彈 塑 性 力 學(課程復習小結(jié))

1、1彈彈 塑塑 性性 力力 學學( (課程復習小結(jié)課程復習小結(jié)) )李李 同同 林林2一、彈塑性力學及其學科分類一、彈塑性力學及其學科分類 二、二、彈塑性力學的研究對象彈塑性力學的研究對象三、三、彈塑性力學的基本思路與研究方法彈塑性力學的基本思路與研究方法四、四、彈塑性力學的基本任務彈塑性力學的基本任務五、五、彈塑性力學基本假設彈塑性力學基本假設六、六、彈塑性力學發(fā)展概況彈塑性力學發(fā)展概況七、七、現(xiàn)代力學的發(fā)展及其特點現(xiàn)代力學的發(fā)展及其特點九、張量概念及其基本運算九、張量概念及其基本運算八、彈塑性力學基本理論及基本解法八、彈塑性力學基本理論及基本解法3一、學科分類一、學科分類 彈塑性力學彈塑性力

2、學 1 1、學科分類、學科分類 按運動與否分按運動與否分：靜力學靜力學：研究力系或物體的平衡問題，不涉及 物體運動狀態(tài)的改變；如飛機停在地 面或巡航。運動學運動學：研究物體如何運動，不討論運動與受 力的關系； 如飛行軌跡、速度、 加速度。動力學：動力學：研究力與運動的關系。 如何提供加速度？4 按研究對象分按研究對象分： 一般力學一般力學： 研究對象是剛體研究對象是剛體。研究力及其與 運動的關系。分支學科有理論力學理論力學，分析力學分析力學等。 固體力學固體力學：研究對象是可變形固體。研究材料 變形、流動和斷裂時的力學響應。其分支學科有： 材料力學、結(jié)構力學、材料力學、結(jié)構力學、彈性力學、學、

3、 塑性力學、塑性力學、 彈塑性力學、斷裂力學、流變學、疲勞等。彈塑性力學、斷裂力學、流變學、疲勞等。 流體力學流體力學：研究對象是氣體或液體。涉及到： 水力學、空氣動力學水力學、空氣動力學等學科。5 按研究手段分按研究手段分：（理論分析、實驗和數(shù)值計算） 有實驗力學、計算力學實驗力學、計算力學二個方面的分支。 按應用領域分按應用領域分： 有飛行力學飛行力學、船舶結(jié)構力學船舶結(jié)構力學、巖土力學、量巖土力學、量 子力學子力學等。6 2 2、彈塑性力學、彈塑性力學 彈塑性力學是固體力學的一個重要分支彈塑性力學是固體力學的一個重要分支 學科，是研究可變形固體受到外荷載或溫度學科，是研究可變形固體受到外

4、荷載或溫度 變化等因素的影響而發(fā)生的應力、應變和位變化等因素的影響而發(fā)生的應力、應變和位 移及其分布規(guī)律的一門科學，是研究固體在移及其分布規(guī)律的一門科學，是研究固體在 受載過程中產(chǎn)生的彈性變形和塑性變形階段受載過程中產(chǎn)生的彈性變形和塑性變形階段 這兩個緊密相連的變形階段力學響應的一門這兩個緊密相連的變形階段力學響應的一門 科學。科學。 7二、二、 彈塑性力學的研究對象彈塑性力學的研究對象 在研究對象上，材料力學的研究對象是固體，且基本上是各種桿件，即所謂一維構件。造成兩者間這種差異的根本原因是什么呢？ 彈塑性力學研究對象也是固體，是不受彈塑性力學研究對象也是固體，是不受 幾何尺寸與形態(tài)限制的能

5、適應各種工程技術幾何尺寸與形態(tài)限制的能適應各種工程技術 問題需求的物體。問題需求的物體。8三、彈塑性力學的基本思路與研究方法三、彈塑性力學的基本思路與研究方法1 1、彈塑性力學分析問題的基本思路、彈塑性力學分析問題的基本思路 彈塑性力學與材料力學同屬固體力學的 分支學科，它們在分析問題解決問題的基本 思路上都是一致的，但在研究問題的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：9(1) (1) 受力分析及靜力平衡條件受力分析及靜力平衡條件 ( (力的分析力的分析) ) 對一點單元體的受力進行分析。若物體受力作用，處于 平衡狀態(tài)，則應當滿足的條件是什么？（靜力平衡條件靜力平衡條件）(3) (3) 力與變

6、形間的本構關系力與變形間的本構關系 ( (物理分析物理分析) ) 固體材料受力作用必然產(chǎn)生相應的變形。不同的材料，不同的變形，就有相應不同的物理關系。則對一點單元體的受力與變形間的關系進行分析，應滿足的條件是什么？（物理條件物理條件，也即本構方程。，也即本構方程。）(2) (2) 變形分析及幾何相容條件變形分析及幾何相容條件 ( (幾何分析幾何分析) ) 材料是連續(xù)的，物體在受力變形后仍應是連續(xù)的。固體內(nèi)既不產(chǎn)生“裂隙”，也不產(chǎn)生“重疊”。則材料變形時，對一點單元體的變形進行分析，應滿足的條件是什么？（幾幾何相容條件何相容條件）102 2、彈塑性力學研究問題的基本方法、彈塑性力學研究問題的基本

7、方法 材料力學研究問題的基本方法：材料力學研究問題的基本方法：選一維構件整體為研究對象變形前，在某表面繪制標志線；變形后，觀察總結(jié)構件表面變形的規(guī)律。做出平截面假設，經(jīng)三方面分析，解決問題。a、研究方法較簡單粗糙；b、涉及數(shù)學理論較簡單；c、材料力學的工程解答一般為近似解。11 彈塑性力學研究問題的基本方法彈塑性力學研究問題的基本方法以受力物以受力物體內(nèi)某一體內(nèi)某一點（單元點（單元體）為研體）為研究對象究對象 單元體的受力單元體的受力應力理論；應力理論； 單元體的變形單元體的變形變形幾何理論；變形幾何理論； 單元體受力與變形單元體受力與變形間的關系間的關系本構理本構理論；論； 建立起普建立起普

