彈 塑 性 力 學(xué)(課程復(fù)習(xí)小結(jié))

1、1彈彈 塑塑 性性 力力 學(xué)學(xué)( (課程復(fù)習(xí)小結(jié)課程復(fù)習(xí)小結(jié)) )李李 同同 林林2一、彈塑性力學(xué)及其學(xué)科分類一、彈塑性力學(xué)及其學(xué)科分類 二、二、彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象三、三、彈塑性力學(xué)的基本思路與研究方法彈塑性力學(xué)的基本思路與研究方法四、四、彈塑性力學(xué)的基本任務(wù)彈塑性力學(xué)的基本任務(wù)五、五、彈塑性力學(xué)基本假設(shè)彈塑性力學(xué)基本假設(shè)六、六、彈塑性力學(xué)發(fā)展概況彈塑性力學(xué)發(fā)展概況七、七、現(xiàn)代力學(xué)的發(fā)展及其特點(diǎn)現(xiàn)代力學(xué)的發(fā)展及其特點(diǎn)九、張量概念及其基本運(yùn)算九、張量概念及其基本運(yùn)算八、彈塑性力學(xué)基本理論及基本解法八、彈塑性力學(xué)基本理論及基本解法3一、學(xué)科分類一、學(xué)科分類 彈塑性力學(xué)彈塑性力

2、學(xué) 1 1、學(xué)科分類、學(xué)科分類 按運(yùn)動(dòng)與否分按運(yùn)動(dòng)與否分：靜力學(xué)靜力學(xué)：研究力系或物體的平衡問題，不涉及 物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變；如飛機(jī)停在地 面或巡航。運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)：研究物體如何運(yùn)動(dòng)，不討論運(yùn)動(dòng)與受 力的關(guān)系； 如飛行軌跡、速度、 加速度。動(dòng)力學(xué)：動(dòng)力學(xué)：研究力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。 如何提供加速度？4 按研究對(duì)象分按研究對(duì)象分： 一般力學(xué)一般力學(xué)： 研究對(duì)象是剛體研究對(duì)象是剛體。研究力及其與 運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。分支學(xué)科有理論力學(xué)理論力學(xué)，分析力學(xué)分析力學(xué)等。 固體力學(xué)固體力學(xué)：研究對(duì)象是可變形固體。研究材料 變形、流動(dòng)和斷裂時(shí)的力學(xué)響應(yīng)。其分支學(xué)科有： 材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、學(xué)、

3、 塑性力學(xué)、塑性力學(xué)、 彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流變學(xué)、疲勞等。彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流變學(xué)、疲勞等。 流體力學(xué)流體力學(xué)：研究對(duì)象是氣體或液體。涉及到： 水力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)水力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)等學(xué)科。5 按研究手段分按研究手段分：（理論分析、實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算） 有實(shí)驗(yàn)力學(xué)、計(jì)算力學(xué)實(shí)驗(yàn)力學(xué)、計(jì)算力學(xué)二個(gè)方面的分支。 按應(yīng)用領(lǐng)域分按應(yīng)用領(lǐng)域分： 有飛行力學(xué)飛行力學(xué)、船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)、巖土力學(xué)、量巖土力學(xué)、量 子力學(xué)子力學(xué)等。6 2 2、彈塑性力學(xué)、彈塑性力學(xué) 彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)重要分支彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)重要分支 學(xué)科，是研究可變形固體受到外荷載或溫度學(xué)科，是研究可變形固體受到外

4、荷載或溫度 變化等因素的影響而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位變化等因素的影響而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位 移及其分布規(guī)律的一門科學(xué)，是研究固體在移及其分布規(guī)律的一門科學(xué)，是研究固體在 受載過程中產(chǎn)生的彈性變形和塑性變形階段受載過程中產(chǎn)生的彈性變形和塑性變形階段 這兩個(gè)緊密相連的變形階段力學(xué)響應(yīng)的一門這兩個(gè)緊密相連的變形階段力學(xué)響應(yīng)的一門 科學(xué)。科學(xué)。 7二、二、 彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象 在研究對(duì)象上，材料力學(xué)的研究對(duì)象是固體，且基本上是各種桿件，即所謂一維構(gòu)件。造成兩者間這種差異的根本原因是什么呢？ 彈塑性力學(xué)研究對(duì)象也是固體，是不受彈塑性力學(xué)研究對(duì)象也是固體，是不受 幾何尺寸與形態(tài)限制的能

5、適應(yīng)各種工程技術(shù)幾何尺寸與形態(tài)限制的能適應(yīng)各種工程技術(shù) 問題需求的物體。問題需求的物體。8三、彈塑性力學(xué)的基本思路與研究方法三、彈塑性力學(xué)的基本思路與研究方法1 1、彈塑性力學(xué)分析問題的基本思路、彈塑性力學(xué)分析問題的基本思路 彈塑性力學(xué)與材料力學(xué)同屬固體力學(xué)的 分支學(xué)科，它們?cè)诜治鰡栴}解決問題的基本 思路上都是一致的，但在研究問題的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：9(1) (1) 受力分析及靜力平衡條件受力分析及靜力平衡條件 ( (力的分析力的分析) ) 對(duì)一點(diǎn)單元體的受力進(jìn)行分析。若物體受力作用，處于 平衡狀態(tài)，則應(yīng)當(dāng)滿足的條件是什么？（靜力平衡條件靜力平衡條件）(3) (3) 力與變

6、形間的本構(gòu)關(guān)系力與變形間的本構(gòu)關(guān)系 ( (物理分析物理分析) ) 固體材料受力作用必然產(chǎn)生相應(yīng)的變形。不同的材料，不同的變形，就有相應(yīng)不同的物理關(guān)系。則對(duì)一點(diǎn)單元體的受力與變形間的關(guān)系進(jìn)行分析，應(yīng)滿足的條件是什么？（物理?xiàng)l件物理?xiàng)l件，也即本構(gòu)方程。，也即本構(gòu)方程。）(2) (2) 變形分析及幾何相容條件變形分析及幾何相容條件 ( (幾何分析幾何分析) ) 材料是連續(xù)的，物體在受力變形后仍應(yīng)是連續(xù)的。固體內(nèi)既不產(chǎn)生“裂隙”，也不產(chǎn)生“重疊”。則材料變形時(shí)，對(duì)一點(diǎn)單元體的變形進(jìn)行分析，應(yīng)滿足的條件是什么？（幾幾何相容條件何相容條件）102 2、彈塑性力學(xué)研究問題的基本方法、彈塑性力學(xué)研究問題的基本

7、方法 材料力學(xué)研究問題的基本方法：材料力學(xué)研究問題的基本方法：選一維構(gòu)件整體為研究對(duì)象變形前，在某表面繪制標(biāo)志線；變形后，觀察總結(jié)構(gòu)件表面變形的規(guī)律。做出平截面假設(shè)，經(jīng)三方面分析，解決問題。a、研究方法較簡(jiǎn)單粗糙；b、涉及數(shù)學(xué)理論較簡(jiǎn)單；c、材料力學(xué)的工程解答一般為近似解。11 彈塑性力學(xué)研究問題的基本方法彈塑性力學(xué)研究問題的基本方法以受力物以受力物體內(nèi)某一體內(nèi)某一點(diǎn)（單元點(diǎn)（單元體）為研體）為研究對(duì)象究對(duì)象 單元體的受力單元體的受力應(yīng)力理論；應(yīng)力理論； 單元體的變形單元體的變形變形幾何理論；變形幾何理論； 單元體受力與變形單元體受力與變形間的關(guān)系間的關(guān)系本構(gòu)理本構(gòu)理論；論； 建立起普建立起普

