAPP得得由由12,.,.iiinAPpAppp 可可見(jiàn)見(jiàn)是是 的的特特征征值值 而而 的的列列向向量量 就就是是的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)

28、于于特特征征值值 的的特特征征向向量量 而而且且線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)命題得證命題得證.,.AnnnPAPPA 反反之之 由由于于恰恰好好有有 個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量 并并可可求求相相應(yīng)應(yīng)的的 個(gè)個(gè)特特征征值值，而而 個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)特特征征向向量量即即可可構(gòu)構(gòu)成成可可逆逆矩矩陣陣使使即即可可對(duì)對(duì)角角化化說(shuō)明說(shuō)明 如果如果 階矩陣階矩陣 的的 個(gè)特征值互不相等，個(gè)特征值互不相等，則則 與對(duì)角陣相似與對(duì)角陣相似推論推論nAAn如果如果 的特征方程有重根，此時(shí)不一定有的特征方程有重根，此時(shí)不一定有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能不一定能對(duì)角化

29、，但如果能找到對(duì)角化，但如果能找到 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量， 還是能對(duì)角化還是能對(duì)角化AAnnA例例1 1 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得 得得方方程程組組代代入入將將, 02121 EA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.110,10221 , 0, 73 xEA 由由對(duì)對(duì)求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由于由于.,

30、321線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)所以所以 .,3 化化可可對(duì)對(duì)角角因因而而個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有即即AA,同理同理 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的的特特征征值值為為所所以以A , 01 xEA 代代入入把把解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化為對(duì)角矩陣不能化為對(duì)角矩陣.A 163053064A設(shè)設(shè)A能否對(duì)角化？若能對(duì)角能否對(duì)角化？若能對(duì)角,P則則求求出出可可逆逆矩矩陣陣化化例例2 2.1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值為的全部特征值為所以所

31、以A 得得方方程程組組代代入入將將0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)代代入入將將, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP則則有有所以所以 可對(duì)角化可對(duì)角化.A注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP則則有有00 00002 11即矩陣即矩陣 的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)要相互對(duì)應(yīng)PP123 例例

32、11 設(shè)設(shè)00111,100Ax 為何值時(shí)，矩陣為何值時(shí)，矩陣問(wèn)問(wèn)能對(duì)角化？能對(duì)角化？xA);det()det(,)1(BABA 則則相相似似與與;,)2( 11相相似似與與且且也也可可逆逆則則可可逆逆且且相相似似與與若若 BABABA;,)3( 為為常常數(shù)數(shù)相相似似與與則則相相似似與與kkBkABA.)()(,)(,)4( 相似相似與與則則是一多項(xiàng)式是一多項(xiàng)式而而相似相似與與若若BfAfxfBA相似矩陣相似矩陣 相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)：的性質(zhì)：相似變換與相似變換矩陣相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于這種變換的重要意義在

33、于簡(jiǎn)化對(duì)矩陣的各種簡(jiǎn)化對(duì)矩陣的各種運(yùn)算運(yùn)算，其方法是先通過(guò)相似變換，將矩陣變成與，其方法是先通過(guò)相似變換，將矩陣變成與之等價(jià)的對(duì)角矩陣，再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從之等價(jià)的對(duì)角矩陣，再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的對(duì)而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣的運(yùn)算角矩陣的運(yùn)算相似變換相似變換是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把A變成，而可逆矩陣變成，而可逆矩陣 稱(chēng)為進(jìn)行這一變換的稱(chēng)為進(jìn)行這一變換的相似變換矩陣相似變換矩陣APP1 P,111111111 A.00100100 nB.,是是否否相相似似判判斷斷下下列列兩兩矩矩陣陣BA 112d

34、et()(),0.01()nnAEnAnn 因因的的特特征征值值為為對(duì)對(duì)于于特特征征值值 可可得得個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量，從從而而可可以以對(duì)對(duì)角角化化. .解解d di ia ag g111( ,0,0),AnPP ,)( )()det( 1 nnEB還還可可求求得得.有相同的特征值有相同的特征值與與即即AB,1, 02特特征征向向量量個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的有有對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)特特征征值值 nn 使使得得故故存存在在可可逆逆矩矩陣陣,2P, 212 PBP, 212111PBPPAP 從從而而, 121112BPPAPP 即即.相相似似與與故故BA定理定理1 1對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)