8、遍適用的理遍適用的理論與解法。論與解法。1 1、涉及數(shù)學理論較復雜，并以其理論與解法的嚴涉及數(shù)學理論較復雜，并以其理論與解法的嚴 密性和普遍適用性為特點；密性和普遍適用性為特點；2 2、彈塑性力學的工程解答一般認為是精確的；彈塑性力學的工程解答一般認為是精確的；3 3、可對初等力學理論解答的精確度和可靠進行度可對初等力學理論解答的精確度和可靠進行度 量。量。12提出問題，選擇有關的研究系統(tǒng)。對系統(tǒng)進行抽象與簡化，建立力學模型。利用力學原理進行分析、推理，得出結(jié)論與已知結(jié)論相比較，或由實驗進行驗證。確認或進一步改善模型，深化認識 3 3、工程力學一般研究方法、工程力學一般研究方法 工程力學解決問

9、題的一般研究方法工程力學解決問題的一般研究方法類似于類似于一般科學研究的普遍方法，可歸納為：一般科學研究的普遍方法，可歸納為：13四、四、 彈塑性力學的基本任務彈塑性力學的基本任務可歸納為以下幾點：可歸納為以下幾點： 1 1建立求解固體的應力、應變和位移分布規(guī)律的建立求解固體的應力、應變和位移分布規(guī)律的 基本方程和理論；基本方程和理論； 2 2給出初等理論無法求解的問題的理論和方法，給出初等理論無法求解的問題的理論和方法， 以及對初等理論可靠性與精確度的度量；以及對初等理論可靠性與精確度的度量； 3 3確定和充分發(fā)揮一般工程結(jié)構物的承載能力，確定和充分發(fā)揮一般工程結(jié)構物的承載能力， 提高經(jīng)濟效

10、益；提高經(jīng)濟效益； 4 4為進一步研究工程結(jié)構物的強度、振動、穩(wěn)定為進一步研究工程結(jié)構物的強度、振動、穩(wěn)定 性、斷裂等力學問題，奠定必要的理論基礎。性、斷裂等力學問題，奠定必要的理論基礎。14五、五、 彈塑性力學的基本假設彈塑性力學的基本假設（1 1）連續(xù)性假設：假定物質(zhì)充滿了物體所占有的）連續(xù)性假設：假定物質(zhì)充滿了物體所占有的 全部空間，不留下任何空隙。全部空間，不留下任何空隙。 （2 2）均勻性與各向同性的假設：假定物體內(nèi)部各點）均勻性與各向同性的假設：假定物體內(nèi)部各點 處，以及每一點處各個方向上的物理性質(zhì)相同。處，以及每一點處各個方向上的物理性質(zhì)相同。 1、物理假設、物理假設:（3 3）

11、力學模型的簡化假設：）力學模型的簡化假設： （A A）完全彈性假設完全彈性假設 ；（；（B B）彈塑性假設。彈塑性假設。152、幾何假設、幾何假設小變形條件小變形條件 （1 1）在彈塑性體產(chǎn)生變形后建立平衡方程時，可以）在彈塑性體產(chǎn)生變形后建立平衡方程時，可以 不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。 （2 2）在研究問題的過程中可以略去相關的二次及二）在研究問題的過程中可以略去相關的二次及二 次以上的高階微量；次以上的高階微量； 假定物體在受力以后，體內(nèi)的位移和變形是微小假定物

12、體在受力以后，體內(nèi)的位移和變形是微小 的，即體內(nèi)各點位移都遠遠小于物體的原始尺寸，而的，即體內(nèi)各點位移都遠遠小于物體的原始尺寸，而 且應變且應變( ( 包括線應變與角應變包括線應變與角應變 ) )均遠遠小于均遠遠小于1 1。根據(jù)。根據(jù) 這一假定：這一假定： 16六、彈塑性力學發(fā)展概況六、彈塑性力學發(fā)展概況 1678 1678年年英國科學家虎克英國科學家虎克( (R.Hooke)R.Hooke)提出提出 了固體材了固體材 料的彈性變形與所受外力成正比料的彈性變形與所受外力成正比虎克定律?；⒖硕?。 1919世紀世紀2020年代，法國科學家納維葉年代，法國科學家納維葉 ( ( C.L.M.H.Na

13、vier )C.L.M.H.Navier )、柯西柯西 ( ( A.L.Cauchy )A.L.Cauchy )和和 圣文南圣文南 ( ( A.J.C.B.Saint Venant ) A.J.C.B.Saint Venant ) 等建立了等建立了 彈性力學的理論基礎。彈性力學的理論基礎。17 法國科學家?guī)靷?C.A.Corlomb1773年）、 屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、 圣文南和萊 ( M.Levy ) 波蘭力學家胡勃(M.T.Houber 1904年）、 米塞斯(R.von Mises1913年）、 普朗特(L.Prandtl 1924) 羅伊斯(A.Reuss 1930)

14、、享奇 （H.Hencky)、 納戴(A.L.Nadai) 、伊留申(A.A.) 闡明了應力、應變的概念和理論；闡明了應力、應變的概念和理論； 彈性力學和彈塑性力學的基本理論框彈性力學和彈塑性力學的基本理論框架得以確立架得以確立。18七、七、現(xiàn)代力學的發(fā)展及其特點現(xiàn)代力學的發(fā)展及其特點材料與對象材料與對象： 金屬、土木石等 新型復合材料、 高分子材料、 結(jié)構陶瓷、功能材料。 尺尺 度度：宏觀、連續(xù)體 含缺陷體，細、微觀、 納米尺度。實驗技術實驗技術： 電、光測試實驗技術 全息、超聲、 光纖測量，及實驗裝置的大型化。1 1、現(xiàn)代力學的發(fā)展、現(xiàn)代力學的發(fā)展19設計準則設計準則：靜強度、 斷裂控制設