8、遍適用的理遍適用的理論與解法。論與解法。1 1、涉及數(shù)學(xué)理論較復(fù)雜，并以其理論與解法的嚴(yán)涉及數(shù)學(xué)理論較復(fù)雜，并以其理論與解法的嚴(yán) 密性和普遍適用性為特點(diǎn)；密性和普遍適用性為特點(diǎn)；2 2、彈塑性力學(xué)的工程解答一般認(rèn)為是精確的；彈塑性力學(xué)的工程解答一般認(rèn)為是精確的；3 3、可對(duì)初等力學(xué)理論解答的精確度和可靠進(jìn)行度可對(duì)初等力學(xué)理論解答的精確度和可靠進(jìn)行度 量。量。12提出問題，選擇有關(guān)的研究系統(tǒng)。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行抽象與簡(jiǎn)化，建立力學(xué)模型。利用力學(xué)原理進(jìn)行分析、推理，得出結(jié)論與已知結(jié)論相比較，或由實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。確認(rèn)或進(jìn)一步改善模型，深化認(rèn)識(shí) 3 3、工程力學(xué)一般研究方法、工程力學(xué)一般研究方法 工程力學(xué)解決問

9、題的一般研究方法工程力學(xué)解決問題的一般研究方法類似于類似于一般科學(xué)研究的普遍方法，可歸納為：一般科學(xué)研究的普遍方法，可歸納為：13四、四、 彈塑性力學(xué)的基本任務(wù)彈塑性力學(xué)的基本任務(wù)可歸納為以下幾點(diǎn)：可歸納為以下幾點(diǎn)： 1 1建立求解固體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布規(guī)律的建立求解固體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布規(guī)律的 基本方程和理論；基本方程和理論； 2 2給出初等理論無(wú)法求解的問題的理論和方法，給出初等理論無(wú)法求解的問題的理論和方法， 以及對(duì)初等理論可靠性與精確度的度量；以及對(duì)初等理論可靠性與精確度的度量； 3 3確定和充分發(fā)揮一般工程結(jié)構(gòu)物的承載能力，確定和充分發(fā)揮一般工程結(jié)構(gòu)物的承載能力， 提高經(jīng)濟(jì)效

10、益；提高經(jīng)濟(jì)效益； 4 4為進(jìn)一步研究工程結(jié)構(gòu)物的強(qiáng)度、振動(dòng)、穩(wěn)定為進(jìn)一步研究工程結(jié)構(gòu)物的強(qiáng)度、振動(dòng)、穩(wěn)定 性、斷裂等力學(xué)問題，奠定必要的理論基礎(chǔ)。性、斷裂等力學(xué)問題，奠定必要的理論基礎(chǔ)。14五、五、 彈塑性力學(xué)的基本假設(shè)彈塑性力學(xué)的基本假設(shè)（1 1）連續(xù)性假設(shè)：假定物質(zhì)充滿了物體所占有的）連續(xù)性假設(shè)：假定物質(zhì)充滿了物體所占有的 全部空間，不留下任何空隙。全部空間，不留下任何空隙。 （2 2）均勻性與各向同性的假設(shè)：假定物體內(nèi)部各點(diǎn)）均勻性與各向同性的假設(shè)：假定物體內(nèi)部各點(diǎn) 處，以及每一點(diǎn)處各個(gè)方向上的物理性質(zhì)相同。處，以及每一點(diǎn)處各個(gè)方向上的物理性質(zhì)相同。 1、物理假設(shè)、物理假設(shè):（3 3）

11、力學(xué)模型的簡(jiǎn)化假設(shè)：）力學(xué)模型的簡(jiǎn)化假設(shè)： （A A）完全彈性假設(shè)完全彈性假設(shè) ；（；（B B）彈塑性假設(shè)。彈塑性假設(shè)。152、幾何假設(shè)、幾何假設(shè)小變形條件小變形條件 （1 1）在彈塑性體產(chǎn)生變形后建立平衡方程時(shí)，可以）在彈塑性體產(chǎn)生變形后建立平衡方程時(shí)，可以 不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；不考慮因變形而引起的力作用線方向的改變；從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。從而使得平衡條件與幾何變形條件線性化。 （2 2）在研究問題的過程中可以略去相關(guān)的二次及二）在研究問題的過程中可以略去相關(guān)的二次及二 次以上的高階微量；次以上的高階微量； 假定物體在受力以后，體內(nèi)的位移和變形是微小假定物

12、體在受力以后，體內(nèi)的位移和變形是微小 的，即體內(nèi)各點(diǎn)位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的原始尺寸，而的，即體內(nèi)各點(diǎn)位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的原始尺寸，而 且應(yīng)變且應(yīng)變( ( 包括線應(yīng)變與角應(yīng)變包括線應(yīng)變與角應(yīng)變 ) )均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1 1。根據(jù)。根據(jù) 這一假定：這一假定： 16六、彈塑性力學(xué)發(fā)展概況六、彈塑性力學(xué)發(fā)展概況 1678 1678年年英國(guó)科學(xué)家虎克英國(guó)科學(xué)家虎克( (R.Hooke)R.Hooke)提出提出 了固體材了固體材 料的彈性變形與所受外力成正比料的彈性變形與所受外力成正比虎克定律?；⒖硕?。 1919世紀(jì)世紀(jì)2020年代，法國(guó)科學(xué)家納維葉年代，法國(guó)科學(xué)家納維葉 ( ( C.L.M.H.Na

13、vier )C.L.M.H.Navier )、柯西柯西 ( ( A.L.Cauchy )A.L.Cauchy )和和 圣文南圣文南 ( ( A.J.C.B.Saint Venant ) A.J.C.B.Saint Venant ) 等建立了等建立了 彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)。彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)。17 法國(guó)科學(xué)家?guī)靷?C.A.Corlomb1773年）、 屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、 圣文南和萊 ( M.Levy ) 波蘭力學(xué)家胡勃(M.T.Houber 1904年）、 米塞斯(R.von Mises1913年）、 普朗特(L.Prandtl 1924) 羅伊斯(A.Reuss 1930)