35、數(shù)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù). .證明證明, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為復(fù)復(fù)向向量量的的特特征征值值為為對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xA . 0, xxAx 即即, 的的表表示示用用 共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xAxA 則則 . xxAx 說(shuō)明說(shuō)明：本節(jié)所提到的對(duì)稱(chēng)矩陣，除非特別說(shuō)：本節(jié)所提到的對(duì)稱(chēng)矩陣，除非特別說(shuō)明，均指明，均指實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣, 的的表表示示xx共共軛軛復(fù)復(fù)向向量量于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 兩式相減，得兩式相減，得 . 0 xxT , 0 x但因?yàn)榈驗(yàn)?, 即即.是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)由此可得由此可得 , 0

36、 121 niiniiiTxxxxx所所以以定理定理1 1的意義的意義.,0,0)( , 以以取取實(shí)實(shí)向向量量從從而而對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量可可系系知知必必有有實(shí)實(shí)的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解由由是是實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)方方程程組組線線性性方方程程組組所所以以齊齊次次為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的特特征征值值由由于于對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣 EAxEAAiii ., 221212121正正交交與與則則若若是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量的的兩兩個(gè)個(gè)特特征征值值是是對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣設(shè)設(shè)定定理理ppppA 證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng) TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 2212

37、1211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正正交交與與即即pp. 021 ppT實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征向量實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征向量實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化. , 41素素的的對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣個(gè)個(gè)特特征征值值為為對(duì)對(duì)角角元元的的是是以以其其中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)定定理理nAAPPPnA 證明證明,21s 它們的重?cái)?shù)依次為它們的重?cái)?shù)依次為srrr,21. ,)( , , 3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量恰有恰有對(duì)應(yīng)特征值對(duì)應(yīng)特征值從而從而的秩的秩則矩陣則矩陣重根重根

38、的特征方程的的特征方程的是是階對(duì)稱(chēng)矩陣階對(duì)稱(chēng)矩陣為為設(shè)設(shè)定理定理rrnEAREArAnA ).(21nrrrs 根據(jù)定理根據(jù)定理1（對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)）和定）和定理理3( 如上如上)可得：可得：設(shè)設(shè) 的互不相等的特征值為的互不相等的特征值為A,21知知由由nrrrs 由定理由定理2知知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 單位正交的特征向量單位正交的特征向量個(gè)個(gè)即得即得把它們正交化并單位化把它們正交化并單位化關(guān)的實(shí)特征向量關(guān)的實(shí)特征向量個(gè)線性無(wú)個(gè)線性無(wú)恰有恰有對(duì)應(yīng)特征值對(duì)應(yīng)特征值rrsiiii PPAPP11.,11個(gè)

39、個(gè)特特征征值值的的是是恰恰個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)的的對(duì)對(duì)角角元元素素含含其其中中對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣nArrss 這樣的特征向量共可得這樣的特征向量共可得 個(gè)個(gè).n故這故這 個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧粋€(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?n以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，則，則P根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：為：將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特征向量單位化將特征向量單位化.4.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A解解 20212022EA 214 0 .

40、 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(A例例 對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，分別求出正交矩陣對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，分別求出正交矩陣 ，使使 為對(duì)角陣為對(duì)角陣.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A(chǔ) 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxEAi, 0 得得由由對(duì)對(duì), 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 .1221 得得由由對(duì)對(duì), 0, 12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2122 得得由由對(duì)對(duì), 02, 23 xEA 0220

41、2320243232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2213 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向量正交化.,3, 321321故它們必兩兩正交故它們必兩兩正交的特征向量的特征向量個(gè)不同特征值個(gè)不同特征值的的是屬于是屬于由于由于 A第四步第四步 將特征向量單位化將特征向量單位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則 310130004)2(A 310130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系由由對(duì)

42、對(duì), 02, 21 xEA 1101 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系由由對(duì)對(duì), 04, 432 xEA .110,00132 ,32恰恰好好正正交交與與 .,321兩兩兩兩正正交交所所以以 得得令令單單位位化化再再將將3 , 2 , 1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 于是得正交陣于是得正交陣 2102121021010,321 P.400040002 1 APP則則P125 例例12 設(shè)設(shè)011101 ,110A 求一個(gè)正交陣求一個(gè)正交陣，使，使為對(duì)角陣為對(duì)角陣.P1PAP P126 例例13 設(shè)設(shè)21,12A 求求.nA求方陣的冪時(shí)不必用正求方陣的冪時(shí)不必用正交矩陣，可