15、計、抗疲勞設 計、剛度設計 損傷容限設計、結(jié)構優(yōu)化 設計、耐久性設計和可靠性設計等。設計目標設計目標：保證結(jié)構與構件的安全和功能 設計制造使用維護的綜合性分析 與控制，功能安全經(jīng)濟的綜合性評價， 自感知、自激勵、自適應（甚至自診斷、自修復） 的智能結(jié)構。應用領域應用領域：航空、土木、機械、材料生命、微電 子技術等。20 引進新的科學技術成果，引進新的科學技術成果， 內(nèi)容更加豐富：內(nèi)容更加豐富： 新材料復合材料、聚合物等；新材料復合材料、聚合物等； 新概念失效、壽命等；新概念失效、壽命等； 新理論損傷、混沌等；新理論損傷、混沌等； 新方法數(shù)值方法、工程力學建模方法。新方法數(shù)值方法、工程力學建模方

16、法。21 2 2現(xiàn)代力學的特點現(xiàn)代力學的特點 與計算機應用相結(jié)合與計算機應用相結(jié)合， 與其他基礎或技術學科相互結(jié)合與滲透。與其他基礎或技術學科相互結(jié)合與滲透。材料設計材料設計：按所要求的性能設計材料。(90年代)計算機應用計算機應用：計算力學計算力學+ +計算機應用計算機應用解決復雜、解決復雜、 (60(60年代年代) ) 困難的工程實際問題。困難的工程實際問題。使工程結(jié)構分析技術；（結(jié)合CAD技術） 監(jiān)測、控制技術（如振動監(jiān)測、故障診斷）； 工程系統(tǒng)動態(tài)過程的計算機數(shù)值仿真技術； 廣泛應用至各工程領域。22智能結(jié)構智能結(jié)構： 90 90年代開始，力學與材料、控制（包括年代開始，力學與材料、控

17、制（包括傳感與激勵）、計算機相結(jié)合，研究發(fā)展面向傳感與激勵）、計算機相結(jié)合，研究發(fā)展面向2121世紀世紀的、的、具有具有“活活”的功能的智能結(jié)構的功能的智能結(jié)構。生物力學生物力學： (70 (70年代馮元禎博士年代馮元禎博士) ) 生物材料力學性能、微循環(huán)、定量生理學、心血管系生物材料力學性能、微循環(huán)、定量生理學、心血管系統(tǒng)臨床問題和生物醫(yī)學工程等。統(tǒng)臨床問題和生物醫(yī)學工程等。“沒有生物力學，就不能很好地了解生理學。沒有生物力學，就不能很好地了解生理學?！?3八八、 彈塑性力學的基本理論與解法彈塑性力學的基本理論與解法 彈塑性力學和材料力學都是固體力學的分支彈塑性力學和材料力學都是固體力學的分

18、支學科，所求解的大多數(shù)問題都是超靜定問題。因?qū)W科，所求解的大多數(shù)問題都是超靜定問題。因此，在分析問題研究問題時的最基本思路是相同此，在分析問題研究問題時的最基本思路是相同的，即對于一個靜不定問題的求解，一般都要經(jīng)的，即對于一個靜不定問題的求解，一般都要經(jīng)過三個方面的分析，這三個方面分別為：（過三個方面的分析，這三個方面分別為：（1 1）靜）靜力平衡條件分析；（力平衡條件分析；（2 2）幾何變形協(xié)調(diào)條件分析；）幾何變形協(xié)調(diào)條件分析；（3 3）物理條件分析。從而獲得三類基本方程，聯(lián)）物理條件分析。從而獲得三類基本方程，聯(lián)立求解，再滿足具體問題的邊界條件，即可使靜立求解，再滿足具體問題的邊界條件，即

19、可使靜不定問題得到解決。這三方面的方程匯集于下：不定問題得到解決。這三方面的方程匯集于下： 彈塑性力學的基本理論框架彈塑性力學的基本理論框架24(1)平衡（或運動方程）：平衡（或運動方程）： 0ijijF(2)(2)、幾何方程：、幾何方程：)(21 ijjiijuu ijijijEE1ii(3)本構方程（物性方程）本構方程（物性方程） （A A）在彈性變形階段，）在彈性變形階段，0)(ijf（B B）在彈塑性變形階段，屈服函數(shù)）在彈塑性變形階段，屈服函數(shù) 增量理論（流動理論）：增量理論（流動理論）： 則有：全量理論（形變理論）：全量理論（形變理論）： 25（i）Prandtl-Reuss理論理

20、論)21(mmijpijijKssGed3d 2d3d21d )a (，理想彈塑性材料（b）等向強化材料）等向強化材料 mmijijijKssGed3d 2d3d21d， 增量理論（流動理論）：增量理論（流動理論）：)21(0d d23dmijijs，0d 2d3dmijijs，（i i）Levy-Mises （a）理想剛塑性材料）理想剛塑性材料 （b）等向強化材料）等向強化材料 。26全量理論（形變理論）：全量理論（形變理論）： 2/1 )21( 3 )21( 23，；，mmijijKse以以 為代表（強化材料）為代表（強化材料）ijij iu 總之，當物體發(fā)生變形時，不論彈性變形或塑性總之