14、、享奇 （H.Hencky)、 納戴(A.L.Nadai) 、伊留申(A.A.) 闡明了應(yīng)力、應(yīng)變的概念和理論；闡明了應(yīng)力、應(yīng)變的概念和理論； 彈性力學(xué)和彈塑性力學(xué)的基本理論框彈性力學(xué)和彈塑性力學(xué)的基本理論框架得以確立架得以確立。18七、七、現(xiàn)代力學(xué)的發(fā)展及其特點(diǎn)現(xiàn)代力學(xué)的發(fā)展及其特點(diǎn)材料與對(duì)象材料與對(duì)象： 金屬、土木石等 新型復(fù)合材料、 高分子材料、 結(jié)構(gòu)陶瓷、功能材料。 尺尺 度度：宏觀、連續(xù)體 含缺陷體，細(xì)、微觀、 納米尺度。實(shí)驗(yàn)技術(shù)實(shí)驗(yàn)技術(shù)： 電、光測(cè)試實(shí)驗(yàn)技術(shù) 全息、超聲、 光纖測(cè)量，及實(shí)驗(yàn)裝置的大型化。1 1、現(xiàn)代力學(xué)的發(fā)展、現(xiàn)代力學(xué)的發(fā)展19設(shè)計(jì)準(zhǔn)則設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：靜強(qiáng)度、 斷裂控制設(shè)

15、計(jì)、抗疲勞設(shè) 計(jì)、剛度設(shè)計(jì) 損傷容限設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化 設(shè)計(jì)、耐久性設(shè)計(jì)和可靠性設(shè)計(jì)等。設(shè)計(jì)目標(biāo)設(shè)計(jì)目標(biāo)：保證結(jié)構(gòu)與構(gòu)件的安全和功能 設(shè)計(jì)制造使用維護(hù)的綜合性分析 與控制，功能安全經(jīng)濟(jì)的綜合性評(píng)價(jià)， 自感知、自激勵(lì)、自適應(yīng)（甚至自診斷、自修復(fù)） 的智能結(jié)構(gòu)。應(yīng)用領(lǐng)域應(yīng)用領(lǐng)域：航空、土木、機(jī)械、材料生命、微電 子技術(shù)等。20 引進(jìn)新的科學(xué)技術(shù)成果，引進(jìn)新的科學(xué)技術(shù)成果， 內(nèi)容更加豐富：內(nèi)容更加豐富： 新材料復(fù)合材料、聚合物等；新材料復(fù)合材料、聚合物等； 新概念失效、壽命等；新概念失效、壽命等； 新理論損傷、混沌等；新理論損傷、混沌等； 新方法數(shù)值方法、工程力學(xué)建模方法。新方法數(shù)值方法、工程力學(xué)建模方

16、法。21 2 2現(xiàn)代力學(xué)的特點(diǎn)現(xiàn)代力學(xué)的特點(diǎn) 與計(jì)算機(jī)應(yīng)用相結(jié)合與計(jì)算機(jī)應(yīng)用相結(jié)合， 與其他基礎(chǔ)或技術(shù)學(xué)科相互結(jié)合與滲透。與其他基礎(chǔ)或技術(shù)學(xué)科相互結(jié)合與滲透。材料設(shè)計(jì)材料設(shè)計(jì)：按所要求的性能設(shè)計(jì)材料。(90年代)計(jì)算機(jī)應(yīng)用計(jì)算機(jī)應(yīng)用：計(jì)算力學(xué)計(jì)算力學(xué)+ +計(jì)算機(jī)應(yīng)用計(jì)算機(jī)應(yīng)用解決復(fù)雜、解決復(fù)雜、 (60(60年代年代) ) 困難的工程實(shí)際問題。困難的工程實(shí)際問題。使工程結(jié)構(gòu)分析技術(shù)；（結(jié)合CAD技術(shù)） 監(jiān)測(cè)、控制技術(shù)（如振動(dòng)監(jiān)測(cè)、故障診斷）； 工程系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真技術(shù)； 廣泛應(yīng)用至各工程領(lǐng)域。22智能結(jié)構(gòu)智能結(jié)構(gòu)： 90 90年代開始，力學(xué)與材料、控制（包括年代開始，力學(xué)與材料、控

17、制（包括傳感與激勵(lì)）、計(jì)算機(jī)相結(jié)合，研究發(fā)展面向傳感與激勵(lì)）、計(jì)算機(jī)相結(jié)合，研究發(fā)展面向2121世紀(jì)世紀(jì)的、的、具有具有“活活”的功能的智能結(jié)構(gòu)的功能的智能結(jié)構(gòu)。生物力學(xué)生物力學(xué)： (70 (70年代馮元禎博士年代馮元禎博士) ) 生物材料力學(xué)性能、微循環(huán)、定量生理學(xué)、心血管系生物材料力學(xué)性能、微循環(huán)、定量生理學(xué)、心血管系統(tǒng)臨床問題和生物醫(yī)學(xué)工程等。統(tǒng)臨床問題和生物醫(yī)學(xué)工程等?！皼]有生物力學(xué)，就不能很好地了解生理學(xué)。沒有生物力學(xué)，就不能很好地了解生理學(xué)?！?3八八、 彈塑性力學(xué)的基本理論與解法彈塑性力學(xué)的基本理論與解法 彈塑性力學(xué)和材料力學(xué)都是固體力學(xué)的分支彈塑性力學(xué)和材料力學(xué)都是固體力學(xué)的分

18、支學(xué)科，所求解的大多數(shù)問題都是超靜定問題。因?qū)W科，所求解的大多數(shù)問題都是超靜定問題。因此，在分析問題研究問題時(shí)的最基本思路是相同此，在分析問題研究問題時(shí)的最基本思路是相同的，即對(duì)于一個(gè)靜不定問題的求解，一般都要經(jīng)的，即對(duì)于一個(gè)靜不定問題的求解，一般都要經(jīng)過三個(gè)方面的分析，這三個(gè)方面分別為：（過三個(gè)方面的分析，這三個(gè)方面分別為：（1 1）靜）靜力平衡條件分析；（力平衡條件分析；（2 2）幾何變形協(xié)調(diào)條件分析；）幾何變形協(xié)調(diào)條件分析；（3 3）物理?xiàng)l件分析。從而獲得三類基本方程，聯(lián)）物理?xiàng)l件分析。從而獲得三類基本方程，聯(lián)立求解，再滿足具體問題的邊界條件，即可使靜立求解，再滿足具體問題的邊界條件，即

19、可使靜不定問題得到解決。這三方面的方程匯集于下：不定問題得到解決。這三方面的方程匯集于下： 彈塑性力學(xué)的基本理論框架彈塑性力學(xué)的基本理論框架24(1)平衡（或運(yùn)動(dòng)方程）：平衡（或運(yùn)動(dòng)方程）： 0ijijF(2)(2)、幾何方程：、幾何方程：)(21 ijjiijuu ijijijEE1ii(3)本構(gòu)方程（物性方程）本構(gòu)方程（物性方程） （A A）在彈性變形階段，）在彈性變形階段，0)(ijf（B B）在彈塑性變形階段，屈服函數(shù)）在彈塑性變形階段，屈服函數(shù) 增量理論（流動(dòng)理論）：增量理論（流動(dòng)理論）： 則有：全量理論（形變理論）：全量理論（形變理論）： 25（i）Prandtl-Reuss理論理

20、論)21(mmijpijijKssGed3d 2d3d21d )a (，理想彈塑性材料（b）等向強(qiáng)化材料）等向強(qiáng)化材料 mmijijijKssGed3d 2d3d21d， 增量理論（流動(dòng)理論）：增量理論（流動(dòng)理論）：)21(0d d23dmijijs，0d 2d3dmijijs，（i i）Levy-Mises （a）理想剛塑性材料）理想剛塑性材料 （b）等向強(qiáng)化材料）等向強(qiáng)化材料 。26全量理論（形變理論）：全量理論（形變理論）： 2/1 )21( 3 )21( 23，；，mmijijKse以以 為代表（強(qiáng)化材料）為代表（強(qiáng)化材料）ijij iu 總之，當(dāng)物體發(fā)生變形時(shí)，不論彈性變形或塑性總之