43、直接用可逆交矩陣，可直接用可逆陣對(duì)角化！陣對(duì)角化！1.對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)： (1) (1)特征值為實(shí)數(shù)；特征值為實(shí)數(shù)； (2)(2)屬于不同特征值的特征向量正交；屬于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)相等；特征向量的個(gè)數(shù)相等； (4)(4)必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣，必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣，且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值2.利用正交矩陣將對(duì)稱(chēng)陣化為對(duì)角陣的步驟：利用正交矩陣將對(duì)稱(chēng)陣化為對(duì)角陣的步驟： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量

44、；(3)將特征向?qū)⑻卣飨蛄空换?；量正交化?4)最后單位化最后單位化 .2det, 2的的值值試試求求行行列列式式的的秩秩為為且且滿滿足足階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣設(shè)設(shè)AErAAAAn 使使得得故故存存在在可可逆逆陣陣且且秩秩為為陣陣是是實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)又又或或的的特特征征值值為為可可得得由由, 01 2PrAAAA 解解.,000 1階階單單位位陣陣是是其其中中rEEAPPrr )2det()2det( 11PPPPAE 從從而而)2det( E EErnr200det.2rn 也可用特征值乘積也可用特征值乘積完成！完成！ nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,1311321

45、1222222211121222 , 稱(chēng)為二次型稱(chēng)為二次型. .的的二二次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)變變量量含含有有定定義義nxxxn, 121; , 稱(chēng)稱(chēng)為為是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)faij復(fù)二次型復(fù)二次型. , 稱(chēng)稱(chēng)為為是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)faij實(shí)二次型實(shí)二次型只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型 2222211nnykykykf 稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都為都為二次型；二次型； 23222132144,xxxxxxf 為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形. . 323121321,xxxxxxxxxf

46、 只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型 2222211nnykykykf 稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）若標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)只取若標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)只取1，0，-1三個(gè)可能的三個(gè)可能的數(shù)值，即數(shù)值，即稱(chēng)上式為二次型的規(guī)范性。稱(chēng)上式為二次型的規(guī)范性。222221211ppfyyyyy+=+-LL1 1用和號(hào)表示用和號(hào)表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 對(duì)二次型對(duì)二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 則則于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,

47、xxajinjiij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 2 2用矩陣表示用矩陣表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(., 為為對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣其其中中則則二二次次型型可可記記作作AAxxfT ,21212222111211 nnnn

48、nnnxxxxaaaaaaaaaA記記 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型這樣，二稱(chēng)矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型這樣，二次型與對(duì)稱(chēng)矩陣之間存在次型與對(duì)稱(chēng)矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系; 的矩陣的矩陣叫做二次型叫做二次型對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣fA; 的的二二次次型型叫叫做做對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣 Af. 的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣fA解

49、解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩陣陣寫(xiě)寫(xiě)出出二二次次型型xxxxxxxf 例例 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,設(shè)設(shè)對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形),(cCij 記記記作記作則上述可逆線性變換可則上述可逆線性變換可 Cyx AxxfT 證明證明于于是是即即有有為為對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣,TAAA T

50、TTACCB 有有將將其其代代入入, AxxfT . yACCyTT CyACyT ., 1ARBRBAACCBCT 且且也也為為對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣則則矩矩陣陣為為對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)如如果果令令任任給給可可逆逆矩矩陣陣定定理理CACTT ,BACCT ,ACCBT ,ARACRBR , 11 BCCAT又又 .1BRBCRAR .BRAR 即即 為對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣.B說(shuō)明說(shuō)明2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使變變成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形經(jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換要要使使二二次次型型, 2 Cyxf. ,),(212121 yyykkkyyynnn.成成為為對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣也也就就是是要要使

51、使ACCT; ,1 ACCBAfCyx. T 變變?yōu)闉榈牡木鼐仃囮囉捎傻淦渲戎炔徊蛔冏兒蠛蠖未涡托徒?jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換定義定義 設(shè)設(shè)A和和B為為n階矩陣，若有可逆矩陣階矩陣，若有可逆矩陣C，使得使得B=CTAC，則稱(chēng)矩陣，則稱(chēng)矩陣A和和B合同。合同。性質(zhì)性質(zhì) 合同關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。合同關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。有有型型把此結(jié)論應(yīng)用于二次把此結(jié)論應(yīng)用于二次即即使使總有正交矩陣總有正交矩陣陣陣由于對(duì)任意的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩由于對(duì)任意的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩,.,1 APPAPPPAT 化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形使使正正交交變變換換總總有有任任給給二二次次型型定定理理fPyxaaxxafjiijnjijiij, 21, ,2