21、，當物體發(fā)生變形時，不論彈性變形或塑性變形問題，共有變形問題，共有 3 3 個平衡微分方程，個平衡微分方程，6 6 個幾何方程和個幾何方程和 6 6 個本構方程，共計個本構方程，共計 15 15 個獨立方程（統(tǒng)稱泛定方程個獨立方程（統(tǒng)稱泛定方程）。而問題共計有：）。而問題共計有： 、 、 1515個基本未知函數(shù)。個基本未知函數(shù)。因此，在給定邊界條件時，問題是可以求解的。彈塑性因此，在給定邊界條件時，問題是可以求解的。彈塑性靜力學的這種問題在數(shù)學上稱為求解邊值問題。靜力學的這種問題在數(shù)學上稱為求解邊值問題。 27 任何一個固體力學參量在具體受力物體內(nèi)一任何一個固體力學參量在具體受力物體內(nèi)一般都是

22、體內(nèi)各點（般都是體內(nèi)各點（x, y, zx, y, z）的函數(shù)，它們滿足的）的函數(shù)，它們滿足的方程方程( (泛定方程泛定方程) )相同。相同。 然而由于物體幾何尺寸的不同，載荷大小與然而由于物體幾何尺寸的不同，載荷大小與分布的不同，必然導致物體內(nèi)各點應力、應變與分布的不同，必然導致物體內(nèi)各點應力、應變與位移的大小和變化規(guī)律是千變?nèi)f化的，也就是說位移的大小和變化規(guī)律是千變?nèi)f化的，也就是說，單靠這些泛定方程是不足以解決具體問題的。，單靠這些泛定方程是不足以解決具體問題的。 從力學觀點上來說，所有滿足泛定方程的應從力學觀點上來說，所有滿足泛定方程的應力、應變和位移，也應該同時滿足物體力、應變和位移，

23、也應該同時滿足物體( (表面表面) )與與外界作用的條件，也即應力邊界條件和位移邊界外界作用的條件，也即應力邊界條件和位移邊界條件；條件； 28)( 上在，TijijSFl )( , u上在uiiSu(4)(4)邊界條件邊界條件 （A A）應力邊界條件）應力邊界條件： （B B）位移邊界條件：）位移邊界條件： 根據(jù)具體問題邊界條件類型的不同，常把邊根據(jù)具體問題邊界條件類型的不同，常把邊值問題分為三類。值問題分為三類。29 第一類邊值問題：第一類邊值問題：給定物體的體力和面力，給定物體的體力和面力，求在平衡狀態(tài)下的應力場和位移場，即所謂邊界求在平衡狀態(tài)下的應力場和位移場，即所謂邊界應力已知的問題

24、。應力已知的問題。 第二類邊值問題：第二類邊值問題：給定物體的體力和物體給定物體的體力和物體表面各點位移的約束情況，求在平衡狀態(tài)下的應表面各點位移的約束情況，求在平衡狀態(tài)下的應力場和物體內(nèi)部的位移場，即所謂邊界位移已知力場和物體內(nèi)部的位移場，即所謂邊界位移已知的問題。的問題。 第三類邊值問題：第三類邊值問題：在物體表面上，一部分在物體表面上，一部分給定面力，其余部分給定位移給定面力，其余部分給定位移( (或在部分表面上給或在部分表面上給定外力和位移關系定外力和位移關系) )的條件下求解上述問題，即所的條件下求解上述問題，即所謂混合邊值問題。謂混合邊值問題。30 彈塑性力學的基本解法彈塑性力學的

25、基本解法: : 1 1位移法位移法：用位移作為基本未知量，來求解用位移作為基本未知量，來求解邊值問題的方法，稱為位移法。邊值問題的方法，稱為位移法。 2 2應力法應力法：用應力作為基本未知量來問題，用應力作為基本未知量來問題，叫應力法。叫應力法。 3 3混合法混合法：對第三類邊值問題則宜以各點的對第三類邊值問題則宜以各點的一部分位移分量和一部分應力分量作為基本未知量一部分位移分量和一部分應力分量作為基本未知量混合求解。這種方法叫混合法?；旌锨蠼?。這種方法叫混合法。 在求解彈塑性邊值問題時，有三種不同的在求解彈塑性邊值問題時，有三種不同的解題方法，即：解題方法，即：31 上述位移法、應力法和混合

26、法統(tǒng)稱為直接解法。上述位移法、應力法和混合法統(tǒng)稱為直接解法。盡管這些方法的建立在理論上有著重大意義，但在實盡管這些方法的建立在理論上有著重大意義，但在實際解題過程中卻很少原原本本地按上述步驟去做，原際解題過程中卻很少原原本本地按上述步驟去做，原因還是在于數(shù)學上的困難和復雜性。因還是在于數(shù)學上的困難和復雜性。在彈塑性力學解在彈塑性力學解題方法中經(jīng)常采用如下方法：題方法中經(jīng)常采用如下方法： （1 1）逆解法：）逆解法：設位移或應力的函數(shù)式是已知的，設位移或應力的函數(shù)式是已知的，然后代入上述有關方程中求得應變和應力或應變和位然后代入上述有關方程中求得應變和應力或應變和位移，并且要求滿足邊界條件。移，

27、并且要求滿足邊界條件。 （2 2）半逆解法：）半逆解法：也稱湊合解法。所謂半逆解法就也稱湊合解法。所謂半逆解法就是在未知量中，先根據(jù)問題的特點假設一部分應力或是在未知量中，先根據(jù)問題的特點假設一部分應力或位移為已知，然后在基本方程和邊界條件中，求解另位移為已知，然后在基本方程和邊界條件中，求解另一部分，這樣便得到了全部未知量。一部分，這樣便得到了全部未知量。 32、應力的概念、應力的概念: : 受力物體內(nèi)某點受力物體內(nèi)某點某截面上內(nèi)力的分布某截面上內(nèi)力的分布集度集度 3.3.應力、應力狀態(tài)、應力理論應力、應力狀態(tài)、應力理論33應力應力正應力正應力剪應力剪應力 ddlimddlim00ntnnA