21、，當(dāng)物體發(fā)生變形時(shí)，不論彈性變形或塑性變形問題，共有變形問題，共有 3 3 個(gè)平衡微分方程，個(gè)平衡微分方程，6 6 個(gè)幾何方程和個(gè)幾何方程和 6 6 個(gè)本構(gòu)方程，共計(jì)個(gè)本構(gòu)方程，共計(jì) 15 15 個(gè)獨(dú)立方程（統(tǒng)稱泛定方程個(gè)獨(dú)立方程（統(tǒng)稱泛定方程）。而問題共計(jì)有：）。而問題共計(jì)有： 、 、 1515個(gè)基本未知函數(shù)。個(gè)基本未知函數(shù)。因此，在給定邊界條件時(shí)，問題是可以求解的。彈塑性因此，在給定邊界條件時(shí)，問題是可以求解的。彈塑性靜力學(xué)的這種問題在數(shù)學(xué)上稱為求解邊值問題。靜力學(xué)的這種問題在數(shù)學(xué)上稱為求解邊值問題。 27 任何一個(gè)固體力學(xué)參量在具體受力物體內(nèi)一任何一個(gè)固體力學(xué)參量在具體受力物體內(nèi)一般都是

22、體內(nèi)各點(diǎn)（般都是體內(nèi)各點(diǎn)（x, y, zx, y, z）的函數(shù)，它們滿足的）的函數(shù)，它們滿足的方程方程( (泛定方程泛定方程) )相同。相同。 然而由于物體幾何尺寸的不同，載荷大小與然而由于物體幾何尺寸的不同，載荷大小與分布的不同，必然導(dǎo)致物體內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)力、應(yīng)變與分布的不同，必然導(dǎo)致物體內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)力、應(yīng)變與位移的大小和變化規(guī)律是千變?nèi)f化的，也就是說位移的大小和變化規(guī)律是千變?nèi)f化的，也就是說，單靠這些泛定方程是不足以解決具體問題的。，單靠這些泛定方程是不足以解決具體問題的。 從力學(xué)觀點(diǎn)上來說，所有滿足泛定方程的應(yīng)從力學(xué)觀點(diǎn)上來說，所有滿足泛定方程的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，也應(yīng)該同時(shí)滿足物體力、應(yīng)變和位移，

23、也應(yīng)該同時(shí)滿足物體( (表面表面) )與與外界作用的條件，也即應(yīng)力邊界條件和位移邊界外界作用的條件，也即應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件；條件； 28)( 上在，TijijSFl )( , u上在uiiSu(4)(4)邊界條件邊界條件 （A A）應(yīng)力邊界條件）應(yīng)力邊界條件： （B B）位移邊界條件：）位移邊界條件： 根據(jù)具體問題邊界條件類型的不同，常把邊根據(jù)具體問題邊界條件類型的不同，常把邊值問題分為三類。值問題分為三類。29 第一類邊值問題：第一類邊值問題：給定物體的體力和面力，給定物體的體力和面力，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)，即所謂邊界求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)，即所謂邊界應(yīng)力已知的問題

24、。應(yīng)力已知的問題。 第二類邊值問題：第二類邊值問題：給定物體的體力和物體給定物體的體力和物體表面各點(diǎn)位移的約束情況，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)表面各點(diǎn)位移的約束情況，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場(chǎng)和物體內(nèi)部的位移場(chǎng)，即所謂邊界位移已知力場(chǎng)和物體內(nèi)部的位移場(chǎng)，即所謂邊界位移已知的問題。的問題。 第三類邊值問題：第三類邊值問題：在物體表面上，一部分在物體表面上，一部分給定面力，其余部分給定位移給定面力，其余部分給定位移( (或在部分表面上給或在部分表面上給定外力和位移關(guān)系定外力和位移關(guān)系) )的條件下求解上述問題，即所的條件下求解上述問題，即所謂混合邊值問題。謂混合邊值問題。30 彈塑性力學(xué)的基本解法彈塑性力學(xué)的

25、基本解法: : 1 1位移法位移法：用位移作為基本未知量，來求解用位移作為基本未知量，來求解邊值問題的方法，稱為位移法。邊值問題的方法，稱為位移法。 2 2應(yīng)力法應(yīng)力法：用應(yīng)力作為基本未知量來問題，用應(yīng)力作為基本未知量來問題，叫應(yīng)力法。叫應(yīng)力法。 3 3混合法混合法：對(duì)第三類邊值問題則宜以各點(diǎn)的對(duì)第三類邊值問題則宜以各點(diǎn)的一部分位移分量和一部分應(yīng)力分量作為基本未知量一部分位移分量和一部分應(yīng)力分量作為基本未知量混合求解。這種方法叫混合法?；旌锨蠼狻＿@種方法叫混合法。 在求解彈塑性邊值問題時(shí)，有三種不同的在求解彈塑性邊值問題時(shí)，有三種不同的解題方法，即：解題方法，即：31 上述位移法、應(yīng)力法和混合

26、法統(tǒng)稱為直接解法。上述位移法、應(yīng)力法和混合法統(tǒng)稱為直接解法。盡管這些方法的建立在理論上有著重大意義，但在實(shí)盡管這些方法的建立在理論上有著重大意義，但在實(shí)際解題過程中卻很少原原本本地按上述步驟去做，原際解題過程中卻很少原原本本地按上述步驟去做，原因還是在于數(shù)學(xué)上的困難和復(fù)雜性。因還是在于數(shù)學(xué)上的困難和復(fù)雜性。在彈塑性力學(xué)解在彈塑性力學(xué)解題方法中經(jīng)常采用如下方法：題方法中經(jīng)常采用如下方法： （1 1）逆解法：）逆解法：設(shè)位移或應(yīng)力的函數(shù)式是已知的，設(shè)位移或應(yīng)力的函數(shù)式是已知的，然后代入上述有關(guān)方程中求得應(yīng)變和應(yīng)力或應(yīng)變和位然后代入上述有關(guān)方程中求得應(yīng)變和應(yīng)力或應(yīng)變和位移，并且要求滿足邊界條件。移，

27、并且要求滿足邊界條件。 （2 2）半逆解法：）半逆解法：也稱湊合解法。所謂半逆解法就也稱湊合解法。所謂半逆解法就是在未知量中，先根據(jù)問題的特點(diǎn)假設(shè)一部分應(yīng)力或是在未知量中，先根據(jù)問題的特點(diǎn)假設(shè)一部分應(yīng)力或位移為已知，然后在基本方程和邊界條件中，求解另位移為已知，然后在基本方程和邊界條件中，求解另一部分，這樣便得到了全部未知量。一部分，這樣便得到了全部未知量。 32、應(yīng)力的概念、應(yīng)力的概念: : 受力物體內(nèi)某點(diǎn)受力物體內(nèi)某點(diǎn)某截面上內(nèi)力的分布某截面上內(nèi)力的分布集度集度 3.3.應(yīng)力、應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)力理論應(yīng)力、應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)力理論33應(yīng)力應(yīng)力正應(yīng)力正應(yīng)力剪應(yīng)力剪應(yīng)力 ddlimddlim00ntnnA