52、222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩陣陣是是其其中中ijnaAf 化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形使使正正交交變變換換總總有有任任給給二二次次型型定定理理fPyxaaxxafjiijnjijiij, 21, ,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩陣陣是是其其中中ijnaAf 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟;,. 1AAxxfT求求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形形式式 ;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特 ;,. 421212

53、1nnnC 記記得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形則則得得作作正正交交變變換換 推論：任一推論：任一n元二次型，總有可逆變?cè)涡停傆锌赡孀儞Q換x=Cy，使，使f(Cy)為規(guī)范形。為規(guī)范形。解解1 1寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值 144241422217A172221442414AEllll-=-()()2189ll= -.,844141417 323121232221化成標(biāo)準(zhǔn)形化成標(biāo)準(zhǔn)形通過(guò)正交變換通過(guò)正交變換將二次型將二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例2 2從而得特征值從而得

54、特征值.18, 9321 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系代代入入將將, 091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系代代入入將將, 01832 xEA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3將特征向量正交化將特征向量正交化,11 取取.)1 , 1 , 21(1T ,22 ,2223233 得正交向量組得正交向量組.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231

55、P 所所以以4 4將正交向量組單位化，得正交矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣P于是所求正交變換為于是所求正交變換為,45503245451324525231321321 yyyxxxyyf 且且有有解解例例3 3.22 2222 , 434232413121化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形把把二二次次型型求求一一個(gè)個(gè)正正交交變變換換xxxxxxxxxxxxfPyx 二次型的矩陣為二次型的矩陣為,0111101111011110 A它它的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為.111111111111 EA有有四四列列都都加加到到第第一一列列上上三三把把二二計(jì)計(jì)算算特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式,:,

56、1111111111111)1( EA有有四行分別減去第一行四行分別減去第一行三三把二把二,1000212022101111)1( EA1221)1(2 .)1( )3()32()1(322 . 1, 34321 的的特特征征值值為為于于是是A, 0)3(,31 xEA解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,11111 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.1111211 p單位化即得單位化即得, 0)(,1432 xEA解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1111,1100,0011232 可可得得正正交交的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系單位化即得單位化即得 21212121,212100,002121432ppp于于是是正正交交變變換換為為 y

57、yyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且且有有例例14 P130求一個(gè)正交變換求一個(gè)正交變換x=Py，把二次型，把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。化為標(biāo)準(zhǔn)形。121 323222fx xx xx x= -+1.實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，在理論和實(shí)際中實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，在理論和實(shí)際中經(jīng)常遇到，通過(guò)經(jīng)常遇到，通過(guò)在二次型和對(duì)稱(chēng)矩陣之間建立一在二次型和對(duì)稱(chēng)矩陣之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為將對(duì)稱(chēng)矩將二次型的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為將對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣陣化為對(duì)角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問(wèn)題，請(qǐng)，而這是已經(jīng)解決了的問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們

58、注意這種研究問(wèn)題的思想方法同學(xué)們注意這種研究問(wèn)題的思想方法2.實(shí)二次型的化簡(jiǎn)，并不局限于使用正交實(shí)二次型的化簡(jiǎn)，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點(diǎn)，可以找到某種運(yùn)矩陣，根據(jù)二次型本身的特點(diǎn)，可以找到某種運(yùn)算更快的可逆變換下一節(jié)，我們將介紹另一種算更快的可逆變換下一節(jié)，我們將介紹另一種方法方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出 表示何種二次表示何種二次 1,321 xxxf曲面曲面. 323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 求一正交變換，將二次型求一正交變換，將二次型,333351315 A二二次次型型的的矩矩陣陣為為解解)

59、,9)(4()det( EA可可求求得得, 9, 4, 0321 的的特特征征值值為為于于是是A.111,011,211 321 ppp對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)特特征征向向量量為為將其單位化得將其單位化得,626161 111 ppq,02121222 ppq.313131 333 ppq故正交變換為故正交變換為,31062312161312161 321321 yyyxxx.94 2322yyf 化化二二次次型型為為.1),(321表示橢圓柱面表示橢圓柱面可知可知 xxxf用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保保持幾何形狀不變持幾何形狀不變問(wèn)題問(wèn)題有沒(méi)有其它方法，也可以把

60、二次型化有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？為標(biāo)準(zhǔn)形？問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法將一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用將一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變換正交變換法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，或者其它方法，這取決于問(wèn)題的要求如果要求找出一個(gè)正交矩這取決于問(wèn)題的要求如果要求找出一個(gè)正交矩陣，無(wú)疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一陣，無(wú)疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一個(gè)可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用個(gè)可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用正交變換法的好處是