28、nnnAAFAFAFAF必須指明兩點：必須指明兩點：1.1.是哪一點的應力；是哪一點的應力；2.2.是該點哪個微截面的應力。是該點哪個微截面的應力。34、應力狀態(tài)的概念：、應力狀態(tài)的概念：受力物體內(nèi)某點處所取受力物體內(nèi)某點處所取 無限多截面上的應力情況的總和，就顯示和表無限多截面上的應力情況的總和，就顯示和表 明了該點的應力狀態(tài)明了該點的應力狀態(tài) 應力的表示及符號規(guī)則應力的表示及符號規(guī)則正應力：正應力：剪應力：剪應力：第一個字母表明該應力作用截面第一個字母表明該應力作用截面的外法線方向同哪一個坐標軸相的外法線方向同哪一個坐標軸相平行，第二個字母表明該應力的平行，第二個字母表明該應力的指向同哪個

29、坐標軸相平行。指向同哪個坐標軸相平行。 xyxxx35. .應力張量應力張量 數(shù)學上，在坐標變換時，服從一定坐標變換式數(shù)學上，在坐標變換時，服從一定坐標變換式的九個數(shù)所定義的量，叫做二階張量。根據(jù)這一定的九個數(shù)所定義的量，叫做二階張量。根據(jù)這一定義，物體內(nèi)一點處的應力狀態(tài)可用二階張量的形式義，物體內(nèi)一點處的應力狀態(tài)可用二階張量的形式來表示，并稱為應力張量，而各應力分量即為應力來表示，并稱為應力張量，而各應力分量即為應力張量的元素，且由剪應力等定理知，應力張量應是張量的元素，且由剪應力等定理知，應力張量應是一個對稱的二階張量，簡稱為一個對稱的二階張量，簡稱為應力張量應力張量。zzyzxyzyyx

30、xzxyxij zyzxzzyyxyzxyxxj i或或（2 23 3） 據(jù)剪應力互等定理據(jù)剪應力互等定理 , ,應力張量應是應力張量應是一個對稱的二階張量。一個對稱的二階張量。 )(jijiij36 )()( )( )()( )( )()( )( 222 222 222 1331113312331332113212311333123211313321312332233322312232213323322231212311211322132312211222112313221221113133333232312332322312123232222212232222211113131212112

31、13212211lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllzxyzxyzyxxzzxyzxyzyxzyzxyzxyzyxyxzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxj ji iijj ill . . 應力分量轉(zhuǎn)換方程應力分量轉(zhuǎn)換方程 37 、平面應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)02cos2sin2 cossin)()sin(cos2sin2cos22 cossin2sincos2222zxxyyxxyxyyxxyyxyxxyyxx 3822minmax22xyyxyx

32、 yxxy22tg0 注意：材力與彈塑性力學中關于應力符號的注意：材力與彈塑性力學中關于應力符號的 差異。差異。39. . 主應力主應力應力主方向應力主方向應力張量不變量應力張量不變量 主平面：主平面：一點應力狀態(tài)剪應力等于零的截面稱為主平面一點應力狀態(tài)剪應力等于零的截面稱為主平面 主應力主應力 ：主平面上的正應力稱為該點的主應力主平面上的正應力稱為該點的主應力 主方向主方向 ：主平面的法線方向即為主方向主平面的法線方向即為主方向主單元體：主單元體：由主平面截取的單元體稱為主單元體由主平面截取的單元體稱為主單元體032213IIInnn 理論上可證明：當一點的應力狀態(tài)確定時，經(jīng)推導理論上可證明

33、：當一點的應力狀態(tài)確定時，經(jīng)推導必可求出三個實根，即為主應力，且必可求出三個實根，即為主應力，且主應力彼此正交。主應力彼此正交。 32140則知則知: : 0jl 0jl 2 )(21 222322221ijxyzzxyyzxzxyzxyzyxzzyzxyzyyxxzxyxjiijjjiizxyzxyxzzyyxiizyxIII 321313322123211 III 41 0)(0)(0)(321321321lllllllllnzzyzxyznyyxxzxynx nijij0jl 42、最大（最?。┘魬ψ畲螅ㄗ钚。┘魬椋簽椋?31minmax 最大（最?。┘魬ψ饔媒孛嫔?，一般正應力最

34、大（最?。┘魬ψ饔媒孛嫔?，一般正應力 不為零，即：不為零，即：231132322322112 43. .空間應力圓空間應力圓 一點應力狀態(tài)一點應力狀態(tài)用解析法研究用解析法研究用幾何法研究用幾何法研究解析理論解析理論莫爾應力圓莫爾應力圓44. .應力張量的分解應力張量的分解mzzyzxyzmyyxxzxymxmmm000000+ +ijmijijS+ + 45 通常對于金屬材料有：通常對于金屬材料有： 將應力張量的分解：將應力張量的分解： ，更有利于，更有利于研研 究固體材料的塑性變形行為。究固體材料的塑性變形行為。 ijmijijS+ + 巖土材料球應力張量作用，一般也會出現(xiàn)塑巖土材料球應力

35、張量作用，一般也會出現(xiàn)塑 性體變，從而出現(xiàn)奇異屈服面。性體變，從而出現(xiàn)奇異屈服面。球應力張量球應力張量體變：只是彈性變形體變：只是彈性變形偏斜應力張偏斜應力張量量畸變：首先產(chǎn)生彈性應變，畸變：首先產(chǎn)生彈性應變，當應力達到一定的極值時，當應力達到一定的極值時，將產(chǎn)生塑性的畸變。將產(chǎn)生塑性的畸變。46. .平衡（或運動）微分方程平衡（或運動）微分方程 47 平衡微分方程平衡微分方程： 一個客觀的彈性力學問題，在物體體內(nèi)任意一點的一個客觀的彈性力學問題，在物體體內(nèi)任意一點的 應力分量和體力分量必定滿足這組方程。應力分量和體力分量必定滿足這組方程。 求解應力場的問題是一個靜不定問題。求解應力場的問題是