28、nnnAAFAFAFAF必須指明兩點(diǎn)：必須指明兩點(diǎn)：1.1.是哪一點(diǎn)的應(yīng)力；是哪一點(diǎn)的應(yīng)力；2.2.是該點(diǎn)哪個(gè)微截面的應(yīng)力。是該點(diǎn)哪個(gè)微截面的應(yīng)力。34、應(yīng)力狀態(tài)的概念：、應(yīng)力狀態(tài)的概念：受力物體內(nèi)某點(diǎn)處所取受力物體內(nèi)某點(diǎn)處所取 無(wú)限多截面上的應(yīng)力情況的總和，就顯示和表無(wú)限多截面上的應(yīng)力情況的總和，就顯示和表 明了該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)明了該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力的表示及符號(hào)規(guī)則應(yīng)力的表示及符號(hào)規(guī)則正應(yīng)力：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剪應(yīng)力：第一個(gè)字母表明該應(yīng)力作用截面第一個(gè)字母表明該應(yīng)力作用截面的外法線方向同哪一個(gè)坐標(biāo)軸相的外法線方向同哪一個(gè)坐標(biāo)軸相平行，第二個(gè)字母表明該應(yīng)力的平行，第二個(gè)字母表明該應(yīng)力的指向同哪個(gè)

29、坐標(biāo)軸相平行。指向同哪個(gè)坐標(biāo)軸相平行。 xyxxx35. .應(yīng)力張量應(yīng)力張量 數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時(shí)，服從一定坐標(biāo)變換式數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時(shí)，服從一定坐標(biāo)變換式的九個(gè)數(shù)所定義的量，叫做二階張量。根據(jù)這一定的九個(gè)數(shù)所定義的量，叫做二階張量。根據(jù)這一定義，物體內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可用二階張量的形式義，物體內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可用二階張量的形式來表示，并稱為應(yīng)力張量，而各應(yīng)力分量即為應(yīng)力來表示，并稱為應(yīng)力張量，而各應(yīng)力分量即為應(yīng)力張量的元素，且由剪應(yīng)力等定理知，應(yīng)力張量應(yīng)是張量的元素，且由剪應(yīng)力等定理知，應(yīng)力張量應(yīng)是一個(gè)對(duì)稱的二階張量，簡(jiǎn)稱為一個(gè)對(duì)稱的二階張量，簡(jiǎn)稱為應(yīng)力張量應(yīng)力張量。zzyzxyzyyx

30、xzxyxij zyzxzzyyxyzxyxxj i或或（2 23 3） 據(jù)剪應(yīng)力互等定理?yè)?jù)剪應(yīng)力互等定理 , ,應(yīng)力張量應(yīng)是應(yīng)力張量應(yīng)是一個(gè)對(duì)稱的二階張量。一個(gè)對(duì)稱的二階張量。 )(jijiij36 )()( )( )()( )( )()( )( 222 222 222 1331113312331332113212311333123211313321312332233322312232213323322231212311211322132312211222112313221221113133333232312332322312123232222212232222211113131212112

31、13212211lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllzxyzxyzyxxzzxyzxyzyxzyzxyzxyzyxyxzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxj ji iijj ill . . 應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換方程 37 、平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)02cos2sin2 cossin)()sin(cos2sin2cos22 cossin2sincos2222zxxyyxxyxyyxxyyxyxxyyxx 3822minmax22xyyxyx

32、 yxxy22tg0 注意：材力與彈塑性力學(xué)中關(guān)于應(yīng)力符號(hào)的注意：材力與彈塑性力學(xué)中關(guān)于應(yīng)力符號(hào)的 差異。差異。39. . 主應(yīng)力主應(yīng)力應(yīng)力主方向應(yīng)力主方向應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量不變量 主平面：主平面：一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)剪應(yīng)力等于零的截面稱為主平面一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)剪應(yīng)力等于零的截面稱為主平面 主應(yīng)力主應(yīng)力 ：主平面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)的主應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)的主應(yīng)力 主方向主方向 ：主平面的法線方向即為主方向主平面的法線方向即為主方向主單元體：主單元體：由主平面截取的單元體稱為主單元體由主平面截取的單元體稱為主單元體032213IIInnn 理論上可證明：當(dāng)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)確定時(shí)，經(jīng)推導(dǎo)理論上可證明

33、：當(dāng)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)確定時(shí)，經(jīng)推導(dǎo)必可求出三個(gè)實(shí)根，即為主應(yīng)力，且必可求出三個(gè)實(shí)根，即為主應(yīng)力，且主應(yīng)力彼此正交。主應(yīng)力彼此正交。 32140則知?jiǎng)t知: : 0jl 0jl 2 )(21 222322221ijxyzzxyyzxzxyzxyzyxzzyzxyzyyxxzxyxjiijjjiizxyzxyxzzyyxiizyxIII 321313322123211 III 41 0)(0)(0)(321321321lllllllllnzzyzxyznyyxxzxynx nijij0jl 42、最大（最?。┘魬?yīng)力最大（最小）剪應(yīng)力為：為：231minmax 最大（最?。┘魬?yīng)力作用截面上，一般正應(yīng)力最

34、大（最?。┘魬?yīng)力作用截面上，一般正應(yīng)力 不為零，即：不為零，即：231132322322112 43. .空間應(yīng)力圓空間應(yīng)力圓 一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)用解析法研究用解析法研究用幾何法研究用幾何法研究解析理論解析理論莫爾應(yīng)力圓莫爾應(yīng)力圓44. .應(yīng)力張量的分解應(yīng)力張量的分解mzzyzxyzmyyxxzxymxmmm000000+ +ijmijijS+ + 45 通常對(duì)于金屬材料有：通常對(duì)于金屬材料有： 將應(yīng)力張量的分解：將應(yīng)力張量的分解： ，更有利于，更有利于研研 究固體材料的塑性變形行為。究固體材料的塑性變形行為。 ijmijijS+ + 巖土材料球應(yīng)力張量作用，一般也會(huì)出現(xiàn)塑巖土材料球應(yīng)力

35、張量作用，一般也會(huì)出現(xiàn)塑 性體變，從而出現(xiàn)奇異屈服面。性體變，從而出現(xiàn)奇異屈服面。球應(yīng)力張量球應(yīng)力張量體變：只是彈性變形體變：只是彈性變形偏斜應(yīng)力張偏斜應(yīng)力張量量畸變：首先產(chǎn)生彈性應(yīng)變，畸變：首先產(chǎn)生彈性應(yīng)變，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到一定的極值時(shí)，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到一定的極值時(shí)，將產(chǎn)生塑性的畸變。將產(chǎn)生塑性的畸變。46. .平衡（或運(yùn)動(dòng)）微分方程平衡（或運(yùn)動(dòng)）微分方程 47 平衡微分方程平衡微分方程： 一個(gè)客觀的彈性力學(xué)問題，在物體體內(nèi)任意一點(diǎn)的一個(gè)客觀的彈性力學(xué)問題，在物體體內(nèi)任意一點(diǎn)的 應(yīng)力分量和體力分量必定滿足這組方程。應(yīng)力分量和體力分量必定滿足這組方程。 求解應(yīng)力場(chǎng)的問題是一個(gè)靜不定問題。求解應(yīng)力場(chǎng)的問題是