36、一個靜不定問題。 體力分量指向同坐標軸正向一致取正，反之負體力分量指向同坐標軸正向一致取正，反之負。 0 0 0 222222twFzyxtvFzyxtuFzyxzzyzxzyzyyxyxzxyxx0ijijF48. .靜力邊界條件靜力邊界條件 一個客觀的彈塑性力學問題，在物體邊界上一個客觀的彈塑性力學問題，在物體邊界上 任意一點的應力分量和面力分量必定滿足這任意一點的應力分量和面力分量必定滿足這 組方程。組方程。 面力分量指向同坐標軸正向一致取正，反之面力分量指向同坐標軸正向一致取正，反之 取負。取負。 321321321lllFlllFlllFzzyzxzyzyyxyxzxyxxjjiil

37、F 49 當邊界面與某一坐標軸相垂直時，應力分當邊界面與某一坐標軸相垂直時，應力分量量 與相應的面力分量直接對應相等。與相應的面力分量直接對應相等。 關于平面問題的應力邊界條件（關于平面問題的應力邊界條件（xoyxoy平面）：平面）： 2121yyyxxxyxFllFll50例題：例題：試列出圖示梁的應力邊界條件解。試列出圖示梁的應力邊界條件解。51下邊界：下邊界：左邊界：據(jù)圣文南原理和平衡的原理得：左邊界：據(jù)圣文南原理和平衡的原理得：上邊界：上邊界：lqxy/0yx sincossin coscossin00qqyxyxyx tg)( tg )( 0y0 xqcqxyxyhhhhyhhxMy

38、yMPyFyF 0d , 00d , 00d , 0 x0 xyxhhxhhxyhhxMyyPyy dd 0d tanxy 524 4、位移、位移、應變、應變狀態(tài)、應變理論應變、應變狀態(tài)、應變理論 研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需 研究物體內(nèi)各點的相對位置變動情況，即研究研究物體內(nèi)各點的相對位置變動情況，即研究 變形位移。變形位移。位移位移剛性位移：反映物體整體位置的變動剛性位移：反映物體整體位置的變動變形位移：反映物體的形狀和尺寸發(fā)生變化變形位移：反映物體的形狀和尺寸發(fā)生變化、位移分量和相對位移分量、位移分量和相對位移分量53 通常物體內(nèi)各點的位移應是

39、點的位置坐通常物體內(nèi)各點的位移應是點的位置坐標函數(shù)，參照標函數(shù)，參照oxyzoxyz坐標即為：坐標即為：), , ( ), , ( ), , ( zyxwwzyxvvzyxuu； 位移函數(shù)應是位置坐標的單值連續(xù)函數(shù)。位移函數(shù)應是位置坐標的單值連續(xù)函數(shù)。 位移分量函數(shù)不能直接表明物體各點處材料變形位移分量函數(shù)不能直接表明物體各點處材料變形 的劇烈程度，還需要研究物體內(nèi)各點的相對位移。的劇烈程度，還需要研究物體內(nèi)各點的相對位移。54、應變的概念、幾何方程、應變的概念、幾何方程 應變的概念：應變的概念：55線應變線應變、涉及受力物體內(nèi)某一點；、涉及受力物體內(nèi)某一點；、涉及該點的某一方向；、涉及該點的

40、某一方向；、是一個無量綱的物理量。、是一個無量綱的物理量。角應變角應變、涉及受力物體內(nèi)某一點；涉及受力物體內(nèi)某一點；、涉及過該點的某兩相垂直方向；、涉及過該點的某兩相垂直方向；、是一個有單位，無量綱的物量。、是一個有單位，無量綱的物量。56 應變的符號規(guī)則：應變的符號規(guī)則： 表征某點某方向伸長變形的線應變表征某點某方向伸長變形的線應變?nèi)≌?，反之取負；取正，反之取負?表征某點兩坐標軸正方向所夾直角表征某點兩坐標軸正方向所夾直角減少的角應變?nèi)≌?，反之取負。減少的角應變?nèi)≌?，反之取負?應變狀態(tài)應變狀態(tài). .應變張量應變張量 受力物體內(nèi)某點處線應變和剪應變的總和，受力物體內(nèi)某點處線應變和剪應變的總

41、和，反映和表征了該點的變形程度，稱之為應變狀態(tài)。反映和表征了該點的變形程度，稱之為應變狀態(tài)。 一點的應變狀態(tài)可用二階張量的形式來表示，一點的應變狀態(tài)可用二階張量的形式來表示，稱為應變張量，用表示稱為應變張量，用表示，即：即：57zyzyxzxyx)(212121對稱zyzyxzxyxij)(對稱zwywzvyvxwzuxvyuxu)(212121對稱=58 幾何方程：幾何方程：zuxwzwywvyvxvyuxuzxzyzyxyx z ； 該式表明了一點處的位移分量和應變分量所應滿該式表明了一點處的位移分量和應變分量所應滿足的關系，稱為幾何方程，也稱為柯西足的關系，稱為幾何方程，也稱為柯西( (

42、Augustin-Augustin-Louis Cauchy)Louis Cauchy)幾何關系。其縮寫式為：幾何關系。其縮寫式為： ),()(21zyxjiuuijjiij59 應變狀態(tài)與應力狀態(tài)都是二階對稱張量，因此在數(shù)應變狀態(tài)與應力狀態(tài)都是二階對稱張量，因此在數(shù) 學上兩者所遵循的坐標變換法則是相同的。學上兩者所遵循的坐標變換法則是相同的。)()()()(2)()()()(2)()()()(21331113312331332113212311333123211313321312332233322312232213323322231212311211322132312211222112313