36、一個(gè)靜不定問題。 體力分量指向同坐標(biāo)軸正向一致取正，反之負(fù)體力分量指向同坐標(biāo)軸正向一致取正，反之負(fù)。 0 0 0 222222twFzyxtvFzyxtuFzyxzzyzxzyzyyxyxzxyxx0ijijF48. .靜力邊界條件靜力邊界條件 一個(gè)客觀的彈塑性力學(xué)問題，在物體邊界上一個(gè)客觀的彈塑性力學(xué)問題，在物體邊界上 任意一點(diǎn)的應(yīng)力分量和面力分量必定滿足這任意一點(diǎn)的應(yīng)力分量和面力分量必定滿足這 組方程。組方程。 面力分量指向同坐標(biāo)軸正向一致取正，反之面力分量指向同坐標(biāo)軸正向一致取正，反之 取負(fù)。取負(fù)。 321321321lllFlllFlllFzzyzxzyzyyxyxzxyxxjjiil

37、F 49 當(dāng)邊界面與某一坐標(biāo)軸相垂直時(shí)，應(yīng)力分當(dāng)邊界面與某一坐標(biāo)軸相垂直時(shí)，應(yīng)力分量量 與相應(yīng)的面力分量直接對(duì)應(yīng)相等。與相應(yīng)的面力分量直接對(duì)應(yīng)相等。 關(guān)于平面問題的應(yīng)力邊界條件（關(guān)于平面問題的應(yīng)力邊界條件（xoyxoy平面）：平面）： 2121yyyxxxyxFllFll50例題：例題：試列出圖示梁的應(yīng)力邊界條件解。試列出圖示梁的應(yīng)力邊界條件解。51下邊界：下邊界：左邊界：據(jù)圣文南原理和平衡的原理得：左邊界：據(jù)圣文南原理和平衡的原理得：上邊界：上邊界：lqxy/0yx sincossin coscossin00qqyxyxyx tg)( tg )( 0y0 xqcqxyxyhhhhyhhxMy

38、yMPyFyF 0d , 00d , 00d , 0 x0 xyxhhxhhxyhhxMyyPyy dd 0d tanxy 524 4、位移、位移、應(yīng)變、應(yīng)變狀態(tài)、應(yīng)變理論應(yīng)變、應(yīng)變狀態(tài)、應(yīng)變理論 研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需 研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位置變動(dòng)情況，即研究研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位置變動(dòng)情況，即研究 變形位移。變形位移。位移位移剛性位移：反映物體整體位置的變動(dòng)剛性位移：反映物體整體位置的變動(dòng)變形位移：反映物體的形狀和尺寸發(fā)生變化變形位移：反映物體的形狀和尺寸發(fā)生變化、位移分量和相對(duì)位移分量、位移分量和相對(duì)位移分量53 通常物體內(nèi)各點(diǎn)的位移應(yīng)是

39、點(diǎn)的位置坐通常物體內(nèi)各點(diǎn)的位移應(yīng)是點(diǎn)的位置坐標(biāo)函數(shù)，參照標(biāo)函數(shù)，參照oxyzoxyz坐標(biāo)即為：坐標(biāo)即為：), , ( ), , ( ), , ( zyxwwzyxvvzyxuu； 位移函數(shù)應(yīng)是位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。位移函數(shù)應(yīng)是位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。 位移分量函數(shù)不能直接表明物體各點(diǎn)處材料變形位移分量函數(shù)不能直接表明物體各點(diǎn)處材料變形 的劇烈程度，還需要研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位移。的劇烈程度，還需要研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位移。54、應(yīng)變的概念、幾何方程、應(yīng)變的概念、幾何方程 應(yīng)變的概念：應(yīng)變的概念：55線應(yīng)變線應(yīng)變、涉及受力物體內(nèi)某一點(diǎn)；、涉及受力物體內(nèi)某一點(diǎn)；、涉及該點(diǎn)的某一方向；、涉及該點(diǎn)的

40、某一方向；、是一個(gè)無(wú)量綱的物理量。、是一個(gè)無(wú)量綱的物理量。角應(yīng)變角應(yīng)變、涉及受力物體內(nèi)某一點(diǎn)；涉及受力物體內(nèi)某一點(diǎn)；、涉及過該點(diǎn)的某兩相垂直方向；、涉及過該點(diǎn)的某兩相垂直方向；、是一個(gè)有單位，無(wú)量綱的物量。、是一個(gè)有單位，無(wú)量綱的物量。56 應(yīng)變的符號(hào)規(guī)則：應(yīng)變的符號(hào)規(guī)則： 表征某點(diǎn)某方向伸長(zhǎng)變形的線應(yīng)變表征某點(diǎn)某方向伸長(zhǎng)變形的線應(yīng)變?nèi)≌粗∝?fù)；取正，反之取負(fù)； 表征某點(diǎn)兩坐標(biāo)軸正方向所夾直角表征某點(diǎn)兩坐標(biāo)軸正方向所夾直角減少的角應(yīng)變?nèi)≌?，反之取?fù)。減少的角應(yīng)變?nèi)≌?，反之取?fù)。 應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變狀態(tài). .應(yīng)變張量應(yīng)變張量 受力物體內(nèi)某點(diǎn)處線應(yīng)變和剪應(yīng)變的總和，受力物體內(nèi)某點(diǎn)處線應(yīng)變和剪應(yīng)變的總

41、和，反映和表征了該點(diǎn)的變形程度，稱之為應(yīng)變狀態(tài)。反映和表征了該點(diǎn)的變形程度，稱之為應(yīng)變狀態(tài)。 一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可用二階張量的形式來表示，一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可用二階張量的形式來表示，稱為應(yīng)變張量，用表示稱為應(yīng)變張量，用表示，即：即：57zyzyxzxyx)(212121對(duì)稱zyzyxzxyxij)(對(duì)稱zwywzvyvxwzuxvyuxu)(212121對(duì)稱=58 幾何方程：幾何方程：zuxwzwywvyvxvyuxuzxzyzyxyx z ； 該式表明了一點(diǎn)處的位移分量和應(yīng)變分量所應(yīng)滿該式表明了一點(diǎn)處的位移分量和應(yīng)變分量所應(yīng)滿足的關(guān)系，稱為幾何方程，也稱為柯西足的關(guān)系，稱為幾何方程，也稱為柯西( (

42、Augustin-Augustin-Louis Cauchy)Louis Cauchy)幾何關(guān)系。其縮寫式為：幾何關(guān)系。其縮寫式為： ),()(21zyxjiuuijjiij59 應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)都是二階對(duì)稱張量，因此在數(shù)應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)都是二階對(duì)稱張量，因此在數(shù) 學(xué)上兩者所遵循的坐標(biāo)變換法則是相同的。學(xué)上兩者所遵循的坐標(biāo)變換法則是相同的。)()()()(2)()()()(2)()()()(21331113312331332113212311333123211313321312332233322312232213323322231212311211322132312211222112313

43、22122111313333323231233232231212323222221223222221111313121211213212211lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllzxyzxyzyxxzzxyzxyzyxzyzxyzxyzyxyxzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxjjiiijjill60、應(yīng)變張量的分解、應(yīng)變張量的分解 應(yīng)變張量也可分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量即：應(yīng)變張量也可分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量即：mzzyzxyzmyyx

44、xzxymxmmmzzyzxyzyyxxzxyzij212121212121000000)(31)(31321zyxmijijmije61、變形連續(xù)性條件、變形連續(xù)性條件 由幾何方程可知，六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量是表征一由幾何方程可知，六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量是表征一 點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)的，彼此間是不能相互獨(dú)立的。因此，點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)的，彼此間是不能相互獨(dú)立的。因此， 六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量應(yīng)滿足一定的條件。六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量應(yīng)滿足一定的條件。yxzyxzxzyxzyzyxzyxxzzxzyyzyxxyzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzxzxxzyzzyxyyx22222222222222222222262 其數(shù)學(xué)

45、意義：其數(shù)學(xué)意義：要求要求要求位移函數(shù)在其定義域內(nèi)為要求位移函數(shù)在其定義域內(nèi)為 單值連續(xù)函數(shù)，其方程就是位移函數(shù)的全微分條單值連續(xù)函數(shù)，其方程就是位移函數(shù)的全微分條 件。件。 其物理意義：其物理意義：就是要保證不違反連續(xù)性假設(shè)，構(gòu)就是要保證不違反連續(xù)性假設(shè)，構(gòu) 成物體的介質(zhì)在變形前后是連續(xù)的，并且物體內(nèi)成物體的介質(zhì)在變形前后是連續(xù)的，并且物體內(nèi) 每一點(diǎn)的位移必定是確定的，即同一點(diǎn)不會(huì)產(chǎn)生每一點(diǎn)的位移必定是確定的，即同一點(diǎn)不會(huì)產(chǎn)生 兩個(gè)或兩個(gè)以上的位移。這就是說，相鄰點(diǎn)發(fā)生兩個(gè)或兩個(gè)以上的位移。這就是說，相鄰點(diǎn)發(fā)生 微小位移后，仍為相鄰點(diǎn)，否則物體在變形后將微小位移后，仍為相鄰點(diǎn)，否則物體在變形

46、后將 出現(xiàn)間隙或重疊現(xiàn)象。出現(xiàn)間隙或重疊現(xiàn)象。 63 變形連續(xù)性條件變形連續(xù)性條件反映了真實(shí)情況下物體內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)反映了真實(shí)情況下物體內(nèi)各點(diǎn)應(yīng) 變之間的協(xié)調(diào)關(guān)系。變之間的協(xié)調(diào)關(guān)系。 關(guān)于平面問題，變形連續(xù)性條件簡(jiǎn)化為：關(guān)于平面問題，變形連續(xù)性條件簡(jiǎn)化為： 對(duì)于多連域問題，物體變形除滿足相容條件（必對(duì)于多連域問題，物體變形除滿足相容條件（必 要條件）外，還要補(bǔ)充條件（充分條件）。要條件）外，還要補(bǔ)充條件（充分條件）。yxxyxyyx22222645 5、彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程、彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程 表明固體材料產(chǎn)生彈性變形或塑性變形時(shí)應(yīng)力表明固體材料產(chǎn)生彈性變形或塑性變形時(shí)應(yīng)力 與應(yīng)變

47、，以及應(yīng)力率與應(yīng)變率之間關(guān)系的物性與應(yīng)變，以及應(yīng)力率與應(yīng)變率之間關(guān)系的物性 方程，稱為本構(gòu)方程（關(guān)系）。方程，稱為本構(gòu)方程（關(guān)系）。 大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)，固體受力變形時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)，固體受力變形時(shí)，應(yīng)力與應(yīng) 變間的關(guān)系是相輔相成的。變間的關(guān)系是相輔相成的。 固體材料在一定條件下，應(yīng)力與應(yīng)變之間各固體材料在一定條件下，應(yīng)力與應(yīng)變之間各 自有著確定的關(guān)系，這一關(guān)系反映著固體材自有著確定的關(guān)系，這一關(guān)系反映著固體材 料的客觀力學(xué)特性。料的客觀力學(xué)特性。65 固體材料彈性變形具以下特點(diǎn)：固體材料彈性變形具以下特點(diǎn)： 彈性變形是可逆的。物體在變形過程中，外力所彈性變形是可逆的。物體在變形過程中，外力

48、所 做的功以能量（應(yīng)變能）的形式貯存在物體內(nèi)，做的功以能量（應(yīng)變能）的形式貯存在物體內(nèi)， 當(dāng)卸載時(shí)，彈性應(yīng)變能將全部釋放出來，物體的當(dāng)卸載時(shí)，彈性應(yīng)變能將全部釋放出來，物體的 變形得以完全恢復(fù)；變形得以完全恢復(fù)； 無(wú)論材料是處于單向應(yīng)力狀態(tài)，還是復(fù)雜應(yīng)力狀無(wú)論材料是處于單向應(yīng)力狀態(tài)，還是復(fù)雜應(yīng)力狀 態(tài)，在線彈性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變成線性比例態(tài)，在線彈性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變成線性比例 關(guān)系；關(guān)系； 對(duì)材料加載或卸載，其應(yīng)力應(yīng)變曲線路徑相同。對(duì)材料加載或卸載，其應(yīng)力應(yīng)變曲線路徑相同。 因此，應(yīng)力與應(yīng)變是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此，應(yīng)力與應(yīng)變是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。66 固體材料塑性變形具以下特點(diǎn)：固體材料塑性

49、變形具以下特點(diǎn)： 塑性變形不可恢復(fù)，所以外力功不可逆，塑性變形的產(chǎn)生必定塑性變形不可恢復(fù)，所以外力功不可逆，塑性變形的產(chǎn)生必定 要耗散能量（稱耗散能或形變功）。要耗散能量（稱耗散能或形變功）。 在塑性變形階段，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。由于本構(gòu)方程在塑性變形階段，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。由于本構(gòu)方程 的非線性，所以不能使用疊加原理。又因?yàn)榧虞d與卸載的規(guī)律的非線性，所以不能使用疊加原理。又因?yàn)榧虞d與卸載的規(guī)律 不同，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即應(yīng)力與相不同，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即應(yīng)力與相 應(yīng)的應(yīng)變不能唯一地確定，而應(yīng)當(dāng)考慮到加載路徑（或加載歷應(yīng)的應(yīng)變不能唯一地確定