43、22122111313333323231233232231212323222221223222221111313121211213212211lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllzxyzxyzyxxzzxyzxyzyxzyzxyzxyzyxyxzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxjjiiijjill60、應變張量的分解、應變張量的分解 應變張量也可分解為應變球張量和應變偏張量即：應變張量也可分解為應變球張量和應變偏張量即：mzzyzxyzmyyx

44、xzxymxmmmzzyzxyzyyxxzxyzij212121212121000000)(31)(31321zyxmijijmije61、變形連續(xù)性條件、變形連續(xù)性條件 由幾何方程可知，六個獨立的應變分量是表征一由幾何方程可知，六個獨立的應變分量是表征一 點應變狀態(tài)的，彼此間是不能相互獨立的。因此，點應變狀態(tài)的，彼此間是不能相互獨立的。因此， 六個獨立的應變分量應滿足一定的條件。六個獨立的應變分量應滿足一定的條件。yxzyxzxzyxzyzyxzyxxzzxzyyzyxxyzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzxzxxzyzzyxyyx22222222222222222222262 其數(shù)學

45、意義：其數(shù)學意義：要求要求要求位移函數(shù)在其定義域內(nèi)為要求位移函數(shù)在其定義域內(nèi)為 單值連續(xù)函數(shù)，其方程就是位移函數(shù)的全微分條單值連續(xù)函數(shù)，其方程就是位移函數(shù)的全微分條 件。件。 其物理意義：其物理意義：就是要保證不違反連續(xù)性假設，構就是要保證不違反連續(xù)性假設，構 成物體的介質(zhì)在變形前后是連續(xù)的，并且物體內(nèi)成物體的介質(zhì)在變形前后是連續(xù)的，并且物體內(nèi) 每一點的位移必定是確定的，即同一點不會產(chǎn)生每一點的位移必定是確定的，即同一點不會產(chǎn)生 兩個或兩個以上的位移。這就是說，相鄰點發(fā)生兩個或兩個以上的位移。這就是說，相鄰點發(fā)生 微小位移后，仍為相鄰點，否則物體在變形后將微小位移后，仍為相鄰點，否則物體在變形

46、后將 出現(xiàn)間隙或重疊現(xiàn)象。出現(xiàn)間隙或重疊現(xiàn)象。 63 變形連續(xù)性條件變形連續(xù)性條件反映了真實情況下物體內(nèi)各點應反映了真實情況下物體內(nèi)各點應 變之間的協(xié)調(diào)關系。變之間的協(xié)調(diào)關系。 關于平面問題，變形連續(xù)性條件簡化為：關于平面問題，變形連續(xù)性條件簡化為： 對于多連域問題，物體變形除滿足相容條件（必對于多連域問題，物體變形除滿足相容條件（必 要條件）外，還要補充條件（充分條件）。要條件）外，還要補充條件（充分條件）。yxxyxyyx22222645 5、彈性變形、塑性變形、本構方程、彈性變形、塑性變形、本構方程 表明固體材料產(chǎn)生彈性變形或塑性變形時應力表明固體材料產(chǎn)生彈性變形或塑性變形時應力 與應變

47、，以及應力率與應變率之間關系的物性與應變，以及應力率與應變率之間關系的物性 方程，稱為本構方程（關系）。方程，稱為本構方程（關系）。 大量實驗證實，固體受力變形時，應力與應大量實驗證實，固體受力變形時，應力與應 變間的關系是相輔相成的。變間的關系是相輔相成的。 固體材料在一定條件下，應力與應變之間各固體材料在一定條件下，應力與應變之間各 自有著確定的關系，這一關系反映著固體材自有著確定的關系，這一關系反映著固體材 料的客觀力學特性。料的客觀力學特性。65 固體材料彈性變形具以下特點：固體材料彈性變形具以下特點： 彈性變形是可逆的。物體在變形過程中，外力所彈性變形是可逆的。物體在變形過程中，外力

48、所 做的功以能量（應變能）的形式貯存在物體內(nèi)，做的功以能量（應變能）的形式貯存在物體內(nèi)， 當卸載時，彈性應變能將全部釋放出來，物體的當卸載時，彈性應變能將全部釋放出來，物體的 變形得以完全恢復；變形得以完全恢復； 無論材料是處于單向應力狀態(tài)，還是復雜應力狀無論材料是處于單向應力狀態(tài)，還是復雜應力狀 態(tài)，在線彈性變形階段，應力和應變成線性比例態(tài)，在線彈性變形階段，應力和應變成線性比例 關系；關系； 對材料加載或卸載，其應力應變曲線路徑相同。對材料加載或卸載，其應力應變曲線路徑相同。 因此，應力與應變是一一對應的關系。因此，應力與應變是一一對應的關系。66 固體材料塑性變形具以下特點：固體材料塑性

49、變形具以下特點： 塑性變形不可恢復，所以外力功不可逆，塑性變形的產(chǎn)生必定塑性變形不可恢復，所以外力功不可逆，塑性變形的產(chǎn)生必定 要耗散能量（稱耗散能或形變功）。要耗散能量（稱耗散能或形變功）。 在塑性變形階段，其應力應變關系是非線性的。由于本構方程在塑性變形階段，其應力應變關系是非線性的。由于本構方程 的非線性，所以不能使用疊加原理。又因為加載與卸載的規(guī)律的非線性，所以不能使用疊加原理。又因為加載與卸載的規(guī)律 不同，應力與應變之間不再存在一一對應的關系，即應力與相不同，應力與應變之間不再存在一一對應的關系，即應力與相 應的應變不能唯一地確定，而應當考慮到加載路徑（或加載歷應的應變不能唯一地確定