50、，而應(yīng)當(dāng)考慮到加載路徑（或加載歷 史）。史）。 在載荷作用下，變形體有的部分仍處于彈性狀態(tài)稱彈性區(qū)，有在載荷作用下，變形體有的部分仍處于彈性狀態(tài)稱彈性區(qū)，有 的部分已進(jìn)入了塑性狀態(tài)稱塑性區(qū)。在彈性區(qū)，加載與卸載都的部分已進(jìn)入了塑性狀態(tài)稱塑性區(qū)。在彈性區(qū)，加載與卸載都 服從廣義虎克定律。但在塑性區(qū)，加載過程服從塑性規(guī)律，而服從廣義虎克定律。但在塑性區(qū)，加載過程服從塑性規(guī)律，而 在卸載過程中則服從彈性的虎克定律。并且隨著載荷的變化，在卸載過程中則服從彈性的虎克定律。并且隨著載荷的變化， 兩區(qū)域的分界面也會(huì)產(chǎn)生變化。兩區(qū)域的分界面也會(huì)產(chǎn)生變化。 依據(jù)屈服條件，判斷材料是否處于塑性變形狀態(tài)。依據(jù)屈服條

51、件，判斷材料是否處于塑性變形狀態(tài)。 676 6、彈性應(yīng)變能函數(shù)、彈性應(yīng)變能函數(shù) 彈性體的實(shí)功原理：若對(duì)于靜荷載作用下產(chǎn)生彈彈性體的實(shí)功原理：若對(duì)于靜荷載作用下產(chǎn)生彈 性變形過程中不計(jì)能量耗散，則據(jù)功能原理：產(chǎn)性變形過程中不計(jì)能量耗散，則據(jù)功能原理：產(chǎn) 生此變形的外力在加載過程中所作的功將以一種生此變形的外力在加載過程中所作的功將以一種 能量的形式被積累在物體內(nèi)，此能量稱為彈性應(yīng)能量的形式被積累在物體內(nèi)，此能量稱為彈性應(yīng) 變能，或稱彈性變形能。并且物體的彈性應(yīng)變能變能，或稱彈性變形能。并且物體的彈性應(yīng)變能 在數(shù)值上等于外力功。這就是實(shí)功原理，也稱變?cè)跀?shù)值上等于外力功。這就是實(shí)功原理，也稱變 形能

52、原理。若彈性應(yīng)變能用形能原理。若彈性應(yīng)變能用U U 表示，外力功用表示，外力功用W We e 表示，則有：表示，則有： eWU 68九、張量概念及其基本運(yùn)算九、張量概念及其基本運(yùn)算 1 1、張量概念、張量概念 張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介 質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具 。 張量分析具有高度概括、形式簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)。張量分析具有高度概括、形式簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)。 任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進(jìn)行的，任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進(jìn)行的， 它們是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的。它們是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的。 分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與

53、人們分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與人們 當(dāng)時(shí)對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)水平有關(guān)，會(huì)影響問題當(dāng)時(shí)對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)水平有關(guān)，會(huì)影響問題 的求解與表述。的求解與表述。 69 所有與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)的量，統(tǒng)稱為所有與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)的量，統(tǒng)稱為物理恒量物理恒量。 在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明 的物理量，統(tǒng)稱為的物理量，統(tǒng)稱為標(biāo)量標(biāo)量。例如溫度、質(zhì)量、功等。例如溫度、質(zhì)量、功等。 在一定單位制下，除指明其大小還應(yīng)指出其方向在一定單位制下，除指明其大小還應(yīng)指出其方向 的物理量，稱為的物理量，稱為矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。 絕對(duì)標(biāo)量只需

54、一個(gè)量就可確定，而絕對(duì)矢量則需絕對(duì)標(biāo)量只需一個(gè)量就可確定，而絕對(duì)矢量則需 三個(gè)分量來確定。三個(gè)分量來確定。 若我們以若我們以r r表示維度，以表示維度，以n n表示冪次，則關(guān)于三維表示冪次，則關(guān)于三維 空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表 示成：示成：nrM 70 現(xiàn)令現(xiàn)令 n n 為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物 理量為張量。理量為張量。 二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直 觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間 可由坐標(biāo)

55、變換關(guān)系式來解決定義。可由坐標(biāo)變換關(guān)系式來解決定義。當(dāng)當(dāng)n=0n=0時(shí)，零階張量，時(shí)，零階張量，M = 1M = 1，標(biāo)量；標(biāo)量；當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，一階張量，時(shí)，一階張量，M = 3M = 3，矢量；矢量； 、 、 、當(dāng)取當(dāng)取n n時(shí)，時(shí)，n n階張量，階張量，M = 3M = 3n n。71 在張量的討論中，都采用下標(biāo)字母符號(hào)，來表在張量的討論中，都采用下標(biāo)字母符號(hào)，來表 示和區(qū)別該張量的所有分量。示和區(qū)別該張量的所有分量。 不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號(hào)稱為自由標(biāo)號(hào)。自由標(biāo)不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號(hào)稱為自由標(biāo)號(hào)。自由標(biāo) 號(hào)在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標(biāo)號(hào)的數(shù)號(hào)在其方程內(nèi)只羅列不求和。以自由標(biāo)號(hào)的數(shù) 量

56、確定張量的階次。量確定張量的階次。 重復(fù)出現(xiàn)，且只能重復(fù)出現(xiàn)一次的下標(biāo)符號(hào)稱重復(fù)出現(xiàn)，且只能重復(fù)出現(xiàn)一次的下標(biāo)符號(hào)稱 為啞標(biāo)號(hào)或假標(biāo)號(hào)。啞標(biāo)號(hào)在其方程內(nèi)先羅列，為啞標(biāo)號(hào)或假標(biāo)號(hào)。啞標(biāo)號(hào)在其方程內(nèi)先羅列， 再不求和。再不求和。2.2.下標(biāo)記號(hào)法下標(biāo)記號(hào)法 本教程張量下標(biāo)符號(hào)的變程，僅限于三維空間，本教程張量下標(biāo)符號(hào)的變程，僅限于三維空間， 即變程為即變程為3 3。723.3.求和約定求和約定 關(guān)于啞標(biāo)號(hào)應(yīng)理解為取其變程關(guān)于啞標(biāo)號(hào)應(yīng)理解為取其變程N(yùn) N內(nèi)所有數(shù)值，內(nèi)所有數(shù)值， 然后再求和，這就叫做求和約定。然后再求和，這就叫做求和約定。 例如：例如： 31332211iiiiibababababa

57、31332211jiiijijjijbababababa3131ijjiijjiijcbacba311321121111cbacbacba323322221221cbacbacba333323321331cbacbacba73aaaaajiiii222211312223322112312)(iiiii3131ijijijijij13131212111123232222212133333232313174 關(guān)于求和標(biāo)號(hào)，即啞標(biāo)有：關(guān)于求和標(biāo)號(hào)，即啞標(biāo)有： 求和標(biāo)號(hào)可任意變換字母求和標(biāo)號(hào)可任意變換字母表示。表示。 求和約定只適用于字母標(biāo)號(hào)，不適用于數(shù)字標(biāo)號(hào)。求和約定只適用于字母標(biāo)號(hào)，不適用于數(shù)字標(biāo)號(hào)。 在運(yùn)算中，括號(hào)內(nèi)的求和標(biāo)號(hào)應(yīng)在進(jìn)行其它運(yùn)算前在運(yùn)算中，括號(hào)內(nèi)的求和標(biāo)號(hào)應(yīng)在進(jìn)行其它運(yùn)算前 優(yōu)先求和。例：優(yōu)先求和。例： 2332222112aaaaii23322112)()(aaaaii75