50、，而應當考慮到加載路徑（或加載歷 史）。史）。 在載荷作用下，變形體有的部分仍處于彈性狀態(tài)稱彈性區(qū)，有在載荷作用下，變形體有的部分仍處于彈性狀態(tài)稱彈性區(qū)，有 的部分已進入了塑性狀態(tài)稱塑性區(qū)。在彈性區(qū)，加載與卸載都的部分已進入了塑性狀態(tài)稱塑性區(qū)。在彈性區(qū)，加載與卸載都 服從廣義虎克定律。但在塑性區(qū)，加載過程服從塑性規(guī)律，而服從廣義虎克定律。但在塑性區(qū)，加載過程服從塑性規(guī)律，而 在卸載過程中則服從彈性的虎克定律。并且隨著載荷的變化，在卸載過程中則服從彈性的虎克定律。并且隨著載荷的變化， 兩區(qū)域的分界面也會產(chǎn)生變化。兩區(qū)域的分界面也會產(chǎn)生變化。 依據(jù)屈服條件，判斷材料是否處于塑性變形狀態(tài)。依據(jù)屈服條

51、件，判斷材料是否處于塑性變形狀態(tài)。 676 6、彈性應變能函數(shù)、彈性應變能函數(shù) 彈性體的實功原理：若對于靜荷載作用下產(chǎn)生彈彈性體的實功原理：若對于靜荷載作用下產(chǎn)生彈 性變形過程中不計能量耗散，則據(jù)功能原理：產(chǎn)性變形過程中不計能量耗散，則據(jù)功能原理：產(chǎn) 生此變形的外力在加載過程中所作的功將以一種生此變形的外力在加載過程中所作的功將以一種 能量的形式被積累在物體內(nèi)，此能量稱為彈性應能量的形式被積累在物體內(nèi)，此能量稱為彈性應 變能，或稱彈性變形能。并且物體的彈性應變能變能，或稱彈性變形能。并且物體的彈性應變能 在數(shù)值上等于外力功。這就是實功原理，也稱變在數(shù)值上等于外力功。這就是實功原理，也稱變 形能

52、原理。若彈性應變能用形能原理。若彈性應變能用U U 表示，外力功用表示，外力功用W We e 表示，則有：表示，則有： eWU 68九、張量概念及其基本運算九、張量概念及其基本運算 1 1、張量概念、張量概念 張量分析是研究固體力學、流體力學及連續(xù)介張量分析是研究固體力學、流體力學及連續(xù)介 質(zhì)力學的重要數(shù)學工具質(zhì)力學的重要數(shù)學工具 。 張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。 任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進行的，任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進行的， 它們是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的。它們是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的。 分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與

53、人們分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與人們 當時對客觀事物的認識水平有關，會影響問題當時對客觀事物的認識水平有關，會影響問題 的求解與表述。的求解與表述。 69 所有與坐標系選取無關的量，統(tǒng)稱為所有與坐標系選取無關的量，統(tǒng)稱為物理恒量物理恒量。 在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明 的物理量，統(tǒng)稱為的物理量，統(tǒng)稱為標量標量。例如溫度、質(zhì)量、功等。例如溫度、質(zhì)量、功等。 在一定單位制下，除指明其大小還應指出其方向在一定單位制下，除指明其大小還應指出其方向 的物理量，稱為的物理量，稱為矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。 絕對標量只需

54、一個量就可確定，而絕對矢量則需絕對標量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需 三個分量來確定。三個分量來確定。 若我們以若我們以r r表示維度，以表示維度，以n n表示冪次，則關于三維表示冪次，則關于三維 空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表 示成：示成：nrM 70 現(xiàn)令現(xiàn)令 n n 為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物 理量為張量。理量為張量。 二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直 觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間 可由坐標

55、變換關系式來解決定義?？捎勺鴺俗儞Q關系式來解決定義。當當n=0n=0時，零階張量，時，零階張量，M = 1M = 1，標量；標量；當當n=1n=1時，一階張量，時，一階張量，M = 3M = 3，矢量；矢量； 、 、 、當取當取n n時，時，n n階張量，階張量，M = 3M = 3n n。71 在張量的討論中，都采用下標字母符號，來表在張量的討論中，都采用下標字母符號，來表 示和區(qū)別該張量的所有分量。示和區(qū)別該張量的所有分量。 不重復出現(xiàn)的下標符號稱為自由標號。自由標不重復出現(xiàn)的下標符號稱為自由標號。自由標 號在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標號的數(shù)號在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標號的數(shù) 量

56、確定張量的階次。量確定張量的階次。 重復出現(xiàn)，且只能重復出現(xiàn)一次的下標符號稱重復出現(xiàn)，且只能重復出現(xiàn)一次的下標符號稱 為啞標號或假標號。啞標號在其方程內(nèi)先羅列，為啞標號或假標號。啞標號在其方程內(nèi)先羅列， 再不求和。再不求和。2.2.下標記號法下標記號法 本教程張量下標符號的變程，僅限于三維空間，本教程張量下標符號的變程，僅限于三維空間， 即變程為即變程為3 3。723.3.求和約定求和約定 關于啞標號應理解為取其變程關于啞標號應理解為取其變程N N內(nèi)所有數(shù)值，內(nèi)所有數(shù)值， 然后再求和，這就叫做求和約定。然后再求和，這就叫做求和約定。 例如：例如： 31332211iiiiibababababa

57、31332211jiiijijjijbababababa3131ijjiijjiijcbacba311321121111cbacbacba323322221221cbacbacba333323321331cbacbacba73aaaaajiiii222211312223322112312)(iiiii3131ijijijijij13131212111123232222212133333232313174 關于求和標號，即啞標有：關于求和標號，即啞標有： 求和標號可任意變換字母求和標號可任意變換字母表示。表示。 求和約定只適用于字母標號，不適用于數(shù)字標號。求和約定只適用于字母標號，不適用于數(shù)字標號。 在運算中，括號內(nèi)的求和標號應在進行其它運算前在運算中，括號內(nèi)的求和標號應在進行其它運算前 優(yōu)先求和。例：優(yōu)先求和。例： 2332222112aaaaii23322112)()(aaaaii75